弹性力学试卷2017上学期答案及评分标准

2016-2017第二学期弹性力学考试答案及评分标准

一、 概念问答题

1、 以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？

答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？

答：平面问题有σx 、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个，方程有两个平衡方程，三个几何方程，三个物理方程。（5分） 3、已知200x Pa σ= ，100y Pa σ=-，50xy Pa τ=-及100r Pa σ=，300Pa θσ=，

100r Pa θτ=-，试分别在图中所示单元体画出应力状态图。

（2分） （3分） 4、简述圣维南原理。

答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。（5分） 5、简述应变协调方程的物理意义。 答：

⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分） ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续；

形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。（3分） 6、刚体位移相应于什么应变状态。

答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为

εx =εy =γxy =0 （5分）

7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？ 答：由位移变分方程可得

x

y

200Pa

=Pa

Pa

100r Pa

=-100Pa

=-

()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ??-++-++=??

????? 或0δ∏= ()()U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ∏=-++-++?????

其中∏ 为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和），0δ∏=称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线弹性体中，20δ∏>，即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5分） 二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5分）

)

()()(22210442210442210C y x xy C C y x y x B B y x y x A A xy y x +++=++++=++++=γεε 答：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即

22

22

2y xy

x y x x y

εγε???+=???? （2分） 由题中给出的应变可得：

2212

212x A y y ε?=+?，22

12212y B x x ε?=+?，2

22111233xy C x C y C C x y

γ?=++?? 则由相容条件可得：222211111221221233A y B x C x C y C C +++=++ 上式对任意x ，y 均成立，则有： 1111121221234

222C C A B C C A A C ==?????

+=+=?? （3分）

三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中s 、q 均为均匀分布荷载，AF 为固定边界。（15分）

解：

y

AF 边：u =0，v =0 （2分） AB 边：σy =0，τxy =0 （2分） EF 边：σy =0，τxy =0 （2分） BC 边： （4分）

sin 2

l α=-=-

，cos 2m α=-=-

cos 222sin 222

x xy xy y s s s s σαα?--==???

?--=-=-?? ? x xy xy

y s s σττσ+=-???+=?? CD 边：（2分） 0

x xy q

στ=-=

DE 边：（3分）

sin l α=-=

，cos m α==

cos 222sin 222x xy xy y s s s s σαα?-+==???

?-+==??? x xy xy y s s

σττσ-+=???-+=?? 四、对于图中所示结构，l 远大于h ，已知

233

322842M h y y y y qx h h h ???=+--+ ???

M 是集中弯矩，q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15）

解：

（1） 验证相容方程：40??= ，这里?显然满足。（1分） （2） 应力分量：

22321216x My y qx y h h h ?σ???==+-+ ????

220y x

?

σ?==?

222134xy y y q x y h h ?

τ???=-=---+ ?????

（3分）

（3） 边界条件 左侧2

h

y = ，0y σ=? 成立

113

00424

xy τ=?--+= （2分）

右侧：2

h

y =-，0y σ=? 成立

113424xy q q q τ??

=-?--++=- ???

成立 （2分）

顶部22322

120,0,0h h

h h x My

x dy dy h σ--= = =?? ，积分后为偶数，故为0 （2分）

22

0h

h xy dy τ-=?

223

222213220442882

h h h

y y y y y h h q dy q q h h h h h -??????---+=--=-= ? ? ???????-

?，成立 （2分） 22

h h x ydy M σ-=?

2

3

233

2

12422

h h h

My My dy M h

h h -??==????-?

，成立 （3分） 五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。（15分）

解：应力数值轴对称—仅为ρ的函数，应力方向轴对称— 0ρφφρττ==

相应的应力函数()ΦΦρ= ，应力分量：

d ,d ρ1Φ

σρρ

= 22d ,d φΦσρ=0.ρφτ= （a ） （3分） (1) 相容方程

22d d ()0d d 21Φρρρ

+= 其中：

22

d d d d ()d d d d 211ρρρρρρρ

?=+=

4d d d {[()]}0, ()d d d d 111Φ

Φρρb ρρρρρρ

?=

= 相容方程成为常微分方程，积分四次得Φ的通解，

22ln ln ()ΦA ρB ρρC ρD c =+++。 （3分）

(2) 应力通解：将式(c )代入式(a)，

22(12ln )2,(32ln )2, ()0

A B C A B C d ρφρφσρρ

σρρτ?=+++?

?

?

=-+++??

?=??

（3分）

(3) 应变通解：将应力(d )代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变ρφρφε,ε,γ 也为轴对称。

(4) 求对应的位移：

将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，

,ρ

ρu ερ

?=? d ();ρρu ερf φ=+?

,ρ

φ

φu u 1ερρφ?+=? ,φφρu ρεu φ

?=-? ()d )φφρ1u ρεu φf (ρ∴=-+?。

将ρφu ,u 代入第三式，

0,ρρρ

ρφu u u 1γρφφφ

??+-==?? 分开变量，两边均应等于同一常量F ,

()()()()d d d ,d d 11f ρf φf ρρf φφF ρφ

-=+=? （3分）

即得两个常微分方程，

11d ()

(),d f ρf ρρF ρ

-= 1 ();f ρH ρF ∴=+

d ()

()d ,d f φf φφF φ

+=? 22

d () ()0,d f φf φφ∴+= ()cos sin f φI φK φ=+得：。

代入ρφu ,u ，得轴对称应力对应的位移通解，

1[(1)2(1)(ln 1)(13)2(1)cos sin ()4sin cos A u B B E C I K e B

u H I K E ρφμμρρμρρ

μρφφρφρφφ?=

-++--+-???

+-++???=+-+??，。

（3分）

其中

I ，K —为x 、y 向的刚体平移， H —为绕o 点的刚体转动角度。

六、一端固定、另一端弹性支撑的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ，承受分布荷载q (x )的作用（如图所示）。试用位移变分方程（或最小势能原理）导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件（15分）

解：用位移变分方程推导 (1) 梁总应变能的改变为

22222220012l l d v d v d v U EJ dx EJ dx dx dx dx δδδ????????

==?? ? ? ???????????

?? （1分）

(2) 外力总虚功为

()()

()()0

l

l

A

A

x l q x vdx R v q x vdx k v v δδδδ=-=-?? （1分）

(3) 由位移变分方程得

()()222200l l

x l d v d v EJ dx q x vdx k v v dx dx δδδ=????=- ? ??????? (a)（1分）

对上式左端运用分部积分得 2222220023

2300

234

23400

l l l

l l

l d v d v d v dv EJ dx EJ d dx dx dx dx d v dv d v dv EJ EJ dx dx dx dx dx d v dv d v d v EJ v EJ dx

dx dx dx dx δδδδδδ????????= ? ? ???????????

??????

=- ? ???????????

??=-+ ??????????? 代入(a)式，经整理得

()2323423234000

l x x l d v dv d v d v dv d v d v

EJ v EJ kv EJ v EJ q x vdx dx dx dx dx dx dx dx δδδδδ==????????????--++-+-=?? ? ? ???????????????

??? (b) （3分）

由于变分v δ 的任意性，式(b)成立的条件为

()440d v

EJ q x dx

-= (c) 23230

0x d v dv d v v dx dx dx δδ=??

??-= ???????

(d)

23230x l

d v dv d v EJ kv EJ v dx dx dx δδ=??

????+-=?? ? ????

??? (e) （3分）

(4) 式(c)就是以挠度v 表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件。由于梁的左端为固定端，因此有

()00x v δ== ，0

0x dv dx δ=??

??= ??????? (f) （2分）

梁的右端为弹性支撑，则有

()0x l v δ=≠ ，0x l

dv dx δ=??

??≠ ??????? (g) （2分）

注意到式(d)能满足，而欲使式(e)成立，必须满足

220x l d v dx =??= ??? ，330x l d v kv EJ dx =??

-= ??? (h) （2分）

式(f)、(h)即为题意所求的边界条件。