最新46抛物面汇总

46抛物面
§4.6 抛物面
一、椭圆抛物面
1．在直角坐标系下,由方程
+＝2z
所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 该方程叫做椭圆抛物面的标准方程, 其中a, b 为任意正常数.
2. 椭圆抛物面的图形（如图4-7）.
(1) 曲面的对称性：椭圆抛物面关于yOz, zOx坐标面以及z轴对称, 但它没有对称中心, 它与对称轴交于点(0, 0, 0), 这点叫做椭圆抛物面的顶点.
(2) 曲面与坐标轴的交点：椭圆抛物面通过坐标原点, 且除原点外, 曲面与三坐标轴没有别的交点.
(3) 曲面的存在范围：椭圆抛物面全部在xOy坐标面的一侧, 即在z≥0的一侧.
(4) 被坐标面截得的曲线
①②③
①表示一点(0, 0, 0), 而②与③分别为xOz与yOz坐标面上的抛物线, 它们有着相同的顶点和相同的对称轴即z轴, 开口都向着z轴的正向,都叫做椭圆抛物面的主抛物线.
(5) 被坐标平面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平行平面z＝h(h>0)来截椭圆抛物面, 得截线方程为
+＝
1. ④
椭圆抛物面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在的平面与xOy坐标面平行, 两顶点分别在双曲线②与③上.
用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割椭圆抛物面,所截得的曲线为抛物
线
用平行于yOz坐标面的平面来截椭圆抛物面所得的截线也是抛物线.
若a＝b, 则椭圆抛物面就是旋转抛物面.
3. 椭圆抛物面的参数方程为
(u, v是参数)
二、双曲抛物面
1. 在直角坐标系下, 由方程
－＝2z
所表示的曲面叫做双曲抛物面, 如图5-8, 该方程叫做双曲抛物面的标准方程, 其中a, b为任意正常数.
2. 双曲抛物面的图形（如图4-8）.
(1) 曲面的对称性：双曲抛物面关于xOz坐标面, yOz坐标面以及z轴都对称, 但它没有对称中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点：双曲抛物面通过原点, 且除原点外与三坐标轴
没有其它交点.
(3) 被坐标面所截得的曲线：双曲抛物面被xOy坐标面截得的曲线方程为
⑤这是一对相交于原点的直线
与
被xOz与yOz坐标面截得的曲线方程分别为
⑥
⑦这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线, 它们有着相同的顶点与相同的对称轴, 即z轴, 但开口方向相反.
(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h 来截割双曲抛物面, 得截线方程为
⑧这是双曲线, 当h>0时, 双曲线⑧的实轴与x轴平行, 虚轴与y轴平行, 顶点(±a, 0, h)在主抛物线⑥上; 当h<0时,双曲线⑧的实轴与y轴平行, 虚
轴与x轴平行, 顶点(0, ±b,h)在主抛物线⑦上.
用分别平行于xOz与yOz坐标面的平面y＝k与x＝t来截曲面,其截线都是抛物线, 方程分别为
⑨⑩抛物线⑨的对称轴平行于z轴, 且开口方向与z轴正向相同, 顶点(0, k, －
)在主抛物线⑦上; 抛物线⑩的对称轴也平行于z轴, 但开口方向与z轴的
正向相反, 顶点(t, 0, )在主抛物线⑥上.
双曲抛物面也叫做马鞍曲面.
椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面, 它们都没有对称中心,所以又都叫做无心二次曲面.
3. 双曲抛物面的参数方程为
(u, v为参数)
例1. 在空间直角坐标系中, 求与直线
l
：＝＝和l2：＝＝
1
共面且与平面π：x－y－5＝0平行的直线所组成的轨迹.
解：设满足条件的直线方程为
＝＝，
由直线与l1共面得
＝0,
或 (4y0＋z0－4)X＋(－4x0＋z0＋4)Y＋(－x0－y0＋z)Z=0. ①由直线与l2共面得
＝0,
或z0X＋z0Y＋(―x0―y0)Z＝
0. ②由直线平行于平面π得
X－Y＝0. ③因为X, Y, Z不全为零, 所以由上面①、②、③构成的齐次线性方程组应
有非零解, 因而
＝0,
化简得x02－y02＝z0.
其中 (x0, y0, z0) 表示所求直线上的点, 从而满足条件的直线所组成的轨迹是
双曲抛物面x2－y2＝z.
例2. 适当选取坐标系, 求下列轨迹的方程：
(1) 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹;
(2) 与两给定异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线之间的距离为2a, 夹角为2α.
解:(1) 设定点到定平面的距离为h>0, 常数c>0. 取定平面为xOy平面, z
轴垂直于定平面并通过定点建立直角坐标系, 设定点坐标为(0, 0, h), 动点坐标为(x, y, z), 依题意有
，
化简整理得
x2+y2+(1－c2)z2－2hz＋h2＝0.
讨论：当h＝0时, 方程为x2+y2+(1－c2)z2＝0,
(i) c>1时为圆锥面;
(ii) c＝1时为z轴;
(iii) c<1时为一点(0, 0, 0).
当h≠0时,
(i) c>1时为旋转双叶双曲面;
(ii) c＝1时为旋转抛物面;
(iii) c <1时为旋转椭球面.
(2) 取两异面直线的公垂线为z轴, 公垂线中点为原点, 并取轴与两异面直线成等角建立空间直角坐标系, 设公垂线与两异面直线的交点分别为E (0, 0, a), F (0, 0, －a). 则两异面直线的方向矢量分别为
＝{cosα, sinα, 0}, ＝{cosα, －sinα, 0}.
设动点为P(x, y, z), 依题意有
＝,
即 |{cosα, sinα, 0}×{x, y, z－a}|＝|{ cosα, －sinα, 0}×{x, y,
z+a }|,
化简整理得
2az＋xy sin2α＝0.
该曲面表示一个双曲抛物面.
例3. 画出下列方程所代表的图形：
(1) ++z＝1; (2) z＝xy;
解：(1) +＝－(z－1);
(2) z不动, 把x, y轴绕z轴旋转
x=,
y=,
z=z'..
则方程化为x'2－y'2＝z'.
例4.画出下列各组曲面所围成的立体的图形：
(1) y＝0, z＝0, 3x＋y＝6, 3x＋2y＝12, x＋y＋z＝6；
(2) x2+y2＝z, 三坐标面, x ＋y ＝1;
(3) x＝, ＝x, y＝1；
(4) x2＋y2＝1, y2＋z2＝1.
解：如下图
作业题：
1. 判断下列方程表示什么曲面, 并画出草图.
(1) 4y2＋z2＝4x；(2) 3x2－5y2+15z＝0 .
2. 方程＋＝z (a>b>0, k为参数)表示一族无心二次曲，问k取何值时，二次。