角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导

1. 三角函数的定义

由此，我们定义：

如Figure I, 在ΔABC 中

sin () cos () tan ()1

1 cot ()tan 1

1 sec ()cos 1

1 csc ()sin b

c

a c

b a a b b a

c a a c c b b c θθθθθθθθθ

θθθ

θθθ∠=

∠=∠=∠===∠===∠=

==对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边

备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表A c b θ Figure I

示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。

2. 额外的定义

22

22

22sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===

3. 简便计算公式

22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)

sin cos 1b A c

c A b b a a A b

θθθθθθθθ=

==-∠===-∠====-∠+=o o o 证明： 222

22

22222901sin sin 1

sin cos 1ABC ABC a b c a b c c

B A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=o

Q 在中,

证完

222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b

b c a a c

θθθθθθθθθ

===+=+= 4. 任意三角形的面积公式

如Figure II , C

a b

h

Figure II

12

1sin 2

1sin ()2

ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与

两邻边积的两倍之比。

证明：

如Figure II, 222

22

22222222222222222

(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c B

a ac B c B B a c ac B

b a

c a c b B ac ac

=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-

证完

6. 海伦公式

证明：

如Figure II ,

1sin 2

1

2

121212ABC S ab C

∆========

=2

ABC a b c

s S ∆=

=

=

++=设： 7. 正弦定理

如 Figure III ,

c 为ΔABC 外接圆的直径,

sin 2 sin a A c a

c r r ABC A =

∴==∆Q （为的外接圆半径）

同理：

, sin sin 2sin sin sin b c c c B C a b c r A B C =

=∴===

8. 加法定理

(1) 两角差的余弦

如 Figure IV,

AOC BOC AOB α

βαβ

∠=∠∠=∠∠=∠-∠

令AO=BO=r

点A 的横坐标为cos A x r α=

点A 的纵坐标为sin A y r α=

点B 的横坐标为cos B x r β=

y

Figure IV

点B 的纵坐标为sin B y r β=

()()

()()

()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦

=-+⎡⎤⎣⎦

=-+⎡⎤⎣⎦

由余弦公式可得：

()

()

()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACB

r r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦

=--⎡⎤⎣⎦

综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+

(2) 两角和的余弦

()()()()

cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ

αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦

=-+-=-+=-

(3) 两角和的正弦

()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβ

αβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦

=︒--⎡⎤⎣⎦

=︒-+︒-=+

(4) 两角差的正弦