工程弹塑性力学-第五章-mf-2015详解
弹塑性力学第05章
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
-vzw （5-1） y
x
u x
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚
v y
方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式
x x 2w 2z
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
y
y
E
1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
z 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
第五章 薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。
工程弹塑性力学教学课件
感谢您的观看
THANKS
详细描述
有限差分法的基本思想是将时间和空间离散化为网格，每个网格点上的物理量 由其周围网格点的物理量通过差分方程近似计算。这种方法可以方便地处理动 态问题和偏微分方程，并且具有较高的计算效率和精度。
边界元法
总结词
边界元法是一种基于边界积分方程的数值模拟方法，它 通过将问题的边界离散化为有限个单元，并利用边界积 分方程近似描述边界上物理量的变化规律。
增量理论和全量理论
描述弹塑性力学中两种不同的分析方法。
增量理论是基于应力增量和应变增量的关系进行分析的方法，而全量理论则是基于应力全量和应变全 量的关系进行分析的方法。这两种理论在弹塑性力学中都有广泛的应用，适用于不同的分析场景。
03
工程弹塑性力学的应用
金属材料的弹塑性分析
总结词
金属材料的弹塑性分析是工程弹塑性力 学的一个重要应用领域，主要研究金属 材料在受力过程中发生的弹性变形和塑 性变形行为。
要点二
详细描述
有限元法的基本思想是将连续的求解域离散化为有限个小 的单元，这些单元通过节点相互连接。通过将每个单元的 解表示为节点解的线性组合，可以形成整个求解域的解。 这种方法能够处理复杂的边界条件和应力分布，并且可以 方便地处理非线性问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种基于差分原理的数值模拟方法，它通过将连续的时间和空间 离散化为有限个离散点，并利用差分方程近似描述物理量在这些离散点上的变 化规律。
VS
详细描述
金属材料的弹塑性分析涉及对金属材料的 应力-应变关系的分析，包括弹性极限、 屈服点和强化阶段等特征。通过弹塑性分 析，可以预测金属材料在不同受力条件下 的变形和破坏行为，为金属结构的优化设 计和安全评估提供依据。
工程弹塑性力学-第五章-mf-2015
1 1 − )sign σ E′ E
E’
卸载:
σ dσ < 0, dε = dσ / E
E O
ε εs
| σ |≤ σ s ,
ε =σ / E
11
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型
用应变表示的加载准则： 用应变表示的加载准则：
σ σs
加载: σ dε > 0, σ = [σ s + E′(| ε | −ε s )]sign ε
(5.12)
σ σs
A C
ω(ε)=AC/AB 弹性曲线与实际 曲线的相对差值
O B
ε
ε
p
ε
5.2 应力应变简化模型
对线性强化弹性材料在加载时:
ω
1
| ε |> ε s
[σ s + E′(ε − ε s )]sign ε = Eε [1− ω(ε )]
O
ε εs
ε s ε +
1−
[σ s + E′(ε − ε s )]sign ε = ω(ε ) Eε
伸长率:
δk =
∆lk ×100% l0
截面收缩率:
ϕk =
F0 − Fk × 100% F0
标志材料的塑性 特性，其值越大 则材料破坏后的 残余变形越大。
δk ≥5%：塑性材料； 塑性材料；低碳钢δk=20% ~30% δk <5%：脆性材料。 脆性材料。
5.1 基本实验资料
塑性变形有以下特点： 塑性变形有以下特点：
8
5.1 基本实验资料
二、静水压力( 静水压力(各向均匀受压) 各向均匀受压)试验
(1)、体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgman实验公式)
第五章 弹塑性断裂力学的基本概念
2πσ ys
= 2rp∗
p
∗
p
p
5.2 Dugdale模型 模型
Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂 纹时，其裂端的塑性区是狭长块状。 类似于Irwin的有效裂纹长度的概念，他认为有 效裂纹的长度为 a + ρ 。 ρ = ? （ ρ 是塑性区尺 寸）
可以设想：当把有效裂纹的概念 a + ρ 引进后， O' ) 在 的“－”方向的有效裂纹 ( O, −ρ的作用 有 σ ys ，按有效裂纹的假设应该有一定的位移。 而实际情况是没有位移。 ∴可以认为在 ρ 的上下裂纹表面作用有指向 裂纹的 σ ys 。 这一分布的 σ ys 不仅使裂纹表面不分开，而且 使有效裂纹端点的应力奇异性消失。 即： Kσ + ρ = Kσ + K ρ = 0 （在有效裂纹的端点）
5.6.1 弹塑性力学的难点 5.6.2 J积分的物理意义 5.6.3 J积分的线路无关性应用举例 5.6.4 J积分的能量解释
5.1 Irwin对裂端塑性区的估计 对裂端塑性区的估计
由线弹性分析可知： 1 − σ x , σ y , τ xy 随 r 2 而变化，r →0， →∞。这些解在的裂纹端点并 σ 不适用。这就是所谓的应力奇异性。 在含裂纹的材料受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区 （plastic zone）。 对于非常脆的材料，塑性区可能很小，与裂纹长度和零构件尺寸 相比可忽略不计。可用线弹性理论的应力强度因子的概念来分析 应力场。 而当塑性较好的材料，塑性区尺寸比较大，进行必要的修正后， 才能应用线弹性断裂力学的结果。 若是塑性区尺寸大到超过裂纹长度，则线弹性断裂力学已不适应 于这种情况，不能应用应力强度因子的概念。
∵ λ ≈ r ，∴ ρ ≈ r 第二步估计的 r = ρ + λ = 2r ，比 r p ∗ 大一倍。 Irwin裂端塑性区的估计是建立在“小范围屈 ρ 服”(small scale yielding)基础上的( a )。 r p 与 K 2 成正比，与σ ys 2 成反比。
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学塑性力学绪论
• 弹性变形(biàn xíng) 恢
复，塑形变形(biàn xíng)
保留
e
p
b
C
B
s A’ p A
E
O
p e
f
F
ep
精品文档
• 从B点卸载到E点后， 再重新加拉应力(yìnglì) （称为正向加载）， 这时应力(yìnglì)应变按 卸载曲线BE变化。
• 当应力达到卸载前的 B点应力，材料才最 新进入屈服。
精品文档
• 2、加、卸载判别(pànbié)准则
（1）拉伸(lā shēn)条件下：0
d • 给定(ɡěi dìnɡ)应力增量
加载 卸载
（2）压缩条件下： 0
f()0
d 0
d0
f()0
•
给定应力增量
d
加载 卸载
d 0 d 0
•
加卸载准则：
加载
卸载
f d 0 f d 0
精品文档
• 3、加载历史(lìshǐ)
• 5）任何状态(zhuàngtài)下的总应变可分解为弹性和塑形两 部分，且材料的弹性性质不因塑形变形而改变；
• 6）塑形变形时，体积不变（不可压缩），静水压力只产 生体积的弹性应变，不产生塑形应变；
精品文档
二、简化(jiǎnhuà)模型
1、理想(lǐxiǎng)弹塑性模型：无应变硬化效应
低碳钢（有屈服平台(píngtái)），低硬化率材料，可用理想弹 塑形模型
限, 材料为理想弹塑性, 所以有P1=P2 A, 那s么根据节点平衡条
件得到
P1 2P2,这P样
A p P / s1 2 4 6 9 m m 2
可见, 采用塑性极限设计可以节省材料30%.
弹塑性力学第五章 简单弹塑性力学问题1
利用 2 ij ij ，以上各式易改写为张量形式
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik
这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力 变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或 “套叠”等现象。如图（这里略）
(5.17)
F cos 2 1 2 A (1 2cos3 ) F 1 3 A (1 2cos3 )
(5.18)
由式(5.18)可见 3 1 ，当F增加时，杆3将首先屈服。 显然，当 3 s 时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可 求得桁架初始屈服时对应的荷载值 Fe
3.本构方程 1）弹性阶段，即
f ( ij ) 0或f ( ij ) 0, df 0
本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表 示应变；（2）应变表示应力
或
1 ij ij kk ij E E
(5.4)
ij kk ij 2G ij
为
1
因此，有变形协调关系
1 2 3 cos
2
(5.16)
1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载
当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架 处于弹性阶段。由2 3 E 3
联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得
5.5 叠加原理（线弹性体）
考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第 ' ' 一组体力 X i 和面力 X i' ,第二组为体力 X i''和面力 .设它 X i' ' ' 们引起的应力场、应变场和位移场分别为 ij、ij、ui ， '' '' '' 和 ij、ij、ui ，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同 作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用 时引起的相应场之和，即
弹塑性力学讲义全套
弹塑性力学弹塑性力学绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。
它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。
在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。
材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。
但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。
有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。
在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。
在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。
反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。
以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方程。
在物理学方面，则要建立应力与应变或应力与应变增量之间的关系，这种关系常称为本构关系，它描述材料在不同环境下的力学性质。
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：
弹塑性力学-05
其中
e ii
6
塑性阶段，应力满足屈服函数 根据增量理论有
f ij 0 ，在此条件下，
1 1 d x dsx ds x , d xy d xy d xy 2G G 1 1 d y ds y ds y , d yz d yz d yz 2G G 1 1 d z dsz ds z , d zx d zx d zx 2G G
或者
ij, j Fbi 0
(i, j x, y, z )
3
几何方程
应变位移关系导出的应变协调方程
2 x y
2
u u v x , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
上式称为拉梅-纳维方程
16
e 2 u Fbx 0 x e 2 v Fby 0 y e 2 w Fbz 0 z
方程组是基本方程的综合（包括平衡方程、几何方程及 本构方程）、方程组含有三个未知函数。此外，边界条 件也要用位移表示，当给定位移边界条件时，问题自然 简单。如给定应力边界条件，则需将边界条件加以变换， 改用位移表示。
14
弹性力学问题的基本解法 解的惟一性
位移法--位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来
u v ve u x 2G , xy G x 1 2v y x v v w ve y 2G y 1 2v , yz G z y ve w w u z 2G , zx G z 1 2v x z 代入平衡方程
弹塑性力学部分习题及答案
解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析
弹塑性力学及其应用05
第5章厚壁圆筒的分析厚壁圆筒的弹塑性分析厚壁圆筒的残余应力厚壁圆球的分析厚壁圆筒：外半径b 与内半径a 之比b/a >1.2。
它的几何形状对称于中心轴它的几何形状对称于中心轴，，且沿筒体轴向无变化且沿筒体轴向无变化，，圆筒的载荷分布亦对称于中心轴圆筒的载荷分布亦对称于中心轴，，并沿轴向均相同并沿轴向均相同。
——平面轴对称问题在这类问题中在这类问题中，，应力应力、、应变和位移量均与切向坐标应变和位移量均与切向坐标θθ无关无关，，而仅是径向坐标r 的函数的函数。
厚壁圆筒简介工程实例高压容器冷挤压用的凹模和凸模火炮身管厚壁圆筒简介采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量表示各应力分量。
轴对称性（应力轴对称应力轴对称））0=θτr 径向应力与切向应力仅是r 的函数的函数，，与θ无关无关，，)(),(r r r θσσ)(),(r r r θεε由于轴对称性由于轴对称性，，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀和收缩和收缩，，即只产生径向位移)(r u 轴向位移仅与z 有关有关，，即)(z w厚壁圆筒简介基本方程平衡方程平衡方程：：0=−+r dr d r r θσσσ几何方程几何方程：：rudr du r ==θεε,物理方程物理方程：：（平面应力平面应力））)(1)(1r r r EE µσσεµσσεθθθ−=−=)(1)(122r r r EEµεεµσµεεµσθθθ+−=+−=边界条件边界条件：：uu S F S uS u rS r ==上在位移上在力的边界边界σσσ（平面应变平面应变））)1()1(2µµµµµ−=′→−=′→E E E 5-1厚壁圆筒的弹性分析位移解法几何方程物理方程)(1)(122drdur u E r udr du E r µµσµµσθ+−=+−=平衡方程01222=−+r udr du r dr u d 0])(1[=drru d r dr d rBAr u +=1p 2p 5-1厚壁圆筒的弹性分析])1()1[(1])1()1[(12222rBAE r BA E r µµµσµµµσθ−++−=−−+−=const A Er =−=+µσσθ1)]([1θσσµσε+−=r z z E当（平面应力平面应力））或（广义平面应力广义平面应力））时，可得，即轴向应变为常量即轴向应变为常量。
弹塑性力学PPT课件
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解
边值问题的方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，
叫应力法。
3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的
一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量
混合求解。这种方法叫混合法。
.
20
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度
变化等因素的影响而发生的应力、应变和位
移及其分布规律的一门科学，是研究固体在
受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段
这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门
科学。
.
3
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij
1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij
1 2G
dsij
3d 2
.
17
(4)．边界条件
（A）应力边界条件：
ij l j Fi ， (在ST上)
（B）位移边界条件：
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(1)、体积变化
体积应变与压力的关系 (Bridgman实验公式)
εm
=
∆V V0
=
1 K
p(1 −
1 K1
p)
或 ∆V = ap − bp2 V0
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝
铜
铝
铅
7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。说明
4
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
拉伸试验和静水压力试验是塑性力学 中的两个基本试验，塑性应力应变关 系的建立是以这些实验资料为基础。
（1）单向拉伸曲线
σ= P
σ
A0 屈服应力
ε =εe +ε p = σ +ε p E
σ
屈服应力
B
C
σs A B
12
σa
3
σ0.2 A
ε = ∆l = l − l0
塑性变形常用单向拉伸时的延伸率δ和断面收缩ψ率表示：
延伸率
δ = l − l0 ×100% l0
断面收缩 ψ = A0 − A ×100% A0
塑性变形的方式：
宏观上：伸长，缩短，弯曲，扭转，等。 微观上： 单晶体只有滑移和孪生二种。滑移和孪生都是剪应变，即在剪应力 作用下晶体的一部分相对于另一部分发生了平移。
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线
F 强度极限
l l0
屈服上限
A
屈服下限
弹性极限
F 残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
金属材料
本构模型
其他工程材料，混凝土，土，岩石
拉伸曲线
从拉伸曲线看，当应力超过一定值，应力与应变不再成直线关 系。此时，已开始塑性变形。
2
塑性变形是永久性变形，外力撤去后变形也不能恢复。
金属塑性变形微观机制
3
单晶体的塑性变形
一、滑移 1、滑移现象
单晶锌变形后产生的滑移带（采自 C.F.Elam著 The Dislocation of Metal Crystals，Oxfold University press）
二、孪生（晶）
孪生通常是在晶体难以滑移时而发生的另一种塑性变形方式。密 排六方结构(HCP)的金属，如Zn，Mg等常常以孪生方式进行塑性 变形。
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(2)、静水压力对屈服极限的影响
工程弹塑性力学
黄铭枫 mfhuang@
浙江大学 建筑工程学院
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 基本实验资料 5.2 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响
1
l0
l0
O
D
εp εe
D′ ε
OD
0.2% εp εe
ε
（a）有明显屈服流动阶段
如:低碳钢,铸铁,合金钢等
（b）无明显屈服流动阶段
如:中碳钢,高强度合金钢, 有色金属等
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
如 果 σ > 0， dσ > 0, 则 为 拉 伸 加 载 ； 如 果 σ < 0， dσ < 0, 则 为 压 缩 加 载 。
多晶铜试样拉伸后形成的滑移带(采自 C.Brady,美国国家技术标准局)。
位错塞积和晶界强化
位错运动受到晶界的阻碍将在晶界处造成塞积。位错的应力 场叠加，造成应力集中。位错运动受阻，塑性变形需要更大的外 力才能进行，结果使多晶体材料的屈服强度增高。
6
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）
5.1 基本实验资料
塑性变形有以下特点：
(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆 性，或称为耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零， 这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。 (2)、由于应力—应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。 (3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的 弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两 区域的分界面也会产生变化。
材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从
不同的规律：
简单拉伸试验
加载 σ dσ ≥ 0
dσ = Etdε
的塑性阶段： 卸载 σ dσ < 0 dσ = Edε
5
5.1 基本实验资料
金属材料的应变强化
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中， 弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与 塑性变形的历史有关，决定于前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的
a 7.31x10-7 13.34x10-7 23.73x10-7 第二项远小于第一项，可以略去不
b
2.7x10-12
3.5x10-12 17.25x10-12 计。因此根据上述试验结果，在塑
性理论中常认为体积变形是弹性的。
因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力 的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服 应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。
应变强化(或加工硬化)。
塑性变形过程中金属材料微观晶体组织的变化 导致出现应变强化： 1) 位错密度剧增； 2) 晶粒破碎，晶界增多，造成晶界强化； 3) 吸收、存储部分变形能，有残余应力存在。
多晶体的塑性变形
实际使用的绝大多数金属都是 多晶体。多晶体的基本变形方式与 单晶体相同：滑移，孪生。
区别在于晶界对位错运动有阻 碍作用，不同晶粒之间的位向不同。
• 应变<10%时，基本一致； • 应变≥10%时，较大差异。
σ
用简单拉伸试验代替简单压缩试 验进行塑性分析是偏于安全的。
压
拉
O
ε
一般金属的拉伸与压缩曲线比较
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（3）反向加载
卸载后反向加载，σs’’< σs’——Bauschinger效应
σ B
A
σs
O
O’ ε
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
σs’
σs’’
B’
B’’
7
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
(4) 断裂特性
伸长率:
截面收缩率:
δk
=
∆lk l0
×100%
ϕk
=
F0 − Fk F0
×100%
标志材料的塑性 特性，其值越大 则材料破坏后的 残余变形越大。
δk ≥5%：塑性材料；低碳钢δk=20% ~30% δk <5%：脆性材料。