1-极限与连续性习题课(解答)讲解

1.直接法: 先利用最值定理，再利用介值定理; 2.辅助函数法: 先作辅助函数再利用零点存在定理;
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作业:
习题1-9(P76)：
2；5(2)(4)；7；8； 9；10；13；14；16
说明：第一大题根据自己的情况练习
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例1
求下列极限：
e e cos x (1) lim x 0 x sin x e(1 e cos x 1 ) lim 2 x 0 x
n
n
n
1

n
e n
e
e
lim n
5 72 2
第一章
函数与极限 习题课
一、 函数 二、 极限 三、 连续与间断
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一、函数
（1）函数的概念 （2）函数的特性：有界性、奇偶性、单调性、周期性 二、极限 （1）求极限的常用方法 a. 定义及运算法则; b. 两个重要极限; c. 夹逼定理和单调有界原理; d. 有理函数及多项式型函数极限的求法; e. 利用无穷小运算性质求极限; f. 利用等价无穷小代换求极限；
g. 幂指函数求极限。
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（2）两个重要极限
1)
sin x lim 1 x0 x
1 n lim (1 ) e n n
sin lim 1, 某过程
其中： lim 0
某过程
2)
1 x lim (1 ) e x x lim (1 x ) e
x0 1 x
某过程
lim (1 ) e .
某过程
1
其中： lim 0
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（3）常用等价无穷小:
当 x 0时
1 2 1 cos x ~ x , 2
sin x ~ x ,
tan x ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , ln(1 x ) ~ x ,
x x0
x x0
lim 1 u ( x )
v(x)
e
x x0
lim v ( x ) u ( x )
1 lim [1 u ( x )] u ( x ) x x0
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n n n 5 7 5 72 lim 1 (8) lim n n 2 2
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(7) lim 1 x cot x lim ( 1 2 x ) cot x x0
1 x
x 0
1 x
1

e
2x lim(cot x ) x 0 1 x
e
x x0
lim
x源自文库0
1 ( tan x

2x 1 x
)
e
2
复习: 若 lim u ( x ) 0 , lim v ( x ) , 则有
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（ 6）
x
lim
4 x2 x 1 x 1 x 2 sin x
1 1 | x| 4 2 x1 x x lim x sin x | x | 1 2 x 1 1 x 4 2 x1 x x lim 1 x sin x x 1 2 x
ax bx ab lim lim x0 x x0 x
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(1 mx ) (1 nx ) ( 4 ) lim ， ( m , n为 正 整 数 ) 2 x0 x P48：1(21)
n m
n ( n 1) 2 m ( m 1) 2 2 [ m n ]x x 3 2! 2! lim 2 x0 x
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(1 x ) a (1 x ) b ( 3 ) lim x0 x
(1 x ) a 1 (1 x ) b 1 lim x0 x x
(1 x ) a 1 (1 x ) b 1 lim lim x0 x0 x x
当 x 0 时 ， e c o s x 1 1 ~ cos x 1
1 cos x e e lim 2 x 0 x 2
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4 arctan x ( 2 ) lim tan( ) x 1 x 1 tan tan arctan x 4. 1 tan tan 4 lim x 1 x 1 x 1时 ， arctan x ~ tan(arctan x ). 4 4 tan(arctan x ) tan x 1 4 tan(arctan x ) 1 x 4 1 tan(arctan x ) tan 4 x 1 1 1 x 4 lim 2 原式 4 lim x 1 1 x x 1 x 1
e x 1 ~ x , a x 1 ~ x ln a ,
(1 x ) 1 ~ x
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三、函数的连续性
（1）函数连续的概念
（2）间断点的类型
（3）闭区间上连续函数的性质 最值定理 介值定理 解题思路： —— 有界性定理
—— 零点存在定理
注意： 闭区间和连续这两点缺一不可。
n ( n 1) 2 m ( m 1) 2 m n 2! 2!
mn 2 nm 2 2
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（ 5）
1 解： 令 t , 则 x
1 1 1 lim 100 2 t0 t t t
1 1 100t 2 1 1 1 100 t 2 lim lim 2 t 0 t0 t t t t 2 100t 50 lim t 0 t 2 (1 1 100 t 2 )