向量的线性运算知识点总复习

误；
C、如果| a || b | ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故 C 选项错误；
D、如果
a
1 2
b
（
b
为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到
a
/
/b
，故
D
选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注
意向量的加减结果都是一个向量.
B、 3 a b 3 b a 3a 3b+3b 3a=6b ，故 B 选项错误；
C、 AB BA 0 ，故 C 选项错误； D、 a b 3a 5b 4a 4b ，故 D 选项正确；
故选 D. 【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.
【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】
解：A、如果 a ＝3 b ，那么两向量是共线向量，则 a ∥ b ，故 A 选项不符合题意． B、如果| a | ＝ | b | ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故 B 选项符合题意．
C、 0 的方向不确定，大小为 0，故 C 选项不符合题意． D、根据向量模的定义知，| a | ＝2| e |＝2，故 D 选项不符合题意．
向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知 A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确的，D 中的 0
是有方向的，而 0 没有，所以错误． 解：∵A、B、C 均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D、如果 a = 0 ，则 m=0 或 a = 0 ．∴错误．
【详解】
∵ a 3, b 2 ，而且 x1, x2 R 和 a 的方向相反
∴a 3b 2
故选 D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
8．已知 a 、 b 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A．如果 a ＝3 b ，那么 a ∥ b B．| a | ＝| b | ，那么 a ＝ b 或 a ＝ -b C． 0 的方向不确定，大小为 0 D．如果 e 为单位向量且 a ＝﹣2 e ，那么| a | ＝2
3
24
3
3
故选 A．
6．若 AB 是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A． AB BA；
B． AB BA ； C． AB BA 0 ； D． AB BA 0 .
【答案】B 【解析】 【分析】 长度不为 0 的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵ AB 是非零向量,
5
2
AC 3 AB 中，即可求出 m 的值. 5
【详解】
解：∵点 C 在线段 AB 上，且 AC 3 AB 5
∴ CB AB AC 2 AB 5
∴ AB 5 CB 5 BC
2
2
∴
AC
3 5
AB
3 5
5 2
BC
3 2
BC
故选 D.
【点睛】 此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
D、由 ＝- 得到 ∥ ，故本选项说法正确． 故选 D．
【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义 等知识点，难度不大．
14．下列说法正确的是（ ）
A． a (a) 0
B．如果 a 和 b 都是单位向量，那么 a b
C．如果| a || b | ，那么 a b
【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. a (a) 0 ，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
5．已知 m 3a 2 b ， n 1 b 1 a ，那么 m 4n 等于（ ）
17．设 m, n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A． m（na）＝（mn）a
B．（m n）a＝ma na
C． m（a+b）＝ma mb
D．若 ma 0 ，那么 a 0
【答案】D
【解析】
【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是
3
24
A． 2a 8 b 3
【答案】A
B． 4a 4 b 3
C． 2a 4 b 3
D． 4a 8 b 3
【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵ m 3a 2 b ， n 1 b 1 a ，
3
24
∴ m 4n = 3a 2 b 4(1 b 1 a) 3a 2 b 2b a 2a 8 b ．
A．| |＝2| |
B． 是与 方向相同的单位向量
C．2 - ＝
D． ∥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答．
【详解】
A、由 ＝- 得到| |＝ | |＝1，故本选项说法错误．
B、由 ＝- 得到 是与 的方向相反，故本选项说法错误．
C、由 ＝- 得到 2 + ＝ ，故本选项说法错误．
【点睛】
本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定
义.
3．下列等式正确的是（ ）
A． AB + BC ＝ CB + BA
B． AB ﹣ BC ＝ AC
C． AB + BC + CD ＝ DA
【答案】D 【解析】
D． AB + BC ﹣ AC ＝ 0
【分析】
根据三角形法则即可判断. 【详解】
D. ∵ 0 只表示数量，不表示方向，而 a 2b 是两个矢量相加是带方向的，应该是
a
2
b
0
，该选项符合题意正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
16．已知 a 、 b 和 c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 a ∥ b 的是（ ）
A． a = b
B． a ∥ c ， b ∥ c
【答案】B
B． a 3e
C． e 3a
D． e 3a
【解析】
【分析】
根据平面向量的定义解答即可．
【详解】
解：∵向量 e 为单位向量，向量 a 与向量 e 方向相反，
∴ a 3e ．
故选：B．
【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．如果| |＝2， ＝- ，那么下列说法正确的是（ ）
C． a + b ＝0
【答案】A 【解析】
D． a + b ＝ 2c ， a ﹣ b ＝ 3c
【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、该等式只能表示两 a 、 b 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
B、由 a ∥ c ， b ∥ c 可以判定 a ∥ b ，故本选项不符合题意；
+ ＝,
+ + ＝,
+ ＝,
+＝
故选：B.
【点睛】
此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
10．点
C
在线段
AB
上，且
AC
3 5
AB
，若
AC
mBC
，则
m
的值等于（
）．
A． 2 3
【答案】D 【解析】
B． 3 2
C． 2 3
D． 3 2
【分析】
根据已知条件即可得： CB AB AC 2 AB ，从而得出： AB 5 BC ，再代入
| a | 2 | b | ，该选项不符合题意错误；
B. ∵ a 2b ，表明向量 a 与 2b 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然
2b 与 b 方向相反，但还是相互平行，∴ a ∥ b ，该选项不符合题意错误；
C. ∵ a 2b ，而 2b 与 b 方向相反，∴ a 与 b 的方向相反，该选项不符合题意错误；
15．已知非零向量 a 、 b ，且有 a 2b ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． | a | 2 | b | ； B． a ∥ b ；
【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行向量以及模的知识求解即可. 【详解】
C． a 与 b 方向相反； D． a 2b 0 ．
A.∵ a 2b ，表明向量 a 与 2b 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
∴ AB BA
故选 B 【点睛】 此题考查平面向量，难度不大
7．已知 a 3 ， b 2 ，而且 b 和 a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．
3
a
2
b
【答案】D
【解析】
【分析】
B．
2
a
3
b
C．
3
a
2
b
D．
2
a
3
b
根据 a 3, b 2 ，而且 x1, x2 R 和 a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
D．
a
1 2
b
（
b
为非零向量），那么
a / /b
【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】
解：A、 a (a) 等于 0 向量，而不是 0，故 A 选项错误；
B、如果 a 和 b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故 B 选项错
向量的线性运算知识点总复习
一、选择题
1．下列各式正确的是（ ）．
A． 2 a b c 2a b c
B．3a b 3b a 0
C． AB BA 2AB
D． a b 3a 5b 4a 4b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量计算法则依次判断即可.
【详解】
A、 2 a b c 2a 2b c ，故 A 选项错误；
故选 D． 【点睛】 本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
18．已知 e 是一个单位向量， a 、 b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A． a e a
B． e b b
C．
1 a
a
e
D．
1 a
a
1 b
b
【答案】B 【解析】 【分析】 长度不为 0 的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于 1 个单位长度的向量 叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】 A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； B. 符合向量的长度及方向，正确； C. 得出的是 a 的方向不是单位向量，故错误； D. 左边得出的是 a 的方向，右边得出的是 b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选 B. 【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
2．在四边形 ABCD 中，
，
，
，其中 与 不共线，
则四边形 ABCD 是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算法则求出
，利用向量共线的充要条件判断出
，得到
边 AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项. 【详解】
解：∵
，
∴
，
∴AD∥BC，AD=2BC. ∴四边形 ABCD 为梯形.
【详解】
解：∵ BD 2CD
∴ BD 2 BC 2 b
3
3
∴ AD AB BD a 2 b 3
故选 D．
【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．如果向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为 3，那么用向量 e 表示向量 a 为
（）
A． a 3e
11．如图，在 ABC 中，点 D 是在边 BC 上，且 BD 2CD ， AB a , BC b ，那么 AD 等于（ ）
A． a b
【答案】D
B． 2 a 2 b 33
C． a 2 b 3
D． a 2 b 3
【解析】
【分析】
根据 BD 2CD ，即可求出 BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
∵ AB BC AC ，
∴ AB BC AC AC AC 0 ，
故选 D． 【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.
4．下列各式中错误的是( )
A． a (a) 0 B．| AB BA | 0
C． a b a (b )
D． a (b c) (a b ) c
C、由 a + b ＝0 可以判定 a 、 b 的方向相反，可以判定 a ∥ b ，故本选项不符合题意；
D、由 a + b
＝
2c
，
a
﹣
b
＝
3c
，得到
a
＝
5 2
c
，
b
＝﹣
1 2
c ，则 a 、 b 的方向相反，可
以wk.baidu.com定 a ∥ b ，故本选项不符合题意；
故选：A． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
故选：B． 【点睛】 此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.
9．D、E、F 分别是△ABC 三边 AB、BC、CA 的中点，则下列等式不成立的是( )
A． + ＝
B． + + ＝0
C． + ＝
D． + ＝
【答案】C
【解析】
【分析】
由加法的三角形法则化简求解即可．
【详解】
由加法的三角形法则可得，