第四章根轨迹

G ( s) H ( s) =
K 1 ( s + 1) s( s + 4)( s 2 + 2 s + 2)
jω
∑ p −∑z
σa =
j =1 j i =1
i
−4
−5 3
•
−1
0
σ
n−m
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
例 已知系统的开环传递函数为
K (s+2) r s2(s+1)(s+4) G H = (s) (s)
试画出该系统根轨迹的渐近线。 试画出该系统根轨迹的渐近线。 对于该系统有n= n=4 m=1 m=3 解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与 实轴交点位置为 −1−4+2 σa = =−1 3 它们与实轴正方向的交角分别是
π
3 (kk = 2) 3
π
渐近线如图4 所示。 渐近线如图4-3所示。
K =0 ！绘制注意点 −6 实轴、 1）实轴、虚轴相同的刻度
• K = 35, ω =1.35
K =∞
−3
K =0 −5
θ1
0
°
σ
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头 4）关键点的标注
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−5.53
• K = 35, ω = −1.35
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= −1
m个零点 n个极点
（n≥m）
幅值 条件
K*
∏ s−z ∏
j =1 i =1 n
m
i
=1
相角条件（ 相角条件（k=…-2,-1,1,2…） ）
s − pj
∑ ∠( s − z ) − ∑ ∠( s − p ) = (2k + 1)π
i =1 i i =1 i
m
n
必要条件
充要条件
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根轨迹增益K*与开环系统增益 的关系 根轨迹增益 与开环系统增益K的关系 与开环系统增益
由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数） 由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为
K = lim νG s)H s) s ( (
s→ 0
式中ν是开环传递函数中含积分环节的个数， 式中ν是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确 定该系统是零型系统（ ,Ⅰ型系统 型系统（ 定该系统是零型系统 （ ν=0 ） ,Ⅰ 型系统 （ ν=1 ） 或 Ⅱ 型系统（ 型系统（ν=2）等。
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1.根轨迹的起点和终点 1.根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点， 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
幅值条件
K *＝
∏ s− p ∏ s−z
i =1 j =1 m
n
j
i
K* = 0
s值必须趋近于
开环极点
根轨迹起始于开环极点 根轨迹起始于开环极点 根轨迹终止于开环零点 根轨迹终止于开环零点
K = 0 s1 = 0 ; s2 =
K = 0.5 s1 = −1 ; s2 = −1 解为两实重根
−2 K =1
σ
K = 1 s1 = −1 + j ; s2 = −1 − j 解为一对共轭复根
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当系统参数K 为某一确定的值时， 当系统参数Kr为某一确定的值时，闭环系统特征方程的 根在s 平面上变化的位置便可确定， 根在 s 平面上变化的位置便可确定 ， 由此可进一步分析系统 的性能. 的性能. Kr 值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹 上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。 上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。 所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中， 所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中， 根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事， 根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事，但 对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。 对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影 就需要大量反复的计算。 响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（ R EVANS 解决了这个问题，提出了根 EVANS） 1948年伊万斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提出了根 年伊万斯 轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程， 轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只需依据 开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。 开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。
K
*
p3
=
s1
s1 − p 2 s1 − p s1 − z1
3
根轨迹的绘制过程为： 根轨迹的绘制过程为： 寻找平面上所有满足相角条件的s （1）寻找平面上所有满足相角条件的s； 利用幅值条件确定各点的K （2）利用幅值条件确定各点的K*值。
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综上分析，可以得到如下结论： 综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益K ⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益K*值的大小无 即在s平面上， 关。即在s平面上， 所有满足相角条件点的集合构成系统的根 轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。 轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益K ⑵绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大小有 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。 关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。 在系数参数全部确定的情况下， ⑶在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条 件的s 就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关， ⑷ 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关 ， 因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图 绘制出根轨迹图。 因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。
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4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念
稳定性 动态性能 参数变化
根
闭环特征根
轨 迹
系统性能
Si
？
Si
根轨迹 根 轨迹
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例4-1
K 2K GK ( s) = = s(0.5s + 1) s ( s + 2)
2K GB ( s ) = = 2 R ( s ) s + 2s + 2K Y ( s)
R( s)
+
−
K s ( 0.5s + 1)
Y ( s)
jω
D( s ) = s 2 + 2 s + 2 K
s1,2 = −1 ± 1 − 2 K
解为两实根； −2 解为两实根；
K =1
K =0 K = 0.5 K =0 0
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A
σa
B -4 -3
180°
60°
-2
-1 σa 0
300 °
60°
σ
C
图4-3 根轨迹的渐近线
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5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
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二、根轨迹方程 D( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) = 0
G (s)H (s) = −1
根轨迹方程
G( s) H ( s) = K
*
∏ (s − z ) ∏ (s − p )
j =1 j i =1 n i
m
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设控制系统的开环传递函数为
G(s)H ( s) = K
*
4-2 绘制根轨迹的基本法则
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 i =1 n i j m
jω
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 1.根轨迹的起点和终点 2.根轨迹分支数 2.根轨迹分支数 3.根轨迹的对称性 3.根轨迹的对称性 4.根轨迹的渐近线 4.根轨迹的渐近线 5.实轴上的根轨迹 5.实轴上的根轨迹 6.根轨迹的起始角和终止角 6.根轨迹的起始角和终止角 7.根轨迹的分离点和会合点 7.根轨迹的分离点和会合点 8.根轨迹与虚轴的交点 8.根轨迹与虚轴的交点 9. 根之和
K= lm νG H = lmK* i s (s) (s) i
s→ 0 s→ 0
(s ∏ −z )
j
m
(s ∏ −p)
i i= 1
j= 1 n−ν
= K*
( ∏ −z )
j
m
( ∏ −p )
i i= 1
j= 1 n−ν
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例4-2已知系统开环传递函数
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