人口的logistic模型

第六次建模作业

一.logistic模型模拟

【摘要】物种种群数量的变化规律一直是我们所探究的问题，考虑到一些自然灾害和物种间的食物链或竞争关系，我们可以在一定条件下模拟某一种群的变化规律。对于人口的增长一直是一个热门话题，我

们通过数据的统计和拟合可以总结出某地区的人口变化规律，并在其他地区进行模型检验，分析该动态机理模型是否在一定程度上成立。

【关键词】人口增长数据统计模型检验动态机理模型

【问题重述】美国人口数据随时间的变化: 1790180018101820183018401850

3.9 5.37.29.612.917.123.2

I860187018801890190019101920

31.438.650.262.976.092.0106.5

19 301940195019601970198019902000

123132151179204227251281【模型建立】首先我们可用微积分的思想将连续的微分方程离散化,

不妨设x(n)表示第n次普查所得人口数，根据logistic模型

dy/dt=r(1-y/K)y 可得:

(x(n +1) —x(n) )= r(1 —n) K

x(n +1) -X(n) _ r(1x(n))

x(n) K

进一步化简有

U = x(n+1) -x(n)

x( n) V = x(n)

rv

u = r-—— K

可得:

【求解模型】现在我们可以用线性拟合，借助

matlab 来进行运算得

到r ,K

X=[3.9 ; 5.3

7.2 ; 9.6 ; 50.2 ; 62.9 ; 76.0 ; 92.0 ; 204 ; 227 ;

251 ;

281];

Y=[]

for i=1:21

23.2; 31.4; 38.6 ; 132 ; 151; 179 ; End

Y=[Y ,Y(i)]

运行结果运用cftool 工具线性模拟:

Result

Lin ear model Poly1:

f(x) = p 1*x + p2

Coefficie nts (with 95% con fide nee boun ds):

p1 = -0.0009825 (-0.001254,-0.0007108) p2 =

0.3178 (0.2832, 0.3525)

运行程序:

Y(i)=(X(i+1,:)-X(i,:))./(X(i,:)); 106.5; 123 ; 12.9; 17.1;

Good ness of fit:

SSE: 0.05449 R-square: 0.74

Adjusted R-square: 0.727 RMSE: 0.0522

(结果显然是有误差的)

File View Tools 亶in dow 旦elp

再用非线性拟合，已知微分方程是

dy/dt 二r(1-y/K)y ，它的解是

y=k/[1+(k/y(0)-1)*ex p(-r*t)]

F 面用非线性拟合来实现并且用最小二乘法分析， matlab 程序如

下:

Data... Fitting... Exclude... Plotting... Analysis...

function y=fun(b,t) y=b(1)./((1+(b(1)./3.9-1).*exp(-b(2).*t)))

t=1:22;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123 132 151 179

204 227 251 281];

b0=[323.5,0.3178] b=nlinfit(t,y,@fun,b0);

x1=1:22;

plot(t,y,'r*',x1,fun(b , x1)) er=y-fun(b , t);

Q=er*er';

771.3288

366.7076 0.2530

运行结果：

B Figg 1

•— - 一03

File Edit View Tns 亡

rt Tools Desktop Window Help

□ d

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表达式:

dy/dt=0・2530*(1-y/366・7066)*y

【模型分析】

通过图像可以看出我们的模拟很大程度上是比较近似的, 口的增长模式，但是也是含有较大误差的。我们采取模型的离散化将 微

分方程用差分来代替必须基于很多假设上，并且这种离散化容易产 生离群值的点；再用cftool 工具拟合也会存在一定程度的误差。

根据上述步骤，这就得到我们模拟的美国人口增长的

符合美国人 logistic 模型的

二. 体重与人体摄取能量及运动的关系

摘要】人体增重是一个相当复杂的人体生理学问题，涉及的因素包

括日摄入量，日运动量，身体是否健康等。且对于不同人，遗传因素也占据了颇为重要的地位。本文用数学建模方法，从人体增重机理入手，抽取主要客观因素，提出适当的假设以回避次要因素的干扰，成

功简化问题。

关键词】动态机理模型平衡原理连续模型离散模型

问题重述】

某人的食量是2500 cal/D,其中1200cal 用于基本的新陈代谢。在健

身训练中他所消耗的大约是16 cal/kg/D乘以他的体重（kg）,假设以脂

肪形式贮藏的热量是100%有效，而1kg 脂肪含热量10000 cal. 求出这个人的体重是怎样随时间变化的。（尝试用matlab 求解方程，解析解与数值解。）

模型假设】

1.该人的能量储存形式仅考虑脂肪（生物学告诉我们，脂肪是人体主

要储能物质）；

2.摄入能量向脂肪的转化以及脂肪向热能的转化率为100%；

3.该人的能量消耗只有基本代谢和健身；

4.将该人的体重直接与每天的脂肪增量相对应（这条假设或许是不合理）;

5.人体健康,既不影响食量与代谢量和脂肪的转化

符号说明：