线代A 模拟卷-简答

线性代数A模拟试卷一参考答案

一、（15分）填空题：

1.设，则

|A|= -9 , A*=,A-1=.

2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T, β=(2,-1,5,0)T,则α与β的内积(α,β)= 0 ,

夹角<α,β>= 90o .

3.设矩阵

，，初等矩阵P满足：AP=B,则P=.

（A的第3列-第1列得B，所以P为E的第3列-第1列所得初等阵）

4. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性相关.

（ch3/Th7/推论2）

5.中的基到基的过渡矩阵

为.

二、（15分）选择题：

1.设3阶行列式

则（ B ）.

（A）；

（B）

（C）.(ch1/行列式性质5)

2.设矩阵A的秩R(A)=r,则（ B ）.

(A)A中只有一个r阶子式不为零，其余的r阶子式全为零；

(B) A中存在一个r阶子式不为零，所有的r+1阶子式（若有）全为零；

(C) A中所有的r阶子式均不为零，而高阶子式全为零.

3. 设线性方程组

有唯一解，则（ C ）.

(A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2.

4.设向量组α1,α2,…，αs线性相关，则（ C ）.

(A) α1一定可由α2,α3,…，αs线性表示；

(B) α1一定不可由α2,α3,…，αs线性表示；

(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.

5.n阶方阵A与对角阵相似，则（ C ）.

(A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n个线性无关的特征向量.

三、（14分）设n维向量αT=(1/2,0,…,0,1/2),又A=E-ααT, B=E+2ααT,其中E 为n阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.

解：AB=（ E-ααT）（E+2ααT）= E-ααT+2ααT-2ααTααT

= E+ααT -2α（αTα）αT

αTα=

∴AB= E+ααT -ααT=E.

A-1=B=

=

B -1= A =

=.

四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(2,3,4,5)T, α3=(3,4,5,6)T, α4= (4,5,6,7)T,求由该向量组生成的向量空间L=L（α1, α2, α3, α4）的维数及一组基，并求其余向量在这组基下的坐标.

解：A=【α1, α2, α3, α4】

，dimL=R（A）=2，α1, α2为L的一组基，

∵α3= -α1+2α2,α4= -2α1+3α2.

∴α3在这组基下的坐标为-1，2；α4在这组基下的坐标为-2，3.

五、（14分）λ为何值时,下列线性方程组有唯一解?无解？无穷多解？若有无穷多解,求出全部解.

解：

= -（λ-1）2（λ-10）.

1）当且，|A|0，方程组有唯一解

2）当λ=1，增广阵B=， x1=1-2x2+2x3，令，得通解=.

3）当λ=10，增广阵B=，.

R（A）=2，R（B）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

六、（18分）设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3.

1.写出f的矩阵；

2.求A的特征值与特征向量；

3.用正交变换X=QY将f化为标准形，并写出正交矩阵Q.

解：1. f的矩阵A=.

2.|λE-A|==（λ-1）（λ-2）（λ-5）=0.

得A的特征值1，2，5.

对λ=1，λE-A=，，基础解系，属于1的全部特征向量为c1，c1为任意非零常数；

对λ=2，λE-A=，，x1是自由未知量，基础解系，属于2的全部特征向量为c2，c2为任意非零常数；

对λ=5，λE-A=，，基础解系，属于5的全部特征向量为c3，c3为任意非零常数。

3. 是A的两两正交的特征向量，将其单位化，得A的两两正交的单位特征向量：，

Q=【q1 q2 q3】=为正交阵，且Q T AQ ==Λ.

作正交变换X=QY，则f=X T AX= （QY）T A（QY）=YQ T AQY= Y TΛY=y12+2y22+5y32

七、（8分）证明：若为A正交矩阵，则A的伴随矩阵A*也为正交矩阵.证：A*=|A|A-1，（A*）T A*=（|A|A-1）T|A|A-1=|A|2E=E.所以A*也为正交矩阵.

线性代数A模拟试卷2参考答案

一、（15分）填空题：

1.在4阶行列式det[aij]中，含有因子a11a32的项有：-a11a32a23a44，a11a32 a43a24.

2. 矩阵的秩= 2 .

3.设A，B,C为可逆矩阵，分块矩阵

, 则.

4. 用矩阵形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,

f= X T AX ，其中X=，.

5.R4的子空间V={(x1,x2,x3,x4)T|x1+x2+x3+x4=0}的维数= 3 ,

一组基为 .

二、（15分）选择题：

1.设α=(1,2,3)T, β=(1,1/2,1/3)T,A=αβT,则A10=（ B ）.

（A）310; (B) ；（C）.

.2.设线性方程组有无穷多组解，则（ A ）.

(A)a=b≠0;(B) a≠0且a≠b;(C)a=b=0.

. 向量组α1,α2,…，αs线性无关的充要条件为（ C ）.

(A) α1不能由α2,α3,…，αs线性表示；(B)α1,α2,…，αs的秩小于s；

(C) α1,α2,…，αs的秩等于s.

4.设为正交矩阵，则（ B ）.

（A)a=b=(B) a=b=(C) a=b=0.

5.设3阶方阵A与对角阵

相似，则（ B ）.

(A)A-1有特征值1，2，-3；(B) A+E有特征值2,3,-2；(C) A2有特征向量1,2,-3

三、（18分）设矩阵

，,试求1.|A|;2.A-1;3.|A4|.

解: 1.|A|=.

2. ,

∴A-1=.

3.|A4|=|A|4=16.

四、（16分）求齐次线性方程组

的通解.

解：.

令，则=.

五、（16分）设向量组设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(-1,1,-1,0)T, α3= (2,-1,3,1)T, α4=(0,3,2,4)T,求该向量组生成的子空间L=L(α1,α2,α3,α4)的维数dim L及L的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标.

解：A=【α1, α2, α3, α4】

dim L=3，α1, α2,α3为L的一组基,，α4=α1+α2，即α4在这组基下的坐标为1，1，0.

六、（20分）设对称矩阵A=

1.求A的特征值与特征向量；

2.求一个正交矩阵Q和对角阵Λ,使得Q-

1AQ=Λ.

解：1. |λE-A|==（λ-2）（λ-3）（λ+1）=0.

得A的特征值2，3,-1.

对λ=2，λE-A=，，x1是自由未知量，基础解系，属于2的全部特征向量为c1，c1为任意非零常数；

对λ=3，λE-A=，，基础解系，属于3的全部特征向量为c2，c2为任意非零常数；

对λ=-1，λE-A=，，基础解系，属于-1的全部特征向量为c3，c3为任意非零常数。

2. 是A的两两正交的特征向量，将其单位化，得A的两两正交的单位特征向量：，

Q=【q1 q2 q3】=为正交阵，且Q-1AQ ==Λ.

线性代数A模拟试卷3参考答案

模拟试卷三

一、（15分）填空题：

1.设n阶方阵A的行列式|A|=2,则A的伴随阵的行列式|A*|= 2n-1 .

2.设矩阵

矩阵X满足： AX=B,则X=A-1B=.

3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T为线性方程组

的两个解向量，则方程的通解为 ξ1+c(ξ1-ξ2) .

（方程解不唯一，故系数行列式|A|=0，R（A）=2，AX=0基础解系有n-R（A）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T为基础解系）

4. 向量组α1=(1,2,-3)T, α2=(-2,1, 0)T, α3=(0,5,-6)T,线性相关.

5. 设n阶方阵A与B相似，A有特征值1，2，-3,则B-1+E有特征值 2,3/2,2/3 .

二、（15分）多项选择题：

1.设A,B均为n阶可逆方阵,则（ A, C ）.

(A)齐次线性方程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A-1+B-1;

(C) A的特征值全不为零.

2.设A,B均为n(n≠1)阶矩阵则（ B ）.

(A)(AB)T=A T B T;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.

3.设 λ为n阶可逆矩阵A的特征值，则（ A,B,C ）.

(A)1/λ为A-1的特征值；(B) λ2为A2的特征值；

(C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x) 为x的多项式.

4.n阶行列式

的值为（ B ,C ）.

(A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n+nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1.

5.设α1=(1,-2,5)T, α2=(-2,4,-10)T,则（ A, C ）.

(A)(α1,α2)= -60；(B) α1与α2正交；(C) α1,α2线性相关.

三、（10分）求非齐次线性方程组

的通解.

解：

.

令，则=.

四、（10分）求向量组α1=(1,1,2,3)T, α2=(1,-1, 1,1)T, α3=(1,3,3,5)T, α4= (4,4,8,12)T,的秩及一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合.

解：【α1, α2, α3, α4】

秩为2，α1, α2,为一个最大无关组，α3=2α1-α2. α4=4α1

五、（15分）问a,b为何值时，线性方程组

有唯一解？有无穷多组解？无解？

解1：

1）当且，|A|0，方程组有唯一解

2）当a=1，增广阵B=，

∴当a=1且b≠1/2，R（A）=2，R（B）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

∴当a=1且b=1/2，R（A）=2=R（B），有无穷多组解.

通解为=.

3）当b=0，增广阵B=，.

R（A）=2，R（B）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

解2：

增广阵B=

1）当且，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解

2）当a=1，且b≠1/2，R（A）=2，R（B）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

∴当a=1且b=1/2，R（A）=2=R（B），有无穷多组解.

通解为=.

3）当b=0，R（A）=2，R（B）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

六、（20分）设二次型f=x12-2x22+x32+4x2x3,

1.写出二次型f的矩阵A;求A的特征值与全部特征向量； 3.用正交变换将f化为标准型.

解：1. 二次型f的矩阵A=

2. |λE-A|==（λ-1）（λ-2）（λ+3）=0.

得A的特征值1，2，-3.

对λ=1，λE-A=，，x3是自由未知量，基础解系，属于1的全部特征向量为c1，c1为任意非零常数；

对λ=2，λE-A=，，基础解系，属于2的全部特征向量为c2，c2为任意非零常数；

对λ=-3，λE-A=，，基础解系，属于-1的全部特征向量为c3，c3为任意非零常数。

3. 是A的两两正交的特征向量，将其单位化，得A的两两正交的单位特

征向量：，

Q=【q1 q2 q3】=为正交阵，且Q-1AQ = Q T AQ ==Λ.

作正交变换X=QY,则f=X T AX= （QY）T A（QY）=YQ T AQY= Y TΛY=y12+2y22-3y32.

七、证明题：

1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.

2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性无关，又β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，

βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性无关 .

1. 证：A,B为n阶正交矩阵，∴A-1=A T，B -1=B T，

∴（ A-1B）T A-1B= B T（A-1）T A-1B= B-1AA-1B= B-1B=E. ∴A-1B也是正交矩阵.

2.证：设-------(1)

即 ,

整理得

因为线性无关,所以 (2) ,

系数行列式D=,齐次方程(2)只有唯一的零解:x

=x2=…=x s=0. 所

1

以向量组线性无关.