庞皓《计量经济学》笔记和课后习题详解(设定误差与测量误差)【圣才出品】

∧
b．若 X3 与 X2 不相关，即∑x2ix3i＝0，α2 满足无偏性和一致性，但这时截距项的估计
仍然不具有无偏性。
∧
∧
c．α2 的方差是β2 方差的有偏估计。
∧
d．遗漏变量的估计模型中的随机扰动项 vi 的方差估计量σv2＝RSSv（/ n－2）是有偏的，
∧
即 E（σv2）≠σv2。
3 / 22
2 / 22
圣才电子书
www.100xuexi.com
偏的。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
当样本很大时，由中心极限定理可得，参数的估计为：
p
lim
n
ˆ2
2
3
Cov X 2i , X 3i Var X 2i
Cov X 2i ,ui Var X 2i
可知 OLS 估计量在大样本下也是非一致的。
参数估计有偏，是因为在错误的估计模型中 vi＝β3X3i＋ui，所以有：Cov（vi，X2i｜X2）＝
Cov（β3X3i＋ui，X2i｜X2）＝Cov（β3X3i，X2i｜X2）＋Cov（ui，X2i｜X2），虽然 Cov（ui，
X2i｜X2）＝0，但 Cov（β3X3i，X2i｜X2）＝β3Cov（X3i，X2i｜X2）≠0，因此参数估计是有
其方差为：
Var ˆ2
v2 x2i2 1 r232
由以上可知，无关变量的设定误差的后果为：
①参数的 OLS 估计量具有无偏性和一致性。
∧
②α2 不是有效估计量。虽然变量 X3 对被解释变量 Y 没有影响，但解释变量 X3 与 X2 之
∧
∧
间很可能存在相关性，即 0≤r232≤1，导致 Var（α2）≥Var（β2）。
表 9-1 出现设定误差的原因
1 / 22
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
2．变量设定误差的后果
从实质上看，变量设定误差的主要后果，是一个或多个解释变量与随机扰动项之间存在
着相关性，而影响参数估计的统计特性。
（1）遗漏相关重要变量（欠拟合）的偏误
①参数的估计
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
e．假设检验、区间估计等与方差相关的检验，在关于参数的统计显著性方面容易得出
错误的结论。
（2）包含无关变量（过拟合）的偏误
无关变量偏误是指模型中包括了不重要的解释变量而带来的偏误。
为讨论方程中包含了无关变量的情形，假设正确的模型是 Yi＝β1＋β2X2i＋ui。而回归模
型中错误的加入了无关变量 X3，模型被设定为 Yi＝α1＋α2X2i＋α3X3i＋vi③
采用 OLS 法对式③进行参数估计，得到：
ˆ2
x2i yi x22i
x32i x32i
x3i yi x2i x3i
2
x2i x3i
将正确模型的离差形式代入上式，并求条件期望，得到：
E ˆ2|X 2 , X3 2
②参数方差的估计
参数的方差同样也是有偏的。在正确的模型中，参数估计的方差为：
Var ˆ2
2
x22i
1
x2i x3i
2
x22i
x32i
2 x22i 1 r223
∧
而在遗漏变量的模型中，参数估计的方差为：Var（α2）＝σ2/∑x2i2。
因此当 X2 与 X3 相关时，遗漏变量模型的方差估计就是有偏的。此外，在两个模型的估
∧
∧
计中，对于残差方差的估计也是不同的，即 RSSv/（n－2）≠RSSu/（n－3）或σv2≠σu2。
所以在方差的估计中，即使 X2 和 X3 不相关，残差方差的不同也会导致两种情况下的参数的
方差估计不同。
③遗漏相关重要变量（欠拟合）产生的后果
∧
∧
a．如果漏掉的变量 X3 与变量 X2 相关，则参数的估计α1 和α2 将是有偏且不一致的。
∧
③E（σv2）＝σv2。即随机误差项的方差的估计仍为无偏估计。
∧
④区间估计和假设检验程序依然有效，但由于α2 的方差增大，接受错误假设的概率会
比较高。
（3）遗漏相关重要变量与误选无关变量之间的权衡
4 / 22
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
如果遗漏相关重要变量，将导致参数估计量有偏且不一致；如果误选了无关变量，虽然 参数估计量具有无偏性和一致性，但不再具有有效性。因此在应用模型的过程中，要根据实 际情况对两者进行权衡。通常误选无关变量不如遗漏相关重要变量的后果严重。
将式①代入式②，得到：
ˆ2
x2i 2 x2i 3 x3i ui u
x22i
2
x22i 3
x2i x3i x22i
x2i ui u
2 3
x2i x3i x22i
x2i ui u
x22i
当样本较小时，X2 和 X3 有一定的相关性，所以根据上式结果可知系数估计是有偏的。
如果建模目的只是为了进行预测，最小均方误差则可能是兼顾有效性和无偏性的良好准 则。均方误差（MSE）是参数估计值 β*与参数真实值 β 离差平方的期望，即 MSE（β*）＝ E（β*－β）2。容易证明，均方误差与方差有如下关系：E（β*－β）2＝E[β*－E（β*）]2＋[E （β*）－β]2。均方误差 E（β*－β）2 是方差 E[β*－E（β*）]2 与偏倚的平方[E（β*）－β]2 之 和，包含了两个方面的因素。当在较小偏倚（或无偏性）和较小方差（或最小方差性）“两 者不可兼得”时，需要进行“权衡与折中”，可用均方误差准则。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
第 9 章 设定误差与测量误差
9.1 复习笔记
考点一：设定误差类型及后果 ★★ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ★
1．设定误差的基本概念 设定误差是指由于模型设定而导致的偏误。 （1）设定误差的种类 从误差来源看，设定误差主要包括： ①变量的设定误差。包括相关重要变量的遗漏（欠拟合）、无关变量的误选（过拟合）。 ②模型函数形式的设定误差。 ③变量数据的测量误差。 ④随机扰动项设定误差。 （2）出现设定误差的原因（见表 9-1）
遗漏相关重要变量偏误是指用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带来的偏误。
如果正确的模型应该是 Yi＝β1＋β2X2i＋β3X3i＋ui；对应的离差形式为 yi＝β2x2i＋β3x3i
＿
＋（ui－u）① 但是由于某些原因，设定模型时将变量 X3i 遗漏了，回归时采用的模型为 Yi＝α1＋α2X2i
∧
＋vi。假定其他有关线性模型的古典假设都成立，则上式中 α2 的 OLS 估计式为α2＝ ∑x2iyi/∑x2i2②