地图着色问题
四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
地图着色问题实验报告
算法设计与分析课程设计题目：地图着色问题文档：物联网工程学院物联网工程专业学号学生姓名班级二〇一三年十二月一、问题描述：地图着色问题设计要求:已知中国地图,对各省进行着色,要求相邻省所使用的颜色不同,并保证使用的颜色总数最少.二、概要设计（流程图）步骤：1．已知中国地图，对各省进行着色，要求相邻省所使用的颜色不同，并保证使用的颜色总数最少；2．将各省进行编号，然后利用无向图的顶点之间的边来表示各省的相邻关系；3．将各编号进行逐一着色，利用循环语句遍历各省，判断语句判断是否符合要求；4．演示程序，以用户和计算机的对话方式进行；5．最后对结果做出简单分析及总结。
流程图三、源程序#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAXedg 100#define MAX 0#define N 4 /*着色的颜色数*/int color[30]={0};/*来存储对应块的对应颜色*/ typedef char vextype;typedef int adjtype;typedef struct /*定义图*/{vextype vexs[MAXedg]; /*存放边的矩阵*/adjtype arcs[MAXedg][MAXedg]; /*图的邻接矩阵*/ int vnum,arcnum; /*图的顶点数和边数*/}Graph;int LocateVex(Graph G,char u){int i;for(i=1;i<=G.vnum;i++){if(u==G.vexs[i])return i;}if(i==G.vnum){printf("Error u!\n");exit(1);}return 0;}void CreateGraph(Graph &G) /*输入图*/{int i,j,k, w;vextype v1,v2;printf("输入图的顶点数和边数:\n");scanf("%d%d",&G.vnum,&G.arcnum);getchar();printf("输入图的各顶点：\n");for(i=1;i<=G.vnum;i++){scanf("%c",&G.vexs[i]);getchar();}for(i=0;i<=G.vnum;i++)for(j=0;j<=G.vnum;j++)G.arcs[i][j]=MAX;printf("输入边的两个顶点和权值(均用1表示):\n"); for(k=0;k<G.arcnum;k++){scanf("%c", &v1);getchar();scanf("%c", &v2);getchar();scanf("%d", &w); getchar();i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);G.arcs[i][j]=w;G.arcs[j][i]=w;}void PrintGraph(Graph G) /*输出图的信息*/{int i,j;printf("图的各顶点：\n");for(i=1;i<=G.vnum;i++)printf("%c ",G.vexs[i]);printf("\n");printf("图的邻接矩阵：\n");for(i=1;i<=G.vnum;i++){for(j=1;j<=G.vnum;j++)printf("%d ",G.arcs[i][j]);printf("\n");}}int colorsame(int s,Graph G)/*判断这个颜色能不能满足要求*/ {int i,flag=0;for(i=1;i<=s-1;i++)/*分别与前面已经着色的几块比较*/if(G.arcs[i][s]==1&&color[i]==color[s]){flag=1;break;}return flag;}void output(Graph G)/*输出函数*/int i;for(i=1;i<=G.vnum;i++)printf("%d ",color[i]);printf("\n");}void trycolor(int s,Graph G)/*s为开始图色的顶点，本算法从1开始*/ {int i;if(s>G.vnum)/*递归出口*/{output(G);exit(1);}else{for(i=1;i<=N;i++)/*对每一种色彩逐个测试*/{color[s]=i;if(colorsame(s,G)==0)trycolor(s+1,G);/*进行下一块的着色*/}}}int main(){Graph G;CreateGraph(G);PrintGraph(G);printf("着色方案:\n");trycolor(1,G);return 0;}四、运行主要结果界面贴图1、中国地图简略图2、取地图一部分进行测试有6个顶点，8条边。
世界地图为什么只有 4 种颜色？
世界地图为什么只有 4 种颜色？在一张世界地图上，要给相邻国家涂上不同的颜色，至少需要多少种颜色呢？答案是四种颜色。
这就是数学界非常有名的四色定理，这个最初源于给地图上国家上色的有趣问题被誉为世界近代三大数学问题之一。
数学家用了100 多年的时间才给出了真正的证明，所用的计算机证明也登上了数学舞台。
如今，在图论领域，还有许多由四色定理衍生出来的有趣问题。
例如，一个起源于收音机广播电台的问题：在一个无限大的网格纸上填入数字，同一个数字之间的“距离”必须大于这个数字本身，那么最少需要多少个数字能覆盖整个平面？年幼的你会对着书房墙面上的世界地图发呆吗？凝视着那五颜六色的图案，畅想着自己将来有一天能够环游世界。
而在 19 世纪的英国，一个古老且经典的数学问题——着色问题，就诞生于这样一份凝视。
应用四色定理填色的世界地图，图片来源：自然资源部标准地图服务系统四色问题的起源故事开始于 1852 年，英国地图制图师弗朗西斯·古特里（Francis Guthrie）在观察地图时提出了一个“给地图着色”的问题。
他发现只需要四种颜色就可以对地图进行着色，使得相邻的国家颜色不同。
但令他不解的是，这个数字“4”是否是最优的呢？于是他向他的弟弟弗雷德里克·古特里（Frederick Guthrie）及其朋友们寻求帮助。
在交流中，他们逐渐认识到这个问题与数学有着深刻的联系。
于是弗雷德里克向他的老师——伦敦大学学院的数学家奥古斯塔斯·德摩根（Augustus De Morgan）寻求帮助。
德摩根教授尝试之后也无能为力，于是写信将这个问题转交给了他的好友爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Hamilton）教授。
遗憾的是，充满智慧的哈密顿对这个问题并没有太大的兴趣。
摩尔根在信中写道：“一位学生今天让我说明一个事实，我们不知道它是否可作为一个事实。
他说将平面上的一个图形，任意划分成有限个部分并对其每个部分染色，使得相邻部分具有不同的颜色，而且只能用四种颜色。
地图着色问题课程设计
地图着色问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解地图着色问题的基本概念，掌握地图着色中涉及到的图论知识；2. 学会运用不同的算法解决地图着色问题，了解其优缺点；3. 掌握地图着色问题在实际生活中的应用，如行政区划、交通规划等。
技能目标：1. 能够运用所学知识，对给定的地图进行有效着色，提高解决问题的能力；2. 学会运用图论软件或工具进行地图着色的实际操作，培养动手实践能力；3. 通过团队合作，培养学生的沟通协调能力和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对图论和地图着色问题的兴趣，培养良好的学习态度；2. 引导学生关注地图着色问题在实际生活中的应用，提高学生的社会责任感和实践意识；3. 培养学生面对复杂问题时，保持积极的心态，勇于克服困难，寻求解决问题的方法。
课程性质：本课程为数学学科选修课程，结合图论知识，以地图着色问题为载体，培养学生的逻辑思维能力和实际操作能力。
学生特点：学生处于高年级阶段，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇心，具备一定的团队协作能力。
教学要求：注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动，提高学生的综合素养。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 图论基础知识回顾：包括图的定义、图的表示方法、顶点和边的性质等；教材章节：第一章 图的基本概念2. 地图着色问题的提出：介绍地图着色的背景、意义及应用场景；教材章节：第二章 图的着色问题3. 地图着色算法：学习并掌握贪心算法、回溯算法、遗传算法等地图着色方法；教材章节：第三章 着色问题的算法及其应用4. 地图着色问题的实际操作：运用图论软件或工具进行地图着色实践；教材章节：第四章 着色问题的实际应用5. 地图着色问题案例分析：分析生活中的地图着色问题实例，如行政区划、交通规划等；教材章节：第五章 着色问题的案例分析6. 团队合作与交流：分组讨论、分享学习心得，培养学生的团队协作和沟通能力。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
地图着色的四色猜想
地图着色的四色猜想
人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来。
这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光辉。
在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域。
如上图表示某个国家的省区地图，图中虚线表示各省界。
可见，用两种颜色是区分不开的，三种颜色就够了。
A、B、C三省各用一色，D省和B省用同样的颜色。
又如上图所示的地图，1，2，3，4表示四个国家。
因为这张地图的四个国家中任何两个都有公共边界，所以必须用四种颜色才能把它们区分开。
于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了。
正式提出地图着色问题的时间是1852年。
当时伦敦大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名的数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题。
莫根无法解答，求助于其他的数学家，也没能解决。
于是，这个问题一直传下来。
直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件需撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的! 他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题。
实验四 回溯法(图着色问题)
01 234 001 1 01 1 1 01 01 21 1 01 0 3001 01 41 1 01 0
class MGraph { public:
MGraph(int v,int s); void mColoring(int m,int *x); //一维数组x，存放1~n个顶点的颜色 ~MGraph(); private: void NextValue(int k,int m,int *x); void mColoring (int k,int m,int *x); int **a; //二维数组a，存储图的邻接矩阵 int n,e; //n表示图的顶点数，e表示边数 };
无向图G
【实验内容与要求】
图的着色问题：设G=(V,E)是一连通无向图，有3 种颜色，用这些颜色为G的各顶点着色，每个顶点着 一种颜色，且相邻顶点颜色不同。试用回溯法设计一 个算法，找出所有可能满足上述条件的着色法。
无向图G
无向图G
对应这个无向图的状态空间树应该是怎样的？
是一个完全3叉树，共6层
实验四 回溯法 — 图的着色问题
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一
个区域图抽象为一个平面图。
地图（map）中地区的相邻关系，在图（graph ）中用边表示。
//若(i, j)是图的边，且相邻结点k和j颜色相同 //发生冲突，选下一种颜色
if (j==k) return; //成功选择一种颜色返回 }while (1); //循环尝试颜色 }
运行结果：
图的着色问题
? 布尔恒等式
aa=a
?
a+a=a
? ? 如：
(ab ? bc)(a ? bd) ? aba ? abbd ? abc+a ?abbcb=da
? ab ? abd ? bcd ? bca ? bcd
? ab ? bcd
求极小覆盖法－布尔代数法
? 例1：求图12-2G的顶色数 解： ? Step1：求极大独立集
（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个正常
k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 ? G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G
是k色的。 ? 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G）
就转为求满足下列条件的最少子集数k： （1）两两子集中的顶点不同； （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1；
问题来源
图的着色
? 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
? 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。
? 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色 ，并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这 个问题称为图的顶着色问题。
穷举法－Welch Powell着色法
? I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列 (
? 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶 点v或者v属于K，或者v的所有邻点属于 K（但两 者不同时成立） 。
顶点着色－基本概念
? K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色 是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成k个
数学染色法的原理和应用
数学染色法的原理和应用数学染色法的原理基于以下两个基本概念：格点平面上的点和边。
格点是指平面上相对于一些坐标系上的整数点，边是指相互连接的两个格点之间的线段。
染色是指给格点或边上为其分配一种颜色。
数学染色法的关键是在染色时，通过合理的规则和技巧，使得染色后的模型能够满足一定的性质或关系。
1.地图着色问题：在地图上，染色是指给地图上的区域（州、省、国家等）分配不同的颜色，使得相邻的区域颜色不同。
该问题可以用图论中的顶点着色问题来描述，通过将地图上的区域建立成图的顶点之间的边，然后用独立集（即不相邻的顶点）来进行着色，从而使得相邻的区域颜色不同。
2.图像分割问题：在图像处理中，染色是指将图像分成若干个区域，每个区域具有相同或相似的颜色特征。
图像分割问题可以使用图论中的连通分支问题来描述，通过将图像中的像素点建立成图的顶点，然后通过对像素点之间的连通性进行染色，将相互连接的像素点染成相同的颜色，从而实现图像的分割。
3.矩阵染色问题：在矩阵中，染色是指将矩阵中的元素进行染色，并满足一些特定的规则。
矩阵染色问题可以通过将矩阵中的元素建立成图的顶点，然后通过对图的边进行染色，使得相邻的元素颜色不同，从而实现矩阵染色的目标。
4.进程调度问题：在任务调度中，染色是指将一组任务分配给一组处理器，并满足一些限制条件。
任务调度问题可以使用图论中的图染色问题来描述，通过将任务和处理器建立成图的顶点，然后通过对图的边进行染色，使得相邻的任务在同一处理器上运行，从而实现任务调度的目标。
数学染色法的优点是可以将复杂的问题转化为数学模型，从而通过数学方法进行求解。
它可以降低问题的复杂度，简化问题的结构，使得问题求解更加直观和高效。
此外，数学染色法的应用非常广泛，不仅可以用于解决科学和工程领域中的问题，还可以用于解决生活中的实际问题，如地图着色、课程表编排、货车调度等。
总之，数学染色法是一种广泛应用于数学和计算领域的问题求解方法，通过对问题进行染色，将复杂的问题转化为数学模型，从而可以利用数学的方法和技巧解决问题。
中国地图着色问题
node[55]->apn = 10;
node[56]->apn = 12;
node[57]->apn = 16;
node[57]->nextarc=NULL;
strcpy(province[12].name,"广西");
province[12].firstarc = node[58];
node[28]->nextarc=NULL;
strcpy(province[7].name,"四川");
province[7].firstarc = node[29];
node[29]->apn = 2;
node[30]->apn = 3;
node[31]->apn = 4;
具体实现方法：用循环双链表连接邻接表通过双重循环和回溯来实现。在某个省份上色使用颜色值超过最大可用颜色值时回溯到上一个省份的上色中，上一个省份选择其他可用颜色，继续内层循环。当回溯使第一个省份上色使用颜色超过当前最大可用颜色时，将最大可用颜色加1，重新开始内层循环。当着色成功后内层循环结束，用该省作为第一个着色省份所用着色的颜色数，与最少着色颜色数比较并保存较小值，接着外层循环进入到下一步用另一个省份作为第一个着色省份，直至外层循环结束得出最少着色颜色数。
中国地图着色问题：在中国地图中对各省进行着色，相邻省所使用的颜色不同，并保证所用颜色最少。
解决中国地图着色问题，有两个方面的要求，一个是相邻省所使用的颜色不同，另一个是所用颜色最少。实现这两个要求的思路如下：
一、为保证相邻省所使用的颜色不同，在给每个省上色前排除其相邻省已用颜色，使用剩下的可用颜色中的第一种颜色进行着色，上色后也将该颜色排除，避免在回溯时再次使用该颜色，且回溯时会初始化部分或全部的省份颜色和颜色数组。
四色问题的简介
四色问题的简介
四色问题是一道经典的数学难题，也被称为地图着色问题。
它的问题是：如何用最少的颜色将地图上的所有区域着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·戴克森·斯图尔特（Francis Guthrie）于1852年提出，当时他试图证明每个地图都可以用最多四种颜色来着色。
直到1976年，美国数学家肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）才用计算机证明了这个猜想的正确性。
四色问题的解决有很多意义，不仅解决了该问题本身，而且还促进了计算机科学的发展。
它也启示我们在生活中遇到问题时要发挥创造力和耐心，通过不断尝试和思考来寻找解决方案。
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地图四色问题
地图四色问题地图四色猜想，和哥德巴赫（Gold Bach）猜想,费马（Pierre de Fermat）大定理一起被称作三大著名数学难题。
1852年,F.格思里(Francis Guthrie 1831-1899)和他哥哥弗雷德里克同在伦敦上学。
他写信给哥哥,说他发现每张地图上的国家总能用四种颜色来着色,而使邻国的颜色都不相同。
这里邻国的意思是指有共同的边界线而不是只在一些点处接触。
而且国家是指连通在一起的区域。
.格思里问弗雷德里克，有没有数学方法证明这个四色猜想正确与否。
当时，弗雷德里克还在伦敦大学的学院中，弟兄两都在听德摩根的课，德摩根是当时主要的数学家之一。
弗雷德里克不能回答弟弟的问题，就去请教德摩根，但德摩根也找不出任何方法，于是他就写信去请教当时图论界的权威－－哈密顿。
事实上，1852年10月23日, 德摩根在致哈密顿的一封信中提供了有关四色定理来源的最原始记载。
他在信中简述了自己对证明四色定理的设想和感受。
他在信中说：“我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。
他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。
下图是需要四种颜色的例子（图２）。
现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。
就我目前的理解，若四个不定分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。
这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在个别公共点外同种颜色不会相邻。
画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么除非包围其中一个区域，似乎不可能再画出第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界了（图2）。
但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。
我越想越觉得这是显然的事情。
数据结构课程设计报告地图着色问题
数据结构课程设计报告地图着色问题地图着色问题是一个经典的图论问题，涉及到如何用最少的颜色给地图上的各个区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
在数据结构课程设计报告中，我们将详细介绍地图着色问题的定义、解决方法以及实现过程。
一、问题定义地图着色问题可以用图论的方式来描述。
给定一个地图，地图上的每个区域可以看作图的一个顶点，而区域之间的邻接关系可以看作图的边。
问题的目标是找到一种着色方案，使得相邻的区域颜色不同，且使用的颜色数最少。
二、解决方法1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而有效的解决地图着色问题的方法。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历该区域的所有邻接区域，记录已经使用的颜色。
c. 选择一个未使用的颜色，给该区域着色。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
2. 回溯算法：回溯算法是一种穷举所有可能解的方法，通过逐步试错来找到最优解。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历所有可用的颜色，尝试给该区域着色。
c. 检查该区域与相邻区域的颜色是否冲突，如果冲突则回溯到上一步。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
三、实现过程1. 数据结构设计：在解决地图着色问题时，我们可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示地图的结构。
邻接矩阵适用于稠密图，而邻接表适用于稀疏图。
此外，我们还需要使用一个数组来记录每个区域的颜色。
2. 算法实现：根据选择的解决方法，我们可以实现相应的算法来解决地图着色问题。
对于贪心算法，我们可以按照贪心的策略来选择颜色；对于回溯算法，我们可以使用递归来穷举所有可能的解。
3. 算法优化：地图着色问题属于NP完全问题，因此在实际应用中，对于大规模的地图，穷举所有可能的解是不可行的。
我们可以通过一些优化策略来提高算法的效率，如剪枝、启发式搜索等。
四、实例分析假设我们有一个地图，包含5个区域，相邻区域如下所示：区域1：区域2、区域3区域2：区域1、区域3、区域4区域3：区域1、区域2、区域4、区域5区域4：区域2、区域3、区域5区域5：区域3、区域4我们可以使用贪心算法来解决这个问题。
图的着色问题
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 可着色： 的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G 1,2, 对于 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成 可能有空的）独立集的一个分类( 2,… k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个 正常k顶点着色时，就成G 顶点可着色的。 正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G 的色数X 是指G 可着色的k的最小值， =k，则称G 色的。 是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G） 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X 就转为求满足下列条件的最少子集数k 就转为求满足下列条件的最少子集数k： 两两子集中的顶点不同； （1）两两子集中的顶点不同； 子集中的两两顶点不相邻。 （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： 为平凡图， =1； 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； ii） 为偶图， （ii）若G为偶图，则X（G）=2 iii）对任意图G Δ+1（这里Δ （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值） 数最大值）
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： • 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 • 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
c语言地图着色问题课程设计
c语言地图着色问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握C语言中的基本数据结构与算法，特别是图的相关概念和应用。
2. 让学生理解地图着色问题的实质，即图的顶点着色问题，并掌握其与计算机科学中的其他问题的联系。
3. 让学生掌握利用C语言解决地图着色问题的算法设计，包括但不限于回溯法、贪心算法等。
技能目标：1. 培养学生运用C语言进行问题分析、算法设计和程序编写的能力。
2. 培养学生通过调试和优化程序来提高问题解决效率的技能。
3. 培养学生运用逻辑思维和数学方法解决实际问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对计算机科学的兴趣，特别是对算法和程序设计的热情。
2. 增强学生的团队合作意识，通过小组讨论和协作完成复杂问题的解决。
3. 引导学生认识到编程解决问题的实际意义，理解计算机技术在国家和社会发展中的重要作用。
课程性质分析：本课程设计属于高中信息技术课程中的编程模块，以C语言为载体，着重于算法思维和问题解决能力的培养。
学生特点分析：高中生在逻辑思维和抽象思维方面有较好的发展，能够理解较为复杂的问题和算法。
他们对新鲜事物充满好奇，但需要通过具体案例和实践活动来加深理解。
教学要求：1. 教学内容与课本紧密结合，注重理论与实践相结合。
2. 教学过程中要注重启发式教学，引导学生主动探索和思考。
3. 教学评价应关注学生在知识掌握、技能应用和情感态度方面的综合表现。
二、教学内容1. 图的基本概念：图的结构定义，图的分类（有向图与无向图，连通图与非连通图），图的表示方法（邻接矩阵和邻接表）。
2. 地图着色问题背景知识：介绍地图着色问题的实际意义，分析其与图论中的顶点着色问题的联系。
3. 算法原理：- 回溯法：介绍回溯法的基本思想，解决地图着色问题的应用。
- 贪心算法：讲述贪心算法的设计思路，及其在地图着色问题中的运用。
4. C语言实现：- 编写图的表示结构体和基本操作函数。
- 实现回溯法和贪心算法解决地图着色问题的C程序。
地图着色问题c语言课程设计
地图着色问题c语言课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解地图着色问题的基本概念，掌握其数学模型及相关算法。
2. 掌握C语言中数组、循环、条件判断等基本语法结构，并能将其应用于解决地图着色问题。
3. 了解贪心算法、回溯算法等基本算法在地图着色问题中的应用。
技能目标：1. 能够运用C语言编写解决地图着色问题的程序，具备一定的编程实践能力。
2. 能够通过分析地图着色问题，设计合适的算法，培养问题解决和算法设计能力。
3. 能够运用所学知识解决类似地图着色问题的实际应用，具备一定的知识迁移能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对问题积极思考、主动探究的学习态度，增强自信心和自主学习能力。
2. 培养学生团队合作意识，学会在团队中沟通、协作、共同解决问题。
3. 激发学生对计算机科学的兴趣，认识计算机编程在解决实际问题中的价值。
课程性质：本课程为实践性较强的课程，以项目为导向，注重培养学生的编程实践能力和问题解决能力。
学生特点：学生具备一定的C语言基础，了解基本语法结构，但对算法设计和实际应用尚不熟悉。
教学要求：通过讲解、示范、实践等多种教学手段，使学生掌握地图着色问题的相关知识，培养其编程实践能力和问题解决能力。
同时，关注学生情感态度的培养，激发学习兴趣，提高自主学习能力。
在教学过程中，将目标分解为具体的学习成果，以便进行教学设计和评估。
二、教学内容1. 地图着色问题基础知识：- 图的基本概念和表示方法- 地图着色的数学模型- 地图着色问题的实际意义和应用2. C语言基础语法复习：- 数组的使用- 循环结构（for、while）- 条件判断（if、else）3. 算法设计与分析：- 贪心算法原理及在地图着色问题中的应用- 回溯算法原理及在地图着色问题中的应用- 算法复杂度分析4. 编程实践：- 使用C语言实现地图着色问题求解- 调试与优化程序- 团队合作完成项目任务5. 教学进度安排：- 第一周：地图着色问题基础知识、C语言语法复习- 第二周：贪心算法、回溯算法原理讲解及案例分析- 第三周：编程实践，团队协作完成地图着色问题求解- 第四周：项目展示、点评、总结教学内容参考教材相关章节，结合课程目标进行组织，保证教学内容科学性和系统性。
图论中的图着色问题算法
图论中的图着色问题算法图着色问题是图论中的一个重要研究课题，它的目标是给定一个无向图，为每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点拥有不同的颜色。
这个问题有着广泛的应用，例如地图着色、课程时间表安排以及调度等领域。
本文将介绍几种常见的图着色算法。
一、贪心算法贪心算法是解决图着色问题最直接且简便的方法之一。
其基本思想是从图的某个顶点开始，依次为每个顶点选择一个未被使用的最小颜色号。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的最小颜色号，并标记u为已着色。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被着色。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
该算法的缺点是可能得到的着色方案不是最优解。
二、回溯算法回溯算法是另一种常见的用于解决图着色问题的算法。
其基本思想是通过不断尝试不同的着色方案，直到找到一个满足条件的解。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的颜色号，并标记u为已着色。
3. 选择下一个未着色的顶点作为新的起始顶点，重复步骤2。
4. 如果无法为任何顶点着色，则回溯到上一步，修改之前的着色方案，为当前顶点选择一个新的颜色。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被着色。
回溯算法的时间复杂度取决于图的结构和颜色数目，一般情况下是指数级的。
该算法可以得到最优解，但在处理大规模问题时效率较低。
三、基于现有算法的改进除了贪心算法和回溯算法外，还存在一些基于这两种算法的改进方法，以提高图着色问题的求解效率。
例如，使用启发式算法、剪枝技术以及约束求解等方法。
启发式算法是一种非确定性的搜索算法，通过引入启发函数来指导搜索过程，以期望更快地找到一个不错的解。
典型的启发式算法包括Tabu搜索、模拟退火算法等。
剪枝技术是在搜索过程中通过判断某些分支的无效性，从而减少搜索空间，提高算法效率。
世界上题目最长的数学题
世界上题目最长的数学题世界上最长的数学题是荷兰数学家杜言定理提出的四色定理问题。
该问题是一个研究地图着色问题的数学难题，其历史可以追溯到1852年，由法国数学家圣雄和法国关于地图着色问题展开。
后来，由于荷兰数学家杜言和杂志上发表的论文《一个关于地图着色的定理的第一种证明》重新引起了人们的关注。
杜言定理问题的核心思想是：任何一个平面上的地图，只需要使用四种颜色，就能保证任意两个相邻的区域颜色不一样。
这个问题在地图学、数学和计算机科学等领域引起了广泛的研究和讨论。
许多数学家试图证明或反驳这个定理，来寻求更深入的数学认识。
要理解杜言定理问题，首先需要理解什么是地图着色问题。
地图着色问题是指在给定的地理区域中，用有限数量的颜色为每个区域上色的问题。
这里的区域可以是国家、省份、城市或其他地理单元。
地图着色问题的基本规则是相邻区域不能使用相同的颜色，而且最少需要使用的颜色数量是多少。
在解决杜言定理问题时，人们面临许多挑战。
首先，需要明确什么是“相邻区域”。
这一概念可被定义为共享边界的两个区域，也就是说，两个区域之间没有任何其他区域相连。
其次，定理要求使用的最少颜色数量是多少。
关于这一点，杜言提出了四色猜想，即任何地图都可以用四种颜色着色，但并没有提供严格的证明。
为了解决杜言定理问题，许多数学家和计算机科学家进行了大量的研究。
他们提出了不同的算法和技术，在计算机模拟中进行了广泛的实验。
经过长时间的努力，最终在1976年，数学家审查了数百个地图并编写了电脑程序，最终证明了四色猜想是正确的。
然而，即使杜言定理的四色猜想已经得到了证明，这个问题仍然是数学界的一个重要研究课题。
人们仍然在探索相似的问题和更一般的情况下的地图着色问题。
此外，许多问题的解决也需要使用计算机辅助技术，而不仅仅依赖于纯粹的数学推理。
总结起来，杜言定理问题是世界上最长的数学题之一。
它是一个具有重要理论和实际意义的难题，吸引了众多数学家和计算机科学家的关注。
四色问题数学
四色问题四色问题简介四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。
地图四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
发展简史问题的提出1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。
肯普的研究1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题。
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地图着色问题说明：任何平面区域图都可以用四种颜色着色，使相邻区域颜色互异。
这就是四色定理。
要求给定区域图排出全部可能的四着色方案。
区域相邻关系用矩阵表示，每个区域又一个序号，（从0七连续排列）adj【i】【j勘硎厩 騣，j相邻。
数组cilir记录每个区域上着的色，用1.2.3.4表示。
程序应包括四个函数：coloring对所给邻接矩阵找着全部着色方案色乐的：对区域i在指定的颜色范围内选出可选颜色或报告失败（失败返回－1）辞令次日卡：判断对区域i在指定的颜色c是否可用八寸卡：选色失败时或完成一种着色方案时进行回溯另外可定义output函数，每次输出一种着色方案/*递归算法：void Coloring(区域 n)1. 令颜色集ClrSet={ 没有被区域n的邻居区域使用的颜色 }.2. 如果ClrSet是空集，返回.3. 对ClrSet中的每种颜色c，作循环：3.1 为区域n着色c。
3.2 如果所有区域都已着色(n是最后一个区域)，那么显示/保存着色结果.3.3 否则对下一个尚未着色的区域(n+1)，调用Coloring(n+1).4. 把区域n变为没有着色的区域.--------------------------------------------------------*/template<int node_count = 8>class CColoring{private:typedef int node_type;typedef int color_type;typedef std::set<node_type> node_set;typedef std::vector<color_type> color_array;public:void operator()(const int _Matrix[node_count][node_count]){matrix = _Matrix;colors_of_nodes.resize(node_count, 0); total_count = 0;coloring(0);}private:void coloring(node_type n){// 颜色的使用情况std::vector<bool> used_colors;node_type m;color_type c;// 初始化颜色的使用情况used_colors.resize(color_count, false);// 遍历每个与区域n相邻的区域mfor(m = 0; m < node_count; ++m){if(matrix[n][m]){// 获取m的颜色c = colors_of_nodes[m];// m已着色if(c != 0)used_colors[c] = true;}}// 遍历每个未被n的邻居使用的颜色cfor(c = 1; c < color_count; ++c){if(!used_colors[c]){// 为n着色ccolors_of_nodes[n] = c;// 着色完毕if(n >= node_count - 1)++total_count;// 输出结果_tprintf(_T("---------------------\n"));_tprintf(_T("Method %d:\n"), total_count);for(m = 0; m < node_count; ++m){_tprintf(_T("node: %d, color: %d\n"), m, colors_of_nodes[m]); }}// 还有区域没有着色else{// 为下一个未着色的区域，调用coloring()coloring(n + 1);}}}// 将n设置为没有着色的区域colors_of_nodes[n] = 0;}// 0表示无色，1-4表示4种不同颜色static const int color_count = 5;// 邻接矩阵const int (* matrix)[node_count];// 各区域对应的颜色color_array colors_of_nodes;// 总的着色方案数int total_count;};void main(){int Matrix[4][4] ={{ 0, 1, 0, 0 },{ 1, 0, 0, 0 },{ 0, 0, 0, 1 },{ 0, 0, 1, 0 },};CColoring<4> coloring;coloring(Matrix);}/*递归算法：void Coloring(区域 n)1. 令颜色集ClrSet={ 没有被区域n的邻居区域使用的颜色 }.2. 如果ClrSet是空集，返回.3. 对ClrSet中的每种颜色c，作循环：3.1 为区域n着色c。
3.2 如果所有区域都已着色(n是最后一个区域)，那么显示/保存着色结果.3.3 否则对下一个尚未着色的区域(n+1)，调用Coloring(n+1).4. 把区域n变为没有着色的区域.--------------------------------------------------------*/template<int node_count = 8>class CColoring{private:typedef int node_type;typedef int color_type;typedef std::set<node_type> node_set;typedef std::vector<color_type> color_array;public:void operator()(const int _Matrix[node_count][node_count]){matrix = _Matrix;colors_of_nodes.resize(node_count, 0);total_count = 0;coloring(0);}private:void coloring(node_type n){// 颜色的使用情况std::vector<bool> used_colors;node_type m;color_type c;// 初始化颜色的使用情况used_colors.resize(color_count, false);// 遍历每个与区域n相邻的区域mfor(m = 0; m < node_count; ++m){if(matrix[n][m]){// 获取m的颜色c = colors_of_nodes[m];// m已着色if(c != 0)used_colors[c] = true;}}// 遍历每个未被n的邻居使用的颜色cfor(c = 1; c < color_count; ++c){if(!used_colors[c]){// 为n着色ccolors_of_nodes[n] = c;// 着色完毕if(n >= node_count - 1){++total_count;// 输出结果_tprintf(_T("---------------------\n"));_tprintf(_T("Method %d:\n"), total_count);for(m = 0; m < node_count; ++m){_tprintf(_T("node: %d, color: %d\n"), m, colors_of_nodes[m]);}}// 还有区域没有着色else{// 为下一个未着色的区域，调用coloring()coloring(n + 1);}}}// 将n设置为没有着色的区域colors_of_nodes[n] = 0;}// 0表示无色，1-4表示4种不同颜色static const int color_count = 5;// 邻接矩阵const int (* matrix)[node_count];// 各区域对应的颜色color_array colors_of_nodes;// 总的着色方案数int total_count;};void main(){int Matrix[4][4] ={{ 0, 1, 0, 0 },{ 1, 0, 0, 0 },{ 0, 0, 0, 1 },{ 0, 0, 1, 0 },};CColoring<4> coloring;coloring(Matrix);}1. 那个格式化过的代码里面，我用全角空格代替了制表符（tab），编译肯定不能通过，因为全角空格不是C++的空白符。
所以，你需要把全角空格替换成空格或制表符才行。
2. 那个代码没有写头文件，你需要包含stdio.h、tchar.h、set、vector这几个头文件。
如果你用的不是VC++，那么没有tchar.h，就别包含了，并且需要把程序中的_tprintf(_T(".."))改成printf("..")。
或者你干脆用iostream中的的cout。
3. 这个代码在VC++8.0下运行通过，不过即使是VC++6.0也应该没问题的。