计算机算法第四章作业

• 前k-1个时间片上安排的都是I∩J中的作业，这些作业的集A1 再添上作业 a 得到 J 中k个作业。由作业集的相容性， A1中至少 有一个作业其期限值≥k。将这个作业与作业b交换安排的时间 片，得到新的调度表S1。如果在调度表S1中作业 b 安排在时间 片 k1，且k1>fa , 则同理，可以将作业 b 再向前移，得到新的调 度表S2。如此做下去，必得到 I 的调度表S′，其在时刻 fa 前的时 间片安排有 I\J 中作业 b 。令 I′=(I\{b})∪{a}，则 I′ 也是相容的 作业集。而且，由于pb≤pa， I′ 的效益总值不小于 I 的效益总 值，因而 I′ 具有最大的效益总值，但| I′ ∩J|>|I∩J|，与 I 的选取 相悖。因而，I=J，J 是最优解。 证毕
GreedyJob获得最优解
• 假设贪心算法所选择的作业集J不是最优解，则一定有相容作 业集I，其产生更大的效益值。假定I是具有最大效益值的相容作 业集中使得|I∩J|最大者，往证 I=J。 • 反证法：若I=J 不成立，则这两个作业集合之间没有包含关 系。这是因为算法GreedyJob的特性和假定I 产生的效益值比J的 效益值更大。假设a是J\I中具有最大效益的作业，即J中比a具有 更大效益的作业(如果有的话)都应该在 I 中。如果作业 b∈I\J 且 pb>pa，那么由算法中对J中作业的选取办法（相容性要求），J中 至少有 fb个效益值≥pb的作业，其期限值≤ fb。这些作业一定在 I 中，因而 I 中至少有fb+1个作业，其期限值≤ fb ，这与 I 的相容性 矛盾。所以，I\J中事件的效益值均不超过pa。 • 称区间[k-1,k]为时间片k，相容作业集 I 的一个调度表就是指定 I 中各个作业的加工时间片。如果 I 有一个调度表 S 将时刻 fa前 的时间片均安排给I∩J中的作业，且I\J中最早被安排的是作业b， 在时间片k上，则k>fa。
时间复杂度
• 算法GreedyJob的关键操作是比较和相应移动作业的位置，都是 围绕着判断作业集J ∪ {i}的相容性。考察J 外的作业 i 该加入 J 时，作业 i 至多和 J 中的每个作业都比较一次。因而，J ∪ {i}的 相容性判断最坏情况下需要|J|次比较。上述算法在最坏情况下的 时间复杂度为 O(n 2 ) 。 • 例子 设n=7, (p1, p2,… , pn)=(35,30,25,20,15,10,5), (d1, d2,… ,dn)=(4,2,4,3,4,8,3), • 算法GreedyJob的执行过程。 d1 ； d2, d1；d2, d1， d3；d2, d4, d1， d3； d2, d4, d1，d3, d6； 4； 2， 4； 2，4, 4； 2， 3, 4, 4； 2， 3, 4, 4， 8；
单机作业调度问题的贪心算法
proc GreedyJob(D,J,n,k) • //D(1),…,D(n)是期限值，作业已按p1 ≥ p2 ≥ … ≥ pn排序。J(i)是最 • //优解中的第i个作业。终止时，D(J(i))≤ D(J(i+1))，1≤i≤k • integer D[0..n],J[0..n],i,k,n,r • D(0):=0; J(0):=0; //初始化 • k:=1; J(1):=1; //计入作业1，k 表示当前选择的作业个数 • for i from 2 to n do • //按p的非增次序考虑作业，找i的位置，并检查插入的可能性 • r:= k; • while D(J(r))>D(i) and D(J(r))< > r do • r:= r-1; • end{while}; //期限不晚于D(i)的作业个数小于D(i)时 • if D(J(r)) ≤ D(i) and D(i) > r then • for j from k to r+1 by –1 do //给作业i腾出位置 • J(j+1):=J(j); • end{for}; • J(r+1):=i; k:=k+1; • end{if}; • end{for}; end{GreedyJob}
例子
• 为避免调度表调整，将算法GreedyJob稍做改进：在每次 选择作业时，在调度表中尽量地向后分配时间片，这样好 为后面的作业安排留下更多的空间。 • 1，[3,4]; 1,2,[3,4],[1,2]; 1,2,3,[3,4],[1,2],[2,3]; • 1,2,3,4,[3,4],[1,2],[2,3],[0,1]; • 1,2,3,4,6,[3,4], [1,2],[2,3],[0,1],[7,8]. • 根据该思路可构造时间复杂度近为O(n⋅β(2n,n))的算法，这 里，β(2n,n)是Ackermann函数的逆函数 。
调度问题
• 活动安排问题 • 已知n个活动 E={1, 2, … ,n}，要求使用同一 资源，第k个活动要求的 开始和结束时间为sk, fk, 其中sk <fk,k=1, 2, … , n . • 活动k与活动j称为相 容的如果sk >fj或者 sj >fk。活动安排问题就 是要在所给的活动集合 中选出最大(活动个数最 多)的相容活动子集。 proc GreedyAction(s, f，n) //s[1..n]、f[1..n]分别代表n项活动 //的起始时间和结束时间, 并且满 //足f[1]≤ f[2]≤…≤ f[n] j:=1; solution:={1}; //解向量初始化 for i from 2 to n do if si≥fj then // 将j加入解中 solution:=solution ∪ {i}; j:=i; end{if} end{for} return(solution); end{GreedyAction}
第四章 贪心算法
算法基本思想 调度问题 最小生成树问题 单点源最小路径问题 Huffman编码
贪心算法的基本思想
• 找零钱：给孩子找回87分硬币，现有硬币规格50分、10分、 5分、2分、1分。 50+3*10+5+2＝87 一般方法：尽量找面值大的硬币。 • 装箱问题：有物品n件，重量分别是 w1,…,wn ; 有箱子m个： B1,…，Bm，每个的容量都是C(C≥wi)。设计装箱方法，使得 所用箱子最少。 1. NF(Next Fit)方法：前面的箱子不能再装了，才开始装下一 个箱子。 2. FF(First Fit)方法：每个物品都选择装进第一个可装的箱子 • 贪心算法的基本思想： 在每一步决策中总是作出在当前看来是最好的选择 • 贪心准则，局部最优。
这样取的向量是 pi zi = ∑ pi yi + ( zk − yk )wk pk / wk − ∑ ( yi − zi )wi pi / wi ∑ k +1≤i ≤n 1≤i ≤n 1≤i ≤n 可行解，而且， ⎛ ⎞ ≥ ∑ pi yi + ⎜ ( zk − yk )wk − ∑ ( yi − zi )wi ⎟ pk / wk 总价值为： k +1≤i ≤n 1≤i ≤n ⎝ ⎠ 与 x相同分量的个数增1
Greedy Knapsack获得最优解
反证法：设Greedy Knapsack给出的解 x = ( x1 , x2 , L , xn ) 不是最优 解，根据算法可设 x1 = L = x j −1 = 1, 0 ≤ x j < 1, x j +1 = L = xn = 0， ∑ wi xi = M xk 则必 设 y = ( y1 , y 2 ,L, yn ) 是最优解，且 y1 = x1 ,L , yk −1 = xk −1 , yk ≠， 然 yk < xk 。因为，当 k ≥ j 时，若 xk < yk，则 y 不是可行解：
i i
y1 = x1 ,L , yk −1 = xk −1 , yk < xk 及
∑wy
=M
∑w y
i
n
i
≥ wk ( x k − y k ) > 0
0 ≤ z k +1 ≤ y k +1 , L ,0 ≤ z n ≤ y n
k +1≤ i ≤ n
∑ wi ( yi − zi ) = wk ( zk − yk )
=
1≤i ≤n
∑ py
i i
贪心算法抽象控制流程
proc Greedy(A, n) // A[1:n]代表输入 • solution={}; //解初始化为空集 • for i to n do • x:=Select(A); • if Feasible(solution, x) then • solution:=Union(solution, x); • end{if} • end{for} • return(solution); end{Greedy} • Select(A)是按照贪心 准则选取A中的输入 项； • Feasible(solution, x)是 判断已知的解的部分 solution与新选取的x 的结合是否是可行 解。 • Union(solution, x)x与 已经选到的部分 solution结合成解的更 大部分
背包问题
背包容量为M ，物品件数 n。重量wi , 价值pi 变量 xi , 0≤xi≤1 数学模型 max∑pixi s.t. ∑wixi ≤M 贪心准则： 1. 价值大的物品优先装包； 2. 重量轻的物品优先装包； 3. 单位价值大的物品优先装包。 • 例子 n=3, M=20, p=(25, 24, 15), w=(18,15,10) • 结论：以“单位价值最大的物品优先装包”为贪心准则的贪 心算法获得的效益值最大。 • • • • • •
∑w y + w y
i =1 i i k
k −1
k
+
i = k +1
∑ w y > ∑w x + w x = ∑w x
i i i =1 i i