北师大二附文科学霸高中数学笔记_圆锥曲线与方程_2015高考状元笔记
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程笔记新人教B版选修
方案(2) :尝试将两个根号分开即移项 先变成 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 再平方（可消去很多项，简单了很多）
方案(2): 考虑两个根号下代数式的相似性
碰到这么有规律的代 数式一定要好好研究， 总结一下，积累下来！
玩转 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
回顾：求曲线方程的步骤
步骤一：建立直角坐标系； 步骤二：设动点坐标； 步骤三：限制条件，列方程； 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程。
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2-c2=b2 (a>b>0)
点 焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在相应变量所对应的那个轴上
随堂练习1
下列方程哪些表示的是椭圆,如果是, 判断它的焦点在哪个坐标轴上？
椭圆及其标准方程
一:认识椭圆
一:认识椭圆
生活中 的椭圆
二:尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
取一条定长的细绳; (1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同
一点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖 在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一 个圆。 (3)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固 定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子 拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出 的轨迹是什么曲线？
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程(二)北师大版选修
化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a).
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点 B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程. 解 如图，设C(x，y)， 则A→C＝(x＋1，y)，B→C＝(x－1，y). ∵∠C 为直角，∴A→C⊥B→C，即A→C·B→C＝0. ∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1. ∵A、B、C三点要构成三角形， ∴A、B、C三点不共线，∴y≠0. ∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0).
知识点三 求曲线的方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用 有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的 坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)} ； (3)用 坐标 表示条件p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 .
易错警示
解析答案
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1.已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，B( 3，0)，顶点 C 的 轨迹是( B ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 解析 注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉.
解析答案
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2.到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( D ) A.x2＝－4y＋4 B.y2＝－4x＋4 C.x2＝－8y＋8 D.y2＝－8x＋8 解析 由已知得 x＋12＋y2＝|x－3|， 变形为：y2＝－8x＋8，故选D.
第三章 §4 曲线与方程
4.1 曲线与方程(二)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学圆锥曲线方程知识点总结-推荐下载
A.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： a b ；
B.等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： y x ；（2）渐近线互相垂直。
C.注意到等轴双曲线的特征 a b ，则等轴双曲线可以设为： x 2 y 2 ( 0)
0 时交点在 x 轴，当 0 时焦点在 y 轴上。
⑴①双曲线标准方程： x 2 y 2 1(a, b 0), y 2 x 2 1(a, b 0) .
a2 b2
a2 b2
一般方程： Ax 2 Cy 2 1( AC 0) .
⑵①i. 焦点在 x 轴上： 顶点： (a,0), (a,0) 焦点： (c,0), (c,0)
a b
cos sin
（一象限 应是属于 0
2
）.
PF1 a ex0 , PF 2 a ex0
ii.设
P(
x
0
,
y
0
)
为椭圆
x2 b2
y2 a2
1(a b 0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则
PF1 a ey0, PF 2
④焦距： F 1F 2 2c, c a 2 b 2 .
⑤准线： x a 2 或 y a 2 .
c
c
1两个方程中都有 a b 0 的条件，要分清焦点的位置，只要看
1
的参数方程为
x
y
⑥离心率： e c (0 e 1) .【∵ a c 0 ，∴ 0 e 1，且 e 越接近1， c 就越接近 a ，从而 b 就
a2 b2
a
x 2 y 2 t(t 是大于 0 的参数， a b 0) 的离心率也是 e c
高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2）的点的轨迹叫椭圆。
（1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222b a by a x =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx a y =+.B.2和2y⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0((0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：,(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑨焦点三角形的面积：若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）。
若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b 。
（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比为常数e（01e <<）的点的轨迹叫做椭圆。
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点北师大版选修
将上式两边平方，化简得x22＋y2＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F( 3，0)的距离和它到定直线 l：x＝233
的距离的比是常数 26，求曲线方程.
解
设
d
是点
M
到直线
l
的距离，根据题意，曲线上的点
M
满足：|MdF|＝
6 2.
由此得，
x－ 32＋y2
2
3
3－x
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
解析答案
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1.直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 有两个不同的交点，则 m 的范围是( D )
A.－5＜m＜5
B.m＜－ 5，或 m＞ 5
C.m＜ 5
D.－ 5＜m＜ 5
解析 将 y＝x＋m 代入x42＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
解析答案
(3)求过点 P12，12且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解 由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2xy00＝－12，故其方程为 y－12＝－12x－21， 即2x＋4y－3＝0. 反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然 后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关 系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题： (1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹； (3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末归纳总结课件 北师大版选修2-1
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数 的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线方 程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解 决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解 决．
专题研究
1 定义、最值问题
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之 和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [解析] (1)如图，抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
∵点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F(1,0)的距离， ∴点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和 转化为在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 点 F 的距离之和最小．
ac22－－b3b2ac2＝1，整理得89e2＝1，
所以
e2＝98，e＝3
4
2 .
设 a>Байду номын сангаас，则双曲线ax22－a＋y212＝1 的离心率 e 的取值范围是
() A．( 2，2)
B．( 2， 5)
C．(2,5) [答案] B
高考数学文北师大一轮复习第十二圆锥曲线与方程第一节
12(k2＋1)(3k2＋1－m2) 3(k2＋1)(9k2＋1)
＝
(3k2＋1)2
＝ (3k2＋1)2 ＝
12k2 3＋9k4＋6k2＋1＝3
12
12
＋9k2＋k12＋6(k≠0)≤3＋2×3＋6＝4.
当且仅当 9k2＝k12，即 k＝± 33时等号成立．当 k＝0 时，
|AB|＝ 3，
综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积取
A．椭圆
B．直线
C．圆 D．线段
【解析】 动点M到两定点F1、F2的距离为常数4，由于这个常 数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.
【答案】 D
2．已知椭圆 C 的短轴长为 6，离心率为45，则椭圆 C 的焦点 F 到 长轴的一个端点的距离为( )
A．9 B．1 C．1 或 9 D．以上都不对
大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构 成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角
形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
1．已知F1、F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝ 4，则动点M的轨迹是( )
1
33
最大值，S＝2×|AB|max× 2 ＝ 2 .
一般地，在涉及直线与曲线交点的问题时，先设出交点的坐 标，再由方程组转化的一元二次方程中，利用根与系数的关系转化 为待求的系数方程，像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“ 设而不求”．
2．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)相交于 A、B 两点．
高中数学圆锥曲线和导数知识点总结精品文档9页
圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθ ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：12222=+b y a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =22bx a y -,对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．弦长AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222 b a bx a y b a b y a x =-=-.参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB=⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-= 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p 2. 抛物线上任意一条弦的弦长为 (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222p x x p k+=+②|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()p p x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑤1|F A |＋1|FB |＝2p. 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.导数的基础知识一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质笔记北师大版选修
由已知 a＝2b.
①
又过点(2，－6)，因此有
2a22＋－b62 2＝1 或－a262＋2b22＝1.
②
由①、②，得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13.
故所求的方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32 ＝1.
• 待定系数法．
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用
• (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定 参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐 标轴；③写出标准方程．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，且椭圆过点(－2，－4)． 解析： (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a＝3，e＝ 36， 所以 c＝ 6，从而 b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x92＋ y32＝1；
A1
y B1(0,b)
o
B2(0,-b)
A2 x
一个定 框义，四个点|，M注F1意|+|光MF滑2|和=2圆a (扁2a，>|莫F1F忘2|对) 称要体现
y
图形
方程 范围
y M
F1
M
F1
O
F2
x
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为8 3 3，4，
焦点坐标为 F10，－2 3 3，F20，2 3 3，
顶点坐标为
A1
0，－4
3
3
，
A2
0，4