七年级数学配方法试题
因式分解(5大题型)(30道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册(沪教版)
因式分解（5大题型）（30道压轴题专练）压轴题型一 运用公式法分解因式压轴题1．已知,,a b c 满足22227,-21,617a b b c c a +==--=-，则a b c +-的值为（ ）A ．1B ．－5C ．－6D ．－72．将多项式()20ax bx c a ++¹变形为()2a x m n ++的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：()2222245422529x x x x x --=-+--=--，Q ()220x -³，\()2299x --³-，\当2x =时，多项式245x x --有最小值9-．已知a ，b 为实数，多项式()()33x x a ++展开后x 的一次项系数为m ，多项式()()32x x b ++展开后x 的一次项系数为n ，且m ，n 均为正整数，则当17m n +=时，ab 的最大值为 ．3．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn --+．4．阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：()22223214(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；又例如：求代数式2246x x +-的最小值：()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-Q ；又2(1)0x +Q …；\当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是8-．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：245a a --=___________；(2)已知ABC V 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22412400a a b b -+-+=求边长c 的最小值；(3)当x 、y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．5．（1）填空：26a a ++______(a =+______2)；（22()2()1a b a b ++++解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①2()14()49m n m n +-++②()()2242464x x x x -+-++6．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( ()22a b a ±= 22ab b ±+的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 ²45x x ++的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x \+³∴ 当 2x =-时， ()22x +值最小，最小值是0．()2211x \++³∴ 当 ()220x +=时， ()221x ++的值最小，最小值是1．∴ 当 2x =-时， 245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)当 x = 时，代数式 223x x -+有最小值，最小值是 ；(2)若 249W x x =-++此时W 有 值(填“最大”或“最小”)，即当x = 时，am W = ；(3)若 2530x x y -++-=，则 y x += （用含x 的代数式表示） ，请求出 y x +的最值．压轴题型二 因式分解与几何图形相关压轴题1．边长为a 的正方形ABCD 与边长为b 的正方形DEFG 按如图所示的方式摆放，点A ，D ，G 在同一直线上．已知12a b +=，22ab =．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．39C ．61D ．682．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．AB a CD b ==，，记图①中的阴影部分面积为1S ，图②中的阴影部分面积为2S ．（1）若53a b ==，，则1S 的值是 ；（2）若17S =，2454S =，则a b b a -的值是 ．3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a 的小正方形，长为b 、宽为a 的长方形以及边长为b 的大正方形．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：()()22223a b a b a ab b ++=++，也可以解释因式分解：()()22232a ab b a b a b ++=++．(1)若用4个B 类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x ，内部小正方形的边长为y ，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．①a b x +=；②()222x y a -=；③224x y ab -=；④22b a xy =+；⑤22222x y a b ++=．(2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为22352a ab b ++，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式22352a ab b ++分解因式为______．(3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2245a mab b ++则m 的值为______．（直接写出结果）4．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；情境二情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为22a ab b++的长方形；丁同学认274为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．5．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=______．6．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．(1)如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去-一个边长为b 的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a ，b 的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：(2)如图2，将一个棱长为a 的正方体木块挖去一个棱长为b 的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：33a b -=__________，将等式右边因式分解，即33a b -=__________；(3)根据以上探究的结果，①如图31开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形ABCD ，其边长为19，求阴影部分的面积．②计算：))3311-压轴题型三 十字相乘法压轴题1．设二次三项式226x mx ++可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．32．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++= ．3．阅读以下材料：目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于232x x ++，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，232x x ++最高含有x 的二次项，所以看作由()()ax b cx d ++得到；第二步，去括号，2()()()ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++和232x x ++对比发现，二次项系数为1，二次项由ax 和cx 相乘得出，所以1a c ==（为了计算简便，往往取整数）；第三步，继续把2()x b d x bd +++和232x x ++对比，发现b ，d 两数之积为2，和为3，就不难凑出1b =，2=d ，检验一下：2(1)(2)32x x x x ++=++，换个方向写就是因式分解了．请使用上述方法回答下列问题：(1)因式分解：①256x x -+；②2236y y +-；(2)对关于x 的多项式因式分解：2(31)21mx m x m --+-．4．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++¹分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++¹的二次项的系数a分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=´，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=´-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121´-+´=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________．(3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．5．因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x ＝2能使多项式26x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;（2）若（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;（3）在（2）的条件下,把多项式325x ax x b -+因式分解的结果为 ．6．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =·，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =·，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=´，8(4)2-=-´，而21(4)12-=´-+´所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=´，3(1)3-=-´，212=´而2131(1)=´+´-，1(1)231=-´+´，31211=´+´所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ．②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．压轴题型四 分组分解压轴题1．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（ ）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算2．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：()()()()222222216216444x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式：2241299x xy y ++-=3．《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式398x x -+．解：添加两项22x x -+．原式32298x x x x =-+-+32288x x x x x =-+--+()()()21181x x x x x =-+---()()218x x x =-+-请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：3910x x +-；(2)分解因式：32256x x x --+；(3)分解因式：43252020x x x x ++--．4．阅读以下材料，并解决问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．22424x y x y --+．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：22424x y x y--+()()22424x y x y =---……………………分成两组()()()2222x y x y x y =+---………………分别分解()()222x y x y =-+-………………………提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)材料例1中，分组的目的是_________．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？22x y x y -++=_____________；22222a a b ab b +--+=_____________．(3)利用分组分解法进行因式分解：2224x xy y -+-．5．数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）．材料：将mx my nx ny +++因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解，即()()()()()()mx my nx ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++，这种分解因式的方式叫做分组分解法．卡片：(1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________．(2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解．(3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为0，请判断以a ，b ，c 为边的ABC V 的形状，并说明理由．6．小林和小王碰到了一个难题：将44a +因式分解．这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧．我们可以尝试先将它配上中间项，如444422224444a b a b a b a b +=++-，使其前面三项变成一个完全平方式，得到22222(2)4a b a b +-，再尝试用平方差公式因式分解．(1)根据小王说的方法将44a +因式分解．(2)依照上述方法将422416m m n n -+因式分解．压轴题型五 因式分解的应用1．已知20222021a x =+，20222022b x =+，20222023c x =+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如果一个四位自然数N 各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x ，后两位数字组成的两位数记为y ，规定()27x y F N +=，()2G N x y =-，当()F N 为整数时，称这个四位数为“齐心数”．则()()14211421F G += ．若“齐心数”10201006S a b c =+++，（14a ££，16b ££，03c ££，a ，b ，c 为整数），且()G S 除以7余数为1，则S 最大值为 ．3．对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可以得到一个数学等式，例如如图可以得到()()222=+3+2a b a b a ab b ++，请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式．(2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知1138a b c ab bc ac ++=++=，，求 222++a b c 的值．(3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a 、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？4．阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式()()()()()222113(1)4121231x x x x x x x =++--=+-=+++-=+-．由上式可知: 223x x +-=2(1)4x +-，因为2(1)x x +不论取何值，≥0，所以当1x +=0，即1x =-时，223x x +-的最小值是-4．根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．(1)利用配方法分解因式：2627x x --；(2)根据上面解题思路可知多项式2627x x --有最小值，即当x = 时，最小值是 ．(3)已知a 、b 、c 分别是ABC V 三边的长且()222220a b c a b c ++-+=，请判断ABC V 的形状，并说明理由．5．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．223x x +-()221 4.x x =++-()2212x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-例如．求代数式2246x x +-的最小值．原式2246x x =+-2223()x x =+-()2218x =+-．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是-8．(1)分解因式：223a a --= ．(2)已知ABC V 的三边长a 、b 、c 2241240a b a b +=+-，求边长c 的最小值；(3)当x ，y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．(1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．①观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为 ；②若每块小长方形的面积为212cm ，四个正方形的面积和为250cm ，试求m n -的值．(3)将图3中边长为a 和b 的正方形拼在一起，B 、C 、G 三点在同一条直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足5a b +=，6ab =，请求出阴影部分的面积．。
中考数学复习专题06 配方法题研究(原卷版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝82. 用配方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．的值．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
中学数学 配方法 练习题
21.2.2配方法解一元二次方程（1）教学目标1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】导学过程阅读教材部分，完成以下问题解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9填空：（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？思考？1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？2、什么叫配方法？3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5总结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂活动】活动1、预习反馈活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程：（1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0【课堂练习】：活动3、知识运用1. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列关于x 的方程（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2x归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课后巩固】一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x 2+px+_____=（x+______）2．2、方程x 2+4x-5=0的解是________． 3．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 三、计算：（1）x 2+10x+16=0 （2）x 2-x-43=0（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x-9=0四、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．。
人教版初一数学配方法
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反刍动物瘤胃积食在不产气时叩诊呈A.清音B.半浊音C.浊音D.过清音E.金属音 关于息止颌位，以下哪一点是正确的。A.从正中关系向正中位滑动的过程B.又称牙位C.位于正中关系后下方D.与牙的存在无关E.以上都不是 发现无脉性心脏停跳患者心肺复苏时应首先：A.先给予约5组（或者约2分钟）心肺复苏术B.先行12导心电图检查C.建立深静脉通道D.立即电除颤E.立即予以肾上腺素1mg静脉或心内注射 列人员哪类不属于失业人员A.调动工作的间歇在家休养者B.半日工C.季节工D.对薪水不满意而待业在家的大学毕业生 21-三体综合征染色体检查绝大部分核型为A.47，XX（或XY），+21B.46，XX（或XY），-14，+t（14q21q）C.46，XX（或XY），-15，+t（15q21q）D.46，XX（或XY），-21，+t（21q21q）E.46，XX（或XY），-22，+t（21q22q） 船员安全教育的任务是.A.加深对现代航海安全重要性的认识B.提高技术素质和反事故能力C.培养和巩固安全意识D.A+B+C 下列有关前牙3／4冠牙体预备的叙述，正确的是。A.临床牙冠长，倒凹大者，邻面冠边缘应止于龈缘B.上前牙切斜面由舌侧斜向唇侧C.在切端斜面舌1／3处，做一顶角90°的沟D.舌轴壁的侧凹不必消除，可以舌隆突为界分两段预备E.邻沟与邻面的线角清晰，有棱角 免疫监视功能低下时，易发生A.超敏反应B.肿瘤C.自身免疫病D.移植排斥反应E.免疫缺陷病 不属于下腔静脉属支的静脉是A.肝静脉B.肝门静脉C.肾静脉D.腰静脉E.髂总静脉 过电压的研究应主要考虑。A.操作或故障前的运行工况B.操作情况C.故障情况D.避雷器的配置情况 正常菌群的有益作用是A.生物屏障作用B.抗肿瘤作用C.刺激干扰素的合成D.增强免疫细胞活性E.合成维生素 一胆囊结石患者，突发上腹部持续性胀痛，伴腹胀、呕吐。查体：脉率120次／分，BP90/60mmHg，血、尿淀粉酶不高，血钙降低，腹部出现Cullen征。诊断为A.急性重症胆管炎B.急性重症胰腺炎C.急性胰腺炎D.溃疡病E.肠梗阻 功效有某种共性的药物配合应用，辅药能增强主药的疗效。这种配伍关系是。A.相反B.相恶C.相杀D.相畏E.相使 含毒性药物的散剂，剂量在0.01～0.1g之间应配制成A.5倍散B.10倍散C.50倍散D.100倍散E.1000倍散 预防菌痢的综合措施应以下列哪项为重点A.隔离及治疗病人B.发现处理带菌者C.切断传播途径D.服用"依链"痢疾活菌苗E.流行季节预防服药 关于离子通道的叙述不正确的是()A．可分为配体门控和电压门控两大类B．通道的活动需要特殊的激动剂或拮抗剂参与C．全麻药通过间接或直接作用于钙离子通道而发挥作用D．全麻药作用的基本原理很可能统一在配体门控通道水平E．电压门控离子通道在全麻机制上可能不起主要作用 固定义齿修复中以下因素可减小桥体的挠曲变形，除外A.采用机械强度大的材料B.加厚桥体的金属层C.减小桥体跨度D.适当减轻桥体所受力E.桥体结构形态设计成平面形 指货币政策工具通过调控货币供给量的增加和减少，影响到银行规模和结构的变化，从而对实际经纪产生影响。A.利率渠道B.资产价格渠道C.汇率渠道D.信贷渠道 串车提升应选用哪种类型的钢丝绳？为什么？ 文字描述法适用于天然水、水水和水中臭的检验。 狂犬病毒的嗜酸性包涵体最易在下列哪种组织中检出A.淋巴结B.血液C.脑组织D.外周神经组织E.肌纤维组织 外源性凝血系统的起动因子A.Ⅺ因子B.Ⅴ因子C.Ⅲ因子D.Ⅱ因子E.Ⅻ因子 梁弯曲时，横截面的中性轴上的各点正应力，距中性思最远的上下边缘上的正应力。 进入中药材专业市场租用固定摊位经营中药材多少年以上的经营户，必须向中药材专业市场所在地药监部门申请取得药品经营许可证A.1年B.2年C.3年D.4年E.5年 借记卡密码重置的交易代码为A.4216B.3057C.3000D.3027 以下关于他汀类药物的描述正确的是A.他汀类药物能有效地降低TG水平，稍降低LDL-C水平和升高HDL-C水平B.这类药物是细胞内胆固醇合成限速酶即HMG-CoA还原酶的激动剂，是目前临床上应用最广泛的一类调脂药C.因HMG-CoA还原酶在凌晨活性最高，故该类药物应在晨起顿服D.除调节血脂外，他 全瓷冠一般为A.135°肩台B.带斜面90°肩台C.刃状边缘D.90°肩台E.深凹形 在项目投资决策中，要求计算增量现金流量，体现的原则是。A.自利原则B.比较优势原则C.有价值的创意原则D.净增效益原则 “中国字”和“中国印”都是中国传统典型的文化元素，突出了的理念。A.绿色奥运B.科技奥运C.经济奥运D.人文奥运 医德品质的内容中哪项是不正确的A.仁慈B.严谨C.诚挚D.公正E.幸福 感染过程中最少见的表现形式是A.健康携带者B.潜伏期携带者C.慢性携带者D.隐性感染E.显性感染 Berg平衡量表评定无支持闭目站立评分为1提示A.能够安全地站10sB.监护下能够安全地站10sC.能站3sD.闭眼不能达3s，但站立稳定E.为了不摔倒而需要2个人的帮助 患者，男，36岁，工人，体温40.5℃，面色潮红，皮肤灼热，无汗，呼吸、脉搏增快，自诉在高温下工作5小时。患者1小时后大汗淋漓，体温35.5℃，脉搏细速，四肢冷，最重要的处理措施是()A．密切观察病情，及时补充水分、电解质和保温B．给予高热量饮食，补充热量C．调节室温，避免噪 关于脑膜炎球菌的正确概念是()A．属于奈瑟菌属，革兰染色阳性双球菌B．自带菌者鼻咽部及病人血液、脑脊液、皮肤瘀点中找到C．细菌多在中性粒细胞内，仅少数在细胞外D．细菌释放内毒素与外毒素，内毒素为其致病的重要因素E．主要致病因素为外毒素 [单选,案例分析题]女，56岁，因右眼剧烈胀痛，偏头痛，视力严重下降就诊。发病前一天晚上因在昏暗的灯光下玩麻将至深夜而引发。检查：右眼视力0．1，右眼混合充血，角膜雾状水肿混浊，前房浅，瞳孔中度散大，对光反射迟钝，晶状体轻度混浊，余窥不清。为支持诊断而应选择的检查方 某项目部在北方地区承担某城市主干路道路工程施工任务，设计快车道宽11.25m,辅路宽9m。项目部应业主要求，将原计划安排在次年4月初施工的普通沥青混凝土面层，提前到当年11月上、中旬，抢铺出一条快车道以缓解市区交通沥青混凝土配合比设计中采用的马歇尔试验技术指标有：和残留稳 现代心理学是一个非常庞大的学科体系，包含有许多心理学分支，例如、、、、、、、、等等。 下列叙述不符合血液学发展史的是()A．1673年发现红细胞B．1749年发现白细胞C．1942年发现血小板D．血液有形成分主要包括红细胞、白细胞和血小板E．显微镜的发明为血液学的发展开拓了新的前景 下列属于社会法的是()。A.未成年人保护法B.安全生产法C.职业病防治法D.消费者权益保护法E.自然资源与环境保护法 红壤低产的主要原因有、、、、和等。
配方法的应用-初中数学习题集含答案
14．（2017 秋•西城区校级期中）若 a2 b2 2a 6b 10 0 ，则 a b ． 15．（2016 秋•海淀区校级期中）代数式 (2 x)(6 x) 有最 值是 ．
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配方法的应用（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
解得： x 3 ， y 2 ，
则 yx (2)3 8 ． 故选： B ． 【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式 a2 2ab b2 (a b)2 ．
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． (x 2)2 5
B． (x 2)2 3
C． (x 2)2 5
D． (x 2)2 3
A．8
B． 8
C．9
D． 1 9
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． x y
B． x„ y
C． x y
D． x… y
4．（2017 春•昌平区校级期中）无论 x 、 y 取何值， x2 y2 2x 12 y 37 的值都是 ( )
A． 2(a 1)2 3
B． (a 1)2 3 2
C． 2(a 1)2 1
D． 2(a 1)2 3
7．（2015•延庆县一模）若把代数式 x2 2x 3 化为 (x m)2 k 形式，其中 m ， k 为常数，结果为 ( )
A． (x 1)2 4
B． (x 1)2 2
C． (x 1)2 4
配方法的应用（北京习题集）（教师版）
精品解析2021-2022学年浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解综合练习试卷
初中数学七年级下册第四章因式分解综合练习（2021-2022学年考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（）A.a2﹣a﹣1＝a（a﹣1﹣1a）B.（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2C.m2﹣m﹣1＝m（m﹣1）﹣1D.m（a﹣b）+n（b﹣a）＝（m﹣n）（a﹣b）2、下列多项式中有因式x﹣1的是（）①x2+x﹣2；②x2+3x+2；③x2﹣x﹣2；④x2﹣3x+2A.①②B.②③C.②④D.①④3、已知c＜a＜b＜0，若M＝|a（a﹣c）|，N＝|b（a﹣c）|，则M与N的大小关系是（）A.M＜NB.M＝NC.M＞ND.不能确定4、下列各式中不能用公式法因式分解的是（）A.x2﹣4B.﹣x2﹣4C.x2＋x＋14D.﹣x2＋4x﹣451x-，则2x x-的值为（）A.0和1B.0和2C.0和-1D.0或±16、如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ） A.6858B.6860C.9260D.92627、下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A.m 2+4mnB.m 2+n 2C.a 2+ab +b 2D.a 2﹣4ab +4b 28、小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，a b +，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：勤，博，奋，学，自，主，现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ） A.勤奋博学B.博学自主C.自主勤奋D.勤奋自主9、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）①21025x x -+；②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+.A.1个B.2个C.3个D.4个10、若a 是整数，则2a a +一定能被下列哪个数整除（ ） A.2B.3C.5D.711、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.x 2+2x ﹣1＝(x ﹣1)2B.(a +b )(a ﹣b )＝a 2﹣b 2C.x 2+4x +4＝(x +2)2D.ax 2﹣a ＝a (x 2﹣1)12、若多项式x 2﹣mx +n 可因式分解为（x +3）（x ﹣4）.其中m ，n 均为整数，则m ﹣n 的值是（ ） A.13B.11C.9D.713、下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A.2222()a ab b a b -+=-B.2(1)(2)2x x x x -+=+-C.()11ma mb m a b +-=+-D.3232824x y x y =⋅14、把多项式﹣x 2+mx +35进行因式分解为﹣（x ﹣5）（x +7），则m 的值是（ ） A.2B.﹣2C.12D.﹣1215、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A.2161x + B.221x x +- C.2224a ab b ++D.214x x -+二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分） 1、因式分解：()()32m x y n y x ---=______．2、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．3、已知2ab =，3a b -=，则32232a b a b ab -+=______．4、已知x +y ＝﹣2，xy ＝4，则x 2y +xy 2＝______5、若多项式x 2+ax +b 可分解为(x +1)(x +4)，则a ＝________，b ＝________． 6、因式分解：2a 2-4a -6=________． 7、因式分解a 3﹣9a ＝______________．8、若多项式229x kxy y ++可以分解成()23x y -，则k 的值为______． 9、分解因式：()()m n a b b a -+-=_________．10、若20x y +-=，则代数式224x y y +-的值等于________． 三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分） 1、分解因式：2ax 4﹣16ax 2＋32a ．2、阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：()()()()()()22226276992736363693x x x x x x x x x +-=++--=+-=+++-=+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． （1）利用“配方法”因式分解：2267x xy y +-．（2）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．3、阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式222a ab b ±+分解成2()a b ±，而对于223a a +-这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：222232113(1)4(12)(12)(3)(1)a a a a a a a a a +-=++--=+-=+++-=+-请用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：265a a -+．（2）已知3,234ab a b =+=，求2224a ab b -+的值．（3）若将2412x x m ++分解因式所得结果中有一个因式为 x ＋2，试求常数m 的值．---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【分析】把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫因式分解，根据定义对各选项进行一一分析判断即可. 【详解】A. a 2﹣a ﹣1＝a （a ﹣1﹣1a ）∵从左往右的变形是乘积形式，但（a ﹣1﹣1a ）不是整式，故选项A 不是因式分解；B. （a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2，从左往右的变形是多项式的乘法，故选项B 不是因式分解； C. m 2﹣m ﹣1＝m （m ﹣1）﹣1，从左往右的变形不是整体的积的形式，故选项C 不是因式分解； D.根据因式分解的定义可知 m （a ﹣b ）+n （b ﹣a ）＝（m ﹣n ）（a ﹣b ）是因式分解，故选项D 从左往右的变形是因式分解. 故选D. 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的特征从左往右的变形后各因式乘积，各因式必须为整式，各因式之间不有加减号是解题关键. 2、D 【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断. 【详解】解：①x 2+x ﹣2＝()()21x x +-；②x 2+3x +2＝()()21x x ++；③x 2﹣x ﹣2＝()()12x x +-；④x 2﹣3x +2＝()()21x x --.∴有因式x ﹣1的是①④. 故选：D. 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++.3、C【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解.【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，∴a-c＞0，∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）∵b-a＞0，∴（a﹣c）（b﹣a）＞0∴M＞N方法二：∵c＜a＜b＜0，∴可设c=-3，a=-2，b=-1，∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1∴M＞N故选C.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断.4、B【分析】根据完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2以及平方差公式分别判断得出答案. 【详解】解：A、x2﹣4＝（x﹣2）（x＋2），不合题意；B、﹣x2﹣4，不能用公式法分解因式，符合题意；C、x2＋x＋14＝（x＋12）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；D、﹣x2＋4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；故选：B.【点睛】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式.5、B【分析】根据已知条件得出（x-1）3-（x-1）=0，再通过因式分解求出x的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案.【详解】1x=-，∴x-1=（x-1）3，∴（x-1）3-（x-1）=0，（x-1）[（x-1）2-1]=0，（x-1）（x-1+1）（x-1-1）=0，x（x-1）（x-2）=0，∴x1=0，x2=1，x3=2，∴x2-x=0或x2-x=12-1=0或x2-x=22-2=2，故选：B.【点睛】此题考查了立方根，因式分解的应用，解题的关键是通过式子变形求出x的值.6、B【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可.【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中k 为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.故选：B.【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在.7、D【分析】利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可.【详解】解：A、原式＝m（m+4n），不符合题意；B、原式不能分解，不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（a﹣2b）2，符合题意.故选：D.【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.8、A【分析】将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），再结合已知即可求解.【详解】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），由已知可得：勤奋博学，故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求是解题的关键.9、C【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可.【详解】解：①x2-10x+25=（x-5）2，不符合题意；②4a 2+4a -1不能用完全平方公式分解； ③x 2-2x -1不能用完全平方公式分解；④−m 2+m −14=-（m 2-m +14）=-（m -12）2，不符合题意； ⑤4x 4−x 2+14不能用完全平方公式分解.故选：C. 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键. 10、A 【分析】根据题目中的式子，进行因式分解，根据a 是整数，从而可以解答本题. 【详解】解：∵a 2+a =a （a +1），a 是整数， ∴a （a +1）一定是两个连续的整数相乘， ∴a （a +1）一定能被2整除，选项B 、C 、D 不符合要求，所以答案选A ， 故选：A. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，准确理解题意并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 11、C 【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案. 【详解】A. x2+2x﹣1≠(x﹣1)2，故A不符合题意；B. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)，故B不符合题意；C. x2+4x+4＝(x+2)2，是因式分解，故C符合题意；D. ax2﹣a＝a(x2﹣1)=a(x+1)(x-1)，分解不完全，故D不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义.12、A【分析】根据多项式与多项式的乘法法则化简(x+3)(x﹣4)，再与式x2﹣mx+n比较求出m，n的值，代入m﹣n计算即可.【详解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12，∴x2﹣mx+n= x2-x-12，∴m=1，n=-12，∴m﹣n=1+12=13.故选A.【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键.13、A【分析】根据因式分解定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式为因式分解，利用因式分解定义对选项进行一一判断即可.【详解】解：A . 2222()a ab b a b -+=-是因式分解，故选项A 正确；B . 2(1)(2)2x x x x -+=+-是多项式乘法，故选项B 不正确；C . ()11ma mb m a b +-=+-不是因式分解，故选项C 不正确；D . 3232824x y x y =⋅是单项式乘的逆运算，不是因式分解，故选项D 不正确.故选择A.【点睛】本题考查多项式的因式分解，掌握多项式的因式分解定义与特征是解题关键.14、B【分析】根据整式乘法法则进行计算﹣（x ﹣5）（x +7）的结果，然后根据多项式相等进行对号入座.【详解】解：∵﹣（x ﹣5）（x +7）＝2235x x --+，∴2m =-，故选：B.【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，即两个多项式相等，则它们同次项的系数相等.15、D【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解.【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键.二、填空题1、()()32x y m n -+【分析】先将原式变形为()()32m x y n x y -+-，再利用提公因式法分解即可.【详解】解：原式()()32m x y n x y =-+-()()32x y m n =-+， 故答案为：()()32x y m n -+.【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键.【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.【详解】解：222x 2y -=()222x y -=()()2x y x y +-=2×9×3=54，故答案是：54.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.3、18【分析】本题要求代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3的值，而代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3恰好可以分解为两个已知条件ab ，（a -b ）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答.【详解】解：a 3b -2a 2b 2+ab 3=ab （a 2-2ab +b 2）=ab （a-b ）2当a-b =3，ab =2时，原式=2×32=18，故答案为：18【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.【分析】先提出公因式，进行因式分解，再代入，即可求解.【详解】解：()22x y xy xy x y +=+∵x +y ＝﹣2，xy ＝4，∴()22428x y xy +=⨯-=-.故答案为：8- .【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法是解题的关键.5、5 4【分析】把(x +1)(x +4)展开，合并同类项，可确定a 、b 的值.【详解】解：∵(x +1)(x +4)，=244x x x +++，=254x x ++，∴54a b ==，；故答案为：5，4.【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母6、2(a -3)(a +1)a +1)(a -3)【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可.【详解】解：2a 2－4a －6＝2（a 2－2a －3）＝2(a -3)(a +1)故答案为：2(a -3)(a +1)【点睛】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键.7、(3)(3)a a a +-；【分析】先提取公因式a ，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.【详解】 a 3﹣9a ＝2(9)a a -=(3)(3)a a a +-故答案为：(3)(3)a a a +-【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.8、-6【分析】直接利用完全平方公式完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2，得出k 的值.【详解】解：∵多项式x 2+kxy +9y 2可以分解成（x -3y ）2，∴x 2+kxy +9y 2=（x -3y ）2=x 2-6xy +9y 2.∴k =-6.故答案为：-6.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键.9、()()a b m n --【分析】根据提公因式因式分解求解即可.【详解】解：()()()()()()m n m n a b b a a b a b m n b a -----+==--，故答案为：()()a b m n --.【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键.10、4【分析】直接利用已知代数式将原式得出x +y =2，再将原式变形把数据代入求出答案.【详解】解：∵x +y -2=0，∴x +y =2，则代数式x 2+4y -y 2=（x +y ）（x -y ）+4y=2（x -y ）+4y=2（x +y ）=4.故答案为：4.【点睛】此题主要考查了公式法的应用，正确将原式变形是解题关键.三、解答题1、()()22222a x x +-【分析】根据分解因式的方法，先提公因式2a ，然后利用完全平方公式法分解因式，最后利用平方差公式法分解因式求解即可.【详解】解：2ax 4﹣16ax 2＋32a()()()()242222281624222a x x a x a x x =-+=-=+-【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.2、（1）()()7x y x y +-；（2）8a b c ++=【分析】（1）将前两项配方后即可得到22(2)4)(x y y -+，然后利用平方差公式因式分解即可；（2）由2222264130a b c ab b c ++---+=，可得222()(3)(2)0a b b c -+-+-=，求得a 、b 、c 后即可得出答案.【详解】解：（1）22222676916x xy y x xy y y +-=++-()()()()22343434x y y x y y x y y =+-=+++-()()7x y x y =+-（2）∵2222264130a b c ab b c ++---+=∴2222269440a ab b b b c c -++-++-+=，∴()()()222320a b b c -+-+-=，∴a b =，3b =，2c =，∴8a b c ++=【点睛】本题考查了因式分解的知识，解题的关键是能够熟记完全平方公式及平方差公式的形式，并能正确的分组.3、（1）（a -1）（a -5）；（2）92；（3）8【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）利用完全平方公式将a 2-2ab +4b 2进行变形，转化为含有ab =34，a +2b =3的式子即可求解；（3）设另一个因式为4x +n ，将（x +2）（4x +n ）展开，得出一次项的系数和常数项，继而求出m 的值.【详解】解：（1）a2-6a+5=a2-6a+9-4=（a-3）2-4=（a-3+2）（a-3-2）=（a-1）（a-5）；（2）∵ab=34，a+2b=3，∴a2-2ab+4b2=a2+4ab+4b2-6ab=（a+2b）2-6ab=32-6×34=92；（3）∵4x2+12x+m有一个因式为x+2，∴设4x2+12x+m=( x+2)( 4x+n)，即4x2+12x+m=4x2+(8+n)x+2n，∴8+n=12，2n=m，∴n=4，m=8.∴常数m的值为8.【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，配方法的应用等知识，掌握公式的应用是解题的关键.。
初中数学配方法练习
3.把二次函数 用配方法化成 的形式
A. B.
C. D.
4.将代数式 化成 的形式为
A. B. C. D.
5.已知 ，则 的值为
A. B. C. D.
6.已知 ，那么 的值是
A. B. C. D.
7.若 是一元二次方程 的根，则判别式 和完全平方式 的关系是
A. B.
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
11.某商品进货单价为 元，按 元一个销售能卖 个；若销售单价每涨 元，则销量减少 个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为元．
12.把二次函数 化为形如 的形式：．
13.如图，四边形 中， ， ， ， ， ， 是 上一动点，则 的最小值是．
14.如果方程 可以配方成 ，那么 ．
（3）点 是线段 的中点，将抛物线 沿 轴正方向平移得到新抛物线 ， 经过点 ， 的顶点为点 ．在新抛物线 的对称轴上，是否存在一点 ，使得 为等腰三角形?若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，直线 （ 为常数，且 ）与 交于点 ，与 轴交于点 ，与 交于点 ．
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点 ，点 在抛物线上．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为直线 下方抛物线上的一点，连接 ， ．当 的面积最大时，连接 ， ，点 是线段 的中点，点 是 上的一点，点 是 上的一点，求 的最小值；
③若 ，则 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
把 代入 ，得 ．
解得 ， ，
初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题25 配方法
【例 6】 已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个 代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到 增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于 揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键 在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
初中数学：配方法练习
初中数学：配方法练习01 基础题知识点1 配方1．下列各式是完全平方式的是(C)A．a2＋7a＋7 B．m2－4m－4C．x2－12x＋116D．y2－2y＋22．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(A) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝33．用配方法将二次三项式a2－4a＋5变形,结果是(A)A．(a－2)2＋1 B．(a＋2)2－1C．(a＋2)2＋1 D．(a－2)2－14．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式,其中a,b为整数,则a＋b的值为(A)A．20 B．12C．－12 D．－205．一元二次方程2t2－4t－6＝0配方后化为(A)A．(t－1)2＝4 B．(t－4)2＝10C．(t＋1)2＝4 D．(t－4)2＝106．用适当的数或式子填空：(1)x2－4x＋4＝(x－2)2；(2)x2－8x＋16＝(x－4)2；(3)x2＋3x＋94＝(x＋32)2；(4)x2－25x＋125＝(x－15)2.知识点2 用配方法解一元二次方程7．方程x2＋4x＝2的正根为(D)A．2－ 6 B．2＋ 6C．－2－ 6 D．－2＋ 68．已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±7,则q＝2．9．(山西农业大学附中月考)用配方法解一元二次方程x2＋2x－3＝0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程x＋1＝2或x＋1＝－2__．10．解方程：2x2－3x－2＝0.为了便于配方,我们将常数项移到右边,得2x2－3x＝2；再把二次项系数化为1,得x2－32x＝1；然后配方,得x2－32x＋(34)2＝1＋(34)2；进一步得(x－34)2＝2516,解得方程的两个根为x1＝2,x2＝－12．11．用配方法解方程：(1)x2－2x＝5；解：(x－1)2＝6,∴x1＝1＋6,x2＝1－ 6.(2)x2－23x＋1＝0；解：(x－13)2＝－89,∴原方程无实数根．(3)2x 2－3x －6＝0；解：(x －34)2＝5716, ∴x 1＝3＋574,x 2＝3－574.(4)23x 2＋13x －2＝0. 解：(x ＋14)2＝4916, ∴x 1＝32,x 2＝－2.02 中档题12．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式,则m 等于(B)A ．－2B ．－2或6C ．－2或－6D ．2或－613．若一元二次方程x 2－2x －3 599＝0的两根为a,b,且a ＞b,则2a －b 的值为181．14．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后,可得该多项式的最小值为－5．15．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0；解：(x ＋74)2＝8116,∴x 1＝12,x 2＝－4.(2)x 2－6x ＋1＝2x －15；解：(x －4)2＝0,∴x 1＝x 2＝4.(3)x(x ＋4)＝6x ＋12；解：(x －1)2＝13,∴x 1＝1＋13,x 2＝1－13.(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：(x －3)2＝1,∴x 1＝2,x 2＝4.16．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时,对于b 2－4ac>0的情况,她是这样做的：由于a≠0,方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a,第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2,第二步 (x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2,第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 2a(b 2－4ac>0),第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步 (1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上,当b 2－4ac>0时,方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是x ＝2a(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.解：移项,得x 2－2x ＝24,x 2－2x ＋1＝24＋1,(x －1)2＝25,x －1＝±5,x ＝1±5,所以x 1＝－4,x 2＝6.17．已知实数a,b 满足a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0,你认为能够求出a 和b 的值吗？如果能,请求出a,b 的值；如果不能,请说明理由．解：能．理由：∵a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0,∴a 2＋2a ＋1＋4b 2－4b ＋1＝0.∴(a＋1)2＋(2b －1)2＝0.∵(a＋1)2≥0,(2b －1)2≥0,∴a＋1＝0,2b －1＝0.∴a＝－1,b ＝0.5.03 综合题18．(葫芦岛中考)有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0； (x2)2nx－8n2＝0.小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4,x2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含n的式子表示方程的根) 解：x2＋2nx＝8n2,x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2,(x＋n)2＝9n2,x＋n＝±3n,x＝－n±3n,∴x1＝－4n,x2＝2n.。
人教版初一数学配方法
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
人教版初一数学配方法
x2 2x 3
2x2 7x 6
y2 20 y 96
练习2 把下列各式分解Hale Waihona Puke 式2x2 y2 7xy 6
2x2 7xy 6y2
从中你体会到什么启示？
步骤：1提：提出二次项系数；
2配：配成完全平方；
3化：化成平方差；
4分解：运用平方差分解因式。 实质：对二次三项式的常数项进行 “添项”。“添”的是一次项系数一 半的平方。
因式分解
——配方法
对于 ax2 bx c (a 0)
这样的二次三项式，可以用 什么方法进行因式分解？
分解因式：
x2 3x 40 2x2 x 3
1、写出用配方法解方程
2x2 x 3 0 的过程。
2、回忆并说出用配方法解方程 有哪几个步骤。
3、其中最关键的一步是什么？
练习3 把下列各式分解因式
a2 b2 4a 2b 3
x4 4
你领略到配方的魅力了吗？
对于二次三项式的因式分解，有十 字相乘法，有配方法，哪种方便？为 什么还要学习配方法？
分解因式：
x2 120x 3456 3x2 6x 1（在实数范围内）
配方法是一种“通法”，就是说只 要是能分解的二次三项式，都能用配 方法来分解。
用配方法怎样进行因式分解呢？
例1 分解因式
x2 3x 40
2x2 x 3
在分解过程中，为什么要加上一项， 又减去该项？
在第2题中怎样把二次项系数变为1？
能总结出用配方法分解因式的步骤吗？
对比用配方法解方程，你觉得用配方 法分解因式的过程中，哪些值得注意 的地方？
练习1 把下列各式分解因式
初中数学配方法习题及答案
初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。
配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。
一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。
它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。
通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。
首先，将方程两边移项，使其等于零。
然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。
最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。
然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。
2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。
例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。
首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。
然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。
三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。
例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。
例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。
人教版初中数学《配方法》(完整版)课件
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
3.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3
2
一移常数项； 二配方[配上 （二次项系数）2 ]；
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
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探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+ 42 = ( x+ 4 )2
（4）x2- 4
3
x+
(
2 3
) 2 = ( x-
2 3
)2
你发现了什么规律？
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典例精析
例1 解下列方程：1 x28x10；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 , 即 ( x－4)2=15
初中数学代数最值问题常用解决方法
初中数学代数最值问题常用解决方法最值问题，也就是最大值和最小值问题。
它是初中数学竞赛中的常见问题。
这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。
一. 配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。
解：原式由此可知，当时，有最小值。
二. 设参数法例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。
则的最大值为________。
解：设，易知由，得从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。
于是，有解得。
故的最大值为2。
例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. 3B.C.D. 6解：设，则从而可知，当时，取得最小值。
故选（B）。
三. 选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。
则z的最大值是________。
解：由得。
代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。
即，整理得解得。
所以，z的最大值是。
四. 夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。
设，记为m的最小值，y为m的最大值。
则__________。
解：由得解得由是非负实数，得从而，解得。
又，故于是，因此，五. 构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。
解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。
从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则因为，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。
若，则的最大值为_________。
解：由得，代入得。
而由和可知的整数。
所以，当时，取得最大值，为。
七. 借助几何图形法例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。
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七年级数学配方法试题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
配方法(AB 卷)
A 卷
一、填空题：
1.填上适当的数,使下面各等式成立：
(1)x 2+3x+_______=(x+________)2; (2)_______-3x+14
=(3x_______)2; (3)4x 2+_____+9=(2x________)2;
(4)x 2-px+_______=(x-_______)2;
(5)x 2+b a
x+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立：
(1)x 2-2x-3=(x-______)2-_______;
(2)x 2++=(x+_______)2+________;
(3)3x 2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)23x 2+13x-2=23
(x+________)2+_______. 二、选择题
3.方程x 2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )
A.(x-6)2=41
B.(x-3)2=4;
C.(x-3)2=14
D.(x-6)2=36
4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )
A. 217618x ⎛+=- ⎝⎭;
B. 2
37618x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
;
C. 235618x ⎛+= ⎝⎭;
D. 23766x ⎛+= ⎝⎭ B 卷
二、解答题：
5.用配方法解下列方程:
(1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0;
(3)x 2-23x+118
=0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证:
(1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零.
7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t 2.
(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.
8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32
,试判断△ABC 的形状. A 卷答案 1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a 2.(1)1,4 (2), (3) 17,33- (4) 149,424
-
B 卷答案：
5.(1) 1222x x =-=-
(2) 32
x -=
(3) 26x ±=
(4) x = 6.(1)原式=2318042x ⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭ (2)原式= 2112022y ⎛⎫---< ⎪⎝
⎭ 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒
8.∵∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92
,
∴ab+bc+ac=3 2
∴a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴1
2
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0,
∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形。