(完整版)初三数学二次函数知识点总结

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y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
y=a (x-h )2+k
初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b ， 体实数．
2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：
c 可以为零．二次函数的定义域是全
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式 y = a (x - h )2
+ k 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a > 0
向上
(h ， k )
X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时，
y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小
值 k ．
a < 0
向下
(h ， k )
X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大
值 k ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2
+ k ，确定其顶点坐标(h ，
k )；
⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：
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2. 平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
2a ⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成
y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）
⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成
y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ） 四、二次函数 y = a (x - h )2
+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较
从解析式上看， y = a (x - h )2
+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
⎛ b ⎫2
4ac - b 2 b 4ac - b 2
者，即 y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭
4a ，其中 h = - ， k = ．
2a 4a
五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
y 轴的交点(0， c )、以及(0， c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ， 0)， (x 2 ， 0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.
六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质
b ⎛ b 4a
c - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．
当 x < - b
2a
时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭
时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a
时， y 有最
4ac - b 2 小值 ．
4a
b
⎛ b
4ac - b 2 ⎫ b
2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当
x < - 2a 时， ⎝ ⎭
b b 4a
c - b 2
y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时，
y 有最大值 ． 4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；
2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；
3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．a 决定了抛物线开口的大小和方向，
a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2.一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．
b
ab 的符号的判定：对称轴x =-
2a
“左同右异”
在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就是3.常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a ，，b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须
根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程ax2+bx +c = 0 是二次函数y =ax2+bx +c 当函数值y = 0 时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x 轴交于两点A(x ，0，)，B (x 0)(x ≠x ) ，其中的x ，x 是一元二次方
1 2 1 2 1 2
程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离AB =x2-x1=
. ② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点. 1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为
任何实数，都有y > 0 ；2 '
有y < 0 ．
当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都
2.抛物线y =ax2+bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断
图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交
点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2+m2-m - 2 的图像经过原点，则m 的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考
a
y
0 1
查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2+bx - 1的图像大致是（）
y
1
0 x x
C D
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和
选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =
5
，求这条抛物线的解析式。

3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
3 已知抛物线y =ax2+bx +c （a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与 y 轴交点的纵坐标是－2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y =ax2+bx +c 的图像如图 1，则点M (b,
c
) 在（）
a
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 2 所示，则下列结论：①a、b 同号；②当 x=1 和x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2 时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1<x1<2，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D．4 个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
1 5
例4、已知抛物线y= x2+x- ．
2 2
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长．
y
1
0 x
A
y
-1 o x
B
由 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数 y = x 2 - 4x - 7 的顶点坐标是(
)
A.(2,－11)
B.（－2，7）
C.（2，11）
D. （2，－3）
2. 把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y = -2(x +1)2
B. y = -2(x -1)2
C. y = -2x 2 +1
D. y = -2x 2 -1
3.函数 y = kx 2 - k 和 y = k
(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的(
)
x
4.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;② 当 x = 1 和 x = 3 时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2 时, x 的值只能取 0.其中正
确的个数是(
) A.1 个
B.2 个
C. 3 个
D. 4 个
5.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图), 图象可知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根分别是 x = 1.3和x = （
1
2
）
Ａ．－１.３
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3
6. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , b c ) 在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7.方程2x - x 2 = 2 的正根的个数为（ ）
x
A.0 个
B.1 个
C.2 个. 3 个
8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y = x 2 - x - 2
B. y = -x 2 + x + 2
C. y =x2-x - 2 或y =-x2+x + 2
D. y =-x2-x - 2 或y =x2+x + 2
二、填空题
9.二次函数y =x2+bx + 3 的对称轴是x = 2 ，则b =。

10.已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是.
11.一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0 时，函数值y 随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。

12.抛物线y = 2(x - 2)2- 6 的顶点为 C，已知直线y =-kx + 3 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。

13.二次函数y = 2x2- 4x -1的图象是由y = 2x2+bx +c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,则b= ,c= 。

14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB 上离中心M 处5 米的地方，桥的高度是(π取3.14).
三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是x + 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0, -5 2
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为 0?
(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
).
第15 题图
16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式h =v t -1
gt 2（0<t≤2），其中重
0 2
力加速度 g 以 10 米/秒2计算．这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？
（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
17.如图，抛物线y =x2+bx -c 经过直线y =x - 3 与坐标轴的两个交
点A、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S∆APC ：S∆ACD =5 ：4 的点P
的坐标。

18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元．设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）．
（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；
（2）求出 y 与x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
- ⎨ ⎩
⎩
练习试题答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B
5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9． b = -4
10．
x ＜-3 11．如 y = -2x 2 + 4, y = 2x + 4 等（答案不唯一）
12．1
13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,由题意可得
⎧ b
⎪ 2a = -3 ⎪
a +
b +
c = -6
1 5
1 2 5
⎪ 5 ⎪c = -
⎩
2 解得 a = - , b = -3, c = -
2 2
所以 y = - x 2
- 3x -
2
(2) x = -1 或-5
(2) x < -3
16．（1）由已知得，15 = 20t - 1 ⨯10 ⨯ t 2
，解得t = 3, t = 1 当t = 3 时不合题意，舍去。

所以当爆竹点
2
1 2
燃后 1 秒离地 15 米．（2）由题意得， h = -5t 2 + 20t ＝ -5(t - 2)2 + 20 ，可知顶点的横坐标t = 2 ，又抛
物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升．
⎧9 + 3b - c = 0 17．（1）直线 y = x - 3 与坐标轴的交点 A （3，0），B （0，－3）．则⎨-c = -3 ⎧b = -2
解得⎨c = 3
所以此抛物线解析式为 y = x 2 - 2x - 3 ．（2）抛物线的顶点 D （1，－4），与 x 轴的另一个交点 C （－1，0）.设 P (a , a 2 - 2a - 3) ，则( 1
⨯ 4 ⨯ a 2 - 2a - 3 ) : ( 1 ⨯ 4 ⨯ 4) = 5 : 4 .化简得 a 2 - 2a - 3 = 5
2 2
当 a 2 - 2a - 3 ＞0 时， a 2 - 2a - 3 = 5 得 a = 4, a = -2 ∴P（4，5）或 P （－2，5）
当 a 2 - 2a - 3 ＜0 时， -a 2 + 2a + 3 = 5 即 a 2 + 2a + 2 = 0 ，此方程无解．综上所述，满足条件的点
的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1）45 +260 - 240
⨯ 7.5 =60（吨）．（2）y = (x -100)(45 +
260 -x
⨯ 7.5) ，化简得：
10 10
y =-3
x2 + 315x - 24000 ．（3）y=-3x2+315x-24000=-
3
(x - 210)2+ 9075 ．4 4 4
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元．
（4）我认为，小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时，x 为210 元，而对于月销售额
W =x(45 +260 -x
⨯ 7.5) =-3(x-160)2 +19200来说，10 4
当x 为160 元时，月销售额 W 最大．∴当 x 为210 元时，月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时，x 为210 元，此时，月销售额为 17325 元；而当 x 为200 元时，月销售
额为 18000 元．∵17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．。