高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案

新数学《计数原理与概率统计》复习知识点
一、选择题
1．若随机变量X 的分布列为（ ）
且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．
13
B ．0
C ．1
D ．
23
【答案】D 【解析】
分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .
详解：由题得1
113
,,13021
3
a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨
⎪⨯++=⎪⎩ 所以2
2
2
1112()(01)(11)(21).3
3
33
D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值
的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋2
22()x E p ξ-⋅＋…＋
2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期
望．
2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数
(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为
ˆ0.8585.71y
x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg
C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个
D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】
根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】
因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】
本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.
3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2
2
67A A B ．32
47A A
C ．322
367A A A
D ．362
467A A A
【答案】D 【解析】 【分析】
采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是3
4A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】
采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是3
4A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2
7A 种．综上所述，不同的排法共有3
6
2
467A A A 种. 故选D. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
【答案】B 【解析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
5．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．
110
B ．
35
C ．
310
D ．
25
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255
= 故答案为D ．
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A ．
112
B ．
115
C ．
118
D ．
114
【答案】D 【解析】 【分析】
先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，
随机选取两个不同的数，共有2
828C =种，
其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814
P ==. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180
【答案】B 【解析】
试题分析：10人中任选3人的组队方案有3
10120C =，
没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用
8．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，
ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
A ．92524π
π+
B ．
16
2524
π+
C ．
252425π
π
+
D ．
48
4825π
+
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
【详解】
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为11
86242
S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422
S πππ=++
-=， 整个图形所对应的面积9252482422
S ππ
π=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π
=+.
故选：D. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为
3
5
，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．
611
B ．
511
C ．
59
D ．
49
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】
如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，
所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，
当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6
11
AD BC p AD CD BC +==++.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
11．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚
【答案】C 【解析】
根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 【详解】
根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为
12
， 假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率11113
2224
P =+⨯=， 乙获取96枚金币的概率2111224
P =⨯=， 则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得1
96244
⨯=枚金币； 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
12．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024
C ．1024-
D ．10241-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式
=
112233191920112233191920
20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11
33
55
1919
202020202()C i C i C i C i ++++L
=11
33
55
53
31
1
3
2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11
33
55
5
5
33
1
2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】
本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么
()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L
L 的值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．101)
【答案】C
【分析】
令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】
解：因为
)10
2
10
1
2
10
x
a a x a x a x =++++L ，
令1x =得)10
1
2
3
10
1a a a a a =++++L ，
令1x =-得)10
1
2
3
10
1a a a a a =-+-++L ，
所以()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L L
()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L
))
10
10
1
1
=
⋅
))
10
11⋅
⎡⎤⎣
⎦
=
1011== 故选：C 【点睛】
本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．
14．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【分析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为222
42222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n =
=，故选B.
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15
．3
6ax ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
6ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21213()4a
T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
16．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．
827
B ．
56
C ．
23
D ．
13
【答案】D 【解析】 【分析】
列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，
其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，
因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.
17．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999
P ξ==--=， 故123E ξ=
，22
214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()22122
1323
P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=
，2
221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
18．设2012(12)n n
n x a a x a x a x L -=++++，若340a a +=，则5a =（ ）
A ．256
B ．-128
C ．64
D ．-32
【答案】D
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式求得n 的值，从而求得5a 的值．
【详解】
∵()201212n
n n x a a x a x a x -=++++L ，
∵334434220n n a a C C +=⋅-+⋅-=（）（）， 5n ∴=，
则5555232a C （
），=⋅-=- 故选D ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
19．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96
B ．84
C ．120
D ．360 【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
【详解】
由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为
4
44A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
20．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ）
A ．5108
B ．113
C ．17
D ．710
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率的计算公式即可得出答案.
3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216
C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113
P AB P A B P B ∴=
=⨯= 故选：B
【点睛】 本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.。