网络优化及实例
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1. 线性规划是有效算法,可以线性化的问 题不用非线性模型 2.整数线性规划、二次规划及其他非线 性规划模型除了可以利用数学软件求解 外,讨论问题推广时应设计快速近似算 法 3.一题多解讨论算法性能比较与分析 应
大规模数据处理是近年竞赛题的 倾如:向
1. 04年A题:奥运会临时超市网点设计 2. 05年A题:长江水质的评价和预测 3. 05年B题:DVD的在线租赁
3.对给出的十万个会员数据及DVD数量,求具体的分配 方案.
1.DVD租赁问题可以用整数规划求解 2.会员数据信息量大,Lingo软件可以与Excel表链接 3.随机数据可以利用概率统计知识进行预处理,也可
以建立随机规划模型 4.会员满意度可以用计算机随机模拟方法估计 5.会员数任意大时,整数规划不是一个快速算法,可以
S5 10 220
480 A10 300 A11 A9 680
A8
290
160
70 30
S6 110
62
420
A13 210 A12
30 S7
20 20
A15 500 A14
450
3 104
600
80
2 750 A3
301 A2
10
194
A5
606 A4
A1
205 A7 A6
里程 ≤300
301～ 35 0
1.对100个会员的订单和已有的DVD数量,如何分配才 可以尽可能满足要求?
某网站提供DVD租赁服务,根据以往数据,有40%会员 每月租赁一次,60%会员每月租赁两次.规定每次租赁 的DVD数量为3张.建立以下问题的数学模型:
2.经过网上调查,已有1000个会员的需求数据,对总数n 个会员,应购买各种新DVD多少张才能以95%的概率满 足需求?
考虑建立一个诸如遗传算法或蚁群算法之类的快速 (近似)算法
算法质量关键: 1.精度 2. 效能
钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
1150
1100 3060
S2 1200
195 5
S3
690 720
202 20
S1 12
31
10
201
S4
320
690
160
170
520
88
70 42
70
462 10
当城市个数增大到一定数量时枚举方法 行不通 !
二、最优算法与近似算法
有一些问题在计算复杂性上被称做NP困难问题, 对这一类问题寻找快速的近似算法是十分有意 义的。
全国数学建模竞赛题中有一些NP困难问题的 例子，需要用现有的软件结合编程进行计算， 这一类近似算法的设计需要较宽的数学知识 面和较强的创新能力
考虑用一个 图来代替县城结点， 将问题转化为一个TSP问题：
再将三点收缩成一点，就得到 一个三个巡视组的TSP巡视路线
接下来的工作是要均衡各个巡视小组 的工作时间（十分复杂的工作！）
05年杭州电子科技大学校内竞赛题B题 是一个网络优化问题
桥梁选址问题
设下图中每一个圆点代表一个区，连接各圆点的 直线代表公路，粗实线代表交通主干线，曲线代 表一条河流。随着城市经济发展,为了便利河两岸 的交通，决定在适当的位置造桥。假设河流北侧 A到D段有沿岸公路，河的南侧当前还没有修建沿 岸公路。试分别就以下问题讨论：
D A
常用网络优化算法有
1.最小生成树算法 2.最短路算法 3.网络流算法 4.匹配问题算法
复杂问题通常综合非线性优化和多目标规划
常用计算机辅助算法有：
1.计算机搜索算法 2.计算机模拟
常用的计算机搜索算法有 遗传算法,模拟退火算法等, 需要有一定的算法设计基 础和基本的编程能力
05年全国竞赛题B题:DVD的在线租赁
网络优化与优化算法
一、网络优化及实例
例：中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件. 如何设计一条最短 的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次， 最后返回邮局)？由于这一问题是我国学者管梅谷教授1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题.
351～ 40 0
铁路运价表
401～ 45 0
451～ 500
…
运价 20 23 26 29
32
…
钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
常用解法: 二次规划
先计算最小运费矩阵
➢ 两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 ➢ 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法
钢管运输问题（CUMCM-
数学建模竞赛十分强调模型与 算法的创新性
如：98年竞赛题B题是TSP问题 的一个变形
从县城出发分三个小组巡视受灾的地区各地的 灾情，已知每个村镇所需要的停留时间以及行 车速度，问如何设计各组的巡视路线才能以最 快的速度掌握整个地区全部的受灾情况？
灾情巡视路线(CUMCM-2019B)
多人TSP问题的扩展
问题一：河流为东西向的水平直线，各 区规模大致相同。
1.总建设费用最低的桥梁位置和与之配套的 公路设计方案；
2.以便捷交通为原则的最佳桥梁位置和公路 设计方案。
问题二：河流为图中曲线，分别讨论总建设费 用最小化和以便捷交通为原则的建设方案。 问题三：如果计划建两座桥,地址又该如何选择？
问题四：如果各地的人口数不同，又该怎样选 择合理的桥梁位置？
•单向？ •双向？
欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一个 图论上的问题：
七桥问题 的
因
答案 是 否定的
为 图
中
没
有
偶
度
顶
点
有些问题目前找不到现成的软件
也没有快速求解最优解的方法
例4 TSP（Travel Sales Man Problem）问题
到设城有市城j市的集费合用I为{1， c2， ij，，in,}j，城1,市,ni
2000B)
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
Min
i, j
(
pi
c ij
) xij
0.1 2
15
[(1
j 1
y j ) y j (1 z j ) z j ]
15
s.t. 500 f i xij S i f i , i 1,..., 7. j 1
求从指定城市出发，经过所有其他城市恰好 一次，且使总费用最少的旅行路线。
☺TSP问题可以通过枚举的方 法 用不同计的算路线机共求有解(n-1)！条
枚举城市数与计算时间的关系 城市数 24 25 26 27 28 29 30 31
计算时间1s 24s 10m 4.3h 4.9d 136.5d10.8a 325a
7
xij y j z j ,
j 1,..., 15 .
cumcm2Hale Waihona Puke Baidu00b.lg4
i 1
y j1 z j b j y1 z15 0,
j 1,..., 14 .
• LINDO/LINGO 得到的结果比 matlab得到的好
f i 0,1,
i 1,..., 7.
算法设计中应该注意的问题
难 度逐年增大
计算机的应用能力是必要的内容
大规模数据处理是近年竞赛题的 倾如:向
1. 04年A题:奥运会临时超市网点设计 2. 05年A题:长江水质的评价和预测 3. 05年B题:DVD的在线租赁
3.对给出的十万个会员数据及DVD数量,求具体的分配 方案.
1.DVD租赁问题可以用整数规划求解 2.会员数据信息量大,Lingo软件可以与Excel表链接 3.随机数据可以利用概率统计知识进行预处理,也可
以建立随机规划模型 4.会员满意度可以用计算机随机模拟方法估计 5.会员数任意大时,整数规划不是一个快速算法,可以
S5 10 220
480 A10 300 A11 A9 680
A8
290
160
70 30
S6 110
62
420
A13 210 A12
30 S7
20 20
A15 500 A14
450
3 104
600
80
2 750 A3
301 A2
10
194
A5
606 A4
A1
205 A7 A6
里程 ≤300
301～ 35 0
1.对100个会员的订单和已有的DVD数量,如何分配才 可以尽可能满足要求?
某网站提供DVD租赁服务,根据以往数据,有40%会员 每月租赁一次,60%会员每月租赁两次.规定每次租赁 的DVD数量为3张.建立以下问题的数学模型:
2.经过网上调查,已有1000个会员的需求数据,对总数n 个会员,应购买各种新DVD多少张才能以95%的概率满 足需求?
考虑建立一个诸如遗传算法或蚁群算法之类的快速 (近似)算法
算法质量关键: 1.精度 2. 效能
钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
1150
1100 3060
S2 1200
195 5
S3
690 720
202 20
S1 12
31
10
201
S4
320
690
160
170
520
88
70 42
70
462 10
当城市个数增大到一定数量时枚举方法 行不通 !
二、最优算法与近似算法
有一些问题在计算复杂性上被称做NP困难问题, 对这一类问题寻找快速的近似算法是十分有意 义的。
全国数学建模竞赛题中有一些NP困难问题的 例子，需要用现有的软件结合编程进行计算， 这一类近似算法的设计需要较宽的数学知识 面和较强的创新能力
考虑用一个 图来代替县城结点， 将问题转化为一个TSP问题：
再将三点收缩成一点，就得到 一个三个巡视组的TSP巡视路线
接下来的工作是要均衡各个巡视小组 的工作时间（十分复杂的工作！）
05年杭州电子科技大学校内竞赛题B题 是一个网络优化问题
桥梁选址问题
设下图中每一个圆点代表一个区，连接各圆点的 直线代表公路，粗实线代表交通主干线，曲线代 表一条河流。随着城市经济发展,为了便利河两岸 的交通，决定在适当的位置造桥。假设河流北侧 A到D段有沿岸公路，河的南侧当前还没有修建沿 岸公路。试分别就以下问题讨论：
D A
常用网络优化算法有
1.最小生成树算法 2.最短路算法 3.网络流算法 4.匹配问题算法
复杂问题通常综合非线性优化和多目标规划
常用计算机辅助算法有：
1.计算机搜索算法 2.计算机模拟
常用的计算机搜索算法有 遗传算法,模拟退火算法等, 需要有一定的算法设计基 础和基本的编程能力
05年全国竞赛题B题:DVD的在线租赁
网络优化与优化算法
一、网络优化及实例
例：中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件. 如何设计一条最短 的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次， 最后返回邮局)？由于这一问题是我国学者管梅谷教授1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题.
351～ 40 0
铁路运价表
401～ 45 0
451～ 500
…
运价 20 23 26 29
32
…
钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
常用解法: 二次规划
先计算最小运费矩阵
➢ 两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 ➢ 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法
钢管运输问题（CUMCM-
数学建模竞赛十分强调模型与 算法的创新性
如：98年竞赛题B题是TSP问题 的一个变形
从县城出发分三个小组巡视受灾的地区各地的 灾情，已知每个村镇所需要的停留时间以及行 车速度，问如何设计各组的巡视路线才能以最 快的速度掌握整个地区全部的受灾情况？
灾情巡视路线(CUMCM-2019B)
多人TSP问题的扩展
问题一：河流为东西向的水平直线，各 区规模大致相同。
1.总建设费用最低的桥梁位置和与之配套的 公路设计方案；
2.以便捷交通为原则的最佳桥梁位置和公路 设计方案。
问题二：河流为图中曲线，分别讨论总建设费 用最小化和以便捷交通为原则的建设方案。 问题三：如果计划建两座桥,地址又该如何选择？
问题四：如果各地的人口数不同，又该怎样选 择合理的桥梁位置？
•单向？ •双向？
欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一个 图论上的问题：
七桥问题 的
因
答案 是 否定的
为 图
中
没
有
偶
度
顶
点
有些问题目前找不到现成的软件
也没有快速求解最优解的方法
例4 TSP（Travel Sales Man Problem）问题
到设城有市城j市的集费合用I为{1， c2， ij，，in,}j，城1,市,ni
2000B)
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
Min
i, j
(
pi
c ij
) xij
0.1 2
15
[(1
j 1
y j ) y j (1 z j ) z j ]
15
s.t. 500 f i xij S i f i , i 1,..., 7. j 1
求从指定城市出发，经过所有其他城市恰好 一次，且使总费用最少的旅行路线。
☺TSP问题可以通过枚举的方 法 用不同计的算路线机共求有解(n-1)！条
枚举城市数与计算时间的关系 城市数 24 25 26 27 28 29 30 31
计算时间1s 24s 10m 4.3h 4.9d 136.5d10.8a 325a
7
xij y j z j ,
j 1,..., 15 .
cumcm2Hale Waihona Puke Baidu00b.lg4
i 1
y j1 z j b j y1 z15 0,
j 1,..., 14 .
• LINDO/LINGO 得到的结果比 matlab得到的好
f i 0,1,
i 1,..., 7.
算法设计中应该注意的问题
难 度逐年增大
计算机的应用能力是必要的内容