指数、对数比较大小练习题

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指数与对数运算练习题

指数与对数运算练习题指数与对数运算练题1.用根式的形式表示下列各式(a>0)：1) a^(1/2)2) a^(1/3)3) a^(1/4)4) a^22.用分数指数幂的形式表示下列各式：1) x^(y/3)2) (1/5)^(-3/4)3) (3ab^2)^24) 3a^45) a^33.求下列各式的值：1) 8^(1/3) = 22) 100^(1/2) = 103) (8/14)^(-3/4) = 98/274) (27/64)^(1/3) = 3/45) [(-2)^2] = 46) [(1-3/2)^2] = 1/47) 64^(1/2) = 8选择题：1.以下四式中正确的是（B）log2^1=12.下列各式值为的是（D）-53.log2^1/5^11/24的值是（A）-114.若m=lg5-lg2，则10m的值是（A）55.设N=11+log2^1/5^3，则（A）N=26.在b=loga-2(5-a)中，实数a的范围是（C）2<a<3或3<a<57.若log4[log3(log2x)]=1/2，则x^(1/2)等于（B）1/2填空题：10.用对数形式表示下列各式中的x：10x=25：x=log10(25)/log10(10)=2/1=22x=12：x=log2(12)/log2(2)=4/1=44x=16：x=log4(16)/log4(4)=2/1=211.lg1++=lg(1+1)=lg212.Log15(5)=1/m。

则log15(3)=log3(15)/log3(5)=1/(m*log3(5))13.lg2^2-lg4+1+|lg5-1|=2-2+1+|1-1|=114.(1) log3(2)=log6(3)/log6(2)2) (log6(3))^2+1-a=log6(12/a)log12(3)=log6(3)/log6(12)=log6(3)/[log6(2)+log6(6)]=log3(2 )/(1+1/2)=2log3(2)/3=2log12(3)/(log12(2)+log12(6))6、计算题1.2lg6-2lg5+lg2=lg(6^2/5)+lg2=lg(72/5)2.2lg5+lg2·lg50=2lg5+lg(2·5^2)=2lg5+lg50=lg(5^2·50)=lg12 503.2log3(2)-log3(32)+log3(8)-3log5(5)=2log3(2)-(log3(2^5)-log3(2^2))+log3(2^3)-(log5(5^3))=2log3(2)-log3(2^3)+log3(2^3)-3=2log3(2)-34.lg5·lg20-lg2·lg50-lg25=lg(5·20/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(50/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(1/2)-2lg(5)=log2-2log515.根据换底公式，log5(12)=log2(12)/log2(5)=log2(2^2·3)/log2(5)=2log2(2/5)+log2(3/5)19.根据3a=2，可得a=log2(8/9)，代入log3(8)-2log3(6)中，得log3(8)-2log3(6)=log3(2^3)-2log3(2^2·3)=3log3(2)-2log3(2)-2log3(3)=log3(2)-2log3(3)16.根据对数的定义，可得a^m=2，a^n=3，代入a^(2m+n)中，得a^(2m+n)=a^(2loga(2)+loga(3))=a^loga(2^2·3)=621.lg25+lg2lg50+(lg2)^2=2+2lg5+4=6+2lg517.⑴2log2(8)=log2(8^2)=log2(64)=6⑵3log3(9)=log3(9^3)=log3(729)=6⑶2^18=18.⑴lg10-5=1-5=-4⑵⑶log2(8)=3提升题4.化简1）a·a·a/3= a^3/32）a·a/a= a3）3a·(-a)/9= -a^2/34) ba·a^2/a^21= b/a^195）log1(81)/log1(8/27)= log8/27(81)= log3(3^4)= 4log3(3)= 45.计算⑴ 325-125/45= 200/45= 40/9⑵ 23·31.5·612= 23·63·12=⑶ (-1)-4·(-2)^-3+(-9)·2-2·2^-2= -1-1/8-18+1/2= -1453/8⑷ 7/10+0.1-2+π= 37/10+π-1.9⑸ 41/24-32/27= 41/24-32/27·8/8= (41·27-32·24)/648= 5/726.解方程1）x-1/2=1/3，x=5/62）2x^4-1=15，2x^4=16，x^4=8，x=23) (0.5)1-3x=4，(0.5)^1=0.5，0.5·2^-6x=4，2^-7x=8，-7x=log2(8)=-3，x=3/77.解题1）a+a^-1=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=72）a+a^2=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=7，两边加1得a^2+a^-2+1=8，即(a+a^-1)^2=8，所以a+a^-1=±2√2，因为a+a^-1=3，所以a+a^-1=2√23）1-2x>0，所以x<1/24）33a-2b=3^3a^3·2^-2b=27/48.lg25+lg2·lg25+lg22=2+2lg5+1=3+2lg51.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/42.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)3.若XXX(x-y)+XXX(x+2y)=lg2+lgx+lgy，求的值．4.已知log2 3 =a，log3 7 =b，用a，b表示log42 56.5.计算，（1）51-log0.2 3xy；（2）log4 3·log9 2-log1 432；（3）(log2 5+log4 125)2·log3 21.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/4.将log2 111分解为log2 3和log3 37的和，将log5 2589分解为log5 3和log5 863的和，然后应用对数乘法和对数减法规则，得出结果为log2 3+log3 37+log3-log5-log5 3-log5 863-3/4.2.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)。

高考指数对数运算比较大小专练

姓名1 .三个数a二60.7函数专练得分A. b V c V aB.2 .三个数a二60.7A. b V c V aB.3.已知 a = log! 6 , b2A. b V c V aB.4 .已知a 二0.3 1、12A. a b c66,b =0.76,c二60的大小顺序是（C. c V a V bD.c二log6,7的大小顺序是1og10.1 ,20.32,C. c V a V bD.c 二1og]0.9，则(2c C. c V a V b D.C =log 1 2 ,则a,b,c的大小关系是25. a = log°.34,b= log^cJ.S2则（A. a c : bB. c b a c. D.6 .设a=lgeb=(lge)2,cTg7e 贝VA. a b cB. c. cab D.7 .三个数0.76,607,0.67的大小关系为A 6 7 ^0.7. 0.7 <0.6 <6 B. 6 ^0.7 70.7 <6 £0.6C. 0.67<60.7<0.76D. 0.67 ::：0.76：：60.78.已知二032C = log1 2，则a,b,c的大小关系是2A.9 .设 a 二log i 3 ,2 ⑴。

.3<3丿 c Tn「，则（A. a b cB. a c bC. c a bD. b a cA . a b cBC . a c b DA. a b cB. b c aC. c b aD. a c b12.函数y = eln>1—x —1的图像大致是（）14.已知a 是实数，贝V 函数f(x) =1 asi nax 的图象不可能是 (♦ ♦ ♦10 .设 a = log 12 ,c=( 3)2，则a,b,c的大小关系是(3511 .设 a=（3）5，b 5 2”（5）5 则a,b,c 的大小关系是 2(x-b)的图像可能是(15.设f (x)是函数f(x)的导函数，将y 二f(x)和y = f (X )的图象画在同一个16.函数y“og 2 口的图象(2 +x(A )关于原点对称 (C )关于y 轴对称17.函数f(X)=1 |og 2X 与g(x)才在同一直角坐标系下的图像大致y 」ky 」1二・O■ =xO ■ xA .B .直角坐标系中，不可能正确的是ACD (B )关于直线y 「-x 对称 (D )关于直线y 二x 对称18.函数y =―： 19. 函数f (x)二 20. 若 f (x ) = loj21.函数f(x)二22. 函数f (x)二 23. 已知函数- 于设f (x)=彳 24. 12的定义域是—x — x1H 1g(1x)的定义域是,则f (x )的定义域为x + 1)1— + J 4 - X 2的定义域为ln(x 1)1 - 2log 6 X 的定义域为f(x)= F ，x >0，若 f(a) + f(1) = 0,则实数 a 的值等l x + 1, x < 0.1gx, x 〉0 mrf 1gx ,x ，0，则 Mg25. 设函数f(x) = ]—x x 乞 02，_,若 f(a)=4，则实数 a =x , x > 026. 已知函数f(x )」2, x > 2，若关于x 的方程f (皆k 有两个不〔(x — 1 f , x v 2.同的实根，则实数k 的取值范围是27.曲线y = e x在点A(0,1)处的切线斜率为 28.曲线 y=-x 3 + 3x 2在点(1,2)处的切线方程为_____________________ .29. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________________________30. 曲线y=x3在点(1,)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为________ .30. 函数f(x)= “ x—cosx在［0 , )内有 __________ 个零点.31. 方程|x| = cosx在(— 3,+^ )内由_____________________ 个根.32. 求下列函数的导数.2 2(1)f(x)=sinx (2)f(x)=sinx (3)f(x)=cosx (4) f (x) = cos(x - x)(5) f (x) = In x (6) f (x) = ln(x22x) (7) f (x)二丄x (8)f(x)二ln xx(9) f(x) =e2x 2x(10)f (x) =e - ln(2x 4) 2 x(11) f (x) = (-x ax)e33.已知函数f(x)=x_2lnx求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;。

指数对数运算练习题道附答案

每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖指数对数运算练习题1．已知，b＝0.32，0.20.3c =，则a，b，c 三者的大小关系是()A．b>c>aB．b>a>cC．a>b>cD．c>b>a2．已知432a =，254b =，1325c =，则（A）b a c <<（B）a b c <<（C）b c a<<（D）c a b<<3．三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是()A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<4．已知4log ,4.0,22.022.0===c b a ，则（）A．c b a >>B．a c b>>C．c a b>>D．b c a>>5．设 1.1 3.13log 7,2,0.8ab c ===则（）A.c a b <<B.ba c << C.ab c << D.bc a <<6．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（）A．b c a <<B．c b a <<C．ca b <<D．ac b <<7．已知 1.22a =，0.80.5b =，2log 3c =，则（）A．a b c>>B．c b a <<C．c a b>>D．a c b>>8．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a >>9．已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a10．设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（）（A）a b c ＜＜（B） a c b ＜＜（C）b a c ＜＜（D）b c a＜＜试卷第2页，总8页11．设a＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭0.5，b＝43⎛⎫ ⎪⎝⎭0.4，c＝log 34(log 34)，则()A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<bD．a<c<b12．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>13．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c a b>>14．设0.5342log log 2a b c π-===，，，则（）A.b a c>> B. b c a >> C.a b c >> D.a c b>>15．设0.90.48 1.512314,8,(2y y y -===，则（）A．312y y y >>B．213y y y >>C．132y y y >>D．123y y y >>16．设12log 5a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（）A ．a b c<>B.c a b >>C.a c b>> D.c b a>>18．已知0.5log sin a x =，0.5log cos b x =，0.5log sin cos c x x =，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c>> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>19．设0.50.82x =,2log y =sin1z =，则x 、y 、z 的大小关系为（）A.x y z<< B.y z x<< C.z x y<< D.z y x<<每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖20．若21log 0,(12ba <> ，则（）A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<< 21．已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.1143ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.11a b> C.()ln 0a b -> D.31a b-<22．计算（1）（2）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+23．计算：1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;②2lg 5lg 4ln ++.24．化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)131.5-×76⎛⎫-⎪⎝⎭0＋80.25)6；211113322－－－（）(3)41332233814a a bb a⎛÷⨯⎝－－＋25．（12分）化简或求值:（1）110232418(22(2)()5427--+⨯-；（2）2lg5+试卷第4页，总8页每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖26．（12分）化简、求值：（1）220.53327492()()(0.008)8925---+⨯；（2）计算2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 36lg 0.0122⋅+--27．（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）2203227()(1()38-+-；（2）5log 33332log 2log 32log 85-+-试卷第6页，总8页28．计算：(1)0021)51(1212)4(2---+-+-；(2)3log 5.222ln 001.0lg 25.6log +++e 29．（本题满分12分）计算以下式子的值：1421(0.252--+⨯；（2）7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++．30．计算（1）7log 203log lg 25lg 47(9.8)+++-（2）32310641(833()1(416-+--π-每天一刻钟，数学点点通郭大侠的数学江湖31．计算：()10012cos3022π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．32．（本题满分12分）计算(1)5log 923215log 32log (log 8)2+-(2)())121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．（1）化简：1222232()()()a b ab a b ---⋅÷；.34．计算：（1）2482(2013)ππ---⨯--（26cos 45-o试卷第8页，总8页35．（1）计算3log 238616132(log 4)(log 27)log 82log 3--+.（2）若1122x x-+=，求1223x x x x --++-的值.36．求值：(122316ln 4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭37．（1）求值：（2）已知31=+x x 求221xx +的值38．计算：（1）943232053312332278-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）23log 32lg 222lg 52lg ++-39．下列四个命题：①11(0,),()()23xxx ∃∈+∞>；②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2xx x ∀∈+∞>；④1311(0,),(log 32xx x ∀∈<．其中正确命题的序号是．40．(23227log 28-⎛⎫--- ⎪⎝⎭=_____________________________参考答案1．A【来源】2013-2014学年福建省三明一中高二下学期期中考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知0.3xy =是单调递减的所以0.50.20.30.3<即a<c<1;2xy =是单调增的，所以0.30221y =>=，即可知A 正确考点：指数函数比较大小.2．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A．【考点】幂函数的性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．3．D【来源】2013-2014学年广西桂林十八中高二下学期开学考理科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：0.70661>=,6000.70.71<<=,0.70.7log 6log 10<=,所以60.70.7log 600.716<<<<.考点：用指数,对数函数特殊值比较大小.4．A ．【来源】2014届安徽“江淮十校”协作体高三上学期第一次联考理数学卷（带解析）【解析】试题分析：因为0,10,1<<<>c b a ，所以c b a >>，故选A．考点：利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较数式的大小．5．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析）【解析】试题分析：由题意，因为3log 7a=，则12a <<； 1.12b =，则2b >； 3.10.8c =，则00.81c <=，所以c a b<<考点：1.指数、对数的运算性质.6．C【来源】2014-2015学年山东省德州市重点中学高一上学期期中考试数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵200.31a <=<，22b log 0.3log 10=<=，0.30221c =>=，∴c a b <<考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算.7．D【来源】2014届河北省唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵ 1.222a =>，0.800.51<<，21log 32<<，∴a c b >>.考点：利用函数图象及性质比较大小.8．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷带解析）【解析】试题分析：因为132(0,1)a -=∈，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，故c a b >>.考点：指数函数和对数函数的图象和性质．9．A【来源】2014届浙江省嘉兴市高三上学期9月月考文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：由指数函数和对数函数的图像和性质知0a >，0b <，0c <，又对数函数()0.2log f x x =在()0,+∞上是单调递减的，所以0.20.2log 3log 4>，所以a b c >>.考点：指数函数的值域；对数函数的单调性及应用.10．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析）【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.11．C【来源】2014届上海交大附中高三数学理总复习二基本初等函数等练习卷（带解析）【解析】由题意得0<a<1，b>1，而log 34>1，c＝log 34(log 34)，得c<0，故c<a<b.12．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析）【解析】试题分析：1032122110221,log 0,log log 31,33ab c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C.考点：1.指数对数化简；2.不等式大小比较.13．A.【来源】2015届湖南省益阳市箴言中学高三第一次模拟考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵33log 4log 31a =>=，01(15b ==，11331log 10log 13c =<=，∴a b c >>.考点：指对数的性质.14．A【来源】2015届河南省八校高三上学期第一次联考文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：∵0.53422，，a b log c log π-===，0.52112＞-，341122＞，＝log log π．∴＞＞b a c ．故选：A．考点：不等式比较大小．15．C【来源】2012-2013学年广东省执信中学高一下学期期中数学试题（带解析）【解析】试题分析：根据题意，结合指数函数的性质，当底数大于1，函数递增，那么可知0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.5123142,82,()22y y y -======，结合指数幂的运算性质可知，有132y y y >>，选C.考点：指数函数的值域点评：解决的关键是以0和1为界来比较大小，属于基础题。

指数对数比较大小练习题

指数、对数比较大小1．下图是指数函数 1 x y a =, 2 x y b =, 3 x y c =, 4 x y d =的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是A ．1a b c d <<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d <<<<D ．1a b d c <<<<2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 取4313,,,3510四个值,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为A ．101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,343．已知()log a f x x =,()log b g x x =,()log c r x x =,()log d h x x =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A ．c d a b << C ．(1)log (1)0a a -+>D ．(1)log (1)0a a +-< 5．若log 2log 20n m >>时,则m 与n 的关系是 A ．1m n >>B ．1n m >>C ．10m n >>>D ．10n m >>> 6．已知log 5log 50m n <<,则m ,n 满足的条件是 A ．1m n >>B ．1n m >>C ．01n m <<<D ．01m n <<<7．设5.1348.029.0121,8,4-⎪⎭⎫⎝⎛===y y y ,则A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 8．以下四个数中的最大者是 A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2 9．若a =2log π,b =7log 6,c =2log 0.8,则 A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a 10．设323log ,log 3,log 2a b c π===,则y x1O (4)(3)(2)(1)A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>11．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ,则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．设232555322555a b c ===（）,（），（）,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>13．设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则 A ．R Q P <>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>15．已知函数()lg f x x =,0<a ,则 A ．1ab >B ．1ab <C ．1ab =D ．(1)(1)0a b --> 16．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是 A ．a b c <b>c B ．c<b<a C ．c<a<b D ．b<a<c“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==,∴11222(31)]1---+==．又∵011<<,∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<,即2132(31)-+<．评注：在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a 的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =,则这两个函数的图象关系如图．当x a =,且0a >时,0.80.7a a >；当x a =,且0a <时,0.80.7a a <；当0x a ==时,0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确． 3．媒介法例3 比较124.1-,345.6,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小．解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭,∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭．评注：当底数与指数都不相同时,选取适当的“媒介”数通常以“0”或“1”为媒介 ,分别与要比较的数比较,从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４比较a b a b 与b a a b 0a b >> 的大小．解：∵a b a ba ba b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又∵0a b >>,∴1ab>,0a b ->． ∴1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1a bb a a b a b>．∴a b b a a b a b >．评注：当底数与指数都不同,中间量又不好找时,可采用作商比较法,即对两值作商,根据其值与1的大小关系,从而确定所比值的大小．当然一般情况下,这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>,0a >,且1a ≠,试比较m m a a -+与n n a a -+的大小．解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．1 当1a >时,∵0m n ->,∴10m n a -->．又∵1n a >,1m a -<,从而0n m a a -->．∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+． 2 当01a <<时,∵1m n a -<,即10m n a --<．又∵0m n >>,∴1n a <,1m a ->,故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述,m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法,即对两值作差,看其值是正还是负,从而确定所比值的大小． 6．分类讨论法例6 比较221xa +与22xa + 0a >,且1a ≠ 的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系,又要讨论底数a 与１的大小关系．解：１令22212x x +>+,得1x >,或1x <-． ①当1a >时,由22212x x +>+, 从而有22212x x aa++>；②当01a <<时,22212xxa a ++<．2 令22212x x +=+,得1x =±,22212xxa a ++=．3 令22212x x +<+,得11x -<<． ①当1a >时,由22212x x +<+, 从而有22212xxa a ++<；②当01a <<时,22212xxa a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法,运用分类讨论法时,首先要确定分类的标准,涉及到指数函数问题时,通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。

指数对数计算题100道(含答案)

指数对数计算题100道（含答案）1．0.×﹣+log3649+log89•log964．2．（1）（式中字母均为正数）；（2）．3．（1）；（2）（2log43+log83）（log32+log92）．4．（Ⅰ）（式中字母均为正数）；（Ⅱ）log225×log34×log59．5．（Ⅰ）；（Ⅱ）log3．6．（1）log3（9×27）；（2）；（3）lg25+lg4；（4）．7．（1）；（2）．8．（1）；（2）．9．（1）log3﹣log32•log23﹣+lg+lg；（2）（lg2）2+lg20•lg5+log92•log43．10（Ⅰ）（lg2）2+lg5•lg20﹣1（Ⅱ）（×）6+（2）﹣4×（）﹣×80.25﹣（2019）0 11．求值：（1）；（2）log25．12．（1）．（2）．13．（1）；（2）．14．（1）．（2）．15．（Ⅰ）（a＞0，b＞0）；（Ⅱ）．16．（1）；（2）．17．（1）；（2）log3+lg25+lg4++log23•log94．18．（1）；（2）．19．（Ⅰ）log525+lg；（Ⅱ）．20．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．21．（1）0.﹣（﹣）0++0.；（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32．22．（1）；（2）．23．计算的值．24．（1）4；（2）lg．25．（1）（2）+（2）﹣3π0+（2）．26．求值：（1）（2）．27．（1）（2）．28．（1）（2.25）﹣（﹣9.6）0﹣（）+（1.5）﹣2；（2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32．29．解方程：log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6）30．（1）已知4x+x﹣1＝6，求的值；（2）若log32＝m，log53＝n，用m，n表示log415．31．求值：（1），（2）．32．（1）；（2）．33．（1）；（2）．34．（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75；（2）2log32﹣log3+log38﹣5．35．（1）；（2）．36．（Ⅰ）；（Ⅱ）．37．（1）；（2）．38．（1）lg25+lg32+lg5•lg20+（lg2）2；（2）．39．（1）；（2）．40．（1）；（2）+lg2+lg5．41．（1）（a＞0，b＞0）；（2）．42．（Ⅰ）；（Ⅱ）．43．（1）4+（）﹣（﹣1）0+；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38．44．且a≠1）；（2）（a≠0）．45．（1）；（2）（log37+log73）2﹣．46．log49•log38+lne2+lg0.01．47．（1）；（2）．48．（1）；（2）．49．（1）（）×（﹣）0+9×﹣；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4．50．计算下列各题：（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）求（2log43+log83）（log32+log92）的值．51．（1）化简（结果用有理数指数幂表示）：；（2）已知log53＝a，试用a表示log459；（3）若，则实数M．52．（Ⅰ）设函数f（x）＝，计算f（f（﹣4））的值；（Ⅱ）log525+lg；（Ⅲ）．指数对数计算题100道参考答案与试题解析一．试题（共52小题）1．0.×﹣+log3649+log89•log964．【解】0.×﹣+log3649+log89•log964＝＝2×8﹣16+6×（﹣2）＝﹣10．2．（1）（式中字母均为正数）；（2）．【解】（1）＝＝＝1；（2）＝log535﹣1+log550﹣log514＝log5﹣1＝3﹣1＝2．3．（1）；（2）（2log43+log83）（log32+log92）．【解】（1）＝﹣1+﹣＝0.1﹣1+8﹣9＝﹣1.9；（2）（2log43+log83）（log32+log92）＝（2×•log23+log23）（log32+log32）＝××log23×log32＝2．4．（Ⅰ）（式中字母均为正数）；（Ⅱ）log225×log34×log59．【解】（Ⅰ）（式中字母均为正数）＝﹣6＝﹣6a；（Ⅱ）log225×log34×log59＝××＝8．5．（Ⅰ）；（Ⅱ）log3．【解】（Ⅰ）＝（）﹣1﹣（）+64＝﹣1﹣+16＝16；（Ⅱ）log3＝+lg1000+2＝．6．（1）log3（9×27）；（2）；（3）lg25+lg4；（4）．【解】（1）；（2）；（3）lg25+lg4＝lg100＝2；（4）．7．（1）；（2）．【解】（1）原式＝﹣1++e﹣＝+e．（2）原式＝+4﹣2log23×log32＝＝＝1+2＝3．8．：（1）；（2）．【解】（1）＝1+＝19．（2）＝＝2+＝．9．（1）log3﹣log32•log23﹣+lg+lg；（2）（lg2）2+lg20•lg5+log92•log43．【解】（1）原式＝．（2）＝＝．10．（Ⅰ）（lg2）2+lg5•lg20﹣1（Ⅱ）（×）6+（2）﹣4×（）﹣×80.25﹣（2019）0【解】（Ⅰ）原式＝（lg2）2+lg5•（lg5+2lg2）﹣1＝（lg2）2+（lg5）2+2lg5lg2﹣1＝（lg2+lg5）2﹣1＝0，（Ⅱ）原式＝2×3+﹣4×﹣×﹣1＝4×27+4﹣7﹣2﹣1＝102．11．求值：（1）；（2）log25．【解】（1）＝＝；（2）＝；12．（1）．（2）．【解】（1）原式＝﹣1﹣+16＝16．（2）原式＝+2+2＝．13．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝＝（2）原式＝＝＝14．（1）．（2）．【解】（1）原式＝＝4；（2）原式＝＝＝＝．15．（Ⅰ）（a＞0，b＞0）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝＝＝（Ⅱ）原式＝＝＝1 16．（1）；（2）．【解】（1）由题知a﹣1＞0即a＞1，所以＝a﹣1+|1﹣a|+1﹣a＝a﹣1；（2）＝lg（5×102）+lg8﹣lg5﹣lg+50[lg（2×5）]2＝lg5+2+lg8﹣lg5﹣lg8+50＝52．17．（1）；（2）log3+lg25+lg4++log23•log94．【解】（1）原式＝﹣72+﹣+1＝﹣49+64+＝15+4＝19．（2）原式＝+lg（25×4）+2+＝﹣+2+2+1＝．18．（1）；（2）．【解】（1）＝＝＝2•3＝6；（2）．＝＝2（lg5+lg2）+lg5•lg2+（lg2）2+lg5＝2+lg2•（lg5+lg2）+lg5＝2+1＝3．19．（Ⅰ）log525+lg；（Ⅱ）．【解】解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）＝＝0．20．计算．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．【解】（1）＝4＝4a．（2）（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．21．（1）0.﹣（﹣）0++0.；（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32．【解】（1）0.﹣（﹣）0++0.＝﹣1++＝2.5﹣1+8+0.5＝10（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32＝lg5+lg2+﹣2（log23×log32）＝1+﹣2＝﹣22．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝100；（2）原式＝﹣3＝log39﹣3＝﹣1．23．计算的值．【解】＝＝2+2﹣lg3+lg6﹣lg2+2＝6．24．（1）4；（2）lg．【解】（1）＝＝＝11﹣π；（2）＝＝＝＝．25．（1）（2）+（2）﹣3π0+（2）．【解】（1）原式＝+﹣3+＝+﹣3+＝3﹣3＝0．（2）原式＝﹣3+log24+＝﹣3+2+＝﹣1+2＝1．26．求值：（1）（2）．【解】（1）原式＝﹣1++＝﹣1++＝．（2）原式＝+3+﹣＝2+3+1﹣＝．27．（1）（2）．【解】（1）原式＝﹣++1＝﹣64++1＝﹣．（2）原式＝•＝×log55＝．28．（1）（2.25）﹣（﹣9.6）0﹣（）+（1.5）﹣2；（2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32．【解】（1）原式＝﹣1﹣+＝﹣1﹣+＝；（2）原式＝lg5+lg2﹣lg﹣2log23×log32＝1+﹣2＝﹣．29．解方程：log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6）【解】∵log3（x+14）+log3（x+2）＝log38（x+6），∴log3[（x+14）（x+2）]＝log38（x+6），∴，解得x＝2．30．（1）已知4x+x﹣1＝6，求的值；（2）若log32＝m，log53＝n，用m，n表示log415．【解】（1）显然x＞0，令，则已知a2+b2＝6，ab＝2，∴，∴，（2）∵，∴．31．求值：（1），（2）．【解】（1）＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．（2）＝log66+lg10﹣3+e ln8＝1﹣3+8＝6．32．（1）；（2）．【解】（1）原式＝1+×+（﹣1）＝+1，（2）原式＝log327+（lg25+lg4）﹣2＝+2﹣2＝．33．（1）；（2）．【解】（1）＝＝﹣5．（2）＝．34．（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75；（2）2log32﹣log3+log38﹣5．【解】（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3]+16﹣0.75＝（0.43）﹣1+（﹣2）﹣4+（24）＝0.4﹣1﹣1++2﹣3＝﹣1++＝．（2）2log32﹣log3+log38﹣5＝＝＝﹣1．35．（1）；（2）．【解】（1）原式＝＝．（2）原式＝＝．36．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝＝16+1﹣1﹣1＝15．（Ⅱ）原式＝＝＝＝625．37．计算下列各式的值；（1）；（2）．【解】（1）原式＝﹣+1﹣5＝﹣2+1﹣5＝﹣．（2）原式＝﹣log33+4lg2+lg5﹣lg8+e ln8＝﹣+3lg2+（lg2+lg5）﹣3lg2+8＝﹣+1+8＝．38．（1）lg25+lg32+lg5•lg20+（lg2）2；（2）．【解】（1）原式＝2lg5+lg2+lg5•（lg2+lg10）+（lg2）2＝2（lg2+lg5）+lg5•lg2+lg5+（lg2）2＝2+lg2•（lg2+lg5）+lg5＝2+lg2+lg5＝2+1＝3；（2）原式＝﹣﹣2×1÷＝﹣﹣＝0．39．（1）；（2）．【解】（1）原式＝．（2）原式＝．40．（1）；（2）+lg2+lg5．【解】（1）原式＝﹣+×＝﹣+25×＝﹣+2＝．（2）原式＝3+1﹣2+（lg2+lg5）＝3+1﹣2+1＝3．41．（1）（a＞0，b＞0）；（2）．【解】（1）原式＝；（2）原式＝＝．42．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解】（Ⅰ）原式＝．（Ⅱ）原式＝．43．（1）4+（）﹣（﹣1）0+；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38．【解】（1）4+（）﹣（﹣1）0+＝+﹣1﹣3＝﹣；（2）log9+lg25+lg2﹣log49×log38＝4+lg5+lg2﹣log23×log38＝4+1﹣3＝2．44．且a≠1）；（2）（a≠0）．【解】且a≠1）＝+＝（a x﹣1）＝a x﹣1；（2）（a≠0）＝＝＝﹣1．45．求值：（1）；（2）（log37+log73）2﹣．【解】（1）原式＝．（2）原式＝．46．log49•log38+lne2+lg0.01．【解】原式＝＝3+2+（﹣2）+5×3＝18．47．计算（1）；（2）．【解】（1）原式＝2lg2﹣（lg2﹣lg5）﹣﹣＝lg2+lg5﹣﹣＝1﹣＝；（2）原式＝3+1﹣2+1＝3．48．（1）；（2）．【解】（1）；（2）．49．（1）（）×（﹣）0+9×﹣；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4．【解】（1）（）×（﹣）0+9×﹣＝（）×1+×﹣（）＝×＝3；（2）log3+lg25﹣3log334+lg4＝log3+lg25﹣12+lg4＝﹣+2﹣12＝﹣10．50．（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）求（2log43+log83）（log32+log92）的值．【解】（Ⅰ）∵，∴a＝，b＝，∴＝＝＝＝＝2．（Ⅱ）原式＝（log23）（log32）＝＝2．51．幂、指数、对数的运算（在划线处直接填写结果）（1）化简（结果用有理数指数幂表示）：；（2）已知log53＝a，试用a表示log459；（3）若，则实数M．【解】（1）原式＝2×（﹣6）÷4××＝（﹣3）××b﹣1＝﹣3b﹣1，（2）根据题意，log53＝a，则log459＝＝＝＝；（3）若，则M＝＝＝．52．（Ⅰ）设函数f（x）＝，计算f（f（﹣4））的值；（Ⅱ）log525+lg；（Ⅲ）．【解】（Ⅰ）因为﹣4＜0，所以f（﹣4）＝﹣4+6＝2＞0所以，．（Ⅱ）＝（每一项（1分）结论1分）（Ⅲ）＝＝。

指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9 指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一直接法比较大小命题点1 利用函数的性质例1 设a ＝2343⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3443⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >b >a D ．b >c >a答案 C解析因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x是增函数，所以2343⎛⎫⎪⎝⎭<3443⎛⎫⎪⎝⎭，即a b >a . 命题点2 找中间值例2 (2023·上饶模拟)已知a ＝log 53，b ＝122，c ＝7－0.5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案 C解析因为1＝log 55>log 53>log 55＝log 5125＝12，即12<a <1，b ＝122>20＝1,7－0.5＝1217⎛⎫⎪⎝⎭<1214⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12，即0<c <12，所以b >a >c .命题点3 特殊值法例3 已知a >b >1,0<c <12，则下列结论正确的是( )A ．a c b c ，故A 错误；ab c＝4×142＝942，ba c＝2×144＝322，∴ab c >ba c ，故B 错误；log a c ＝log 414＝－1，log b c ＝log 214＝－2，a log b c ＝－8，b log a c ＝－2，∴a log b c log b c ，故C 正确，D 错误．思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1＝log 22<log 23<log 24＝2，进而可估计log 23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1 (1)已知a ＝0.60.6，b ＝lg 0.6，c ＝1.60.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析因为y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b ＝lg 0.6<lg 1＝0，所以c >a >b .(2)已知a ＝43，b ＝log 34，c ＝3－0.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a >c >b答案 A解析因为a ＝43＝log 3433，43(3)＝34＝81>43＝64，且函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，所以log 3433>log 34，即a >b .又因为b ＝log 34>log 33＝1，c ＝3－0.1<30＝1，即b >c ，所以a >b >c .题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4 (1)已知a ＝1414⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1515⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝14log 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a 14log 14＝1，a ＝1414⎛⎫⎪⎝⎭＝152014⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12011024⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝142015⨯⎛⎫⎪⎝⎭＝1201625⎛⎫⎪⎝⎭，因为y ＝120x 在(0，＋∞)上单调递增，且11 024<1625，所以a <b ，又1201625⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫16250＝1，即b <1，所以a <b <c .(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <cB ．b <a <c答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85. ∵55<84，134<85， ∴5log 85<4，4<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a答案 B解析 c ＝930＝360，a ＝2100⇒lg a ＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，b ＝365⇒lg b ＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，c ＝930⇒lg c ＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b >lg a >lg c ，即b >a >c .(2)(2022·汝州模拟)已知a ＝log 63，b ＝log 84，c ＝log 105，则( ) A ．b <a <cB ．c 1log 28>1log 210，所以a <b <c .题型三构造函数比较大小例5 (1)已知a ＝2(2－ln 2)e 2，b ＝ln 22，c ＝1e ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴f (x )max ＝f (e)＝ln ee＝c ， ∴a <c ，b <c ，又b ＝ln 22＝2ln 24＝ln 44＝f (4)，∵4>e 22，∴f (4)<f ⎝⎛⎭⎫e 22，∴b <a ， ∴b <a <c .(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a ＝0.1e 0.1，b ＝19，c ＝－ln 0.9，则( )A ．a 0，v (x )>0，w (x )>0. ①设f (x )＝ln[u (x )]－ln[v (x )] ＝ln x ＋x －[ln x －ln(1－x )] ＝x ＋ln(1－x )(0<x ≤0.1)，则f ′(x )＝1－11－x ＝xx －1<0在(0,0.1]上恒成立，所以f (x )在(0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)<f (0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u (0.1)]－ln[v (0.1)]<0，所以ln[u (0.1)]<ln[v (0.1)]．又函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以u (0.1)<v (0.1)，即0.1e 0.1<19，所以a 0在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.综上，c<a<b，故选C.思维升华某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．跟踪训练3(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为() A．b>c>a B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析令f(x)＝(14－x)ln x，则f′(x)＝－ln x＋14x－1.因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝14x－1在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－ln x＋14x－1在(0，＋∞)上单调递减．而f′(5)＝－ln 5＋145－1>0，f′(6)＝－ln 6＋146－1<0，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减．所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln 6>7ln 7>6ln 8，故68>77>86.故a>b>c.(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－27，b＝4 1.1－4，c＝2ln 1.1，则() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 B解析∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(27)2＝28>33，∴e1.3<27，∴a<0；b－c＝4 1.1－4－2ln 1.1＝2(2 1.1－2－ln 1.1)，令f(x)＝2x－2－ln x，∴f′(x)＝1x－1x＝x－1x，∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(1.1)>0，即2 1.1－2－ln 1.1>0，∴c<b，又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，∴a<c<b.课时精练1．设a＝3434-⎛⎫⎪⎝⎭，b＝⎝⎛⎭⎫432，c＝log232，则a，b，c的大小关系是()A．b<a<c B．c<a1，且3443⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫432＝b ，又c ＝log 232<log 22＝1.故c <a <b .2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a log 34＝2log 32＝b ，a －c ＝log 23＋log 32－2>2log 23×log 32－2＝2－2＝0，所以a >c ，所以b <c <a .4．(2023·潍坊模拟)若3x ＝4y ＝10，z ＝log x y ，则( ) A ．x >y >z B ．y >x >z C ．z >x >y D ．x >z >y 答案 A解析因为3x ＝4y ＝10，所以x ＝log 310>log 39＝2；1＝log 44<y ＝log 410<log 416＝2，则1<y <2，所以x >y >1，而z ＝log x y <log x x ＝1，所以x >y >z .5．设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z >1，则x 2，y 3，z5的大小关系是( )A.z 5<y 3<x 2B.x 2<y 3<z 5C.y 3<x 2<z 5D.x 2＝y 3＝z 5答案 B解析由x ，y ，z 为正实数，设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k >1，可得x ＝2k >2，y ＝3k >3，z ＝5k >5.∴x 2＝2k －1>1，y 3＝3k －1>1，z5＝5k －1>1，令f (x )＝x k －1，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f (3)<f (5)，即x 2<y 3<z 5. 6．(2023·茂名模拟)已知a ＝sin 2，b ＝ln 2，c ＝132-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c sin 2π3＝32>34，344(e )＝e 3>24⇒34e >2⇒34ln e ＝34>ln 2，即b <34，∴a >b ；∵133(2)-＝12＝3264，⎝⎛⎭⎫343＝2764，∴132->34， ∴c >b ；∵⎝⎛⎭⎫326＝2764，163(2)-＝14＝1664，∴32>132-，7．设a ＝910，b ＝9sin 110，c ＝53，则( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c 0时，f (x )<f (0)＝0，即sin x <x ，所以b ＝9sin 110<9×110＝910<1，又a ＝910>91＝1，c ＝53>51＝1，且a 45＝105，c 45＝39＝3×94<105，所以b <c <a .8．已知a ＝5ln 4π，b ＝4ln 5π，c ＝5ln π4，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．c πln 55，∴5ln 4π>4ln 5π，∴a >b ，同理可得ln ππ>ln 44，∴4ln π>πln 4，∴π4>4π，∴5ln π4>5ln 4π，9．(2022·赣州模拟)已知e a ＝9.111.1，e b ＝10.110.1，e c ＝11.19.1，则( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析由题意a ＝11.1ln 9.1，b ＝10.1ln 10.1，c ＝9.1ln 11.1，令f (x )＝(10.1＋x )ln(10.1－x )，则f ′(x )＝ln(10.1－x )＋x ＋10.1x －10.1＝ln(10.1－x )＋1＋20.2x －10.1，所以f ′(x )在[－1,1]上单调递减，又f ′(1)＝ln 9.1＋1－20.29.1＝ln 9.1－11.19.1>0，所以f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立，所以f (x )在[－1,1]上单调递增，所以f (1)>f (0)>f (－1)，即a >b >c .10．(2022·全国甲卷)已知a ＝3132，b ＝cos 14，c ＝4sin 14，则() A ．c >b >a B ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >b答案 A解析因为b ＝cos 14＝1－2sin 218，所以b －a ＝1－2sin 218－3132＝132－2sin 218＝2⎝⎛⎭⎫164－sin 218.令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以当x >0时，f (x )>f (0)＝0，即有x >sin x (x >0)成立，所以18>sin 18，得164>sin 218，所以b >a . 因为c b ＝4sin 14cos 14＝4tan 14，所以令g (x )＝tan x －x ，则g ′(x )＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x≥0，所以函数g (x )在定义域内单调递增，所以当x >0时，g (x )>g (0)＝0，即有tan x >x (x >0)成立，所以tan 14>14，即4tan 14>1，所以c b>1，又b >0，所以c >b . 综上，c >b >a .。

指数对数计算题50道

指数对数计算题50道指数和对数是数学中重要的概念和运算符号，它们在各个领域都有着广泛的应用。

下面列举了50道与指数和对数计算有关的题目，并提供相应的参考内容。

1. 计算2^3的值。

参考答案：2^3 = 8。

2. 计算10^(-2)的值。

参考答案：10^(-2) = 1/10^2 = 1/100 = 0.01。

3. 计算2^(1/2)的值。

参考答案：2^(1/2) = √2 ≈ 1.414。

4. 计算log(100)的值。

参考答案：log(100) = 2，因为10^2 = 100。

5. 计算log(1/1000)的值。

参考答案：log(1/1000) = log(10^(-3)) = -3，因为10^(-3) =1/1000。

6. 计算log2(8)的值。

参考答案：log2(8) = 3，因为2^3 = 8。

7. 计算log4(16)的值。

参考答案：log4(16) = 2，因为4^2 = 16。

8. 计算ln(e)的值。

参考答案：ln(e) = 1，因为e^1 = e。

9. 计算ln(1)的值。

参考答案：ln(1) = 0，因为e^0 = 1。

10. 计算log5(25)的值。

参考答案：log5(25) = 2，因为5^2 = 25。

11. 计算log(x^2)的值，其中x = 10。

参考答案：log((10^2)) = log(100) = 2。

12. 计算log(2x)的值，其中x = 5。

参考答案：log(2(5)) = log(10) = 1。

13. 计算log3(9) + log3(27)的值。

参考答案：log3(9) + log3(27) = 2 + 3 = 5，因为3^2 = 9，3^3 = 27。

14. 计算log2(4) * log2(16)的值。

参考答案：log2(4) * log2(16) = 2 * 4 = 8，因为2^2 = 4，2^4 = 16。

15. 计算10^(log10(100))的值。

指数对数幂函数比较大小必刷题

µ专题指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a=53-12，b=log25，c=log37，则a，b，c的大小顺序是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a 【答案】D【解析】因为a=53-12=35 12<1，b=log25>log24=2，1=log33<c=log37<log39=2，所以b>c>a故选：D2已知a=ln 1π，b=e13，c=logπ3，则a,b,c大小顺序为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a 【答案】D【解析】∵a=ln 1π<ln1=0，b=e13>e0=1，0=logπ1<c=logπ3<logππ=1，∴b>c>a.故选：D.3已知a=ln 1π，b=e13，c=logπ3，则a,b,c大小顺序为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a 【答案】D【解析】因为a=ln 1π<ln1=0，b=e13>e0=1，c=logπ3∈0,1所以b>c>a故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a=34-34，b=43 2，c=log232，则a，b，c的大小顺序是A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c1,且43 34<43 2=b,又c=log232<log22=1.故c<a<b.故选：B【点睛】本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.5a,b,c均为正实数，且2a=log12a，12b=log12b，12c=log2c，则a,b,c的大小顺序为A.a <c <bB.b <c <aC.c 2-b =log 12b ，而2a =log 12a ，∴log 12a >log 12b ，∴a 1，0b >a >dB.c >a >b >dC.b >c >a >dD.a >c >b >d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c >1>b =0.80.2>0.20.2>0.20.8=a >0，又由对数函数的单调性可知：d =lg0.2<lg1=0综上有：c >b >a >d .故选：A7设a =log 3π，b =2log 32，c =4ln 1e ，则a ，b ，c 大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】B 【解析】解：因为ln 1e<ln1=0，所以0<4ln 1e <40=1，即0<c <1，又2log 32=log 322=log 34>log 3π>log 33=1，即b >a >1，所以b >a >c ；故选：B8已知5a =2,b =ln2,c =20.3，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由5a =2⇒a =log 52=log 54<log 55⇒a <12，由ln e 2>ln 4>ln e ⇒1>b >12，c =20.3>1，所以c >b >a ，故选：B 9已知a =454.1,b =45-0.9,c =540.1，则这三个数的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a【答案】B【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >ac d =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 0，所以a >c ，所以c <a log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12 ln x =2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a 13 0=1, 因此b <a <c故选：B23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c 0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>153>log 315，即c <b <a .故选：D29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a 103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b。

指数函数对数函数专练习题(含答案)

指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当.在在变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，看图象，对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，指数函数习题一、选择题 1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x)B ．f (b x )≥f (c x)C ．f (b x )>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝211．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，1 (x >0).答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)．若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x)．∴f (3x )≥f (2x)．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x>1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B5. 解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6>(3－a )×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝1()2[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]．11. 解：令a x＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时，y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或13、已知221,0,0x y x y +=>>，且1l o g (1),l o g ,l o g 1y aa a x m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -4、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、3515、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（）A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -=的定义域是（）A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<10、2log 13a <，则a 的取值范围是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数比较大小问题

指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23，b =log 46利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可，c =log 89，则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a 6>39，y =log 2x 单调递增，∴c log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2．已知a =log 23，b =ln2，c =log 2π，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3，b =log 35-log 32，c =2ln 3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91，y =log 20.1，z =log 20.2，则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选题靠前位置，比如0<0.20.3<0.20=1， 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12，b =ln 12，c =0.6-0.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数，0<a =23 12<23=1；y =ln x 在0,+∞ 上是增函数，b =ln 12<ln1=0；y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数，c =0.6-0.2>0.60=1，故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0，b >1，0<c <1，即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数，∴a =log 132<log 131=0，即a <0；∵y =log 2x 为增函数，∴b =log 23>log 22=1，即b >1；∵y =2x 为增函数，∴0<c =2-0.3<20=1，即0<c <1；∴b >c >a .例3.已知a=20.7，b=130.7，c=log213，则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213，∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1，b=lg0.8，c=log53.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6，b=e-0.6，c=log20.6，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较，常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323，b=log23，c=913，则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0，1=log22<b=log23<log24=2，c=913>813=2，∴c>b>a.例5.已知a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b，即a<c<b.例6.已知a=log62，b=log0.50.2，c=0.60.3，则a，b，c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<alog24=2，即b>2，0=log61<log62<log66=12，即0<a<12，1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12，即12<c<1，∴b>c>a；课堂练兵1.已知a=log34，b=log45，c=32，则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61，b=lg90.6，c=log328，则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3．已知a =2log 54，b =12log 37，c =2log 45，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a log 2e ，∴a >b 例7.设x ，y ，z 为正数，且3x =4y =5z ，则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ，y ，z 为正数，令3x =4y =5z =k ，则k >1，因此有：x =log 3k =1log k 3，y =log 4k =1log k 4，z =log 5k =1log k 5，又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增，而1<3<4<5，则0<log k 3<log k 4<log k 5，于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5，所以z <y <x .例8.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a 50=1，∴c >b >a例9.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a 50=1，∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14，b =log 504，则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π，b =log 6π，则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3，2b =0.3，则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4．已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较．这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数值，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小例如：log a ma =log a m +1；log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小．例10.已知a =log 63，b =log 84，c =log 105，则()．A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【解答】由题意得：a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26，b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28，a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210，∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 26<log 28<log 210，则1log 26>1log 28>1log 210，所以a b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73，b =log 420，c =log 32+log 36，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43，b =log 420=log 44+log 45=1+log 45，c =log 32+log 36=1+log 34，∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34，∴a >c ，∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1，log 45>1,log 34>1，∴log 45<log 34，所以c >b ，综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5，b =ln22，c =ln33，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 14，再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0，则c >b .所以a b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6，c =-log 0.26，则实数a ，b ，c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较，比如a =log 23和b =log 34，则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25，A.a >c >b 7乘倍数比较大小， 3b =3log 34=log 364∈3,4 ，∴3a >3b ，∴a >b例13.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数，利用函数的单调性比较大小例14.设a >0，b >0，则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ，则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ，则a ln b -2b ，则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ，则a <b构造函数，利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数，∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数，∴f (a )>f (b )时，得a >b >0，反之也成立，即ln a +2a >ln b +2b 时，a >b >0，反之也成立，∴ln a -2b >ln b -2a 时，a >b >0，反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ，则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ，通过观察导函数得到f x 单调性，从而得到x <y ，故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0，而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ，则f x =2x ln2+e -x >0恒成立，故f x =2x -e -x 单调递增，由2x -e -x <2y -e -y 可得：x <y ，故ln y -x +1 >ln1=0，A 错误，B 正确；x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故不能确定ln x -y 与0的大小关系，CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1，且a x -a y >b -x -b -y ，则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ，y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y，则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0，若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点，则()A.a bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ，则f x =a x -a 3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f x ≤0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f x >0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2.故选：D .课堂练兵1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足x ln y =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2．设a =2021ln2019，b =2020ln2020，c =2019ln2021，则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a ､b ､c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ，则a ､b ､c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2，利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0，再构造13c -13b ，根据指数的性质判断其符号，即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2；b =log 23+log 64=log 23+21+log 23，b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0，b >2；13c =5b +12b >52+122=132，c >2；13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0，∴b >c ，综上，b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4，b =log 53，c =log 85，则()A.a b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10，则2，ab ，a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数：ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0，e )上单调递增，在区间(e ，+∞)单调递减；当x =e 时，取得最大值1e;②注意：f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2，b =1e ，c =ln22，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a 0，f x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，f x <0，f x 单调递减，因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ，b =1e =ln e e =f e ，c =ln22=f 2 ，所以b =f e 最大，又因为c =f 2 =f 4 ，e <e 22<4，所以a =f e 22 >f 4 =c ，所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3ln π2，则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中，最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②ln π<πe；③215<15；④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数，指数和幂函数结合来放缩。

2022届新高考数学高频考点专题07 指对幂比较大小必刷100题(解析版)

故选：B
23．设，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】
因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故 .
故选：C
24．已知，，，则，，的大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：D.
21．若，，，，则a，b，c的大小关系为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先利用的单调性求出a值范围；再利用的单调性比较b和c的大小而得解.
【详解】
因，且函数是增函数，于是；
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】
由，
由，，所以，
故选：B
9．已知，则这三个数的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
，
因为在上单调递增﹐则，
又 .
故 .
4．设，，，则，，的大小顺序是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断的大致范围再排序即可.
【详解】
,且 ,又 .
故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性核心考点二：引入媒介值核心考点三：含变量问题核心考点四：构造函数核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法核心考点七：放缩法核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.方法二：比较法 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；② 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >>，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1]上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x 得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =， ∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331()log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<， ∴c b a >>. 故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（） A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<，由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >，由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >，综上：b a c >>. 故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c的大小关系是（） A ．b a c <，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>. 故选：A核心考点二：引入媒介值【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<．故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>， 0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>> 故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <=b ， 14124210--==<=<c ，所以a c b <<．故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lge lg3lge lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >， ∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c < ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ，故选：C ．核心考点三：含变量问题【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x z y >> D ．z y x >>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >，综上所述，z y x >>，故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===，令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时0f x，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >，又ln c b =得c b <，综上，c b a <<. 故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c ==且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号. ①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<，又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>， ∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<. 故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1exx a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，则()2222sin 2sin 12sin exx a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x xxx x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减. 又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<，故选：A核心考点四：构造函数【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+. 所以c b >.综上所述：a c b >>. 故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <，()0f x >′，此时()f x 单调递增，当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减，所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立， ∴当0x >， ()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<= 当0x >时，有sin x x <，则sin0.060.06<，所以0.92sin0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==，综上可得c a b <<．故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增，则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<. 故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2xh x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<，所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <，所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =，故b a c <<，故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在 (0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫===⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎫=>=>⎪⎪⎪⎪⎭⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立). 因此c b a >>，故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =ln 2)b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，3c =，设函数2e ()x f x x =，则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0x xf x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增所以f f<即c a<；②再比较,b c：由①知2mine()(2)4f x f f c==<=，而1ln2)2b=-=，设2(ln2)3()xh xx+=，'22(ln1)3()xh xx+=-当1ex<<，'()0h x>，()h x单调递增，当1ex>，'()0h x<，()h x单调递减，所以max12()()ee3b h h x h=<==，而22e ee.e344f c<=<=，所以b c<，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2xf x x=+，2()logg x x x=+，()2sinh x x x=+的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin0h x x x=+=得0x=，0c∴=，由()0f x=得2x x=-，由()0g x=得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logy x=、y x=-的图象，由图象知a<0，0b>，a c b∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a，b，c满足2e e e ec a a c--+=+，28log3log6b=+，2log2c c+=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a af a -=-．易知1e exx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知22log 3log log 2b =+>，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知e ππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（） A ．αβ≥ B ．αβ> C ．αβ≤ D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln aα=，令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且1110,e 10eG G ，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<. 故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【答案】C 【解析】依题意，314222)a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<<，于是得112232)32<<，即32b a >>，函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>，则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >，又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=，所以32b acd >>>>. 故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<=，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<；因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>，由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==，综上所述，a c b >>. 故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（） A ．m n p >> B ．n p m >> C ．n m p >> D ．m p n >>【答案】C【解析】因为e b a >>> 所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ===，25256.2524a n b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅．由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 22lg 20lg 230-⋅>，即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，0fx，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，所以()()0.4200f f >=，即0.42e 0.421>+，又21.42 2.01642=>，所以0.420.5e 0.4212>+>，所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>，所以0.5452log 54>>，所以a b c >>. 故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；31b +=>c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg 5lg 6lg 5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>【答案】C解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>. 故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（） A ．b a c <，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<； 33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>， 12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b ac ∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（） A ．y x z <，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =， ∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<. 故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（） A ．a c b <-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，。

高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题（含答案解析）在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N−= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m na a n N N m= 二、典型例题：例1：设323log ,log 3,log 2a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：22311log 3log 3,log 2log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是___________思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值得大小：1215254c −==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 32a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

指数函数和对数函数练习题

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＝6．下列结论中，正确的个数是( )①当a<0时，＝a3；② eq \r(n,an) ＝|a|(n>0)；③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7. eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) ＋ eq \r(3,0.125) 的值为________．8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.三、解答题10．(1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1)) · eq \r(xy) ·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：＋ eq \f(－40,\r(2)) ＋ eq \f(1,\r(2)－1) － eq \r(1－\r(5)0) ·.11．设－3<x<3，求 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) 的值．12．化简：÷(1－2 eq \r(3,\f(b,a)) )× eq \r(3,a) .13．若x>0，y>0，且x－ eq \r(xy) －2y＝0，求 eq \f(2x－\r(xy),y ＋2\r(xy)) 的值．§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )A．－9 B. eq \f(1,9)C．－ eq \f(1,9) D．95．如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c6．函数y＝( eq \f(1,2) )x－2的图像必过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限二、填空题7．函数f(x)＝ax的图像经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图像不经过第二象限，则a，b必满足条件________．9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)和；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，回答下列问题．(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n轴)．(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a⊕b＝ eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a a≤b,b a>b)) ，则函数f(x)＝1⊕2x的图像是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．(1)求f(1)的值；(2)若f( eq \f(1,2) )>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．§3指数函数(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－ eq \r(2) )x 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则( )A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若( eq \f(1,2) )2a＋1<( eq \f(1,2) )3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．( eq \f(1,2) ，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞， eq \f(1,2) ) 5．设 eq \f(1,3) <( eq \f(1,3) )b<( eq \f(1,3) )a<1，则( ) A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．QP B．QPC．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝ eq \r(16－4x) 的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6 B．1 C．3 D. eq\f(3,2)4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－ eq \f(1,2) 的解集是________________．9．函数y＝的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－ eq \f(1,2) ， eq\f(1,2) ]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图像大致是( )13．已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) .(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f(x)在R上是增函数；(3)解不等式：0<f(x－2)< eq \f(15,17) .习题课1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.A．0 B．1 C．2 D．32．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A．1 B．0C．－1 D．无最大值4．将 eq \r(2\r(2)) 化成指数式为________．5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝( eq \f(1,2) )－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．6．已知＋＝3，求x＋ eq \f(1,x) 的值．一、选择题1．的值为( )A. eq \r(2) B．－ eq \r(2) C. eq\f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2)2．化简 eq \r(3,a－b3) ＋ eq \r(a－2b2) 的结果是( ) A．3b－2a B．2a－3bC．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，( eq \f(1,2) )x，(0.2)x之间的大小关系是( ) A．2x<(0.2)x<( eq \f(1,2) )x B．2x<( eq\f(1,2) )x<(0.2)xC．( eq \f(1,2) )x<(0.2)x<2xD．(0.2)x<( eq \f(1,2) )x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A. eq \f(1,8)B. eq\f(1,2)C．2 D．85．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝ eq \f(4x＋1,2x) 的图像( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：－(－ eq \f(1,4) )0＋160.75＋＝________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)( eq \r(2) )－1.2和( eq \r(2) )－1.4；(3)和；(4)π－2和( eq \f(1,3) )－1.311．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 eq \f(a,2) ，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝ eq \f(a,a2－1) (ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§4对数(一)1．对数的概念如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N叫做________．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，logeN简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝____.对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①② D．③④3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<44．方程＝ eq \f(1,4) 的解是( )A．x＝ eq \f(1,9) B．x＝ eq\f(\r(3),3)C．x＝ eq \r(3) D．x＝95．若loga eq \r(5,b) ＝c，则下列关系式中正确的是( )A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a6．的值为( )A．6 B. eq \f(7,2)C．8 D. eq \f(3,7)二、填空题7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则 eq \f(b,a) ＝________.三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝ eq \f(1,1 000) ；②0.53＝0.125；③( eq \r(2) －1)－1＝ eq \r(2) ＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．能力提升12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )A．15 B．75C．45 D．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：①log2x＝－ eq \f(2,5) ；②logx3＝－ eq \f(1,3) .(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：①log68；②log62；③log26.§4对数(二)1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)loga eq \f(M,N) ＝________；(3)logaMn＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a，b>0，a，b≠1，N>0)；特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogaxC. eq \f(logax,n) ＝loga eq \r(n,x)D. eq \f(logax,logay) ＝logax－logay2．计算：log916·log881的值为( )A．18 B. eq \f(1,18) C. eq \f(8,3) D. eq \f(3,8)3．若log5 eq \f(1,3) ·log36·log6x＝2，则x等于( )A．9 B. eq \f(1,9) C．25D. eq \f(1,25)4．已知3a＝5b＝A，若 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝2，则A等于( )A．15 B. eq \r(15) C．± eq \r(15)D．2255．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )A. eq \f(a,b－1)B. eq \f(3,2b－1)C. eq\f(3a,2b＋1) D. eq \f(3a－1,2b)6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg eq\f(a,b) )2的值等于( )A．2 B. eq \f(1,2) C．4 D. eq\f(1,4)二、填空题7．2log510＋log50.25＋( eq \r(3,25) － eq \r(125) )÷ eq\r(4,25) ＝______________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝ eq \f(2,3) lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg eq \f(1,2) －lg eq \f(5,8) ＋lg 12.5－log89·log34；(2)已知3a＝4b＝36，求 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) 的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )A．二 B．四C．五 D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 eq \f(1,3) ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质3.反函数对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．一、选择题1．函数y＝ eq \r(log2x－2) 的定义域是( )A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．设集合M＝{y|y＝( eq \f(1,2) )x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f(x)＝|log3x|的图像是( )5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x6．若loga eq \f(2,3) <1，则a的取值范围是( )A．(0， eq \f(2,3) ) B．( eq \f(2,3) ，＋∞) C．( eq \f(2,3) ，1) D．(0， eq \f(2,3) )∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数，则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x 的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a113．若不等式x2－logmx<0在(0， eq \f(1,2) )内恒成立，求实数m的取值范围．§5对数函数(二)1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值是( )A．5 B. eq \f(1,5)C. eq \f(1,e)D. eq \f(1,2)2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝ eq \r(x2) 和y＝( eq \r(x) )2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝logax2和y＝2logaxD．y＝x和y＝logaax3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )A．[ eq \f(1,2) ，1] B．[4,16]C．[ eq \f(1,16) ， eq \f(1,4) ] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________________________________________________________________________．一、选择题1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )A．a<c0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2) C．2 D．45．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )A．b B．－bC. eq \f(1,b) D．－ eq \f(1,b)6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )A．y＝x(x>0) B．y＝log3x(x>0)C．y＝log3x( eq \f(1,3) ≤x<1) D．y＝x( eq\f(1,3) ≤x<1)二、填空题7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．11．已知函数f(x)＝ eq \f(1－ax,x－1) 的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立．求实数m的取值范围．能力提升12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋ eq \f(1,2) )有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(0,1)∪(1， eq \r(2) ) C．(1， eq \r(2) ) D．[ eq \r(2) ，＋∞)13．已知logm4<logn4，比较m与n的大小．习题课1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A．m<n<p B．m<p<nC．p<m<n D．p<n<m2．已知0<a<1，logam<logan<0，则( )A．1<n<m B．1<m<n C．m<n<1 D．n<m<13．函数y＝ eq \r(x－1) ＋ eq \f(1,lg2－x) 的定义域是( ) A．(1,2) B．[1,4]C．[1,2) D．(1,2]4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>logeπ2．若log37·log29·log49m＝log4 eq \f(1,2) ，则m等于( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(\r(2),2)C. eq \r(2) D．43．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )A．0 B．－1 C．1 D．24．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0， eq \f(1,2) )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，－ eq \f(1,4) ) B．(－ eq \f(1,4) ，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－ eq \f(1,2) )5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f( eq \f(1,3) )＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )A．(0， eq \f(1,2) ) B．( eq\f(1,2) ，＋∞)C．( eq \f(1,2) ，1)∪(2，＋∞) D．(0， eq\f(1,2) )∪(2，＋∞)二、填空题7．已知loga(ab)＝ eq \f(1,p) ，则logab eq \f(a,b) ＝________.8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.9．设函数若f(a)＝ eq \f(1,8) ，则f(a＋6)＝________.三、解答题10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.(1)比较 eq \f(1,2) [f(0)＋f(1)]与f( eq \f(1,2) )的大小；(2)探索 eq \f(1,2) [f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f( eq \f(x1＋x2,2) －1)对任意x1>0，x2>0恒成立．§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．当a>1时，指数函数y＝ax是________，并且当a越大时，其函数值增长越____．2．当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)是________，并且当a越小时，其函数值________．3．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是________，并且当x>1时，n越大，其函数值__________．一、选择题1．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ eq \f(t2－1,2) D．v＝2t－22．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4000)5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)<f(cx)D．f(bx)，f(cx)大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．三、解答题9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b＝ eq \f(2,3) ，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－ eq \f(1,3) t＋ eq\f(43,3) (0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．11．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．13．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 eq \f(a,4) L?第三章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝ eq \r(0.5x－4) 的值域为N，则M∩N等于( )A．M B．NC．[0,4) D．[0，＋∞)2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )A．[2,8] B．[0,8]C．[1,8] D．[－1,8]3．已知f(3x)＝log2 eq \r(\f(9x＋1,2)) ，则f(1)的值为( )A．1 B．2 C．－1 D. eq\f(1,2)4．等于( )A．7 B．10 C．6 D. eq\f(9,2)5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )A．0 B．1C．2 D．36．比较、23.1、的大小关系是( )A．23.1<< B．<23.1<C．<<23.1 D．<<23.17．式子 eq \f(log89,log23) 的值为( )A. eq \f(2,3)B. eq \f(3,2)C．2 D．38．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg eq \f(a,b) ＝lg a－lg b；③ eq \f(1,2) lg( eq \f(a,b) )2＝lg eq \f(a,b) ；④lg(ab)＝ eq \f(1,logab10) .其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．39．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10) 的图像，只需把函数y＝lg x 的图像上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )A．0 B．1C．2 D．311．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4f x＋1， x<4)) ，则f(2＋log23)的值为______．14．函数f(x)＝loga eq \f(3－x,3＋x) (a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．15．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠ eq \f(4,3) ，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)， eq \f(1,4) ≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝loga eq \f(1＋x,1－x) (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x＋1＋2) 是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) . f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a 1，b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1，所以c <1<a 1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.3、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010A．10%B．20%C．50%D．100%答案：B分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.4、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A．25天B．30天C．35天D．40天答案：B分析：根据给定条件求出m及a10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m⋅a1020%=m⋅a20，解得m=120,a10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t，即40%=120⋅a10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a10)2=a20，于是得t−10=20，解得t=30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B5、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增 D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．7、设f(x)={e x−1,x <3log 3(x −2),x ≥3，则f(f (11))的值是（）A ．1B ．eC ．e 2D ．e −1 答案：B分析：根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解. 由题意得f(11)=log 3(11−2)=log 39=2，则f(f (11))=f (2)=e 2−1=e . 故选：B.小提示：本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题. 8、设m ，n 都是正整数，且n >1，若a >0，则不正确的是（）A．a mn=√a mn B．(a12+a−12)2=a+a−1C．a−mn=√a mn D．a0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断. 由m，n都是正整数，且n>1，a>0，、得(a 12+a−12)2=(a12)2+2a12⋅a−12+(a−12)2=a+a−1+2，故B选项错误，故选：B.9、已知f(x)={2x−x2,x≥5f(x+3),x<5，则f(4)+f(-4)=（）A．63B．83C．86D．91答案：C分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C10、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅ln e−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.多选题11、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[−3.7]=−4，[2.3]=2，已知f(x)=e xe x+1−12，则函数y=2[f(x)]+[f(−x)]的函数值可能为（）A．−2B．−1C．0D．1答案：ABC分析：利用定义可知函数f(x)为奇函数，根据解析式可得f(x)∈(−12,12)，分三种情况讨论f(x)可求得结果.因为f(x)=e xe x+1−12，所以f(−x)=e−xe−x+1−12=11+e x−12，所以f(x)+f(−x)=e xe x+1−12+1e x+1−12=0，即f(−x)=−f(x)，因为f(x)=e xe x+1−12=e x+1−1e x+1−12=12+−1e x+1，因为e x>0，e x+1>1，所以0<1e x+1<1，所以−1<−1e x+1<0，所以−12<12+−1e x +1<12即f(x)∈(−12,12)当f(x)∈(−12,0)时，f(−x)∈(0,12)，所以[f(x)]=−1，[f(−x)]=0，此时y =−2，当f(x)=0时，f(−x)=0，所以[f(x)]=0，[f(−x)]=0，此时y =0，当f(x)∈(0,12)时，f(−x)∈(−12,0)，此时[f(x)]=0，[f(−x)]=−1，此时y =−1，所以函数y =2[f(x)]+[f(−x)]的值域为{−2,−1,0}. 故选：ABC12、若函数f(x)的图像在R 上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是（） A ．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点答案：ABD解析：根据f (x )的图像在R 上连续不断，f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，结合零点存在定理，判断出在区间(0,1)和(1,2)上零点存在的情况，得到答案．由题知f (0)⋅f (1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点，又f (1)⋅f (2)>0，无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：ABD ．13、下列各选项中，值为1的是（） A ．log 26·log 62B ．log 62＋log 64C ．(2+√3)12⋅(2−√3)12D ．(2+√3)12−(2−√3)12答案：AC解析：对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 对于A 选项，根据log a b ⋅log b a =1可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式=log 6(2×4)=log 68≠1，B 选项不符合题意.对于C 选项，原式=[(2+√3)⋅(2−√3)]12=112=1，C 选项符合题意.对于D 选项，由于[(2+√3)12−(2−√3)12]2=2+√3+2−√3−2(2+√3)12⋅(2−√3)12=4−2=2≠1，D 选项不符合题意. 故选：AC小提示：本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.14、已知函数f(x)=2x2x +1+m(m ∈R)则下列说法正确的是（） A ．f (x )的定义域为R .B ．若f(x)为奇函数，则m =−12 C ．f(x)在R 上单调递减D ．若m =0，则f(x)的值域为(0,1) 答案：ABD分析：根据函数的定义域的求法，可判定A 正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得m 的值，可判定B 正确，化简f(x)=−12x +1+m +1，结合指数函数的单调性，可判定C 错误；化简函数f(x)=1−12x +1，结合指数函数的值域，可判定D 正确.由题意，函数f(x)=2x2x +1+m(m ∈R)，对于A 中，由2x +1≠0，所以函数f (x )的定义域为R ，所以A 正确；对于B 中，由函数f (x )为奇函数，则满足f (−x )=−f (x )，即2−x 2−x +1+m =−2x2x +1−m ，所以2m =−2x2x +1−2−x2−x +1=−2x2x +1−12x 12x+1=−2x2x +1−12x +1=−1，即m =−12，所以B 不正确；对于C 中，由f(x)=2x 2x +1+m =2x +1−12x +1+m =−12x +1+m +1，因为函数y =2x +1为单调递增函数，则y =−12x +1递增函数，所以f (x )函数在R 上单调递减，所以C 不正确；对于D 中，当m =0时，可得f(x)=2x 2x +1=1−12x +1，因为2x +1>1，可得−1<−12x +1<0，所以1−12x +1∈(0,1)，即函数f (x )的值域为(0,1)，所以D 正确. 故选：ABD.15、某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损答案：AD分析：根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案.由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x =12x +80000x−200≥2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；设该单位每月获利为S元，则S=100x−y=100x−(12x2+80000−200x)=−12x2+300x−80000=−12(x−300)2−35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[−80000,−40000].故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，故选：AD小提示：本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.双空题16、已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1)，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为______；若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围为______.答案：(1,+∞)[0,1]分析：由f(x)的定义域为R知u=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方，由二次函数性质可构造不等式组求得结果；由f(x)的值域为R知u=ax2+2x+1要取遍所有的正数，由二次函数值域可构造不等式组求得结果.若f(x)的定义域为R，则u=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方，∴{a>0Δ=4−4a<0，解得：a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)；若f(x)的值域为R，则u=ax2+2x+1要取遍所有的正数，∴a=0或{a>0Δ=4−4a≥0，解得：0≤a≤1，即实数a的取值范围是[0,1].所以答案是：(1,+∞)；[0,1].17、若函数f(x)=ln(ax+11−x)+b是奇函数，则a=___________，b=___________.答案： 1 0分析：根据奇函数在x =0处有定义则f (0)=0可得b ，再根据奇函数的满足f (x )+f (−x )=0求解a 即可因为函数f (x )=ln (ax+11−x )+b 是奇函数，故f (0)=0，即ln 1+b =0，即b =0.又f (x )+f (−x )=0，故ln (ax+11−x )+ln (−ax+11+x )=0，即(ax+11−x )⋅(−ax+11+x )=1，1−a 2x 21−x 2=1恒成立，故a 2=1，所以a =1或a =−1，当a =−1时f (x )=ln (−x+11−x)=ln (−1)无意义.当a =1时f (x )=ln (x+11−x )满足奇函数.故a =1 综上，a =1，b =0所以答案是：1；018、某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站______km 处，最少费用为______万元.答案： 5 8解析：根据题意设出y 1和y 2的函数表达式，利用“在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元”列方程，由此求得y 1和y 2的解析式.利用基本不等式求得费用的最小值和建站位置.设仓库与车站距离为x ，依题意y 1=k 1x ,y 2=k 2x .由于“在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元”，所以2=k 110,8=k 2⋅10，解得k 1=20,k 2=45.所以y 1=20x ,y 2=45x ，所以总费用20x +45x ≥2√20x ⋅45x =8，当且仅当20x =45x ，即x =5时，取得最小值.所以答案是：（1）5；（2）8.小提示：本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 解答题19、（1）已知函数g (x )=(a +1)x−2+1(a >0)的图像恒过定点A ，且点A 又在函数f (x )=log √3(x +a )的图像上，求不等式g (x )>3的解集；（2）已知−1≤log 12x ≤1，求函数y =(14)x−1−4(12)x +2的最大值和最小值.答案：（1）(3,+∞)；（2）y min =1，y max =54.分析：（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设t =(12)x ，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.（1）由题意知定点A 的坐标为(2,2)，∴2=log √3(2+a )解得a =1.∴g (x )=2x−2+1.∴由g (x )>3得，2x−2+1>3.∴2x−2>2.∴x −2>1.∴x >3.∴不等式g (x )>3的解集为(3,+∞).（2）由−1≤log 12x ≤1得12≤x ≤2令t =(12)x ，则14≤t ≤√22， y =4t 2−4t +2=4(t −12)2+1. ∴当t =12，即(12)x =12，x =1时，y min =1，当t =14，即(12)x =14，x =2时，y max =54. 小提示：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．20、已知函数f(x)=2x −12x .（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。

指数对数运算练习题

指数对数运算练习题在数学中，指数和对数是重要的概念和运算。

指数运算是指数之间的基数乘积和幂的运算，而对数运算则是指数和底数之间的关系。

掌握指数和对数的运算规则和方法，对于解决各种数学问题和应用具有重要意义。

本文将为你提供一系列指数对数运算的练习题，帮助你加深对于这些概念和运算的理解和掌握。

一、指数运算题1. 计算：（2^3）^4。

2. 求解：10^x = 1000。

3. 计算：3^4 × 3^5。

4. 求解：（5^2）^3 = 5^n。

5. 计算：2^8 ÷ 2^5。

二、对数运算题1. 求解：log2(8) = x。

2. 计算：log3(81) + log3(3)。

3. 求解：log4(x) = 0.5。

4. 计算：log5(125) - log5(5)。

5. 求解：log10(y) = 2。

三、指数与对数运算综合题1. 计算：3^(log3(16))。

2. 求解：log2(2^(x-1)) = 3。

3. 计算：(4^3)^(log4(4))。

4. 求解：log5(125) = 3^x。

5. 计算：10^(log10(1000))。

以上是一些指数和对数运算的练习题，希望通过练习能够提高你对于这些运算的熟练程度。

指数运算题中，题目一中的（2^3）^4，可以使用指数的乘法法则，即a^m^n = a^(m×n)，得到2^(3×4)=2^12的结果。

题目三中的3^4 × 3^5，可以使用指数的加法法则，即a^m × a^n =a^(m+n)，得到3^4 × 3^5 = 3^(4+5)的结果。

对数运算题中，题目一中的log2(8)，可以理解为2的几次幂等于8，即2^x = 8，解得x=3，所以log2(8) = 3。

题目二中的log3(81) + log3(3)，可以利用对数的乘法法则，即loga(m) + loga(n) = loga(m×n)，得到log3(81) + log3(3) = log3(81×3)的结果。

高三指数与对数练习题

高三指数与对数练习题1. 求解下列方程：（1）$2^{x+1}-5 \cdot 2^x-12=0$（2）$5^{2x+1}+5 \cdot 5^{2x}-24=0$2. 求解不等式：（1）$3^{x-1} \geq 81$（2）$2^{2x+1}-4^x<0$3. 化简下列表达式：（1）$\log_2 16-\log_2 \frac{1}{4}$（2）$\log_5 25+\log_5 0.2$4. 已知点$A(1,0)$和$B(b,1)$，若点$C(c, 2)$在直线$AB$上，求$c$的值。

5. 求以下函数的值域：（1）$y=3^x$（2）$y=\log_2 x$6. 求以下方程的解集：（1）$\log_2 x + \log_2 (x+1)=3$（2）$2\log_3 x + 3\log_3 (x+1)=4$7. 某人从事研究，发现了某种细菌的增长规律，他发现，每过一个小时，细菌的数量增加到原来的2倍。

假设最初有1个细菌，经过t小时，有多少细菌？8. 某城市的人口数量每年以1.5%的速度增长，现在有10万人，求多少年后人口数量将达到20万人？9. 已知函数$f(x)=2^{x-3}+3$，求$f(0)$和$x$使得$f(x)=4$。

10. 某企业的销售额年增长率为5%，现在销售额为100万，求多少年后销售额将达到200万？解答如下：1. 解：（1）设$2^x=a$，则原方程化简为$a^2-5a-12=0$。

该方程可以因式分解为$(a-6)(a+2)=0$，解得$a=6$或$a=-2$。

由$a=2^x$，可得$2^x=6$或$2^x=-2$。

对于$2^x=6$，求解得$x=\log_2 6$；对于$2^x=-2$，无实数解。

综上所述，原方程的解为$x=\log_2 6$。

（2）设$5^x=a$，则原方程化简为$a^2+5a-24=0$。

该方程可以因式分解为$(a+8)(a-3)=0$，解得$a=-8$或$a=3$。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题专题训练精讲精练

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

指数对数运算练习题

指数对数运算练习题指数和对数是数学中常见的运算方法，它们在科学、工程和金融等领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者巩固和理解指数和对数的运算规则。

1. 指数运算练习题题目1：计算2的4次方。

解答：2的4次方表示为2^4，即2乘以自己4次。

计算结果为16。

题目2：计算5的0次方。

解答：任何数的0次方都等于1，所以5的0次方等于1。

题目3：计算(-3)的3次方。

解答：(-3)的3次方表示为(-3)^3，即(-3)乘以自己3次。

计算结果为-27。

题目4：计算10的负2次方。

解答：10的负2次方表示为10^(-2)，即1除以10的2次方。

计算结果为0.01。

2. 对数运算练习题题目1：计算log2(8)。

解答：log2(8)表示以2为底数，结果为8的对数。

即2的几次方等于8。

根据计算，2的3次方等于8，所以log2(8)等于3。

题目2：计算ln(e)。

解答：ln(e)表示以自然对数e为底数，结果为e的对数。

根据对数的定义，ln(e)等于1。

题目3：计算log5(25)。

解答：log5(25)表示以5为底数，结果为25的对数。

即5的几次方等于25。

根据计算，5的2次方等于25，所以log5(25)等于2。

题目4：计算log10(1000)。

解答：log10(1000)表示以10为底数，结果为1000的对数。

即10的几次方等于1000。

根据计算，10的3次方等于1000，所以log10(1000)等于3。

3. 指数和对数运算综合练习题题目1：计算2^(log2(8))。

解答：根据指数和对数的关系，2^(log2(8))等于8。

题目2：计算log2(2^5)。

解答：根据指数和对数的关系，log2(2^5)等于5。

题目3：计算ln(e^3)。

解答：根据指数和对数的关系，ln(e^3)等于3。

题目4：计算10^(log10(100))。

解答：根据指数和对数的关系，10^(log10(100))等于100。

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指数、对数比较大小 1. 下图是指数函数（1） ,(2) y 二 b x , (3) y 二 c x
(4) y =d x 的图象，贝U a ，b ,
c ，
d 与1的大小关系是 a :: b :: 1 ：： c :: d 1 ：：
a ::
b :：
c ：：
d 2•图中曲线是对数函数 B . b a :: 1 ：：
d :: c a :: b :: 1 ：：
d :: c O
x
⑴ （2）
(3) (4)
y=log a x 的图象，已知a 取3,-,-,
3 5 10
)
个值，则相应于C 1, C 2, C 3, C 4的a 值依次为（ A *噗哈 x 的图象如图所示则a,b,c,d 的
D .纤一3丄强
3 10 5
大小为（） A
. c :: d :: a b B. c d :: b a
C .
d : c :: a : b d : c : b a
4
. 如果0 :: a ：1
,那么下列不等式中正确的是（ ) A . 1 1
(1 —a)3 ：：
(1 —a)2
B . (1 - a)1 a
1
C . log 2)(1 a) 0
D . log 。

a )(1 -a) ：：
5.
若 log n 2 log m 2 0
时，则m 与n 的关系是（ )
3.已知 f (x) = log a x , A . m n 1
B . n m 1 -t-y
C . 1 m n 0 A . m >n A 1
B . n Am A 1
C . 0 < n v m v1
D . 0< m v n <1
7.设％
=40.9,y 2 =8048必=
".5 込丿，则
（
)
A . YsUy
B . y
2 H3
C .力 > y 2 a y 3
D . % > y 3 > y 2
6.已知log m 5 < log n 5 ：：：
0 ,则m , n 满足的条件是（）
8.以下四个数中的最大者是（
)
12
设 a ( 3
), b ( -) c ( ，则
5 5
a ,
b ,
c 的大小关系是 13 .设 P =log 23 , Q = Iog 32 , R =Iog 2(Iog 32), 则（
A . R : Q :: P
B . P :: R :: Q
Q :: R P
15 .已知函数f(x) = lg
C . ab = 1
9 .若 a=log 2 二，b= log 7 6 , c=log 2 0.8，则(
10 .设 a = Iog 3 二，b Rog ?、3,c = log^. 2 ,
11 .设 a =log 12,b =log 1 3, c =(〔)0.3 ,
3
2
2
14 .设 a =Iog 54,b =(Iog 53)2,c = Iog 45，贝U(
x , 0<a f (b)，贝U( A . ab 1
1 2 4
16 .设 log 1 ,b=log 1 ,c = log 3_,则a,b,c 的大小关系是
3 2 3 3 3
A . a ：： b :: c
C . cab
C .
17 .设a,b,c均为正数，且2a=log1a ,
2 2'og1b
,
2 2
2
—i
12
丿
=log 2c .贝U(
a ::
b
c B . c b :: a
In 3 In 5 口
三宀丁则有（
a>b>c B .
c<b<a C .
c<a<b
D. b<a<c。

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