高中数学函数导数压轴小题(适用培优)
【高考数学】22道压轴题：导数及其应用(练习及参考答案)
【高考数学】22道压轴题导数及其应用（练习及参考答案）1.已知函数xa x x f +=ln )(. （1）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当e a 2≥时，x e x f ->)(.2.已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.3.已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值.4.已知函数2()x f x x e =，3()2g x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：x R ∀∈，()()f x g x ≥5.已知函数f （x ）= xx ln ﹣ax +b 在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =﹣ax +2e ． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在x ∈[e ，e 2]，满足f （x ）≤41+e ，求实数a 的取值范围．6.已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥.7.已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.8.设函数2)(--=ax e x f x（1）求)(x f 的单调区间；（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)(1<'+-x f x x k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.9.设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ，都有()(1)f x f ≥成立，求实数b 的值；（2）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意的正整数n ，33311111()123n k f k n=<++++∑.10.已知函数1()(1)ln x f x a e x a a=-+-（0a >且1a ≠），e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当a e =时，求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 只有一个零点，求a 的值．11.已知函数1()f x x x=-，()2ln g x a x =. （1）当1a ≥-时，求()()()F x f x g x =-的单调递增区间；（2）设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值12,x x ，其中11(0,]3x ∈，求12()()h x h x -的最小值.12.已知函数f （x ）=ln x +x 2﹣2ax +1（a 为常数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x 0∈（0，1]，使得对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a +1）+f （x 0）＞a 2+2a +4（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．13.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）．（1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．14.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（Ⅰ）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（Ⅱ）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？16.已知()()2ln x f x e x a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.17.已知函数()()()2ln 1f x ax x xa R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.18.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）（1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围．（3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．19.已知函数()21e 2x f x a x x =--（a ∈R ）. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：当1x >时，1e ln x x x x>-.20.已知函数()()321233f x x x x b b R =-++?. (1)当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；(2)若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.21.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.22.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈. （Ⅰ）求函数()f x 在其定义域内的极值；（Ⅱ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()e kx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.（1）函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由x a x x f +=ln )(，得221)(xa x x a x x f -=-='. ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增， 又+∞→+∞→<=+=)(,,01ln )1(x f x a a f ，所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有1个零点.②当0>a 时，则),0(a x ∈时，),(;0)(+∞∈<'a x x f 时，0)(>'x f . 所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增. 当1ln )]([min +==a x f a x .当01ln ≤+a ，即e a 10≤<时，又01ln )1(>=+=a a f ， 所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有2个零点.综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞. 另解：函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由xa x x f +=ln )(，得x x a ln -=. 令x x x g ln )(-=，则)1(ln )(+-='x x g . 当)1,0(e x ∈时，0)(>'x g ；当),1(+∞∈e x 时，0)(<'x g . 所以函数)(x g 在)1,0(e 上单调递增，在),1(+∞e 上单调递减. 故e x 1=时，函数)(x g 取得最大值ee e e g 11ln 1)1(=-=. 因+∞→+∞→)(,xf x ，两图像有交点得e a 1≤， 综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞.（2）要证明当e a 2≥时，x e x f ->)(， 即证明当e a x 2,0≥>时，x e xa x ->+ln ，即x xe a x x ->+ln .令a x x x h +=ln )(，则1ln )(+='x x h . 当e x 10<<时，0)(<'x f ；当ex 1>时，0)(>'x f . 所以函数)(x h 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增. 当e x 1=时，a ex h +-=1)]([min . 于是，当e a 2≥时，ea e x h 11)(≥+-≥.① 令x xe x -=)(ϕ，则)1()(x e xe e x x x x -=-='---ϕ.当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f .所以函数)(x ϕ在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减. 当1=x 时，ex 1)]([min =ϕ. 于是，当0>x 时，ex 1)(≤ϕ.② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当ea 2≥时，x e x f ->)(. 2.（Ⅰ）0,22)(2>-=-='x xa x x a x x f (1)当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()上+∞,0单调递增，(2)当0>a 时，20)(a x x f =='得 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>,22,0)(0a a x f a ，单调增区间是的单调减区间是时，所以 (Ⅱ) bx x x x g +-=ln 2)(2假设)(x g y =在0x 处的切线能平行于x 轴.∵()0,22)(>+-='x b xx x g 由假设及题意得：0ln 2)(11211=+-=bx x x x g0ln 2)(22222=+-=bx x x x g1202x x x +=022)(000=+-='b x x x g ④ 由-得，()()()0ln ln 221212221=-+---x x b x x x x即0212`12ln2x x x x x b --=由④⑤得，()1121212122222ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令12x t x =，12,01x x t <∴<<.则上式可化为122ln +-=t t t ， 设函数()()10122ln <<+--=t t t t t h ，则 ()()()()011141222>+-=+-='t t t t t t h , 所以函数()122ln +--=t t t t h 在(0,1)上单调递增. 于是，当01t <<时，有()()01=<h t h ，即22ln 01t t t --<+与⑥矛盾. 所以()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴.3.（Ⅰ）n mx x x f ++='23)(2()02301=++='n m f 得由.01242>-=∆n m∴()3032-≠>+m m ，得到 ①∵()()()32313223)(2++-=+-+='m x x m mx x x f∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==='32110)(m x x x f 或，得 由题3,1321-<>⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 解得② 由①②得3-<m（Ⅱ）()02301=++='n m f 得由 所以()m mx x x f 2323)(2+-+='因为过点)1,0(且与曲线)(x f y =相切的直线有且仅有两条， 令切点是()00,y x P ，则切线方程为()()000x x x f y y -'=- 由切线过点)1,0(，所以有()()0001x x f y -'=-∴()()[]()0020020302323231x m mx x x m mx x -+-+=++--整理得0122030=++mx x.01220300有两个不同的实根的方程所以，关于=++mx x x ()()需有两个零点，则令x h mx x x h 1223++= ()mx x x h 262+='所以()3000mx x x h m -==='≠或得，且()03,00=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 或由题，()03,10=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 所以又因为0133223=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m 所以3-=m 解得,即为所求4.（Ⅰ）()x x e e x xe x f xxx22)(22+=+='∴()()()上单调递减；在时，0,2,002-<'<<-x f x f x()()()().,02,,002上单调递增和在时，或+∞-∞->'>-<x f x f x x()()()+∞-∞--,020,2)(，和，，单调递增区间是的单调递减区间是所以x f（Ⅱ）显然0≤x 时有)()(x g x f ≥，只需证0>x 时)()(x g x f ≥，由于02≥xx e x x 20≥>时，只需证()+∞∈-=,0,2)(x x e x h x 令 2)(-='x e x h2ln ,0)(=='x x h 得()()02ln ln 22ln 222ln 22ln )(2ln min >-=-=-==∴e e h x h ()恒成立0)(,,0>+∞∈∴x h x所以当0>x 时，)()(x g x f >. 综上R x ∈∀，()()f x g x ≥5.解：（Ⅰ）f （x ）=﹣ax+b ，x ∈（0，1）∪（1，+∞）， 求导，f′（x ）=﹣a ，则函数f （x ）在点（e ，f （e ））处切线方程y ﹣（e ﹣ex+b ）=﹣a （x ﹣e ）， 即y=﹣ax+e+b ，由函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣ax+2e ，比较可得b=e ， 实数b 的值e ；（Ⅱ）由f （x ）≤+e ，即﹣ax+e≤+e ，则a≥﹣在[e ，e 2]，上有解，设h （x ）=﹣，x ∈[e ，e 2]，求导h′（x ）=﹣==，令p （x ）=lnx ﹣2，()()()()0,,2ln ,0,2ln ,0>'+∞∈<'∈∴x h x x h x ()()()上单调递增上单调递减，在，在+∞∴,2ln 2ln 0x h∴x 在[e ，e 2]时，p′（x ）=﹣=＜0，则函数p （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴p （x ）＜p （e ）=lne ﹣2＜0，则h′（x ）＜0，及h （x ）在区间[e ，e 2]单调递减，h （x ）≥h （e 2）=﹣=﹣，∴实数a 的取值范围[﹣，+∞]．6.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+， l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x--+-+-+=-+-==>， 当1(0,)x a∈时，'()0g x >，()g x 单调递增； 当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减. 故2max 111111()()ln()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-. （2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥.7.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从而曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，从而min max ()()f x g x ≥ 对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从而()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. 又(1)f a =，则1a ≥. 下面证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x +≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从而()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从而1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立.8.（1）函数f （x ）=e x -ax -2的定义域是R ，f ′（x ）=e x -a ，若a ≤0，则f ′（x ）=e x -a ≥0，所以函数f （x ）=e x -ax -2在（-∞，+∞）上单调递增 若a ＞0，则当x ∈（-∞，ln a ）时，f ′（x ）=e x -a ＜0； 当x ∈（ln a ，+∞）时，f ′（x ）=e x -a ＞0；所以，f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增 （2）由于a=1，1)1)((1)(1'+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x xx +-+<∴>-∴>11.01,0 令x e x x g x +-+=11)(，min )(x g k <∴，22')1()2(1)1(1)(---=+---=x x x xx e x e e e xe x g 令01)(,2)('>-=--=xxe x h x e x h ，)(x h ∴在),0(+∞单调递增，且)(,0)2(,0)1(x h h h ∴><在),0(+∞上存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x 当),0(00x x ∈时，0)('<x g ，当),(00+∞∈x x 时，0)('>x g000min 11)()(0x e x x g x g x +-+==∴， 由)3,2(1)(,20)(0000'0∈+=∴+=⇒=x x g x ex g x ，又)(0x g k <所以k 的最大值为29.（1）由01>+x ,得1->x ．∴()x f 的定义域为()+∞-,1．因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥，∴()1f 是函数()x f 的最小值，故有()01='f ．,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得4-=b ． 经检验，4-=b 时，)(x f 在)1,1(-上单调减，在),1(+∞上单调增．)1(f 为最小值．（2）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数，∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立． 若()0≥'x f ，则012≥++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21； 若()0≤'x f ,则012≤++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立． 因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立． 综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． （3）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f ．令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ，则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h ． 当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减．又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立．故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <．而*∈N k ，()+∞∈∴,01k ．取k x 1=，则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛． ∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫⎝⎛∑=．所以结论成立．10.解：（Ⅰ）当a e =时，1()(1)xf x e e x e=-+-，'()xf x e e =-，令'()0f x =，解得1x =，(0,1)x ∈时，'()0f x <；(1,2)x ∈时，'()0f x >，∴{}max ()max (0),(2)f x f f =，而1(0)1f e e =--，21(2)3f e e e=--， 即2max 1()(2)3f x f e e e==--． （Ⅱ）1()(1)ln xf x a e x a a=-+-，'()ln ln ln ()x xf x a a e a a a e =-=-， 令'()0f x =，得log a x e =，则 ①当1a >时，ln 0a >，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a==--， 因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞，则min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=， 因为当1a >时，ln 0a >，所以此方程无解． ②当01a <<时，ln 0a <，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min 1()(log )ln a f x f e e a a==--， 因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞， 所以min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=（01a <<）（*） 设1()ln (01)g a e a a a =+<<，则2211'()e ae g a a a a -=-=， 令'()0g a =，得1a e=， 当10a e <<时，'()0g a <；当1a e>时，'()0g a >； 所以当1a e =时，min 11()()ln 0g a g e e e e ==+=，所以方程（*）有且只有一解1a e=． 综上，1a e=时函数()f x 只有一个零点．11.(1)由题意得F (x)= x －－2a ln x . x 0,=,令m （x ）=x ２－2ax+1，①当时F(x)在（0，+单调递增； ②当a 1时，令，得x 1=, x 2=x(0,) ()()+－+∴F (x)的单增区间为(0,)，()综上所述，当时F (x)的单增区间为（0，+）当a 1时，F (x)的单增区间为(0,)，()（2）h (x )= x －2a ln x , h /(x)=,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根，∴x 1x 2=1, x 1+x 2=－2a,x 2=,2a=,－=－=2()令H (x )=2(), H /(x )=2()lnx=当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H()=,即－的最小值为.12.解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（me a﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．13.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）14.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=1ln x ax b x ---，则211()h x a x x'=+-， ∵h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴对∀x ＞0，都有211()0h x a x x '=+-≥，即对∀x ＞0，都有211a x x≤+，.…………2分 ∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(],0-∞；.…………3分 （2）解：设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，亦即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，令010t x =>，由题意得220011a t t x x =+=+，002ln 1ln 21b x t t x =--=--- ， 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，.…………6分当()0,1t ∈时，()()0,t t ϕϕ'<在()0,1上单调递减；当()1,t ∈+∞时，()()0,t t ϕϕ'>在()1,+∞上单调递增，∴()()11a b t ϕϕ+=≥=-， 故a b +的最小值为﹣1；.…………7分 （3）证明：由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+ 两式相减得()21221112lnx x x a x x x x x --=-即212112ln 1x x a x x x x +=-∴()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭，. 9分不妨令120x x <<，记211x t x =>， 令()21()ln (1)1t F t t t t -=->+，则()221()0(1)t F t t t -'=>+，∴()21()ln 1t F t t t -=-+在()1,+∞上单调递增，则()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴()21ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>，.…………10分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在()0,+∞上单调递增．又1ln 210.8512=+≈<，∴1ln G =>>>，即2122x x e >．.…………12分15.（Ⅰ）由题意，AB x =,2-BC x =，2,12x x x >-∴<<Q .…………1分 设=DP y ，则PC x y =-，由△ADP ≌△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，由PA 2=AD 2+DP 2，得()()2222x y x y -=-+即：121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭..…………3分（Ⅱ）记△ADP 的面积为2S ，则()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………5分当且仅当()1,2x =时，2S 取得最大值．，宽为(2m 时，2S 最大．….…………7分 （Ⅲ）()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是令()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭分∴关于x 的函数12+2S S 在(上递增，在)上递减，∴当x =12+2S S 取得最大值．，宽为(m 时，12+2S S 最大．.…………12分16.（1）1a =时，()()2ln 1xf x ex =++，()2121x f x e x '=++ ()01f =，()10231f '=+=，所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x =+ （2）存在[)00,x ∈+∞，()()20002ln f x x a x <++，即：()02200ln 0x ex a x -+-<在[)00,x ∈+∞时有解； 设()()22ln xu x ex a x =-+-，()2122x u x e x x a'=--+ 令()2122xm x ex x a =--+，()()21420x m x e x a '=+->+ 所以()u x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()102u x u a''≥=- 1°当12a ≥时，()1020u a'=-≥，∴()u x 在[)0,+∞单调增， 所以()()max 01ln 0u x u a ==-<，所以a e > 2°当12a <时，()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭设()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()11211122x h x x x -'=-=++ 令()102h x x '>⇒>，()1002h x x '<⇒<< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，所以11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭所以()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭，()2221x g x e x '=--，令()2221xx ex ϕ=--，()242420x x e ϕ'=-≥->所以()2221xx ex ϕ=--在[)0,+∞上单调递增，所以()()010g x g ''≥=>所以()g x 在()0,+∞单调递增，∴()()00g x g >>， 所以()()00g x g >>， 所以()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>所以，当12a <时，()()22ln f x x a x >++恒成立，不合题意 综上，实数a 的取值范围为12a ≥.17.（1）因为()ln 2f x a x x '=-，依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根， ∴0a ≠，2ln x a x=，令()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()10g =， 当x e >时，()0g x >， 所以()20g e a<< ∴()210g e a e<<= 解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得，11ln 2a x x =，22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-， 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-， 所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-， 因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-， 则()0h t <在()0,1上恒成立，()ln h t t tλλ'=+-，令()ln I t t t λλ=+-，()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈ ①当1λ≥时，()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时，()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意； ③当01λ<<时，()01I t t λ'>⇔<< 所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减， 故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.18.解：（1）∵f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）， ∴x ＞0，=lnx ﹣k ，①当k≤0时，∵x ＞1，∴f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值； ②当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k时，f′（x ）＜0；当x ＞e k，f′（x ）＞0，∴函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k，无极大值． （2）∵对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，∴f （x ）﹣4lnx ＜0，即问题转化为（x ﹣4）lnx ﹣（k+1）x ＜0对于x ∈[e ，e 2]恒成立，即k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，令g （x ）=，则，令t （x ）=4lnx+x ﹣4，x ∈[e ，e 2]，则，∴t （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，故t （x ）min =t （e ）=e ﹣4+4=e ＞0，故g′（x ）＞0， ∴g （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g （x ）max =g （e 2）=2﹣，要使k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k+1＞g （x ）max ，∴k+1＞2﹣，即实数k 的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f （x 1）=f （x 2），由（1）知，函数f （x ）在区间（0，e k）上单调递减， 在区间（e k，+∞）上单调递增，且f （e k+1）=0，不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜e k＜x 2＜e k+1，要证x 1x 2＜e 2k，只要证x 2＜，即证＜，∵f （x ）在区间（e k ，+∞）上单调递增，∴f （x 2）＜f （），又f （x 1）=f （x 2），即证f （x 1）＜，构造函数h （x ）=f （x ）﹣f （）=（lnx ﹣k ﹣1）x ﹣（ln﹣k ﹣1），即h （x ）=xlnx ﹣（k+1）x+e 2k（），x ∈（0，e k）h′（x ）=lnx+1﹣（k+1）+e 2k （+）=（lnx ﹣k ），∵x ∈（0，e k ），∴lnx ﹣k ＜0，x 2＜e 2k ，即h′（x ）＞0，∴函数h （x ）在区间（0，e k ）上单调递增，故h′（x ）＜h （e k ）， ∵，故h （x ）＜0，∴f （x 1）＜f （），即f （x 2）=f （x 1）＜f （），∴x 1x 2＜e 2k成立．19.（Ⅰ）由()21e 2xf x a x x =--得()e 1x f x a x '=--.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直， 所以()010f a '=-=，解得1a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()e 1xf x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即 1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-， 所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<. （Ⅲ）证明：令()1e ln xg x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x'=+--.令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x-++， 因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0xx >，()2e 10x x x ->，320x>， 所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln xx x x>-.20.(1)当0b =时，()321233f x x x x =-+，()()()2'4313f x x x x x =-+=--.当()1,3x Î时，()'0f x <，故函数()f x 在()1,3上单调递减； 当()3,4x Î时，()'0f x >，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==.∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3轾犏犏臌；(2)由(1)可知，()()()2'4313f x x x x x =-+=--， 由()'0f x <得13x <<，由()'0f x >得1x <或3x >. 所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-?，()3,+?上单调递增；所以()()max 413f x f b ==+，()()min 3f x f b ==，所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x $?，()21,3x Î，()33,4x Î，使得()()()1230f x f x f x ===，由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b 骣琪?琪桫时，()f x 有三个不同零点.21.（1）当1=a 时，函数2ln 21)(2--=x x x f ，xx x f 1)('-=， ∴0)1('=f ，23)1(-=f ， ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为23-=y . （2）)0(1)('2>-=x xax x f . 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f 的单调递减区间为),0(+∞； 当0>a 时，)(x f 在),0(a a 递减，在),(+∞aa 递增.22.（Ⅰ）211()0sin f x x x θ'=-+≥∙在[1,)-+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ∙-≥∙.∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>.故sin 10x θ∙-≥在[1,)-+∞上恒成立 只须sin 110θ∙-≥，即sin 1θ≥，又0sin 1θ<≤只有sin 1θ=，得2πθ=.由22111()0x f x x x x-'=-+==，解得1x =. ∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.故()f x 在1x =处取得极小值1，无极大值. （Ⅱ）构造1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--，则转化为；若在[1,]e 上存在0x ，使得0()0F x >，求实数k 的取值范围.当0k ≤时，[1,]x e ∈，()0F x <在[1,]e 恒成立，所以在[1,]e 上不存在0x ，使得0002()ekx f x x ->成立. ②当0k >时，2121()e F x k x x+'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x ++-+++-==. 因为[1,]x e ∈，所以0e x ->，所以()0F x '>在[1,]x e ∈恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max 1()()3F x F e ke e ==--，只要130ke e-->， 解得231e k e +>. ∴综上，k 的取值范围是231(,)e e++∞.。
领世培优导数压轴必刷母题50道
导数压轴必刷母题50道2017春季目录重点类型一：恒成立问题 (2)题型1：已知恒成立，求参数范围 (2)题型2：已知参数，求证恒成立 (13)题型3：已知恒成立，求整数参数的最值 (17)重点类型二：双变量问题 (20)题型1：双逻辑连接词下的双变量问题 (20)题型2：双变量的构造问题 (24)题型3：双极值点的方程消参 (30)题型4：极值点偏移有关的函数构造 (34)重点类型三：零点交点问题 (38)重点类型四：赋值放缩证明不等式 (42)题型1：数列求和型不等式 (42)题型2：近似值估算型不等式 (49)第一天：建议训练时间20分钟重点类型一：恒成立问题题型1：已知恒成立，求参数范围1.（2012河南郑州一模理21）设函数()()R p x p x x f ∈--=,1ln ． （Ⅰ）当1p =时，求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）设函数()()(),122--+=x x p x xf x g 对任意都1x ≥有()0≤x g 成立，求p 的取值范围．2.（2014山西太原一模文20）已知函数()()()221ln f x a x x a =--++． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，求实数a 的最小值；第二天：建议训练时间25分钟3.（2011山西太原一模文21）已知函数()1ln xf x x+=． （Ⅰ）设0a >，若函数在区间1,2a a ⎛⎫+⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()21k kf x x -≥+恒成立，求实数k 的取值范围．4.设函数()()()2ln 10,f x ax x b x x =+->曲()y f x =过点()2,1,e e e -+且在点()1,0处的切线方程为0.y = （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；（Ⅲ）若当1x ≥时，()()21f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．第三天：建议训练时间25分钟5．已知函数()()2xf x x e =-和()32g x kx x =--（Ⅰ）若函数()g x 在区间()12，不单调，求k 的取值范围； （Ⅱ）当[0+x ∈∞，）时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求k 的最大值．6.已知函数()ln a f x x x=-（Ⅰ）若0,a >试判断()f x 在定义域内的单调性；（Ⅱ）若()2f x x <在()1+∞，上恒成立，求a 的取值范围．第四天：建议训练时间30分钟7.（2016新课标2文20）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+-- （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.8.（2014河南郑州一模文21）已知函数()ln f x x x =，(1)()k x g x x-=． （Ⅰ）当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值．第五天：建议训练时间35分钟9.（2015山西太原一模理21）已知函数2()(ln )f x x a x x =++，a R ∈． （Ⅰ）若当1a =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1()(1)2f x e a >+，求a 的取值范围．10.已知函数()()ln 1f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1． （Ⅰ）求a 的值及()f x 的最大值；（Ⅱ）设()()x g x b e x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．第六天：建议训练时间40分钟11.(2011浙江理22)设函数()()2=ln f x x a x -，a R ∈ （Ⅰ）若x e -为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的(]0,3x e ∈，恒有()24f x e ≤成立.注：e 为自然对数的底数。
函数导数压轴小题题(适用培优)
18．设函数 ，其中 ，若仅存在两个正整数 使得 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
19．己知函数 ，若关于 的方程 恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是( ）
A． B． C． D．
20．已知函数 为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数 ，数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
64．已知函数 是定义在 上的可导函数，对于任意的实数x，都有 ，当 时 ，若 ，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
65．定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
66．在 中, , , ,点 在边 上,点 关于直线 的对称点分别为 ,则 的面积的最大值为
A． B．
C． D．
61．已知函数f（x）=-x2+x+t（ ≤x≤3）与g（x）=3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（ ）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A． B．
C． D．
62．已知函数 恰好有两个极值点 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
63．已知函数 在 上的最大值为 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
49．已知函数 ，若存在互不相等的实数 ， ， ， ，满足 ，则 （）
A．0B．1C．2D．4
50．已知直线 为函数 图象的切线，若 与函数 的图象相切于点 ，则实数 必定满足（）
A． B． C． D．
51．已知 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
高考数学压轴题系列：导数压轴小题100题(培优专用)
高考数学压轴题系列：导数压轴小题100题一、单选题1．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知实数，满足，则的值为（）A．B．C．D．3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．①③B．②④C．①④D．②③4．若，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是A．B．C．D．6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( )A．B．C．D．10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是( )A．B．C．D．11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( )A．B．C．D．14．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，，则函数y=f(x)-|sinx|在区间上的零点个数为( )A．4 B．6 C．7 D．815．已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（）A．B．C．D．16．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是A．B．C．D．17．已知函数，对任意的实数，，，关于方程的的解集不可能是（）A．B．C．D．18．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是A．B．C．D．19．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．20．已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则( ) A．45 B．15 C．10 D．021．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．22．已知函数，若x＝2 是函数f(x)的唯一的一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)23．设在的导函数为，且当时，有(k为常数)，若，则在区间内，方程的解的个数为（）A．0 B．1 C．0或1 D．424．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．25．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知函数，则函数的零点的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．27．已知函数函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．28．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,729．已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．30．已知，若方程有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．31．函数的定义域为D ，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；；，则等于。
高三数学 导数培优专题(含解析)
培优导数专题1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=.cos 2sin xx+（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xe ax x xf a -=≥函数（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.3、已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1(4=nn a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。
5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(nk f nk ++++∑=π都成立；6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*+∈+>⋅N n en F F F nn Λ1解： （I ）.)cos 2(1cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(22x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分分是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.))(342,322()(,))(322,322()(.0)(,21cos ,)(342322;0)(,21cos ,)(322322ΛΛZ Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k ππππππππππππππππ（II ）令则),()(x f ax x g -=.31)31cos 21(3)cos 2(3cos 22)cos 2(1cos 2)(222-+-+=+++-=++-='a x x x a x x a x g故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,31ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥即时所以当又时[)[).2021)2(,0.3sin cos 2sin )(,)3arccos ,0(,.3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.3cos )(,3sin )(,310ππ⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<<a f a ax xx x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞……12分2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(22xx x e a x a x e a x e ax x x f --+=-+-='令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0.解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数.而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x>0；当x =0时，f (x )=0.所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥43；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43；即a 的取值范围是),43[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; ∴函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-∴函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 。
高中数学：导数压轴30道解答题（含解析与考点）
高中数学：导数压轴30道解答题（含解析与考点）
昨天我们说了，关于导数的30道选择题，不少家长都纷纷私信我说，很实用。
今天，要和大家分享的，仍然是关于导数这部分的内容。
导数是历年高考压轴最后一题，而这道题也是高分同学和一般同学的一个分水岭。
想要考高分，想要占领数学制高点，那么，我们必须得突破导数瓶颈。
昨天我们已经提到了，导数这部分主要的考点，如果没有看过的家长们，大家可以翻看我昨天的文章。
同样，今天这部分也为大家整理了电子完整打印版，私信“数学”，即可免费领取。
导数和圆锥曲线并称高考数学两大难点，在过去的文章里，我们都已经逐一地去分析总结。
大家需要掌握的是方法，深刻理解和体会，每道题所考察的知识点，了解了出题人的意图，这对我们来说，是非常重要的。
不仅如此，我们能够立刻想到该运用哪块的知识点或公式，还会大大提高我们的解题速度。
希望各位家长给自己的孩子看，转发并收藏。
高考数学压轴必刷题 专题29 导函数解答题突破B卷(第二篇)(解析版)
xi i 1，2，3 ，使得 f x1 f x2 f x3 g x0 成立？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）单调递增区间为
2
，0
与
3 2
，2
，单调递减区间为
2，
2
与
0，3 2
（2）存在，
1 2 e2
1 12
a
1 12
当 k 0 时， x 0 ；当 k 1时， 3 x 2 .
2
2
当
f
'x
0
，即 cos
x
sin
x
1
0
时，
sin
x
3 4
2
.
2
2k 5 x 3 2k ，k Z
4
4
4
∴ 2k2xFra bibliotek2k，k
Z
.
2
当 k 0 时， 2 x ；当 k 1时， 0 x 3 .
,
①当 a≤2 时,h′（x）≤0,h（x）在区间[1,+∞）上单调递减, h（x）最大值＝h（1）＝2﹣a≤0,即：a≥2,∴a＝2；
②当 a＞2 时,h（x）在区间[1, a ）上单调递增,在区间（ a ,+∞）上单调递减,
2
2
h（x）最大值＝h（
a ）＝ a 1n a ﹣ a +5﹣2 2 222
【解析】 （1）函数 f（x）＝a1nx﹣x2+5,函数的定义域为{x|x＞0},
函数的 f（x）的导数 f′（x）＝ a ﹣2x＝ a 2x2 ,
x
x
当 a≤0,则 f′（x）＜0,此时函数单调递减无极大值,∴a＞0,
函数与导数压轴小题
函数与导数压轴小题一．单选1.（2021.湖北七市联考）已知函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >且()'()0f x f x +<（'()f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()(1)()f a a f b >+B. ()(1)()f b a f a >-C. ()()af a bf b >D. ()()af b bf a >2.（2021.苏锡常镇一模）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－16x，x ≠00，x ＝0则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞)C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[－1，0]∪[1，＋∞)3.（2021.衡水中学高三第二次联合考试）若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．（2021.惠州第三次调研）已知a ＝22.1，b ＝2.12，c ＝ln 2.14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a5．（2021.南通3月模拟）已知函数f （x ）＝x 2•e ﹣x ，g （x ）＝﹣x 3+2x 2﹣3x +c ．若对∀x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[1，3]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则c 的取值范围是（ ） A ．＜c ＜B ．≤c ≤C ．c ≤D ．c ≥6．（2021.苏北七市一模）已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为（） A ．1 B ．2 C ．52 D ．1747．（2021.连云港高三下学期期初调研）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是 A ．α＜β B ．α＞β C ．α＝β D ．无法确定8．已知函数()()402log 10x a e a x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，在定义域上单调递增，且关于x 的方程()2f x x =+恰有一个实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．114⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ． 114e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ． (0，1)9.（2021.镇江10月调研）已知函数ln , 1()11, 14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，()g x ax =，若方程()()g x f x =恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1e ) B ．[14，1e ) C ．(0，14] D ．(14，1e) 10.（2021徐州9月调研）定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)11.（2021.金陵中学10月调研）已知点P 为函数21()22f x x ax =+与2()3ln g x a x b =+(a ＞0)的图象的公共点，若以点P 为切点可作直线与两个函数的图象都相切，则实数b 的最大值为A ．232e 3B ．233e 2C ．322e 3D ．323e 212.（2021.淮安市五校联考）已知函数有两个极值点，则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.13（2021.常州市新桥高级中学高三年级第一学期第一次学情调研）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二.多选题14．(2021.惠州第三次调研）函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝e ﹣x （x ﹣1），下列结论正确的有（ ）A ．当x ＜0时，f （x ）＝e x （x +1）B ．函数f （x ）有且仅有2个零点C ．若m ≤e ﹣2，则方程f （x ）＝m 在x ＞0上有解D ．∀x 1，x 2∈R ，|f （x 2）﹣f （x 1）|＜2恒成立15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x 的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是A. 是偶函数B. 是奇函数C.在上是增函数D.的值域是16.（2021.苏州八校10月联考）关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +>17．（2021.南通3月模拟）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝e x （x +1），则下列命题正确的是（ ）A ．当x ＞0时，f （x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1）B ．函数f （x ）有3个零点C ．f （x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜218．（2021.常州期初联考）设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[﹣a ，a ]⊆D ，且对任意的1x ∈[﹣a ，a ]，总存在2x ∈[﹣a ，a ]，使得12()()1f x f x ⋅-=，称函数()f x 为P(a )函数，则下列结论中正确的有A ．函数()3x f x =是P(1)函数B ．函数3()f x x =是P(2)函数C ．若函数12()log ()f x x t =+是P(2)函数，则t ＝4D ．若函数()tan f x x b =+是P(4π)函数，则b ＝三．填空19.（2021.天一中学模拟）对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S 则=___.20．（2021.常州期初联考已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是 ．21.（2021.金陵中学10月调研）已知函数ln , 0e ()2ln , e x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ．22. （2021.常州市新桥高级中学高三年级第一学期第一次学情调研）已知函数3()1f x x ax =-+，()32g x x =-，若函数(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．23.（2021.镇江10月调研）已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=（其中e 是自然对数的底数），则αβ ＝ ．24.（2021.苏州二模）已知函数1()112f x x x x =-++-，若函数()()g x f x b =-恰有四个零点，则实数b 的取值范围是 ．25.（2021.盐城一模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：22331x y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S 2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 ．（第一空2分，第二空3分） 26．（2021.无锡质量调研）若ln 1x ax b x+≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当a =0时，b 的最小值为 ；当a >0时，ba的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分)27（2020•苏教版）已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ．函数与导数压轴小题解析一．单选1.（2021.湖北七市联考）已知函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >且()'()0f x f x +<（'()f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()(1)()f a a f b >+B. ()(1)()f b a f a >-C. ()()af a bf b >D. ()()af b bf a >【答案】C 【解析】【详解】令()()()(()())0x x g x e f x g x e f x f x =∴='+<'()()()()()()0()a b b a f a g a g b e f a e f b f x e f b -∴>∴>>∴> 取2b =，则321(),12()f b ba e a f a a-=<<-<∴ B,D 错； 因12b ab eeb -->> ，所以2()()()()b a f a be b af a bf b f b a->>=⇒> ，所以C 正确. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 2.（2021.苏锡常镇一模）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－16x，x ≠00，x ＝0则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞)C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[－1，0]∪[1，＋∞) 【答案】B【考点】分段函数中函数的性质应用：求解不等式【解析】由题意，不妨求(x ＋1)f (x )≥0 ①当x ＝－1或0时显然成立；②当1-<x 时，可有0163≤-xx ，可解得x ≤－2； ③当01≠->x x 且时，可有0163≥-xx ，可解得－1＜x ＜0或x ≥2； 所以x ∈(－∞，－2]∪[－1，0]∪[2，＋∞)则原不等式的解为x ∈(－∞，－1]∪[0，1]U [3，＋∞)，故答案选B3.（2021.衡水中学高三第二次联合考试）若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：A【解析】因为0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()cos 0,1,x ∈ 原不等式可变形为()11cos3cos 288cos cos x x x mx x +++== 21cos cos2sin sin2184cos 3.cos 8cos x x x x x xx-+=+-令()cos 0,1,t x =∈则()()2143,8g t t g t t='+-= 33322211641488888t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==⨯=⨯22114416t t t t ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时(),0,g t '<()g t单调递减;当1,14t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()(),0,g t g t>'单调递增，所以()19. 44g t g ⎛⎫=-⎪⎝⎭又min(),m g t所以9.4m-4．（2021.惠州第三次调研）已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln2.14，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】构造函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，利用函数图像可知f（2.1）＞g（2.1），所以a＞b＞4，再利用对数函数的性质得到c＜4，从而得到a，b，c的大小关系．解：构造函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，由函数图像可知：在x∈（2，4）时，x2＞2x，即f（2.1）＞g（2.1），∴2.12＞22.1＞22＝4，又∵ln2.14＝4ln2.1＜4lne＝4，∴b＞a＞c，故选：C．5．（2021.南通3月模拟）已知函数f（x）＝x2•e﹣x，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c．若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（）A．＜c＜B．≤c≤C．c≤D．c≥解：f（x）＝x2•e﹣x，x∈（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故f（x）max＝f（2）＝，而x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，故f（x）∈（0，]，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c，g′（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：1＜x＜3，故g（x）在[1，3]递增，而g （x ）min ＝g （1）＝﹣+c ， g （x ）max ＝g （3）＝c ， 故g （x ）∈[﹣+c ，c ]，若对∀x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[1，3]，使f （x 1）＝g （x 2）成立， 则（0，]⊆[﹣+c ，c ]，故，解得：≤c ≤，故选：B ．6．（2021.苏北七市一模）已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为（） A ．1 B ．2 C ．52 D ．174答案：C解析：y =lnx 的定义域为 （0，+∞），x y 1,=,在A 点处切线斜率为x 11，故在A 点处的切线方程为),(1111x x x y y -=-即1111-+=y x x y ，同理可得在B 点处1122-+=y x x y ，又因为在A,B 处的切线分别与曲线x e y =相切与C,D两点，,1,12143x e x e x x ==且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=111124241313y x x y y x x y 且),(),(443343x x e y y x x e y y x x -=--=-由此可得，25221,21121212143=+=+=⋅=⋅y y x x x x y y 7．（2021.连云港高三下学期期初调研）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是A ．α＜βB ．α＞βC ．α＝βD ．无法确定 答案：B解析：因为g(x),=1,令g(x)=g(x),接得α=1，又ℎ(x),=1x+1,结合ℎ(x),和h(x)图相可知，β<1，所以α>β。
学霸专题：含三角函数的导数压轴题(学生版)
附： 1 0.367 ， sin1 0.841， cos1 0.540 . e
19．已知函数 f x ln x ax sin x ，其中 x 0, ；
（l）判断函数 f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（2）讨论在
2
,
上函数
f
x
的零点个数.
（1）若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线的斜率为 1.
（ⅰ）求 a 的值；
（ⅱ）证明：函数 f x 在区间 0, 内有唯一极值点； （2）当 a 1时，证明：对任意 x 0, ， f x 0 .
11．已知函数
f
x
sinx e x 1
，
g
x 为
f
x
的导函数．
（1）证明：当
（2）若
a
1，不等式
f
x
bx cos
x
对任意
x
0,
2 3
恒成立，求满足条件的最大整数
b.
8．已知函数 f (x) x a sin x(a R) .
（1）当 a 0 时，证明： f x 0 ；
（2）若
a
1 4
，证明：
f
x
在
0,
π 2
有唯一的极值点
x0 ，且
f
x0
1 π 2x0
14．已知函数 f x eax1 cos x a 0 ．（其中常数 e 2.71828，是自然对数的底数）
3
（1）若 a
3
，求
f
x
在
0,
2
上的极大值点；
（2）（ i
）证明
f
x
高中数学《导数》压轴小题精练100(含答案)
A. 22-1 , 1
C.
-
∞，
1-2 2
∪
2-1 2
，
+
∞
B.
-1
，
1-2 2
D. - ∞ , -1 ∪ 1, + ∞
（
）
答案 D
-1 -2 + 22
≤∃
kl2
<
0
试题6.12 【 导 数 的 切 线 法 】 已 知 实 数 ，则
满足
，实数
的 最 小 值 为（
满足 ）
A. 1
B. 2
C. 3
试题25.11 【图像法 + 转化法 + 零点】函数 f x
= l-nx- xx>x0≤ 0
与 gx
=
1 2
x
+
a
+1
的图象
上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是
A. - ∞ , 3 - 2ln2 B. 3 - 2ln2, + ∞ C. e , + ∞
D. - ∞ , -e
（
）
B
画出
D. 0
B
试题12.12 【利用对称中心破题】已知函数 f x
=
x+12+ln1+9x2 -3xcosx x2+ 1
，且
f
2017
=
2016，则 f -2017 =
（2015
C. -2016
D. -2017
A
试题13.12 【利用对称中心破题】已知函数 f x
= lnx - x2与 gx
D. 4
A 【距离模型 + 转化法】
高考理科数学考前培优练习导数及其应用(压轴题)
(x>
0),
当 m≥ 0 时 ,函数 y=f (x) 的减区间为
0,1
2
,增区间为
1
2 ,+ ∞ .
当
m< 0 时 ,由
f'
(x)
=
(????+1)( ??2
2??- 1)=
0,得
1
x=- ??,或
1
x= 2.
当 m<- 2 时 ,y=f (x)的减区间为
0,- 1 和
??
1,+ ∞
2
,增区间为
-1
1
,
;
?? 2
当 m=- 2 时 ,y=f (x)的减区间为 (0,+ ∞),没有增区间 .
当 -2<m< 0 时,y=f (x)的减区间为
0,1
2
和
-
1
??,+
∞
,增区间为
11
2,-?? .
综上可知 : 当 m≥ 0 时 ,函数 y=f ( x)的减区间为
1
0,
2
,增区间为
1
2,+ ∞ ;
当 m<- 2 时 ,y=f (x)的减区间为
当 a>- 1 时,f' (x) 在[ -2,a] 上的最小值为 f'(-1), 由 f' (-1)= 1-2+a ≥ 0 得 a≥1, 综上 ,实数 a 的取值范围是 [1,+∞).
1
2.已知函数 f(x)= (2-m )ln x+ ??+ 2mx.
(1) 当 f'(1) = 0 时 ,求实数 m 的值及曲线 y=f (x)在点 (1,f(1)) 处的切线方程 ; (2) 讨论函数 f(x)的单调性 . 解 (1)函数 y=f ( x)的定义域为 (0,+∞),
高考数学重难点培优讲义之导数小题典型题型(含答案解析)
导数小题【题型1 函数切线问题】 (4)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (5)【题型4 导数中函数的最值问题】 (6)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (7)【题型6 利用导数解不等式】 (9)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (10)【题型8 任意存在性问题】 (10)【题型9 函数零点嵌套问题】 (11)【题型10 双变量问题】 (13)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．e x+y+1=0B．e x−y+1=0C．e x+y−1=0D．e x−y−1=0【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=ln x相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)=e x(x+a)x在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0,+∞)B．(−∞,−4]C．(−∞,−4]∪[0,+∞)D．[−4,0]【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为（）A．1B．3C．1或3D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A ．π2+1，−π2+1 B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）A ．ω的取值范围是[125,2910)B ．f (x )在(0,π10)单调递增C ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，y =−52x +4π5是f (x )的切线【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2)B ．[−32,2]C ．(−43,2)D ．(−43,1]【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（）A．1B．−4C．−3D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+x3+(a−3)x+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．(−∞,1−e)【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x e x，若存在t>0，使得f(x1)= g(x2)=t成立，则x1−2x2的最小值为（）A．2−ln4B．2+ln4C．e−ln2D．e+ln2【题型5 函数零点（方程根）个数问题】，若函数g(x)=【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数f(x)={x3+2x2+x,x≥0−2x,x<0f(x)−|kx2−4x|,(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（）A．(−∞,−1)∪(2√5,+∞)B．(−∞,−√5)∪(0,2)C．(−∞,0)∪(0,2+2√2)D．(−∞,0)∪(2+2√5,+∞)【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数f(x)={e x,x≥0−3x,x<0，若函数g(x)=f(−x)−f(x)，则函数g(x)的零点个数为（）A．1B．3C．4D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数f(x)={x e x,x<0−x2+2x,x≥0，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f(x)+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．(−∞,−1e )B．(−1e,0)C．[−1e,1]D．(−e,2)【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数f(x)=(x2−2x)e x，若方程f(x)=a有3个不同的实根x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则ax2−2的取值范围为（）A．[−1e ,0)B．[−2e,0)C．(−√2e−√2,0)D．(−√2e−√2,√2e√2)【题型6 利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足f ′(x )−f (x )x−1>0，且f (1)=1，则不等式f (e x )−(x +1)e x >0的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(−∞,1)【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 3+2x 2+3．若f(−9)≥f (a 2−2a +1)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[−2√3,4]B ．[−4,2]C ．[−2,4]D ．[−4,2√3]【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f ′(x )是函数f(x)(x ∈R )的导函数，f (3)=e 3，且f ′(x )−f (x )>0恒成立，则不等式f (x )−e x >0的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(−∞,3)D ．(3,+∞)【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知f (x )=lnx −ax 3，g (x )=x e x −lnx −x −34，若不等式f (x )g (x )>0的解集中只含有两个正整数，则a 的取值范围为（ ）A ．[ln327,ln28) B ．(ln327,ln28) C ．[ln232,ln327) D ．(ln232,ln327)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+e x−e−x−2x+3，若f(a e x)+f(lna−lnx)>6对于x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知f(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=e x，若关于x的不等式2f(x)−ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立，则实数a的最大值是．【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，若xf′(x)−f(x)=xe x ，f(1)=−1e，且x≥1时，f(x e x)≤f(x+lnx−a)恒成立，则a的取值范围是.【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+ax−2，其中a∈R，若对于任意的x1,x2∈[2,+∞)，且x1<x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)<a(x1−x2)成立，则实数a的取值范围是．【题型8 任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈[−1,2]，使不等式x0+(e2−1)lna≥2ae x0+e2x0−2成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[12e ,e 2]B ．[1e2,e 2]C ．[1e2,e 4]D ．[1e,e 4]【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=13x 3，g(x)=e x −12x 2−x ，∃x 1，x 2∈[1,2]使|g (x 1)−g (x 2)|>k |f (x 1)−f (x 2)|（k 为常数）成立，则常数k 的取值范围为（ ）A ．(−∞,e −2]B ．(−∞,e −2)C ．(−∞,e 2−34] D ．(−∞,e 2−34)【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数f (x )=x 2e x,x >0.若存在实数a ∈[0,1]，使得f (2−1m )≤a 3−12a 2−2a +e −1成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．(12,1] B ．[12,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数f (x )=x e x +2a ，g (x )=eln x x，对任意x 1∈[1,2]，∃x 2∈[1,3]，都有不等式f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[−e 2,+∞)B ．[1−e 2,+∞)C ．[−e2,+∞)D ．[12−e 2,+∞)【题型9 函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数f (x )=(ln x )2−a2x ln x +aex 2有三个零点x 1、x 2、x 3且x 1<x 2<x 3，则2lnx 1x 1+lnx 2x 2+lnx 3x 3的取值范围是（ ）A．(−1e2−e ,0)B．(−1e2,0)C．(−12e,0)D．(−2e,0)【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=a x−x2的零点，x1< x2<x3，若x1+x3=2x2，则（）A．x3x2<2ln a B．x3x2=2ln aC．x3x2>2ln a D．x3x2与2ln a大小关系不确定【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f(x)=e x−1x +xe x−1+x+a，若f(x)=0有3个不同的解x1，x2，x3且x1<x2<x3，则2e x1x1+e x2x2+e x3x3的取值范围是（）A．(e,+∞)B．[2e,+∞)C．(−8e,+∞)D．(e,2e)【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数f(x)=(e x−ax)(x−alnx)有且只有三个不同零点x1,x2,x3，若x1<x2<x3，则下列x1,x2,x3的关系式中，正确的是（）A．x1+x3=2x2B．x1+x2=√ax3C．x1x3=√a2x22D．x1x3=x22【题型10 双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数f(x)=(x−2)e x，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，x1⋅x2> 0，则（）A．x1>12B．x2<32C．x1x2>1D．x1+x2<2【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数x,y满足4lnx+2ln(2y)≥x2+8y−4，则（）A．xy=√24B．x+y=√2C．x+2y=1+√2D．x2y=1【变式10-2】（2023下·河南信阳高二淮滨高中校考阶段练习）设函数f(x)=e x(x−ae x)(其中e为自然对数的底数)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则下列说法中正确的是(）A．0<a<13B．0<x2<1C．−12<f(0)<0D．f(x1)+f(x2)>0【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，blna=alnb，有如下四个结论：①b<e；②b>e；③∃a,b满足a⋅b<e2；④a⋅b>e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y =e x x+1在点(1,e2)处的切线方程为（ ）A ．y =e4xB ．y =e2xC ．y =e 4x +e4D ．y =e 2x +3e42．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x )=a e x −lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为（ ）． A ．e 2 B ．eC ．e −1D ．e −23．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−2) B ．(−∞,−3) C ．(−4,−1) D ．(−3,0)4．（2022·全国·统考高考真题）当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ）A ．−1B ．−12C ．12D ．15．（2022·全国·统考高考真题）已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18,814]B．[274,814]C．[274,643]D．[18,27]7．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A．e b<a B．e a<bC．0<a<e b D．0<b<e a8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）．A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点9．（2023·全国·统考高考真题）若函数f(x)=alnx+bx +cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则（）．A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac<010．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．（2023·全国·统考高考真题）设a∈(0,1)，若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.12．（2022·全国·统考高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是．导数小题【题型1 函数切线问题】 (3)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (6)【题型4 导数中函数的最值问题】 (9)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (12)【题型6 利用导数解不等式】 (16)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (19)【题型8 任意存在性问题】 (22)【题型9 函数零点嵌套问题】 (25)【题型10 双变量问题】 (30)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】设切点为(x0,(1−x0)e x0)，由已知得y′=−xe x，则切线斜率k=−x0e x0，切线方程为y−(1−x0)e x0=−x0e x0(x−x0)．∵直线过点A(a,0)，∴−(1−x0)e x0=−x0e x0(a−x0)，化简得x02−(a+1)x0+1=0．∵切线有2条，∴Δ=(a+1)2−4>0，则a的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：D.【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．ex+y+1=0B．ex−y+1=0C．ex+y−1=0D．ex−y−1=0【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【解答过程】由f(x)=1e x −1，得f′(x)=−1e x，所以f′(−1)=−e，又f(−1)=e−1，故曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线的方程为y−(e−1)=−e(x+1)，即ex+y+1=0.故选：A.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【解题思路】利用导数的几何意义计算即可.【解答过程】设切点为(x0,lnx0)，则由题意可知f′(x)=1x ⇒f′(x0)=1x0=k，所以{1x0=kkx0=lnx0⇒{x0=ek=1e.故选：C.【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【解答过程】由f(x)=12x2+alnx⇒f′(x)=x+ax(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，且f′(x1)⋅f′(x2)=−1若a≥0，则f′(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以a<0，此时易知y=f′(x)单调递增，要满足题意则需{f′(1)=1+a<0 f′(2)=2+a2>0f′(1)f′(2)=(1+a)(2+a2)<−1⇒a∈(−3,−2).故选：D.【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【解题思路】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A选项：当x∈(0,+∞)时，y=1x2的导函数为y′=−2x3<0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当x∈(0,+∞)时，y=e−2x的导函数为y=−2e−2x<0，所以y=e−2x在x∈(0,+∞)时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当x∈(0,+∞)时，y=−x2+1的导函数为y′=−2x<0，所以y=−x2+1在x∈(0,+∞)时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当x∈(0,+∞)时，y=lg|x|=lgx的导函数为y′=1x⋅ln10>0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递增，又函数y=lg|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)=lg|x|=lg|−x|=f(−x)，故D选项符合题意.故选：D.【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【解题思路】结合导数，将f(x)在R上单调递增转化为f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，再参变分离，转化为a≤2xe x−2x恒成立，即求出2xe x−2x的最小值即可得.【解答过程】由题意可得f′(x)=2xe x−2x−a，因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，即a≤2xe x−2x恒成立，设g(x)=2xe x−2x，则g′(x)=(2x+2)e x−2，令ℎ(x)=(2x+2)e x−2，则ℎ′(x)=(2x+4)e x，当x<−2时，ℎ′(x)<0，x>−2时,ℎ′(x)>0,故ℎ(x)在(−∞,−2)为减函数，在(−2,+∞)上为增函数，故ℎ(x)min=ℎ(−2)<0，但ℎ(0)=0，x→−∞时，ℎ(x)→−2，故当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(0)=0，即a≤0.故选：A.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【解题思路】设函数f (x )=xlnx ，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合lnx ≤x −1，比较x ，z 的大小.【解答过程】设f (x )=xlnx （x >0），则f ′(x )=lnx +1>0 ⇒ x >1e，所以函数f (x )在(1e,+∞)上为增函数.又1e <45<56所以f (45)<f (56)即2425ln 45<ln 56 ⇒ x >y ； 设g (x )=lnx −x +1，则g ′(x )=1x −1=1−x x>0 ⇒ 0<x <1，故g (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.所以g (x )≤g (1)=0，故lnx −x +1≤0 ⇒ lnx ≤x −1（当x =1时取“=”） 所以ln 56≤56−1=−16，即x <z .故选：A.【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,+∞)B ．(−∞,−4]C ．(−∞,−4]∪[0,+∞)D ．[−4,0]【解题思路】由导函数f ′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立可得． 【解答过程】f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2，因为函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，所以当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2≥0恒成立，即当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，因为对称轴为x =−a2，当a >0时，x =−a 2<0，g (0)=−a <0，所以当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0不恒成立，不符题意；当a ≤0时，x =−a2≥0，当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，则Δ=a 2+4a ≤0，解得−4≤a ≤0． 故选：D ．【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．−1或3【解题思路】由f (x )在x =1处有极小值可知，f ′(1)=0解出a 的值，并根据单调性验证. 【解答过程】因为f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1，所以f ′(x )=3x 2−4ax +a 2，因为函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值， 所以f ′(1)=3−4a +a 2=0，解得a =1或a =3， 当a =1时，f ′(x )=3x 2−4x +1=(3x −1)(x −1)， 当f ′(x )>0时，x <13或x >1，当f ′(x )<0时，13<x <1， f (x )在x =1处取到极小值，符合题意；当a =3时，f ′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)， 当f ′(x )>0时，x <1或x >3，当f ′(x )<0时，1<x <3， f (x )在x =1处取到极大值，不符合题意； 综上：a 的值为1. 故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x −tanx −π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（ ）A ．π2+1，−π2+1B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【解题思路】求出f ′(x )，由f ′(x)<0、f ′(x)>0可得答案． 【解答过程】由题意，得f ′(x)=2−(sinx cosx)′=2−1cos 2x =2cos 2x−1cos 2x，当x ∈(−π2,−π4)∪(π4,π2)时，2cos 2x −1<0，f ′(x)<0； 当x ∈(−π4,π4)时，2cos 2x −1>0，f ′(x)>0．所以f(x)在(−π2,−π4)上单调递减，在(−π4,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减． 当x =−π4时，f(x)取得极小值，为f (−π4)=−3π2+1；当x =π4时，f(x)取得极大值，为f (π4)=−π2−1． 故选：D ．【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【解题思路】根据题目条件求出x1∈(14,12)，x2=12e<14，即可判断．【解答过程】f(x)=e x+x22−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x+x−1x 在(0,+∞)上单调递增，且f(12)=e12−32>0，f(14)=e14−154<0，所以∃x1∈(14,12)，e x1+x1−1x1=0，所以当0<x<x1时f′(x)<0，当x>x1时f′(x)>0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，则f(x)在x=x1处取得极小值且x1∈(14,12 )．ℎ(x)=lnx2x 的定义域为(0,+∞)，由ℎ′(x)=2−2lnx4x2=1−lnx2x2，当x∈(0,e)时，ℎ′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)=lnx2x 在x=e处取得极大值，也是最大值，ℎ(x)max=ℎ(e)=lne2e=12e，即x2=12e <14．所以x1>x2．故选：A.【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）A．ω的取值范围是[125,29 10)B．f(x)在(0,π10)单调递增C．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，y=−52x+4π5是f(x)的切线【解题思路】选项A，利用函数有5个零点，根据整体思想，可得答案；选项B，根据正弦函数的单调性，利用整体思想，结合选项A，求其最值，可得答案；选项C，根据正弦函数零点的计算公式，建立方程，可得答案；选项D，先求直线与三角函数的公共点，根据导数的几何意义，可得答案.【解答过程】∵f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，在[0,2π]有且仅有5个零点，∴0≤x≤2π，π5≤ωx+π5≤2πω+π5，则5π≤2πω+π5<6π，125≤ω<2910，A正确；当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5，当ω=2910时，ωπ10+π5=29π100+20π100=49π100<π2，B 正确；若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，ω3π25+π5=π2，ω=52，C 错误；由C 得f (x )=sin (52x +π5)，直线y =−52x +4π5过定点M (8π25,0)，点M 在f (x )上，f ′(x )=52cos (52x +π5)=−52，f ′(8π25)=−52， 所以直线y =−52x +4π5是f (x )的切线，D 正确.故选：C.【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2) B ．[−32,2] C ．(−43,2)D ．(−43,1]【解题思路】求出f ′(x)=2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，得出g(x)=0有一正根一负根，因此题意说明正根在区间(1,2)内，从而由{g(1)<0g(2)>0得参数范围．【解答过程】f ′(x)=2x +(a −1)−3x =2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，因为Δ=(a −1)2+24>0，因此g(x)=0有两个不同实根， 又g(0)=−3<0，因此g(x)=0两根一正一负， 由题意正根在(1,2)内，所以{g(1)=2+(a −1)−3<0g(2)=8+2(a −1)−3>0 ，解得−32<a <2，故选：A ．【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）A ．1B ．−4C ．−3D ．5【解题思路】分类参数可得a =2x +1x 2(x >0)，构造函数ℎ(x )=2x +1x 2(x >0)，利用导数求出函数ℎ(x )的单调区间及极值，作出其大致函数图象，结合函数图象求出a ，再利用导数求出函数f (x )在[−1,1]上的最值即可.【解答过程】函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，即方程f(x)=2x3−ax2+1=0在(0,+∞)内有且仅有一个实根，分离参数可得a=2x+1x2(x>0)，令ℎ(x)=2x+1x2(x>0)，则函数y=ℎ(x),y=a只有一个交点，ℎ′(x)=2−2x3=2(x3−1)x3，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，当x>1时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=3，又当x→0时，ℎ(x)→+∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，如图，作出函数ℎ(x)=2x+1x2(x>0)的大致图像，由图可知a=3，所以f(x)=2x3−3x2+1，则f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，当−1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，又f(−1)=−4,f(0)=1,f(1)=0，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为1，最小值为−4，所有f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值之和为1−4=−3.故选：C.【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x +x 3+(a −3)x +1在区间(0，1)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-e ，2)B ．(-e ，1-e )C ．(1，2)D ．(−∞,1−e)【解题思路】f ′(x )在(0,1)上递增，根据f (x )在(0,1)上有最小值，可知f (x )有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得a 的取值范围.【解答过程】∵f ′(x )=e x +3x 2+(a −3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需 {f ′(0)<0f ′(1)>0 ⇒{a −2<0e +a >0⇒−e <a <2， 这时存在x 0∈(0,1)，使得f(x)在区间(0,x 0)上单调递减，在区间[x 0,1)上单调递增，即函数f(x)在区间(0,1)上有极小值也即是最小值． 所以a 的取值范围是(−e,2). 故选：A.【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=xe x ，若存在t >0，使得f (x 1)=g (x 2)=t 成立，则x 1−2x 2的最小值为（ ）A ．2−ln4B ．2+ln4C ．e −ln2D ．e +ln2【解题思路】由题设知f(x 1)=f(e x 2)=t ，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y =t >0、f(x)的交点个数得x 1=e x 2，进而将目标式化为x 1−2x 2=x 1−2lnx 1且x 1>1，构造函数研究最小值即可.【解答过程】由题设x 1lnx 1=x 2e x 2=e x 2lne x 2=t ，即f(x 1)=f(e x 2)=t ，由f ′(x)=1+lnx ，则(0,1e )上f ′(x)<0，f(x)递减；(1e ,+∞)上f ′(x)>0，f(x)递增； f(x)≥f(1e )=−1e ，且f(1)=0，f(x)图象如下：由图知：t ∈(0,+∞)时，x 1=e x 2，即x 2=lnx 1且x 1>1，所以x 1−2x 2=x 1−2lnx 1， 令ℎ(x)=x −2lnx 且x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−2x =x−2x，。
导数压轴小题(含答案49页)
导数压轴小题1. 已知函数f(x)=xe x−m2x2−mx，则函数f(x)在[1,2]上的最小值不可能为( )A. e−32m B. −12mln2m C. 2e2−4m D. e2−2m2. 已知函数f(x)=sinxx ，若π3<a<b<2π3，则下列结论正确的是( )A. f(a)<f(√ab)<f(a+b2) B. f(√ab)<f(a+b2)<f(b)C. f(√ab)<f(a+b2)<f(a) D. f(b)<f(a+b2)<f(√ab)3. 已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[−1,1]，使得x1+x22e x2−a=0成立，则实数a的取值范围是( )A. [1,e]B. (1,e]C. (1+1e ,e] D. [1+1e,e]4. 若存在正实数x，y，z满足z2≤x≤ez且zln yz=x，则ln yx的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [1,e−1]C. (−∞,e−1]D. [1,12+ln2]5. 已知方程ln∣x∣−ax2+32=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )A. (0,e 22) B. (0,e22] C. (0,e23) D. (0,e23]6. 设函数f(x)=e x(sinx−cosx)(0≤x≤2016π)，则函数f(x)的各极小值之和为( )A. −e 2π(1−e2016π)1−e2πB. −e2π(1−e1008π)1−eπC. −e 2π(1−e1008π)1−e2πD. −e2π(1−e2014π)1−e2π7. 若函数f(x)满足f(x)=x(fʹ(x)−lnx)，且f(1e )=1e，则ef(e x)<fʹ(1e)+1的解集为( )A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (0,1e)D. (1e,+∞)8. 已知 f (x )，g (x ) 都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件：① f (x )=a x ⋅g (x )（a >0，且 a ≠1）；② g (x )≠0；③ f (x )⋅gʹ(x )>fʹ(x )⋅g (x )．若f (1)g (1)+f (−1)g (−1)=52，则 a 等于 ( )A. 12B. 2C. 54D. 2 或 129. 已知函数 f (x )=1+lnx x，若关于 x 的不等式 f 2(x )+af (x )>0 有两个整数解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−1+ln22,−1+ln33) B. (1+ln33,1+ln22) C. (−1+ln22,−1+ln33] D. (−1,−1+ln33]10. 已知函数 f (x )=x +xlnx ，若 m ∈Z ，且 f (x )−m (x −1)>0 对任意的 x >1 恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 511. 已知函数 f (x )={xln (1+x )+x 2,x ≥0−xln (1−x )+x 2,x <0，若 f (−a )+f (a )≤2f (1)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,−1]∪[1,+∞) B. [−1,0] C. [0,1]D. [−1,1]12. 已知 fʹ(x ) 是定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 的导函数，若方程 fʹ(x )=0 无解，且 ∀x ∈(0,+∞)，f [f (x )−log 2016x ]=2017，设 a =f (20.5)，b =f (log π3)，c =f (log 43)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. b >c >aB. a >c >bC. c >b >aD. a >b >c13. 已知函数 f (x )={lnx,x ≥11−x 2,x <1，若 F (x )=f [f (x )+1]+m 有两个零点 x 1，x 2，则 x 1⋅x 2 的取值范围是 ( ) A. [4−2ln2,+∞) B. (√e,+∞) C. (−∞,4−2ln2]D. (−∞,√e)14. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=(x +1)e x ， 则对任意的 m ∈R ，函数 F (x )=f(f (x ))−m 的零点个数至多有 ( ) A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 9 个15. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (0,1e)B. (ln33,e) C. (0,ln33] D. [ln33,1e)16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 fʹ(x )，若 fʹ(x )<f (x )，且 f (x +1)=f (3−x )，f (2015)=2，则不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 ( ) A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,1e)17. 设函数 f (x ) 的导函数为 fʹ(x )，对任意 x ∈R 都有 fʹ(x )>f (x ) 成立，则 ( )A. 3f (ln2)>2f (ln3)B. 3f (ln2)=2f (ln3)C. 3f (ln2)<2f (ln3)D. 3f (ln2) 与 2f (ln3) 的大小不确定18. 已知函数 f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c ，方程 fʹ(x )=0 两个根分别在区间 (0,1) 与 (1,2) 内，则 b−2a−1的取值范围为 ( )A. (14,1)B. (−∞,14)∪(1,∞)C. (−1,−14)D. (14,2)19. 已知 f (x )=∣xe x ∣，又 g (x )=f 2(x )−tf (x )(t ∈R )，若满足 g (x )=−1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是 ( )A. (−∞,−e 2+1e) B. (e 2+1e,+∞)C. (−e 2+1e,−2) D. (2,e 2+1e)20. 已知 f (x ) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函数，且对任意的 x ∈(0,+∞)，都有 f [f (x )−log 2x ]=3，则方程 f (x )−fʹ(x )=2 的解所在的区间是 ( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)21. 已知函数 f (x )={√1+9x 2,x ≤01+xe x−1,x >0，点 A ，B 是函数 f (x ) 图象上不同两点，则 ∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是 ( ) A. (0,π4)B. (0,π4]C. (0,π3)D. (0,π3]22. 定义：如果函数 f (x ) 在 [a,b ] 上存在 x 1，x 2 (0<x 1<x 2＜a) 满足fʹ(x 1)=f (b )−f (a )b−a，fʹ(x 2)=f (b )−f (a )b−a ，则称函数 f (x ) 是 [a,b ] 上的“双中值函数”．已知函数 f (x )=x 3−x 2+a 是 [0,a ] 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (13,12)B. (32,3)C. (12,1)D. (13,1)23. 已知函数 f (x )=2mx 2−2(4−m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数 x ，函数 f (x ) 与 g (x ) 的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是 ( )A. (2,8)B. (0,2)C. (0,8)D. (−∞,0)24. 已知 a,b ∈R ，且 e x+1≥ax +b 对 x ∈R 恒成立，则 ab 的最大值是( )A. 12e 3B. √22e 3 C.√32e 3 D. e 325. 函数 f (x ) 是定义在区间 (0,+∞) 上的可导函数 ， 其导函数为 fʹ(x )，且满足 xfʹ(x )+2f (x )>0，则不等式 (x+2016)f (x+2016)5<5f (5)x+2016的解集为 ( ) A. {x >−2011} B. {x ∣x <−2011} C. {x ∣−2011<x <0}D. {x∣∣−2016<x ＜−2011}26. 设 D =√(x −a )2+(lnx −a 24)2+a 24+1(a ∈R )，则 D 的最小值为( ) A. √22B. 1C. √2D. 227. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 满足：函数 y =f (x +1) 的图象关于直线 x =−1 对称，且当 x ∈(−∞,0) 时，f (x )+xfʹ(x )<0 成立（fʹ(x ) 是函数 f (x ) 的导函数），若 a =0.76f (0.76)，b =log 1076f (log 1076)，c =60.6f (60.6)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b28. 对任意的正数 x ，都存在两个不同的正数 y ，使 x 2(lny −lnx )−ay 2=0 成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (0,12e)B. (−∞,12e)C. (12e,+∞)D. (12e,1)29. 已知函数 f (x )=x 3−6x 2+9x ，g (x )=13x 3−a+12x 2+ax −13(a >1)若对任意的 x 1∈[0,4]，总存在 x 2∈[0,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (1,94]B. [9,+∞)C. (1,94]∪[9,+∞)D. [32,94]∪[9,+∞)30. 定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (2−x )=f (x )，且当 x ∈[1,2] 时，f (x )=lnx −x +1，若函数g (x )=f (x )+mx 有 7 个零点，则实数 m 的取值范围为 ( )A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)B. (ln2−16,ln2−18) C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)31. 已知函数 f (x )={e x ,x ≥0ax,x <0，若方程 f (−x )=f (x ) 有五个不同的根，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (−∞,−e )B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (e,+∞)32. 已知 fʹ(x ) 是奇函数 f (x ) 的导函数，f (−1)=0，当 x >0 时，xfʹ(x )−f (x )>0，则使得 f (x )>0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,0)∪(1,+∞) C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)33. 已知函数 f (x ) 在定义域 R 上的导函数为 fʹ(x )，若方程 fʹ(x )=0 无解，且 f [f (x )−2017x ]=2017，当 g (x )=sinx −cosx −kx 在 [−π2,π2] 上与 f (x ) 在 R 上的单调性相同时，则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1]B. (−∞,√2]C. [−1,√2]D. [√2,+∞)34. 已知函数 f (x )=e x ∣x∣，关于 x 的方程 f 2(x )−2af (x )+a −1=0(a ∈R )有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A. (e 2−12e−1,+∞)B. (−∞,e 2−12e−1) C. (0,e 2−12e−1) D. {e 2−12e−1}35. 函数 y =f (x ) 图象上不同两点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 处的切线的斜率分别是 k A ，k B ，规定 φ(A,B )=∣k A −k B ∣∣AB∣叫做曲线在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”．设曲线 y =e x 上不同的两点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，且 x 1−x 2=1，若 t ⋅φ(A,B )<3 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ( )A. (−∞,3]B. (−∞,2]C. (−∞,1]D. [1,3]36. 已知函数 f (x )=ax 3+3x 2+1，若至少存在两个实数 m ，使得 f (−m )，f (1)，f (m +2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y =f (x ) 的切线可以作 ( ) A. 3 条B. 2 条C. 1 条D. 0 条37. 已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，⋯，则第 60 个整数对是 ( ) A. (5,7)B. (4,8)C. (5,8)D. (6,7)38. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,−cos (π3x),3≤x ≤9.若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，当 x 1<x 2<x 3<x 4 时，满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4 的取值范围是 ( ) A. (7,294)B. (21,1354) C. [27,30)D. (27,1354)39. 已知函数 f (x )=e 2x ，g (x )=lnx +12的图象分别与直线 y =b 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣ 的最小值为 ( )A. 1B. e 12C. 2+ln22D. e −ln3240. 设 A ，B 分别为双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左、右顶点，P ，Q 是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 AP ，BQ 的斜率分别为 m ，n ，则2b a+a b+12∣mn∣+ln ∣m ∣+ln ∣n ∣ 取得最小值时，双曲线 C 的离心率为 ( ) A. √2B. √3C. √6D. √6241. 已知 f (x )，g (x ) 都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件：① f (x )=a x ⋅g (x )（a >0,a ≠1）；② g (x ) ≠0；③ f (x )⋅gʹ(x )>fʹ(x )⋅g (x )．若 f (1)g (1)+f (−1)g (−1)=52，则使 log a x >1 成立的 x 的取值范围是 ( )A. (0,12)∪(2,+∞)B. (0,12)C. (−∞,12)∪(2,+∞)D. (2,+∞)42. 已知函数 f (x )=∣sinx ∣(x ∈[−π,π])，g (x )=x −2sinx (x ∈[−π,π])，设方程 f(f (x ))=0，f(g (x ))=0，g(g (x ))=0 的实根的个数分别为 m ，n ，t ，则 m +n +t = ( )A. 9B. 13C. 17D. 2143. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (2)=0，当 x >0 时，有xfʹ(x )−f (x )x 2<0 恒成立，则不等式 x 2f (x )>0 的解集是 ( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)44. 已知函数 f (x )={−x 2+2x,x ≤0ln (x +1),x >0，若 ∣f (x )∣≥ax ，则 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]45. 已知函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (−x )=2−f (x )，若函数 y =x+1x与 y =f (x ) 图象的交点为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x m ,y m )，则 ∑(x i +m i=1y i )= ( ) A. 0B. mC. 2mD. 4m46. 若函数 f (x )=x −13sin2x +asinx 在 (−∞,+∞) 单调递增，则 a 的取值范围是 ( )A. [−1,1]B. [−1,13] C. [−13,13] D. [−1,−13]47. 已知两曲线 y =x 3+ax 和 y =x 2+bx +c 都经过点 P (1,2)，且在点 P处有公切线，则当 x ≥12 时，log bax 2−c 2x的最小值为 ( )A. −1B. 1C. 12D. 048. 直线 y =m 分别与 y =2x +3 及 y =x +lnx 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣的最小值为 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 449. 设函数 f (x )=x 2−2x +1+alnx 有两个极值点 x 1，x 2，且 x 1<x 2，则 f (x 2) 的取值范围是 ( ) A. (0,1+2ln24) B. (1−2ln24,0)C. (1+2ln24,+∞) D. (−∞,1−2ln24)50. 设直线 l 1，l 2 分别是函数 f (x )={−lnx,0<x <1,lnx,x >1,图象上点 P 1，P 2处的切线，l 1 与 l 2 垂直相交于点 P ，且 l 1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A ，B ，则 △PAB 的面积的取值范围是 ( )A. (0,1)B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)51. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，其导函数为 fʹ(x )，对任意正实数 x 满足 xfʹ(x )>2f (−x )，若 g (x )=x 2f (x )，则不等式 g (x )<g (1−3x ) 的解集是 ( ) A. (14,+∞)B. (−∞,14)C. (0,14)D. (−∞,14)∪(14,+∞)52. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,12)C. (0,1)D. (0,+∞)53. 已知函数 f (x )=x +xlnx ，若 m ∈Z ，且 (m −2)(x −2)<f (x ) 对任意的 x >2 恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 854. 已知函数 f (x )=a x+xlnx ，g (x )=x 3−x 2−5，若对任意的 x 1,x 2∈[12,2]，都有 f (x 1)−g (x 2)≥2 成立，则 a 的取值范围是 ( )A. (0,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,−1]55. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e,1) B. [−32e ,34) C. [32e ,34)D. [32e,1)56. 函数 f (x )={(x −a )2+e,x ≤2xlnx+a +10,x >2（e 是自然对数的底数），若 f (2) 是函数 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围是 ( ) A. [−1,6]B. [1,4]C. [2,4]D. [2,6]57. f (x )，g (x )(g (x )≠0) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x <0时，fʹ(x )g (x )<f (x )gʹ(x )，且 f (−3)=0，f (x )g (x )<0 的解集为 ( )A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(0,3)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,3)58. 已知函数 f (x )=x 3+bx 2+cx +d （b ，c ，d 为常数），当 x ∈(0,1)时 f (x ) 取得极大值，当 x ∈(1,2) 时 f (x ) 取得极小值，则 (b +12)2+(c −3)2 的取值范围是 ( )A. (√372,5) B. (√5,5)C. (374,25)D. (5,25)59. 若关于 x 的方程 ∣x 4−x 3∣=ax 在 R 上存在 4 个不同的实根，则实数a 的取值范围为 ( ) A. (0,427)B. (0,427]C. (427,23)D. (427,23]60. 设函数 f (x ) 在 R 上存在导函数 fʹ(x )，若对 ∀x ∈R ，有 f (−x )+f (x )=x 2，且当 x ∈(0,+∞) 时，fʹ(x )>x ．若 f (2−a )−f (a )≥2−2a ，则 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)61. 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x ∈[1e,1]，总存在唯一的 y ∈[−1,1]，使得 lnx −x +1+a =y 2e y 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. [1e ,e]B. (2e,e]C. (2e,+∞)D. (2e ,e +1e)62. 设函数 f (x )={2x +1,x >0,0,x =0,2x −1,x <0.若不等式 f (x −1)+f (mx)>0 对任意x >0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (−14,14)B. (0,14)C. (14,+∞)D. (1,+∞)63. 若 0<x 1<x 2<1，则 ( )A. e x 2−e x 1>lnx 2−lnx 1B. e x 1−e x 2<lnx 2−lnx 1C. x2e x1>x1e x2D. x2e x1<x1e x264. 函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2−x)，且(x−1)fʹ(x)<0，若a=f(0),b=f(12),c=f(3),则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. a>c>b65. 已知函数f(x)=x−4+9x+1,x∈(0,4)．当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=(1a )∣x+b∣的图象为( )A. B.C. D.66. f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对∀x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)=e+1，则方程f(x)−fʹ(x)=e的实数解所在的区间是( )A. (0,1e ) B. (1e,1) C. (1,e) D. (e,3)67. 已知R上的奇函数f(x)满足fʹ(x)>−2，则不等式f(x−1)<x2(3−2lnx)+3(1−2x)的解集是( )A. (0,1e) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (e,+∞)68. 已知函数f(x)=sinxx，给出下面三个结论：①函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递增，在区间(0,π2)上单调递减；②函数f(x)没有最大值，而有最小值；③函数f(x)在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③69. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的可导函数，fʹ(x ) 为其导函数，若对于任意实数 x ，有 f (x )−fʹ(x )>0，则 A. ef (2015)>f (2016) B. ef (2015)<f (2016) C. ef (2015)=f (2016)D. ef (2015) 与 f (2016) 大小不能确定70. 若存在正实数 m ，使得关于 x 的方程 x +a (2x +2m −4ex )[ln (x +m )−lnx ]=0 有两个不同的根，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,0)B. (0,12e)C. (−∞,0)∪(12e,+∞)D. (12e,+∞)71. 定义在 (0,π2) 上的函数 f (x )，fʹ(x ) 是它的导函数，且恒有 f (x )⋅tanx <fʹ(x ) 成立，则 ( ) A. √3f (π4)>√2f (π3)B. f (1)<2f (π6)sin1C. √2f (π6)>f (π4) D. √3f (π6)<f (π3)72. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是 ( )A. ∃x 0∈R ，f (x 0)=0B. 函数 y =f (x ) 的图象是中心对称图形C. 若 x 0 是 f (x ) 的极小值点，则 f (x ) 在区间 (−∞,x 0) 单调递减D. 若 x 0 是 f (x ) 的极值点，则 fʹ(x 0)=073. 已知函数 f (x )=ln x2+12，g (x )=e x−2，若 g (m )=f (n ) 成立，则 n −m 的最小值为 ( )A. 1−ln2B. ln2C. 2√e −3D. e 2−374. 设函数f(x)=e x(x3−3x+3)−ae x−x(x≥−2)，若不等式f(x)≤0有解．则实数a的最小值为( )A. 2e −1 B. 2−2eC. 1+2e2D. 1−1e75. 设函数f(x)=2lnx−12mx2−nx，若x=2是f(x)的极大值点，则m 的取值范围为( )A. (−12,+∞) B. (−12,0)C. (0,+∞)D. (−∞,−12)∪(0,+∞)76. 已知函数f(x)=ax3+bx2−2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则( )A. 当a<0时，x1+x2<0，x1x2>0B. 当a<0时，x1+x2>0，x1x2<0C. 当a>0时，x1+x2<0，x1x2>0D. 当a>0时，x1+x2>0，x1x2<077. 已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,−1)78. 设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且fʹ(x)g(x)−f(x)gʹ(x)<0，则当a<x<b时，有( )A. f(x)g(x)>f(b)g(b)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(b)>f(b)g(x)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)79. 设函数fʹ(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，f(0)=1，且3f(x)=fʹ(x)−3，则4f(x)>fʹ(x)的解集为( )A. (ln43,+∞) B. (ln23,+∞) C. (√32,+∞) D. (√e3,+∞)80. 下列关于函数f(x)=(2x−x2)e x的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x∣0<x<2}；②f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f(x)有最大值，没有最小值．A. ①③B. ①②③C. ②④D. ①②④参考答案，仅供参考啊1. D 【解析】fʹ(x)=e x+xe x−m(x+1)=(x+1)(e x−m)，因为1≤x≤2，所以e≤e x≤e2，①当m≤e时，e x−m≥0，由x≥1，可得fʹ(x)≥0，此时函数f(x)单调递增．所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，f(1)=e−32m．②当m≥e2时，e x−m≤0，由x≥1，可得fʹ(x)≤0，此时函数f(x)单调递减．所以当x=2时，函数f(x)取得最小值，f(2)=2e2−4m．③当e2>m>e时，由e x−m=0，解得x=lnm．当1≤x<lnm时，fʹ(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当lnm<x≤1时，fʹ(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以当x=lnm时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(lnm)=−m2ln2m．2. D 【解析】fʹ(x)=xcosx−sinxx2(0<x<π)．（i）当x=π2时，fʹ(x)=−4π2<0；（ii）当0<x<π，且x≠π2时，fʹ(x)=xcosx−sinxx2=cosx(x−tanx)x2．①当0<x<π2时，根据三角函数线的性质，得x<tanx，又cosx>0，所以fʹ(x)<0；②当π2<x<π时，tanx<0，则x−tanx>0，又cosx<0，所以fʹ(x)< 0．综合（i）（ii），当0<x<π时，fʹ(x)<0．所以f(x)在(0,π)上是减函数．若π3<a<b<2π3，则π3<a<√ab<a+b2<b<2π3，所以f(a)>f(√ab)>f(a+b2)>f(b)．来自QQ群339444963 3. C 【解析】令f(x1)=a−x1，则f(x1)=a−x1在x1∈[0,1]上单调递减，且f(0)=a，f(1)=a−1．令g(x2)=x22e x2，则gʹ(x2)=2x2e x2+x22e x2=x2e x2(x2+2)，且g(0)=0，g(−1)=1e，g(1)=e．若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[−1,1]，使得x1+x22e x2−a=0成立，即f(x1)=g(x2)，则f(x1)=a−x1的最大值不能大于g(x2)的最大值，即f(0)=a≤e，因为g(x2)在[−1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g(x2)∈(0,1e]时，有两个x2使得f(x1)=g(x2)．若只有唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)，则f(x1)的最小值要比1e大，所以f(1)=a−1>1e，所以a>1+1e，故实数a的取值范围是(1+1e,e]．来自QQ群3394449634. B 【解析】zln yz=x，所以xz=lny−lnz，所以lny=xz+lnz，所以ln yx =lny−lnx=xz+lnz−lnx=xz+ln zx，令zx =t，则ln yx=1t+lnt，又因为z2≤x≤ez，所以12≤xz≤e，即t∈[1e ,2]，令ln yx=1t+lnt=f(t)，则fʹ(t)=t−1t2，令fʹ(t)=0即t=1，又因为1e≤t≤2，所以t∈[1e,1]时fʹ(t)<0，f(t)单调减，t∈[1,2]时fʹ(t)>0，f(t)单调增，所以t=1时f(t)取极小值，即f(1)=1，f(2)=12+ln2，f(1e)=e+ln1e=e−1f(1e )−f(2)=e−ln2−32>e−lne−32=e−52>0，所以f(t)最大值为e−1，所以f(t)∈[1,e−1]，所以ln yx∈[1,e−1]．5. A【解析】由ln∣x∣−ax2+32=0得ax2=ln∣x∣+32，因为x≠0，所以方程等价为a=ln∣x∣+32x2，设f(x)=ln∣x∣+32x2，则函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=lnx+32x2，则fʹ(x)=1x⋅x2−(lnx+32)⋅2xx4=x−2xlnx−3xx4=−2x(1+lnx)x4,由fʹ(x)>0得−2x(1+lnx)>0，得1+lnx<0，即lnx<−1，得0<x<1e，此时函数单调递增，由fʹ(x)<0得−2x(1+lnx)<0，得1+lnx>0，即lnx>−1，得x>1e，此时函数单调递减，即当 x >0 时，x =1e 时，函数 f (x ) 取得极大值 f (1e)=ln 1e +32(1e)2=(−1+32)e 2=12e 2， 作出函数f (x ) 的图象如图：要使 a =ln∣x∣+32x 2，有 4 个不同的交点，则满足 0<a <12e 2．6. D 【解析】提示：令 fʹ(x )=2sinx ⋅e x =0，得 x =kπ，易知当 x =2kπ(k ∈Z ),1≤k ≤1007 时 f (x ) 取到极小值，故各极小值之和为f (2π)+f (4π)+⋯+f (2014π)=−(e 2π+e 4π+⋯+e 2014π)=−e 2π(1−e 2014π)1−e 2π.7. A 【解析】因为 f (x )=x (fʹ(x )−lnx )， 所以 xfʹ(x )−f (x )=xlnx ， 所以xfʹ(x )−f (x )x 2=lnx x，所以 [f (x )x]ʹ=lnxx，令 F (x )=f (x )x ，则 Fʹ(x )=lnx x，f (x )=xF (x )，所以 fʹ(x )=F (x )+xFʹ(x )=F (x )+lnx ， 所以 fʺ(x )=Fʹ(x )+1x=lnx+1x，因为 x ∈(0,1e )，fʺ(x )<0，fʹ(x ) 单减，x ∈(1e ,+∞)，fʺ(x )>0，fʹ(x ) 单增，所以 fʹ(x )≥fʹ(1e )=F (1e )+ln 1e =ef (1e )−1=0，所以 fʹ(x )≥0，所以 f (x ) 在 (0,+∞) 上单增，因为 e ⋅f (e x )<fʹ(1e )+1，fʹ(1e )=−1+e ⋅f (1e )=0， 所以 e ⋅f (e x )<1， 所以 f (e x )<1e ，所以 f (e x )<f (1e )， 所以 0<e x <1e ，所以不等式的解集为 x <−1． 8. A 9. C 【解析】因为 fʹ(x )=1−(1+lnx )x 2=−lnx x 2，所以 f (x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,,+∞) 上单调递减，当 a >0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<−a 或 f (x )>0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a =0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )≠0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a <0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<0 或 f (x )>−a ，要使不等式 f 2(x )+af (x )>0 恰有两个整数解，必须满足 f (3)≤−a <f (2)，得 −1+ln22<a ≤−1+ln33．10. B【解析】因为 f (x )=x +xlnx ，所以 f (x )−m (x −1)>0 对任意 x >1 恒成立，即 m (x −1)<x +xlnx ， 因为 x >1，也就是 m <x⋅lnx+x x−1对任意 x >1 恒成立．令 ℎ(x )=x⋅lnx+x x−1，则 ℎʹ(x )=x−lnx−2(x−1)2，令 φ(x )=x −lnx −2(x >1)，则 φʹ(x )=1−1x=x−1x>0，所以函数 φ(x ) 在 (1,+∞) 上单调递增．因为 φ(3)=1−ln3<0，φ(4)=2−2ln2>0，所以方程 φ(x )=0 在 (1,+∞) 上存在唯一实根 x 0，且满足 x 0∈(3,4)． 当 1<x <x 0 时，φ(x )<0，即 ℎʹ(x )<0， 当 x >x 0 时，φ(x )>0，即 ℎʹ(x )>0，所以函数 ℎ(x ) 在 (1,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增． 所以 [ℎ(x )]min =ℎ(x 0)=x 0(1+x 0−2)x 0−1=x 0∈(3,4)．所以 m <[g (x )]min =x 0，因为 x 0∈(3,4)，故整数 m 的最大值是 3． 11. D 【解析】函数 f (x )={xln (1+x )+x 2,x ≥0−xln (1−x )+x 2,x <0， 将 x 换为 −x ，函数值不变，即有 f (x ) 图象关于 y 轴对称，即 f (x ) 为偶函数，有 f (−x )=f (x )，当 x ≥0 时，f (x )=xln (1+x )+x 2 的导数为 fʹ(x )=ln (1+x )+x 1+x+2x ≥0，则 f (x ) 在 [0,+∞) 递增，f (−a )+f (a )≤2f (1)，即为 2f (a )≤2f (1)， 可得 f (∣a∣)≤f (1)，可得 ∣a∣≤1，解得 −1≤a ≤1．12. D 【解析】由题意，可知 f (x )−log 2016x 是定值，不妨令 t =f (x )−log 2016x ，则 f (x )=log 2016x +t ，又 f (t )=2017，所以 log 2016t +t =2017⇒t =2016，即 f (x )=log 2016x +2016，则 fʹ(x )=1xln2016，显然当x ∈(0,+∞) 时，有 fʹ(x )>0，即函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上为单调递增，又 20.5>1>log π3>log 43，所以 f (20.5)>f (log π3)>f (log 43)． 13. D 【解析】当 x ≥1 时，f (x )=lnx ≥0， 所以 f (x )+1≥1，所以 f [f (x )+1]=ln (f (x )+1)，当 x <1，f (x )=1−x2>12，f (x )+1>32，f [f (x )+1]=ln (f (x )+1)，综上可知：F[f(x)+1]=ln(f(x)+1)+m=0，则f(x)+1=e−m，f(x)=e−m−1，有两个根x1，x2，（不妨设x1<x2），当x≥1是，lnx2=e−m−1，当x<1时，1−x12=e−m−1，令t=e−m−1>12，则lnx2=t，x2=e t，1−x12=t，x1=2−2t，所以x1x2=e t(2−2t)，t>12，设g(t)=e t(2−2t)，t>12，求导gʹ(t)=−2te t，t∈(12,+∞)，gʹ(t)<0，函数g(t)单调递减，所以g(t)<g(12)=√e，所以g(x)的值域为(−∞,√e)，所以x1x2取值范围为(−∞,√e)．14. A 【解析】当x<0时，f(x)=(x+1)e x，可得fʹ(x)=(x+2)e x，可知x∈(−∞,−2)，函数是减函数，x∈(−2,0)函数是增函数，f(−2)=−1e2，f(−1)=0，且x→0时，f(x)→1，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0，而x∈(−∞,−1)时，f(x)<0，所以函数的图象如图：令t=f(x)则f(t)=m，由图象可知：当t∈(−1,1)时，方程f(x)=t至多3个根，当t∉(−1,1)时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f(t)=m至多有一个根，t∈(−1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有3个．15. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y=ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．当 a ≤0 时，显然，不合乎题意，当 a ＞0 时，由图知，当 x ∈(0,1] 时，存在一个交点，当 x ＞1 时，f (x )=lnx ，可得 g (x )=lnx −ax (x ∈(1,3])，gʹ(x )=1x−a =1−ax x，若 gʹ(x )＜0，可得 x ＞1a，g (x ) 为减函数，若 gʹ(x )＞0，可得 x ＜1a，g (x ) 为增函数，此时 y =f (x ) 与 y =ax 必须在 [1,3] 上有两个交点，即 y =g (x ) 在 [1,3] 上有两个零点，所以 {g (1a)＞0,g (3)≤0,g (1)≤0,解得ln33≤a ＜1e，故函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点时，ln33≤a ＜1e．16. A 【解析】因为函数 f (x ) 是偶函数， 所以 f (x +1)=f (3−x )=f (x −3)．所以 f (x +4)=f (x )，即函数 f (x ) 是周期为 4 的周期函数． 因为 f (2015)=f (4×504−1)=f (−1)=f (1)=2， 所以 f (1)=2． 设 g (x )=f (x )e x，则 gʹ(x )=fʹ(x )e x −f (x )e xe 2x=fʹ(x )−f (x )e x<0，所以 g (x ) 在 R 上单调递减． 不等式 f (x )<2e x−1 等价于 f (x )e x<2e，即 g (x )<g (1)，所以 x >1，所以不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 (1,+∞)． 17. C 【解析】构造函数 g (x )=f (x )e x，则函数求导得 gʹ(x )=fʹ(x )−f (x )e x．由已知 fʹ(x )>f (x )，所以 gʹ(x )>0，即 g (x ) 在实数范围内单调递增， 所以 g (ln2)<g (ln3)，即f (ln2)e ln2<f (ln3)e ln3，解得 3f (ln2)<2f (ln3)．18. A 【解析】由题意，fʹ(x )=x 2+ax +2b ，因为 fʹ(x ) 是开口朝上的二次函数，所以 {fʹ(0)>0fʹ(1)<0fʹ(2)>0，得 {b >0,a +a +2b <0,2+a +b >0, 由此可画出可行域，如图，b−2a−1表示可行域内的点 (a,b ) 和点 P (1,2) 连线的斜率，显然 PA 的斜率最小，PC 的斜率最大．19. B 【解析】令 y =xe x ，则 yʹ=(1+x )e x ，由 yʹ=0，得 x =−1，当 x ∈(−∞,−1) 时，yʹ<0，函数 y 单调递减，当 x ∈(−1,∞) 时，yʹ>0 函数单调递增．做出 y =xe x 图象，利用图象变换得 f (x )=∣xe x ∣ 图象（如图），令 f (x )=m ，则关于 m 方程 ℎ(m )=m 2−tm +1=0 两根分别在 (0,1e )，(1e ,+∞) 时（如图），满足 g (x )=−1 的 x 有 4 个，由 ℎ(1e )=1e 2−1e t +1<0 解得 t >e 2+1e．20. C【解析】根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=3，又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，则f(x)−log2x为定值，设t=f(x)−log2x，则f(x)=log2x+t，又由f(t)=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f(x)=log2x+2，fʹ(x)=1ln2⋅x，将f(x)=log2x+2，fʹ(x)=1ln2⋅x代入f(x)−fʹ(x)=2，可得log2x+2−1ln2⋅x=2，即log2x−1ln2⋅x=0，令ℎ(x)=log2x−1ln2⋅x，分析易得ℎ(1)=−1ln2<0，ℎ(2)=1−12ln2>0，则ℎ(x)=log2x−1ln2⋅x的零点在(1,2)之间，则方程log2x−1ln2⋅x=0，即f(x)−fʹ(x)=2的根在(1,2)上．21. A 【解析】当x≤0时，由y=√1+9x2得y2−9x2=1(x≤0)，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=−3x，此时渐近线的斜率k1=−3，当x>0时，f(x)=1+xe x−1，当过原点的直线和f(x)相切时，设切点为(a,1+ae a−1)，函数的导数fʹ(x)=e x−1+xe x−1=(x+1)e x−1，则切线斜率k2=fʹ(a)=(a+1)e a−1，则对应的切线方程为y−(1+ae a−1)=(1+a)e a−1(x−a)，即y=(1+a)e a−1(x−a)+1+ae a−1，当x=0，y=0时，(1+a)e a−1(−a)+1+ae a−1=0，即a2e a−1+ae a−1=1+ae a−1，即a2e a−1=1，得a=1，此时切线斜率k2=2，则切线和y=−3x的夹角为θ，则tanθ=∣∣−3−21−2×3∣∣=55=1，则θ=π4，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是(0,π4)．来自QQ群33944496322. C 【解析】由题意可知，因为 f (x )=x 3−x 2+a 在区间 [0,a ] 存在 x 1，x 2 (a <x 1<x 2＜b)，满足 fʹ(x 1)=fʹ(x 2)=f (a )−f (0)a=a 2−a ，因为 f (x )=x 3−x 2+a ， 所以 fʹ(x )=3x 2−2x ，所以方程 3x 2−2x =a 2−a 在区间 (0,a ) 有两个不相等的解． 令 g (x )=3x 2−2x −a 2+a ，(0<x <a )． 则 {Δ=4−12(−a 2+a )>0,g (0)=−a 2+a >0,g (a )=2a 2−a >0,0<16<a. 解得：12<a <1．来自QQ 群339444963所以实数 a 的取值范围是 (12,1)． 23. C 【解析】当 m <0 时，函数 f (x ) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 x >0 时，f (x )>0 不恒成立． 函数 g (x )=mx 当 x >0 时，g (x )<0． 所以不满足题意．当 m =0 时，f (x )=−8x +1，g (x )=0，不满足题意． 当 m >0 时，需 f (x )>0 在 x <0 时恒成立，所以令 Δ<0 或 {Δ≥0,−b2a ≥0,f (0)>0,即 4(4−m )2−8m <0 或 {4(4−m )2−8m ≥0,4−m 2m≥0.解得 2<m <8 或 0<m ≤2．综合得：0<m <8．24. A 【解析】若 a <0，由于一次函数 y =ax +b 单调递减，不能满足且 e x+1≥ax +b 对 x ∈R 恒成立，则 a ≥0． 若 a =0，则 ab =0．若 a >0，由 e x+1≥ax +b 得 b ≤e x+1−ax ，则 ab ≤ae x+1−a 2x ． 设函数 f (x )=ae x+1−a 2x ，所以 fʹ(x )=ae x+1−a 2=a (e x+1−a )，令 fʹ(x )=0 得 e x+1−a =0，解得 x =lna −1，因为 x <lna −1 时，x +1<lna ，则 e x+1<a ，则 e x+1−a <0， 所以 fʹ(x )<0，所以函数 f (x ) 递减；同理，x >lna −1 时，fʹ(x )>0，所以函数 f (x ) 递增；所以当 x =lna −1 时，函数取最小值，f (x ) 的最小值为 f (lna −1)=2a 2−a 2lna ．设 g (a )=2a 2−a 2lna (a >0)，gʹ(a )=a (3−2lna )(a >0)，由 gʹ(a )=0 得 a =e 32，不难得到 a <e 32时，gʹ(a )>0；a >e 32时，gʹ(a )<0；所以函数 g (a ) 先增后减，所以 g (a ) 的最大值为 g (e 32)=12e 3，即 ab 的最大值是 12e 3，此时 a=e 32，b =12e 32．25. D 来自QQ 群339444963【解析】构造函数 g (x )=x 2f (x )，gʹ(x )=x(2f (x )+xfʹ(x ))， 当 x >0 时，因为 2f (x )+xfʹ(x )>0， 所以 gʹ(x )>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，因为不等式(x+2016)f(x+2016)5<5f(5)x+2016，所以x+2016>0时，即x＞−2016时，(x+2016)2f(x+2016)<52f(5)，所以g(x+2016)<g(5)，所以x+2016<5，所以−2016<x<−2011．26. C 【解析】S=(x−a)2+(lnx−a24)2(a∈R)，其几何意义为：两点(x,lnx)，(a,a 24)的距离的平方，由y=lnx的导数为yʹ=1x，所以k=1x1，点(a,a24)在曲线y=14x2上，所以yʹ=12x，所以k=12x2，令f(x)=lnx，g(x)=14x2，则D(x)=√(x1−x2)2+[f(x1)−g(x2)]2+g(x2)+1，而g(x2)+1是抛物线y=14x2上的点到准线y=−1的距离，即抛物线y=14x2上的点到焦点(0,1)的距离，则D可以看作抛物线上的点(x2,g(x2))到焦点距离和到f(x)=lnx上的点的距离的和，即∣AF∣+∣AB∣，由两点之间线段最短，得D最小值是点F(0,1)到f(x)=lnx上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，这样就最小，即取B(x0,lnx0)，则fʹ(x0)⋅lnx0−1x0=−1，垂直，则 lnx 0−1=−x 02，解得 x 0=1，所以 F 到 B (1,0) 的距离就是点 F (0,1) 到 f (x )=lnx 上的点的距离的最小值， 所以 D 的最小值为 ∣DF ∣=√2．27. D 【解析】定义在 R 上的函数 y =f (x ) 满足：函数 y =f (x +1) 的图象关于直线 x =−1 对称，可知函数 f (x ) 是偶函数， 所以 y =xf (x ) 是奇函数，又因为当 x ∈(−∞,0) 时，f (x )+xfʹ(x )<0 成立（fʹ(x ) 是函数 f (x ) 的导函数），所以函数 y =xf (x ) 在 R 上既是奇函数又是减函数； 0.76∈(0,1)，60.6<912∈(2,4)，log 1076≈log 1.56∈(4,6)．所以 a >c >b ．来自QQ 群33944496328. A 【解析】由 x 2(lny −lnx )−ay 2=0(x,y >0)，可得：a =ln y x (y x)2，令y x=t >0，所以 a =lnt t2，设 g (t )=lnt t2，gʹ(t )=1t×t 2−2tlnt t 4=1−2lnt t 3．令 gʹ(t )>0．解得 0<t <√e ，此时函数 g (t ) 单调递增； 令 gʹ(t )<0．解得 t >√e ，此时函数 g (t ) 单调递减．又t>1时，g(t)>0；1>t>0时，g(t)<0．可得函数g(t)的图象．因此当a∈(0,12e )时，存在两个正数，使得a=lntt2成立，即对任意的正数x，都存在两个不同的正数y，使x2(lny−lnx)−ay2=0成立．29. C 【解析】函数f(x)=x3−6x2+9x，导数为f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，可得f(x)的极值点为1，3，由f(0)=0，f(1)=4，f(3)=0，f(4)=4，可得f(x)在[0,4]的值域为[0,4]；g(x)=13x3−a+1 2x2+ax−13(a>1)，导数为g′(x)=x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a)，当1<x<a时，g′(x)<0，g(x)递减；当x<1或x>a时，g′(x)> 0，g(x)递增．由g(0)=−13，g(1)=12(a−1)，g(a)=−16a3−12a2−13>−13，g(4)=13−4a，当3≤a≤4时，13−4a≤12(a−1)，g(x)在[0,4]的值域为[−13,12(a−1)]，由对任意的x1∈[0,4]，总存在x2∈[0,4]，使得f(x1)=g(x2)，可得[0,4]⊆[−13,12(a−1)]，即有4≤12(a−1)，解得a≥9不成立；当1<a<3时，13−4a>12(a−1)，g(x)在[0,4]的值域为[−13,13−4a]，由题意可得[0,4]⊆[−13,13−4a]，即有4≤13−4a，解得a≤94，即为1<a≤94；当 a >4 时，可得 g (1) 取得最大值，g (4)<−3 为最小值，即有 [0,4]⊆[13−4a,12(a −1)]，可得 13−4a ≤0，4≤12(a −1)，即 a ≥134，且 a ≥9，解得 a ≥9．综上可得，a 的取值范围是 (1,94]∪[9,+∞)．30. A【解析】因为函数 f (2−x )=f (x ) 可得图象关于直线 x =1 对称，且函数为偶函数则其周期为 T =2， 又因为 fʹ(x )=1x −1=1−x x，当 x ∈[1,2] 时有 fʹ(x )≤0，则函数在 x ∈[1,2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中 k OA =ln2−16，k OB =ln2−18，当 x <0 时 , 要使符合题意则 m ∈(ln2−16,ln2−18)，根据偶函数的对称性，当 x >0 时，要使符合题意则 m ∈(1−ln28,1−ln26)．综上所述，实数 m 的取值范围为 (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)．31. A 【解析】因为 f (x )={e x ,x ≥0ax,x <0，所以 f (−x )={−ax,x >01,x =0e −x ,x <0． 显然 x =0 是方程 f (−x )=f (x ) 的一个根， 当 x >0 时，e x =−ax, ⋯⋯① 当 x <0 时，e −x =ax, ⋯⋯②显然，若 x 0 为方程 ① 的解，则 −x 0 为方程 ② 的解， 即方程 ①，② 含有相同个数的解， 因为方程 f (−x )=f (x ) 有五个不同的根， 所以方程 ① 在 (0,+∞) 上有两解，。
导数压轴小题必刷100题
,
2 e2
【答案】B
【解析】因为 f ( x) 与 g ( x) 互为“1距零点函数”.且当 f ( x) = log2020 ( x −1) = 0 时, x = 2
设 g ( x) = x2 − aex = 0 的解为 x0 ，由定义 − n 可知, 2 − x0 1
解得1 x0
3 ，而当 g ( x) = x2 − aex
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为 不满足方程
，所以原方程化为化为
，
，令
， 时， ，令
； ，
时，
+
0
-
当 要使
递增
，即 时，
无解，则
，
递减
，综上可得， 的值域为
，
即使关于 的方程
3
,
4
+ ln 6
2
【答案】D
【解析】由题意，函数 f ( x) = ln x − ax2 − (a − 2) x 的定义域为 (0, +)，
不等式 f ( x) 0 ，即 ln x − ax2 − (a − 2) x 0 ，即 ln x ax2 + (a − 2) x ，
两边除以 x ，可得 ln x a(x +1) − 2 ， x
,
+
时，
g
(
x
)
0
，
所以
g
(
x
)
在
e−1
,
−
e
2 3
−2
时增函数，在 e 3 , + 时减函数，且
f
−2 e 3
=
e2 3，f Nhomakorabea1 e
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高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）一．选择题（共 30 小题）1．（ 2013?文昌模拟）如图是 322+x 2 2的值是（）f （ x ） =x +bx +cx+d 的图象，则 x 1 A ． B ． C ．D ．考点 ： 利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题 ： 计算题；压轴题；数形结合．分析： 先利用图象得： f （x ） =x （ x+1 ）（ x ﹣ 2）=x 3﹣ x 2﹣2x ，求出其导函数，利用 x 1， x 2 是原函数的极值点，求出 x 1+x 2= ，，即可求得结论．解答： 解：由图得： f （ x ） =x （ x+1 ）（x ﹣ 2） =x 3﹣ x 2﹣ 2x ，∴ f'（ x ） =3x 2﹣ 2x ﹣ 2∵ x 1， x 2 是原函数的极值点所以有 x 1+x 2= ，，222．故 x 1 +x 2 =（x 1+x 2） ﹣ 2x 1x 2== 故选 D ．点评： 本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．2．（ 2013?乐山二模）定义方程 f （ x ） =f ′（ x ）的实数根 x 0 叫做函数 f （ x ）的 “新驻点 ”，若函数 g （ x ） =x ， h （ x ）=ln （ x+1）， φ（ x ）=x 3﹣ 1 的 “新驻点 ”分别为 α， β， γ，则 α， β，γ的大小关系为（ ） A ．α＞ β＞ γB ． β＞ α＞ γC ． γ＞ α＞βD ．β＞ γ＞α考点 ： 导数的运算． 专题 ： 压轴题；新定义．分析： 分别对 g （ x ），h （x ），φ（ x ）求导，令g ′（ x ） =g （ x ），h ′（ x ）=h （ x ），φ′（ x ） =φ（ x ），则它们的根分别32为 α， β， γ，即 α=1， ln （ β+1） =， γ﹣ 1=3γ，然后分别讨论 β、 γ的取值范围即可．解答：解： ∵ g ′（ x ） =1， h ′（ x ） = ， φ′（x ） =3x 2，由题意得：α=1， ln （ β+1） = 32， γ﹣ 1=3γ， ① ∵ ln （ β+1） =，β+1∴ （ β+1 ） =e ，当 β≥1时， β+1≥2， ∴ β＜1，这与 β≥1矛盾，∴ 0＜ β＜ 1；32② ∵ γ﹣ 1=3 γ，且 γ=0 时等式不成立，12∴ 3γ＞3∴ γ＞ 1， ∴ γ＞ 1． ∴ γ＞ α＞ β． 故选 C ．点评： 函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．3．（ 2013?山东）抛物线 C 1：的焦点与双曲线 C 2：的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M ．若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则 p=（）A ．B ．C ．D ．考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． 专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值．解答：解：由，得 x 2=2py （ p ＞ 0），所以抛物线的焦点坐标为 F （）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（ 2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，即① ．设该直线交抛物线于M （ ），则 C 1 在点 M 处的切线的斜率为 ．由题意可知，得 ，代入 M 点得 M （ ）把 M 点代入 ① 得：．解得 p=．故选 D ．点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．4．（ 2013?安徽） 已知函数3 2 +bx+c 有两个极值点12 1 1 2 ，则关于 x 的方程 3（ f （x ）） f （ x ）=x +axx，x，若 f （ x ）=x ＜ x2+2af （x ） +b=0 的不同实根个数为（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ．6考点 ： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题 ： 压轴题；导数的综合应用．分析： 由函数 f （ x ）=x 32′ 2有两个不相等的实数根，必有+ax +bx+c 有两个极值点 x 1， x 2，可得 f （ x ）=3x +2ax+b=0 △ =4a 2﹣ 12b ＞ 0．而方程 3（f （ x ））2+2af （ x ）+b=0 的 △ 1=△ ＞0，可知此方程有两解且 f （ x ）=x 1 或 x 2．再 分别讨论利用平移变换即可解出方程f （ x ） =x 1 或 f （ x ）=x 2 解得个数．解答： 解： ∵ 函数 f （ x ） =x3 212+ax +bx+c 有两个极值点 x， x ，′2∴ f （ x ）=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根，∴ △ =4a 2﹣ 12b ＞ 0．解得= ．∵ x 1＜ x 2，∴，．而方程 3（f （x ））21=△ ＞ 0， ∴ 此方程有两解且1 2+2af （x ） +b=0的△f （ x ） =x 或 x ．不妨取 0＜x 1＜ x 2， f （ x 1）＞ 0．y=f （ x ）﹣ x 的图象， ∵ f （ x ）=x ，可知方程 f （ x ）=x① 把 y=f （ x ）向下平移 x个单位即可得到1有两11 1 1 解．② 把 y=f （ x ）向下平移 x 2 个单位即可得到 y=f （ x ）﹣ x 2 的图象， ∵f （x 1） =x 1， ∴f （x 1）﹣ x 2＜0，可知方程 f （ x ） =x 2 只有一解．综上 ①② 可知：方程 f （ x ）=x 1 或 f （ x ）=x 2．只有 3 个实数解． 即关于 x 的方程 3（f （x ））2+2af （ x ）+b=0的只有 3 不同实根．故选 A ．点评： 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．5．（ 2013?湖北）已知 a 为常数，函数 f （ x ） =x （ lnx ﹣ ax ）有两个极值点 x 1，x 2（ x 1＜ x 2）（ ）A ．B ．C ．D ．考点 ： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件． 专题 ： 压轴题；导数的综合应用．分析： 先求出 f ′（ x ），令 f ′（ x ）=0，由题意可得 lnx=2ax ﹣ 1 有两个解 x 1， x 2? 函数 g （ x ） =lnx+1 ﹣ 2ax 有且只有两个零点 ? g ′（ x ）在（ 0， +∞）上的唯一的极值不等于 0．利用导数与函数极值的关系即可得出． 解答：解： ∵=lnx+1 ﹣ 2ax ，（ x ＞0）令 f ′（ x ）=0 ，由题意可得 lnx=2ax ﹣ 1 有两个解 x 1， x 2? 函数 g （ x ）=lnx+1 ﹣ 2ax 有且只有两个零点? g ′（ x ）在（ 0， +∞）上的唯一的极值不等于 0．．① 当 a ≤0 时， g ′（ x ）＞ 0， f ′（x ）单调递增，因此 g （ x ） =f ′（x ）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．② 当 a ＞ 0 时，令 g ′（ x ） =0 ，解得 x= ，∵ x ， g ′（ x ）＞ 0，函数 g （ x ）单调递增；时， g ′（ x ）＜ 0，函数 g （ x ）单调递减．∴ x=是函数 g （ x ）的极大值点，则＞ 0，即＞ 0，∴ ln （ 2a ）＜ 0，∴ 0＜ 2a ＜1，即．∵， f ′（ x ） =lnx +1﹣2ax =0， f ′（ x ） =lnx +1﹣ 2ax 2=0．11122且 f （ x 1） =x 1（ lnx 1﹣ ax 1） =x 1（2ax 1﹣ 1﹣ ax 1） =x 1（ ax 1 ﹣1）＜ x 1（﹣ ax 1） =＜ 0，f （x 2） =x 2（ lnx 2﹣ ax 2） =x 2（ ax 2﹣1）＞=﹣ ．（）．故选 D ．点评： 熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．6．（ 2013?辽宁）设函数 f （ x ）满足 x 2f ′（x ） +2xf （ x ） =，f （2） = ，则 x ＞0 时， f （ x ）（）A ．有 极大值，无极小值B ． 有极小值，无极大值C ． 既有极大值又有极小值D ．既 无极大值也无极小值考点 ： 函数在某点取得极值的条件；导数的运算． 专题 ： 压轴题；导数的综合应用．分析： 先利用导数的运算法则，确定 f （x ）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：，解： ∵ 函数 f （ x ）满足∴∴ x ＞ 0 时，dx∴∴令 g （ x ）=，则令 g ′（x ） =0，则 x=2 ， ∴x ∈（ 0， 2）时， g ′（ x ）＜ 0，函数单调递减， x ∈（ 2， +∞）时， g ′（ x ）＞ 0，函数单调递增∴ g （ x ）在 x=2 时取得最小值4∵ f （ 2） =， ∴ g （2） = =0∴ g （ x ） ≥g （ 2） =0∴≥0即 x ＞ 0 时， f （ x ）单调递增∴ f （ x ）既无极大值也无极小值故选 D ．点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．7．（ 2013?安徽）若函数f （ x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点 x 1，x 2，且 f （ x 1）=x 1，则关于 x 的方程 3（ f （ x ））2+2af （ x ） +b=0 的不同实根个数是（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ．6考点 ： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 专题 ： 综合题；压轴题；导数的综合应用．分析： 求导数 f ′（ x ），由题意知 x 1， x 2 是方程 3x 2+2ax+b=0 的两根，从而关于 f （ x ）的方程 3（ f （ x ））2+2af （ x ）+b=0 有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答： 解： f ′（ x ） =3x 2+2ax+b ， x 1， x 2 是方程 3x 2+2ax+b=0 的两根，不妨设 x 2＞x 1，由 3（ f （ x ））2+2af （ x ） +b=0，则有两个 f （ x ）使等式成立， x 1=f （ x 1），x 2＞ x 1=f （ x 1），如下示意图象：如图有三个交点，故选 A ．点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．8．（ 2014?海口二模）设 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且 f （ 2） =0，当 x ＞ 0 时，有恒成立，则不等式 x 2f （ x ）＞ 0 的解集是（ ）A ．（﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣2， 0） ∪ （ 0， 2）C ． （﹣ ∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣ ∞，﹣ 2） ∪ （ 0，2）考点 ： 函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法． 专题 ： 综合题；压轴题．分析：首先根据商函数求导法则，把化为 [ ] ′＜ 0；然后利用导函数的正负性， 可判断函数 y=在（ 0， +∞）内单调递减；再由 f （ 2）=0，易得 f （ x ）在（ 0， +∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得 f （ x ）在（﹣ ∞， 0）内的正负性．则 x 2f （ x ）＞ 0? f （ x ）＞ 0 的解集即可求得．解答：解：因 当 x ＞ 0 ，有 恒成立，即 [ ]′＜0 恒成立，所以在（ 0， +∞）内 减．因 f （ 2） =0， 所以在（ 0， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， +∞）内恒有 f （x ）＜ 0．又因 f （ x ）是定 在R 上的奇函数，所以在（ ∞， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， 0）内恒有f （ x ）＜ 0．又不等式 x 2f （x ）＞ 0 的解集，即不等式 f （ x ）＞ 0 的解集． 所以答案 （ ∞， 2）∪ （ 0，2）．故 D ．点 ：本 主要考 函数求 法 及函数 性与 数的关系，同 考 了奇偶函数的 象特征．9．（ 2014?重 三模） 于三次函数 f （ x ）=ax 3+bx 2+cx+d （ a ≠0）， 出定 ： f ′（x ）是函数 y=f （ x ）的 数， f ″ （ x ）是 f ′（ x ）的 数，若方程 f ′′（x ）=0 有 数解 x 0， 称点（ x 0， f （x 0）） 函数 y=f （ x ）的 “拐点 ”．某同学探究 ：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有 称中心，且“拐点 ”就是 称中心． 函数g （ x ） =， g （ ） +=（） A ．2011B ． 2012C ． 2013D ．2014考点 ： 数的运算；函数的 ；数列的求和． ： ； 数的概念及 用．分析： 正确求出 称中心，利用 称中心的性 即可求出．解答： 解：由 意，′2 ″g （x ） =x x+3 ， ∴ g （ x ） =2x 1，″，解得，令 g （ x ）=0又， ∴ 函数 g （ x ）的 称中心 ．∴，， ⋯∴ g （） +=2012 ．故 B ．点 ：正确求出 称中心并掌握 称中心的性 是解 的关 ．10．（ 2014?上海二模） 已知 f （ x ）=alnx+ 2x 1，x 2，都有x （ a ＞ 0），若 任意两个不等的正 数 ＞ 2 恒成立， a 的取 范 是（ ）A ．（ 0， 1]B ． （ 1， +∞）C ． （0， 1）D ．[1， +∞）考点 ： 数的几何意 ；利用 数研究函数的 性． ： 算 ； ． 分析：先将条件 “ 任意两个不等的正 数x 1，x 2，都有＞ 2 恒成立 ” 成当 x ＞ 0 ，f'（ x ）≥2 恒成立，然后利用参 量分离的方法求出a 的范 即可．解答：解：对任意两个不等的正实数x 1， x 2，都有＞ 2 恒成立则当 x ＞ 0 时， f'（ x ）≥2 恒成立f' （ x ） = +x ≥2 在（ 0， +∞）上恒成立则 a ≥（ 2x ﹣ x 2） max =1 故选 D ．点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．11．（2012?桂林模拟）已知在（﹣ ∞， +∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．（﹣ ∞， 1]B ． [﹣ 1， 4]C ． [﹣ 1，1]D ．（﹣ ∞， 1）考点 ： 利用导数研究函数的单调性． 专题 ： 计算题；压轴题．分析： 要是一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x 小于 0 时，要使的函数是一个减函数，求导以后导函数横小于0，注意两个端点处的大小关系．解答： 解： ∵ 要是一个分段函数在实数上是一个增函数．需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当 x ＜ 0 时， y ′=3x 2﹣（ a ﹣1）＞ 0 恒成立， ∴ a ﹣ 1＜ 3x 2∴ a ﹣ 1≤0∴ a ≤1，当 x=0 时， a 2﹣ 3a ﹣ 4≤0 ∴ ﹣ 1≤a ≤4，综上可知﹣ 1≤a ≤1 故选 C ．点评： 本题考查函数的单调性，分段函数的单调性，解题的关键是在两个函数的分界处，两个函数的大小关系一定要写清楚．12．（ 2012?河北模拟）定义在 [1， +∞）上的函数 f （ x ）满足： ① f （ 2x ） =cf （ x ）（ c 为正常数）；② 当 2≤x ≤4 时，f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3） 2，若函数 f （ x ）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则 c 等于（ ） A ．1 B ． 2 C ． 1 或 2 D ．4 或 2 考点 ： 利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用． 专题 ： 计算题；压轴题．分析： 由已知可得分段函数 f （ x ）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定 的直线斜率相等，可以构造关于c 的方程，解方程可得答案．解答： 解： ∵ 当 2≤x ≤4 时， f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3）2当 1≤x ＜ 2 时， 2≤2x ＜ 4，则 f （ x ） = f （ 2x ） = [1﹣（ 2x ﹣ 3） 2]此时当 x= 时，函数取极大值当 2≤x ≤4 时， f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3） 2此时当 x=3 时，函数取极大值 1当 4＜ x≤8 时， 2＜x≤4则f（ x） =cf （ x） =c （1﹣（ x﹣ 3）2，此时当 x=6 时，函数取极大值 c∵ 函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴解得 c=1 或 2．故选 C点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数 f （ x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．13．（ 2012?桂林模拟）设x ﹣xf ′（ x），且 f′（ x）是奇函数．若曲线y=f （ x）的a∈R，函数 f （ x） =e +a?e 的导函数是一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A ．ln2B ．﹣ ln2 C． D ．考点：简单复合函数的导数．专题：压轴题．分析：已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解答：解：对f（ x） =e x+a?e﹣x求导得 f ′（ x） =e x﹣ ae﹣x又 f′（ x）是奇函数，故f′（ 0） =1﹣ a=0解得 a=1，故有f′（ x） =e x﹣ e﹣x，设切点为（ x0， y0），则，得或（舍去），得 x0=ln2 ．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．14．（ 2012?太原模拟）已知定义在 R 上的函数 y=f（ x﹣ 1）的图象关于点（ 1，0）对称，且 x∈（﹣∞，0）时， f（ x）+xf（′x）＜0 成立，（其中 f（′x）是（f x）的导函数），a=（ 30.3）（f 30.3），b=（ log π3）．（f logπ3），则 a， b， c 的大小关系是（）A ．a＞ b＞ cB ． c＞ b＞a C． c＞ a＞b D ．a＞ c＞ b 考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则．专题 ： 计算题；压轴题．分析： 由 “当 x ∈（﹣ ∞， 0）时不等式 f （ x ）+xf ′（x ）＜ 0成立 ”知 xf （ x ）是减函数，要得到 a ， b ，c 的大小关系，只要比较的大小即可．解答： 解： ∵ 当 x ∈（﹣ ∞， 0）时不等式 f （ x ） +xf ′（x ）＜ 0 成立即：（ xf （ x ）） ′＜ 0，∴ xf （ x ）在 （﹣ ∞， 0）上是减函数．又 ∵ 函数 y=f （ x ﹣ 1）的图象关于点（ 1，0）对称， ∴ 函数 y=f （x ）的图象关于点（ 0， 0）对称，∴ 函数 y=f （x ）是定义在 R 上的奇函数∴ xf （ x ）是定义在 R 上的偶函数∴ xf （ x ）在 （ 0， +∞）上是增函数．又 ∵=﹣ 2，2=．∴＞ 30.3 0.3）＞（ log π π?f （ 3 3）?f （ log 3） 即＞ 30.3 0.3）＞（ log π π?f （ 33） ?f （ log 3） 即： c ＞ a ＞b 故选 C ．点评： 本题考查的考点与方法有： 1）所有的基本函数的奇偶性； 2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想； 3）导数的运算法则： （ uv ）′=u ′v+uv ′； 4）指对数函数的图象； 5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇 函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出 h （x ）是正确解答的关键所在．15．（ 2012?广东模拟）已知 f （ x ）为定义在（﹣ ∞， +∞）上的可导函数，且 f （ x ）＜ f ′（ x ）对于 x ∈R 恒成立，且e 为自然对数的底，则（）A ．f （ 1）＞ e?f （0）， f （ 2012）＞ e2012?f （ 0） B ． f （1）＜ e?f （ 0）， f （ 2012）＞ e 2012?f （ 0）C ． f （ 1）＞ e?f （0）， f （ 2012）＜ e 2012?f （ 0）D ．f （1）＜ e?f （ 0）， f （ 2012）＜ e2012?f （ 0）考点 ： 导数的运算． 专题 ： 计算题；压轴题． 分析：构造函数 y=的导数形式，并判断增减性，从而得到答案．解答：解： ∵ f （ x ）＜ f' （ x ） 从而 f' （ x ）﹣ f （ x ）＞ 0 从而＞ 0即＞ 0，所以函数 y= 单调递增，故当 x ＞ 0 时，=f （ 0），整理得出 f （ x ）＞ e xf （0）当 x=1 时 f （ 1）＞ e?f （ 0），当 x=2012 时 f （ 2012）＞ e 2012?f9点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力．16．（ 2012?无为县模拟）已知定义在R 上的函数 f （ x ）、g （ x ）满足 ，且 f ′（ x ）g （ x ）＜ f （ x ）g ′（x ），，若有穷数列（ n ∈N *）的前 n 项和等于 ，则 n 等于 （）A ．4B ． 5C ． 6D ．7考点 ： 导数的运算；数列的求和． 专题 ： 压轴题．分析： 利用导数研究函数的单调性得到a 的范围，再利用等比数列前 n 项和公式即可得出．解答：解： ∵=′′， f （ x ） g （ x ）＜ f （ x ） g （ x ），∴= ＜0，即函数单调递减， ∴ 0＜a ＜ 1．又，即 ，即 ，解得 a=2（舍去）或 ．∴，即数列 是首项为 ，公比 的等比数列，∴= = ，由解得 n=5 ，故选 B ．点评： 熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n 项和公式是解题的关键．17．（ 2012?福建）函数 （f x ）在[a ，b] 上有定义，若对任意 x 1，x ∈[a ，b]，有2则称 f （ x ）在 [a ， b] 上具有性质 P ．设 f （ x ）在 [1， 3]上具有性质 P ，现给出如下命题： ① f （ x ）在 [1， 3]上的图象是连续不断的；② f （ x 2）在 [1， ] 上具有性质 P ；③ 若 f （ x ）在 x=2 处取得最大值 1，则 f （ x ）=1， x ∈[1， 3] ；④ 对任意 x 1，x 2， x 3， x 4∈[1， 3] ，有[f （ x 1） +f （ x 2） +f （x 3） +f （ x 4）]其中真命题的序号是（ ）A ．① ②B ． ① ③C ． ② ④D ．③ ④考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性． 专题 ： 压轴题；新定义．分析： 根据题设条件，分别举出反例，说明 ① 和② 都是错误的；同时证明 ③ 和④ 是正确的．解答：解：在 ① 中，反例： f （ x ） =在 [1， 3] 上满足性质 P ，但 f （ x ）在 [1， 3] 上不是连续函数，故 ① 不成立；在 ② 中，反例： f （ x ） =﹣ x 在 [1， 3]上满足性质 P ，但 f （x 2） =﹣ x 2在 [1， ] 上不满足性质 P ，故 ②不成立；在 ③ 中：在 [1 ， 3] 上， f （2） =f （） ≤ ，∴，故 f （ x ） =1，∴ 对任意的 x 1， x 2∈[1，3] ， f （ x ） =1， 故 ③ 成立；在 ④ 中，对任意 x 1，x 2， x 3， x 4∈[1 ，3] ，有=≤≤= [f （ x 1） +f （x 2） +f （ x 3） +f （ x 4 ）] ，∴[f （x 1） +f （ x 2） +f （x 3） +f （ x 4） ]，故 ④ 成立． 故选 D ．点评： 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．18．（ 2013?文昌模拟）设动直线 x=m 与函数 f （ x ） =x 3，g （ x ） =lnx 的图象分别交于点 M 、N ，则 |MN| 的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．l n3﹣ 1考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题 ： 计算题；压轴题．分析： 构造函数 F （ x ） =f （ x ）﹣ g （ x ），求出导函数，令导函数大于 0 求出函数的单调递增区间，令导函数小于0 求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．解答： 解：画图可以看到 |MN| 就是两条曲线间的垂直距离．设 F （ x ） =f （x ）﹣ g （x ） =x 3﹣lnx ，求导得： F'（ x ）=．令 F ′（ x ）＞ 0 得 x ＞；令 F ′（ x ）＜ 0 得 0＜ x ＜ ，所以当 x=时， F （x ）有最小值为 F （ ） = + ln3=（ 1+ln3 ），故选 A点评： 求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．19．（ 2011?枣庄二模）设 f ′（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，有下列命题： ① 存在函数 f （ x ），使函数 y=f （ x ）﹣ f ′（ x ）为偶函数；② 存在函数 f （ x ） f ′（ x ） ≠0，使 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象相同； ③ 存在函数 f （ x ） f ′（ x ） ≠0 使得 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象关于 x 轴对称． 其中真命题的个数为（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ．3考点 ： 导数的运算；函数奇偶性的判断． 专题 ： 计算题；压轴题．分析： 对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是x ， f （ x ）=e ﹣ x，从而得到结f （ x ） =0， f （ x ）=e 论．解答： 解：存在函数 f （ x ） =0，使函数 y=f （ x ）﹣ f ′（ x ）=0 为偶函数，故 ① 正确存在函数 f （x ） =e x，使 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象相同，故 ② 正确存在函数 f （x ） =e ﹣x使得 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象关于 x 轴对称，故 ③ 正确． 故选 D ．点评： 本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题．20．（ 2011?武昌区模拟）已知 f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， f （﹣ 4）=﹣ 1， f （ x ）的导函数 f ′（ x ）的图象如图所示．若两正数 a ， b 满足 f （ a+2b ）＜ 1，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ． （﹣ 1， 10）D ．（﹣ ∞，﹣ 1）考点 ： 函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式．专题 ： 计算题；压轴题；数形结合．分析： 先由导函数 f ′（ x ）是过原点的二次函数入手，再结合f （ x ）是定义域为 R 的奇函数求出 f （ x ）；然后根据a 、b 的约束条件画出可行域，最后利用 的几何意义解决问题．解答：解：由 f （ x ）的导函数f ′（ x ）的图象，设 f ′（ x ） =mx 2，则 f （ x ）=+n ．∵ f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， ∴ f （ 0） =0，即 n=0 ．又 f （﹣ 4） = m ×（﹣ 64） =﹣ 1， ∴ f （ x ） = x 3=．且 f （ a+2b ） =＜ 1， ∴＜ 1，即 a+2b ＜4．又 a ＞ 0， b ＞ 0，则画出点（ b ，a ）的可行域如下图所示．12而可视为可行域内的点（b， a）与点 M （﹣ 2，﹣ 2）连线的斜率．又因为 k AM =3，k BM = ，所以＜＜ 3．故选 B ．点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（ a， b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．21．（2011?雅安三模）下列命题中：①函数， f （ x） =sinx+ （ x∈（ 0，π））的最小值是 2 ；② 在△ ABC 中，若 sin2A=sin2B ，则△ ABC 是等腰或直角三角形；③如果正实数a， b， c 满足 a + b＞ c 则+ ＞；④ 如果 y=f （ x）是可导函数，则f′（ x0） =0 是函数 y=f （x）在 x=x 0 处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（）A ．① ②③④B ．① ④C．② ③④ D ．② ③考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用．专题：常规题型；压轴题．分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B ）=0 或 sin（A ﹣B ） =0，推断出 A+B= 或 A=B ，则三角形形状可判断出．构造函数y= ，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．解答：解：① f （ x）=sinx+ ≥2 ，当 sinx= 时取等号，而 sinx 的最大值是 1，故不正确；② ∵ sin2A=sin2B ∴ sin2A ﹣ sin2B=cos（ A+B ） sin（ A ﹣ B） =0∴ cos（ A+B ） =0 或 sin（ A ﹣B ）=0∴ A+B= 或 A=B∴ 三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；③可构造函数 y= ，该函数在（0．+∞）上单调递增， a+b＞ c 则+ ＞，故正确；④ ∵ f（ x）是定义在R 上的可导函数，当 f′（ x0）=0 时， x0 可能 f （ x）极值点，也可能不是 f （x）极值点，当 x0为 f（ x）极值点时， f ′（ x0）=0 一定成立，故 f′（ x0）=0 是 x0为 f （ x）极值点的必要不充分条件，故④ 正确；故选 C．点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．22．（ 2011?万州区一模）已知 f （ x ） =2x的最小值是（ ）A ．﹣ 37B ．﹣ 29考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题 ： 常规题型；压轴题．3﹣ 6x 2 +m （ m 为常数）在 [ ﹣ 2， 2] 上有最大值 3，那么此函数在 [ ﹣ 2， 2]上 C ．﹣5 D ．以 上都不对分析： 先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2， 2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m ，通过比较两个端点﹣2 和 2 的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．2∵ f （ x ）在（﹣ 2， 0）上为增函数，在（ 0， 2）上为减函数， ∴ 当 x=0 时， f （ x ） =m 最大，∴ m=3，从而 f （﹣ 2） =﹣ 37， f （ 2） =﹣5． ∴ 最小值为﹣ 37．故选： A点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值， 求函数在闭区间 [a ，b] 上的最大值与最小值是通过比较函数在（ a ， b ）内所有极值与端点函数 f （ a ）， f （ b ） 比较而得到的，属于基础题．23．（2010?河东区一模）已知定义在 R 上的函数 （fx ）是奇函数，且（f 2）=0，当 x ＞ 0 时有，则不等式 x 2?f （ x ）＞ 0 的解集是（ ）A ．（﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣∞，﹣ 2）∪（ 0，2）C ． （﹣ 2， 0）∪ （ 0， 2）D ．（﹣ 2， 2） ∪ （ 2，+∞）考点 ： 函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质． 专题 ： 计算题；压轴题．分析：首先根据商函数求导法则，把化为 [ ]′＜ 0；然后利用导函数的正负性，可判断函数 y=在（ 0，+∞）内单调递减；再由 f （ 2） =0，易得 f （ x ）在（ 0， +∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得 f （x ）在（﹣ ∞， 0）内的正负性．则x 2f （ x ）＞ 0? f （ x ）＞ 0 的解集即可求得．解答：解：因为当 x ＞ 0 时，有恒成立，即 []′＜ 0 恒成立，所以在（ 0，+∞）内单调递减．因为 f （ 2） =0，所以在（ 0， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， +∞）内恒有 f （x ）＜ 0． 又因为 f （ x ）是定义在 R 上的奇函数，所以在（﹣ ∞，﹣ 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（﹣ 2， 0）内恒有 f （ x ）＜ 0．又不等式 x 2f （x ）＞ 0 的解集，即不等式 f （ x ）＞ 0 的解集． 所以答案为（﹣ ∞，﹣ 2）∪ （ 0，2）． 故选 B ．点评： 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．24．（ 2010?惠州模拟）给出定义：若函数 f （ x ）在 D 上可导，即 f ′（ x ）存在，且导函数 f ′（x ）在 D 上也可导，则称 f （x ）在 D 上存在二阶导函数，记 f ″（ x ） =（ f ′（ x ）） ′，若 f ″（ x ）＜ 0 在 D 上恒成立，则称 f （ x ）在 D 上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A ．f （ x ） =sinx+cosxB ． f （ x ）=lnx ﹣2xC ． f （ x ）=﹣ x 3+2x ﹣ 1﹣D ．f （ x ） =﹣ xex考点 ： 利用导数研究函数的单调性． 专题 ： 压轴题．分析： 对 ABCD 分别求二次导数，逐一排除可得答案．解答：解：对于 f （ x ）=sinx+cosx ，f ′（x ）=cosx ﹣sinx ，f ″（x ）=﹣ sinx ﹣ cosx ，当 x ∈ 时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，排除 A ；对于 f （ x ） =lnx ﹣2x ， f ′（ x ） = ， f ″（x ） =﹣，当 x ∈时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，排除 B ；对于 f （ x ） =﹣x 3+2x ﹣ 1， f ′（x ） =﹣ 3x 2+2， f ″（x ） =﹣ 6x ，当 x ∈时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，排除 C ；故选 D ．点评： 本题主要考查函数的求导公式．属基础题．25．（ 2010?黄冈模拟）已知 f （ x ）为定义在（﹣ ∞， +∞）上的可导函数，且 f （ x ）＜ f ′（ x ）对于 x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （ 2）＞ e 2f （ 0）， f （ 2010）＞ e 2010f （ 0）B ． f （2）＜ e 2f （ 0），f （2010）＞ e 2010f （0）C ． f （ 2）＞ e 2f （ 0）， f （ 2010）＜ e 2010f （ 0）D ．f （2）＜ e 2f （ 0），f （2010）＜ e 2010f （0）考点 ： 利用导数研究函数的单调性．专题 ： 压轴题．分析：先转化为函数 y=的导数形式，再判断增减性，从而得到答案．解答：解： ∵ f （ x ）＜ f' （ x ） 从而 f' （ x ）﹣ f （ x ）＞ 0 从而＞ 0从而＞0 从而函数 y= 单调递增，故 x=2 时函数的值大于 x=0 时函数的值，即所以 f （ 2）＞ e 2f （ 0）．2010同理 f （ 2010）＞ ef （ 0）；点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于0 时原函数单调递减．26．（ 2010?龙岩二模）已知 f （ x ）、 g （ x ）都是定义在 R 上的函数， f ′（ x ）g （ x ） +f （x ） g ′（ x ）＜ 0， f （ x ） g （ x ）=a x， f （ 1）g （ 1） +f （﹣ 1）g （﹣ 1） = ．在区间 [ ﹣3， 0]上随机取一个数 x ， f （ x ） g （ x ）的值介于 4 到 8 之间的A ．B ．C ．D ．考点 ： 利用导数研究函数的单调性；几何概型．专题 ： 计算题；压轴题．分析： 根据函数积的导数公式，可知函数f （ x ）g （ x ）在 R 上是减函数，根据f （ x ）g （ x ） =a x， f （ 1）g （ 1）+f（﹣ 1） g （﹣ 1） = ．我们可以求出函数解析式，从而可求出 f （x ） g （ x ）的值介于 4 到 8 之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得． 解答： 解：由题意， ∵ f' （ x ） g （ x ）+f （x ） g'（ x ）＜ 0，∴ [f （ x ） g （ x ） ]'＜0，∴ 函数 f （ x ）g （ x ）在 R 上是减函数∵ f （ x ） g （x ） =a x，∴ 0＜ a ＜ 1∵ f （ 1） g （1） +f （﹣ 1）g （﹣ 1）= ．∴∴∵ f （ x ） g （x ）的值介于 4 到 8∴ x ∈[﹣ 3，﹣ 2]∴ 在区间 [﹣3， 0] 上随机取一个数 x ，f （x ） g （ x ）的值介于 4 到 8 之间的概率是故选 A ．点评： 本题的考点是利用导数确定函数的单调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解．27．（ 2010?成都一模）已知函数 在区间（ 1， 2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ． （0， 1]D ．考点 ： 利用导数研究函数的单调性． 专题 ： 压轴题．分析： 首先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系求出m 的范围．解答： 解：由题得 f ′（ x ）=x 2﹣ 2mx ﹣3m 2=（ x ﹣ 3m ）（ x+m ），∵ 函数在区间（ 1， 2）内是增函数，∴ f ′（ x ）＞ 0，当 m ≥0 时， 3m ≤1，∴ 0≤m ≤ ，当 m ＜ 0 时，﹣ m ≤1， ∴ ﹣ 1≤m ＜ 0，∴ m ∈[﹣ 1， ] ．故选 D ．点 ：掌握函数的 数与 性的关系．28．（ 2009?安徽） 函数 f （ x ）= x 3+x 2+tan θ，其中 θ∈[0，] ， 数 f （′1）的取 范 是 （）A ．[ 2， 2]B ． [， ]C ． [ ， 2]D ．[ ， 2]考点 ： 数的运算． ： ．分析： 利用基本求 公式先求出f ′（ x ），然后令 x=1 ，求出 f ′（1）的表达式，从而 化 三角函数求 域 ，求解即可．2cos θ?x ，解答： 解： ∵ f ′（ x ） =sin θ?x +∴ f ′（ 1）=sin θ+ cos θ=2sin （ θ+ ）．∵ θ∈[0， ]，∴ θ+ ∈[ ， ] ． ∴ sin （θ+ ） ∈[ ， 1] ． ∴ 2sin （ θ+） ∈[， 2]．故 D ．点 ： 本 合考 了 数的运算和三角函数求 域 ，熟 公式是解 的关 ．29．（ 2009?天津） 函数 f （ x ）在 R 上的 函数f ′（x ），且 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）A ．f （ x ）＞ 0B ． f （ x ）＜ 0C ． f （ x ）＞ xD ．f （ x ）＜ x考点 ： 数的运算． ： ．分析： 于 参数取 ， 些没有固定套路解决的 ，最好的 法就是排除法．解答： 解： ∵ 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2，令 x=0 ， f （x ）＞ 0，故可排除 B ，D ．如果 f （ x ）=x 2+0.1， 已知条件 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2成立，但 f （ x ）＞x 未必成立，所以 C 也是 的，故 A 故 A ．点 ：本 考 了运用 数来解决函数 性的 ．通 分析解析式的特点，考 了分析 和解决 的能力．30．（ 2009? 西） 曲 y=x n+1（n ∈N * ）在点（ 1， 1） 的切 与x 的交点的横坐 x n1 2n的， x ?x ?⋯?x（ ）A ．B ．C ．D ．1考点 ： 利用 数研究曲 上某点切 方程；直 的斜率． ： 算 ； ． 分析：欲判 x 1?x 2?⋯?x n 的 ，只 求出切 与x 的交点的横坐 即可，故先利用 数求出在 x=1 的 函数 ，再 合 数的几何意 即可求出切 的斜率．从而 解决．n+1*n解答：解： y=x （ n ∈N ）求 得 y ′=（ n+1 ）x ，令 x=1 得在点（ 1，1） 的切 的斜率 k=n+1 ，在点（ 1， 1） 的切 方程 y 1=k （ x n 1） =（ n+1）（ x n 1），不妨 y=0，x 1?x 2?x 3⋯?x n = × × ，故 B ．点 ：本小 主要考 直 的斜率、利用 数研究曲 上某点切 方程、数列等基 知 ，考 运算求解能力、化 与 化思想．属于基 ．高中数学导数尖子生辅导（解答题）一．解答 （共30 小 ）21．（ 2014?遵 二模） 函数 f （ x ） =x +aln （ 1+x ）有两个极 点 x 1、x 2，且 x 1＜ x 2，（ Ⅱ ） 明： f （ x 2）＞．考点 ： 利用 数研究函数的极 ；利用 数研究函数的 性；不等式的 明． ： 算 ； 明 ； ．分析： （ 1）先确定函数的定 域然后求 数f （ x ），令g （ x ）=2x 2+2x+a ，由 意知 x 1、 x 2 是方程 g （ x ） =0 的 两个均大于 1 的不相等的 根，建立不等关系解之即可，在函数的定 域内解不等式f （ x ）＞ 0 和 f （ x ）＜ 0，求出 区 ；（ 2）x 2 是方程 g （ x ） =0 的根，将 a 用 x 2 表示，消去 a 得到关于 x 2 的函数，研究函数的 性求出函数的最大 ，即可 得不等式．解答：解：（ I ）令 g （ x ）=2x2，其 称 ．+2x+a由 意知x 1、 x 2 是方程 g （ x ）=0 的两个均大于1 的不相等的 根，其充要条件，得（ 1）当 x ∈（ 1，x 1） ， f'（ x ）＞ 0，∴ f （ x ）在（ 1， x 1）内 增函数； （ 2）当 x ∈（ x 1， x 2） ， f'（x ）＜ 0， ∴f （x ）在（ x 1 ，x 2）内 减函数；（ 3）当 x ∈（ x 2， +∞） ， f' （ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（ x 2， +∞）内 增函数；（ II ）由（ I ） g （ 0） =a ＞ 0， ∴，a= （ 2x222+2x ）222∴ f （ x 2） =x 2 +aln （ 1+x 2） =x2 （ 2x 2+2x 2） ln （1+x 2），h'（ x ） =2x 2（2x+1 ）ln （ 1+x ） 2x= 2（ 2x+1 ） ln （ 1+x ）（ 1）当， h'（x ）＞ 0，∴ h （ x ）在 增；（ 2）当 x ∈（ 0， +∞） ， h'（ x ）＜ 0， h （x ）在（ 0， +∞） 减． ∴故 ．点 ： 本 主要考 了利用 数研究函数的 性，以及利用 数研究函数的极 等有关知 ，属于基 ．2 ﹣x2．（ 2014?武汉模拟）己知函数 f （ x） =x e（Ⅰ）求 f （ x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线 y=f （ x）的切线 l 的斜率为负数时，求l 在 x 轴上截距的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（ x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．2 ﹣ x ﹣x 2 ﹣ x ﹣ x 2解答：解：（Ⅰ）∵ f（ x） =x e ，∴ f′（ x） =2xe ﹣ x e =e （ 2x﹣ x ），令f′（ x）=0 ，解得 x=0 或 x=2 ，令f′（ x）＞ 0，可解得 0＜x＜ 2；令 f′（ x）＜ 0，可解得 x＜ 0 或 x＞ 2，故函数在区间（﹣∞， 0）与（ 2，+∞）上是减函数，在区间（ 0， 2）上是增函数．∴ x=0 是极小值点， x=2 极大值点，又f（ 0） =0， f （ 2）=．故 f（ x）的极小值和极大值分别为0，．（ II ）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令 y=0 ，解得 x==，因为曲线y=f （ x）的切线 l 的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则=．①当 x0＜ 0 时，0，即 f′（ x0）＞ 0，∴ f（ x0）在（﹣∞， 0）上单调递增，∴ f（x0）＜ f（ 0） =0；②当 x0＞ 2 时，令 f′（ x0） =0，解得．当时， f′（ x0）＞ 0，函数 f （ x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（ x0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l 在 x 轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．3．（ 2014?四川模拟）已知函数 f （ x） =lnx+x 2．（ Ⅰ ）若函数 g （ x ） =f （ x ）﹣ ax 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；（ Ⅱ ）在（ Ⅰ ）的条件下，若 a ＞ 1， h （ x ） =e 3x ﹣ 3ae xx ∈[0， ln2] ，求 h （ x ）的极小值；（ Ⅲ ）设 F （ x ）=2f （ x ）﹣ 3x 2﹣kx （ k ∈R ），若函数 F （ x ）存在两个零点 m ，n （ 0＜ m ＜n ），且2x 0=m+n ．问：函数 F （ x ）在点（ x 0 ，F （ x 0））处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．考点 ： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题 ： 计算题；压轴题；导数的概念及应用．分析：（ Ⅰ ）先根据题意写出： g （x ）再求导数， 由题意知， g ′（ x ）≥0，x ∈（ 0，+∞）恒成立， 即由此即可求得实数 a 的取值范围；（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ，利用换元法令t=e x ，则 t ∈[1，2] ，则 h （ t ）=t 3﹣ 3at ，接下来利用导数研究 此函数的单调性，从而得出h （x ）的极小值；（ Ⅲ ）对于能否问题，可先假设能，即设F （x ）在（ x 0，F （ x 0））的切线平行于 x 轴，其中 F （ x ） =2lnx﹣ x 2﹣ kx 结合题意，列出方程组，证得函数在（ 0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．解答：解：（ Ⅰ ） g （ x ） =f （ x ）﹣ ax=lnx+x 2﹣ax ，由题意知， g ′（x ） ≥0，对任意的x ∈（ 0， +∞）恒成立，即又 ∵ x ＞ 0，，当且仅当 时等号成立∴，可得（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，，令 t=e x，则 t ∈[1，2] ，则h （ t ） =t 3﹣3at ，由 h ′（t ）=0，得或（舍去），∵ ， ∴若 ，则 h ′（ t ）＜ 0，h （ t ）单调递减；若 ，则 h ′（ t ）＞ 0， h （ t ）单调递增∴ 当时， h （ t ）取得极小值，极小值为x 轴，其中 F （x ） =2lnx ﹣ x 2﹣kx（ Ⅲ ）设 F （ x ）在（ x 0， F （ x 0））的切线平行于结合题意，有① ﹣ ② 得所以，由 ④ 得所以。
高中数学导数压轴30题
高中数学导数压轴30题(解答题)解答题(共30小题),且XiVx2,1.设函数f (x) =x2+aln (14-x)有两个极值点X］、x2(I )求a的取值范围，并讨论f(X)的单调性；(II)证明：f(X2)>1二24考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明。
专题：计算题；证明题；压轴题。
分析：(1)先确定函数的定义域然后求导数r (x),令g (x) =2x2+2x+a,由题意知X］、X2是方程g (x) =0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f' (x) >。
和？(X)<0,求出单调区间；(2) X2是方程g (x) =0的根，将a用X2表示，消去a得到关于X2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式。
2解答：解：(I)F (x)二2肝胃二2x +2x3缶>7 1+x 1+x令g (x) =2x2+2x+a,其对称轴为肝-工. 2由题意知X1、X2是方程g(X)=0的两个均大于-1的不相等的实根，其充耍条件为得 lg ( -1) =a>0 2(1)当 XC ( - 1, XI)时，f (x) >0,「. f (x)在(-1, X1)内为增函数；(2)当 XC (X1，X2)时，f (x) <0, f (x)在(X1，X2)内为减函数；(3)当 xe(X2，+°°)时，f (x) >0, /. f (x)在(X2，+°°)内为增函数；(II)由(I) g (0) =a>0, -l<X2<0，a=- (2X22+2X2)2f(X2)=X22+aln (1+X2)=X22 - (2X22+2X2)In (1+x?)设h (x) = x2 - (2X2+2X) In (1+x) (x> -，贝ijh' (x) =2x - 2 (2x+l) In (1+x) - 2x= - 2 (2x+l) In (1+x)(1)当xE (-L 0)时,h' (x) >0, /. h (x)在［-工，0)单调递增;2 2(2)当 xC (0, +8)时，h, (x) <0, h (x)在(0, +8)单调递减.「•当正0)时，h 3 >h (-A) 2二:1n2 乙乙"故f (叼)=h(X2)点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题。
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高中数学函数导数压轴小题一、单选题1．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知实数，满足，则的值为（）A．B．C．D．3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．①③B．②④C．①④D．②③4．若，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是A．B．C．D．6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( )A．B．C．D．10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是 ( )A．B．C．D．11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( )A．B．C．D．14．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，，则函数y=f(x)-|sinx|在区间上的零点个数为( )A．4B．6C．7D．815．已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（）A．B．C．D．16．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是A．B．C．D．17．已知函数，对任意的实数，，，关于方程的的解集不可能是（）A．B．C．D．18．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是A．B．C．D．19．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．20．已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则( )A．45B．15C．10D．021．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．22．已知函数，若x＝2 是函数f(x)的唯一的一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)23．设在的导函数为，且当时，有(k为常数)，若，则在区间内，方程的解的个数为（）A．0B．1C．0或1D．424．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．25．已知函数，，若成立，则的最小值是（）A．B．C．D．26．已知函数，则函数的零点的个数为（）A．B．C．D．27．已知函数函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．28．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,729．已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．30．已知，若方程有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．31．函数的定义域为D ，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；；，则等于A ．B ．C ．D ．32．定义在上的偶函数 ，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（ ）A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能 33．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．34．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．35．已知函数，对于任意且.均存在唯一实数，使得，且.若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ( )A．B．C．D．36．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是( )A．∪(5，＋∞)B．∪C．∪(5，7)D．∪[5，7)37．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．38．已知函数，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．39．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（）A．B．C．D．40．已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A．1 B．C．D．041．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．42．若函数恰有一个零点，则实数的值为A．B．2C．D．43．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．44．设函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．45．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．46．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．47．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{a n}满足a1=1且a n=n（a n+1-a n）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（）A．B．C．2D．348．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）A．B．C．D．49．已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足，则（）A．0B．1C．2D．450．已知直线为函数图象的切线，若与函数的图象相切于点，则实数必定满足（）A．B．C．D．51．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．52．已知函数f（x）=，对任意的x1，x2≠±1且x1≠x2，给出下列说法：①若x1+x2=0，则f（x1）-f（x2）=0；②若x1•x2=1，则f（x1）+f（x2）=0；③若1＜x2＜x1，则f（x2）＜f（x1）＜0；④若（）g（x）=f（），且0＜x2＜x1＜1．则g（x1）+g（x2）=g（），其中说法正确的个数为（）A．1B．2C．3D．453．如果函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．54．函数的零点个数为（）A．10B．8C．6D．455．下列命题为真命题的个数是；；；A．1B．2C．3D．456．设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．57．若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．458．已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围是A．B．C．D．59．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．60．设是函数的导函数，若，且，，则下列选项中不一定正确的一项是（）A．B．C．D．61．已知函数f（x）=-x2+x+t（≤x≤3）与g（x）=3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．B．C．D．62．已知函数恰好有两个极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．63．已知函数在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．64．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．65．定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，则下列各式一定成立的是（）A．B．C．D．66．在中,,,,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为A．B．C．D．67．设函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（）A．［ln3－6，0］B．［ln3－6，ln2－2］C．［2ln2－12，0］D．［2ln2－12，ln2－2］68．已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（）A．-1B．C．D．69．设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．70．已知，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．71．设函数.若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．72．设，，，则（）A．B．C．D．73．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )A．B．C．D．74．定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．75．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．76．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．77．已知函数，，若对，均有，则实数a的最小值为A．B．C．1D．e78．若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a的取值范围是A．B．C．D．79．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．80．棱长为4的正方体的顶点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值（）A．B．C．D．81．已知若方程有唯一解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．82．已知定义在上的奇函数满足：当及时，不等式恒成立.若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）A．B．C．D．83．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．84．已知函数，且在上单调递增，且函数与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．85．定义域为的函数,若关于的方程有5个不同的实数解,,,,，则的值为（）A．B．C．D．86．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．87．已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．88．已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A．B．C．D．89．已知，曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的最小值为（）A．0B．C．D．90．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．91．已知函数存在极值点，且，其中，A．3B．2C．1D．092．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．93．已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则（）A．B．C．D．94．已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A．5B．4C．3D．295．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．96．函数的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数的取值范围为（）A．B．C．D．97．设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则a 的取值范围是A．B．C．D．98．已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③．其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个99．已知正数满足，则的最小值是( )A．B．C．D．100．已知，若存在，使，则称函数与互为“度零点函数”。