等差数列练习题(有答案)

二、多选题
21．ABCD
【分析】
由题意可得数列 满足递推关系 ，对照四个选项可得正确答案.
【详解】
对A，写出数列的前6项为 ，故A正确；
对B， ，故B正确；
对C，由 ， ， ，……， ，
可得： .故 是斐波那契数列中的第2020项.
对D，斐波那契数列总有 ，则 ， ， ，……， ，
，故D正确；
故选：ABCD.
即 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， ，故A正确；C不正确；
由 在 上为单调递增函数， ，所以 是递增数列，故B正确；
,所以
因此 ，故D正确
故选：ABD
【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.
26．ABC
【分析】
利用数列 满足的递推关系及 ，依次取 代入计算 ，能得到数列 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
A． 两B． 两C． 两D． 两
7．已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，若 ，则 （）
A．16B．-16
C．4D．-4
8．已知数列 为等差数列， ， ，则 （）
A． B． C． D．
9．等差数列 中， ，公差 ，则 =（）
A．200B．100C．90D．80
10．已知等差数列 中，前 项和 ，则使 有最小值的 是（）
【详解】
设数列 的前n项和为 ，由题意可得： ，则： ，
当 时， ，
当 时， ，
且 ，据此可得 ，
故 ， ，
据பைடு நூலகம்有：
故选：D
6．C
【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得 两银子，数列 是等差数列，
利用等差数列的通项公式和前 项和公式转化为关于 和 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目 .
【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得 两银子，由题意可得
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故选：BC
28．BD
【分析】
由题意可知 ，由已知条件 可得出 ，可判断出AB选项的正误，求出 关于 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
【详解】
由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误；
，则 ，可得 ，B选项正确；
，
当 或 时， 最小，C选项错误；
【详解】
由条件可知 ，解得： ，
.
故选：A
15．C
【分析】
根据已知条件得到关于首项 和公差 的方程组，求解出 的值，再根据等差数列前 项和的计算公式求解出 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
16．B
【分析】
由已知判断出数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得 .
A．一丈七尺五寸B．一丈八尺五寸
C．二丈一尺五寸D．二丈二尺五寸
13．在数列 中， ， ，则 （）
A．10B．145
C．300D．320
14．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值是（）
A．48B．60C．72D．24
15．等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （）
A．21B．15C．10D．6
A． B．
C． D．
22．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（）
A．数列 的前n项和为 B．数列 的通项公式为
C．数列 为递增数列D．数列 为递增数列
23．已知Sn是等差数列 (n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（）
A．数列 的公差d<0B．数列 中Sn的最大项为S10
【详解】
由已知可得数列 是等差数列，且 ，故公差
则 ，故
故选：C
19．B
【分析】
利用等差数列的性质，由 ，得到 ，然后由 求解.
【详解】
因为 ，
所以由等差数列的性质得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：B
20．B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围，由此求得 的最大值.
【详解】
依题意 ，所以 ，
所以 的前n项和 的最大值为 .
由题意知： ， ，又 成等比数列，
∴ ，解之得 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：B
【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量
1、由 成等比，即 ；
2、等差数列前n项和公式 的应用.
5．D
【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.
由于 ， ，故 ，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
25．ABD
【分析】
构造函数 ，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】
由 ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ，
即 在 上为单调递增函数，
所以函数在 为单调递增函数，
令 ，可得 ，解得 或 .
，所以，满足 时 的最小值为 ，D选项正确.
故选：BD.
29．AB
【分析】
根据等差数列的性质及 可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，故AB正确，C错误；
因为 ，故D错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由 得到 ，结合 ，进而得到 ，考查学生逻辑推理能力.
一、等差数列选择题
1．已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （）
A．121B．161C．141D．151
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （）
A．7B．12C．14D．21
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）
A．8B．10C．12D．14
4．等差数列 的公差为2，若 成等比数列，则 （）
则 （尺），所以 （尺），由题知 （尺），
所以 （尺），所以公差 ，
则 （尺）．
故选：D．
13．C
【分析】
由等差数列的性质可得 ，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项，公差为3的等差数列，
所以 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以
.
故选：C.
14．A
【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据 ，代入求值.
【详解】
数列 满足 ， ，依次取 代入计算得，
， ， ， ，因此继续下去会循环，数列 是周期为4的周期数列，所有可能取值为： .
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.
27．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
所以 ，即A正确；
当 时
所以 ，即B，C不正确；
故选：AD
【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
23．AC
【分析】
由 ，可得 ，且 ，然后逐个分析判断即可得答案
【详解】
解：因为 ，所以 ，且 ，
所以数列的公差 ，且数列 中Sn的最大项为S5，所以A正确，B错误，
设数列 的公差为 ，其前 项和为 ，
则由题意得 ，即 ，解得 .
所以长兄分得 两银子.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得 两银子构成公差 的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前 项和公式.
7．A
【详解】
由 .故选A.
8．A
【分析】
根据等差中项的性质，求出 ，再求 ;
30．ABC
【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案.
【详解】
解：对于A.，若 ，则 ，所以 ，所以 ，故A选项正确；
对于B选项，若 ，则 ，由于 ，公差 ，故 ，故 ，所以 是 中最大的项；故B选项正确；
27．设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（）
A． B．
C． D．
28．等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，下列选项正确的是（）
A． B．
C．当 时 最小D． 时 的最小值为
29．等差数列 的前n项和记为 ，若 ， ，则（）
A． B．
C． D．当且仅当 时，
30．(多选题)等差数列 的前n项和为 ，若 ，公差 ，则下列命题正确的是（）
A．72B．90C．36D．45
5．定义 为 个正数 的“均倒数”，若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （）
A． B． C． D．
6．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）
【详解】
因为 为等差数列，所以 ,
∴ .由 ,得 ,
故选：A.
9．C
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：C
10．C
【分析】
看作关于 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
，
∴数列 的图象是分布在抛物线 上的横坐标为正整数的离散的点．
又抛物线开口向上，以 为对称轴，且 |，