2019-2020年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(二)学案 新人教A版必修4

2019-2020年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用
（二）学案 新人教A 版必修4
1．理解三角函数线的概念及意义．
2．能初步应用三角函数线分析解决与三角函数值有关的一些简单问题．
1．有向线段：带有方向的线段，叫做有向线段． 2．三角函数线：
如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，与α的终边(或其反向延长线)交于点T ，则图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示sin α，cos α和tan α.有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
自测自评
1．角α＝－5π
2，则sin α，tan α的值分别为(A )
A ．－1，不存在
B ．1，不存在
C ．－1，0
D ．1，0
解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A 正确，故选A. 2．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是(A ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan α D ．不确定
解析：画出三角函数线即可判断出来．如图，sin α＝－|MP |，tan α＝－|AT |，而|MP |<|AT |，故sin α>tan α.
3．在[0，2π]上满足sin α≥1
2
的α的取值范围是(B )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π
解析：利用单位圆和三角函数线解不等式．
4．在单位圆中画出适合sin α＝1
2的角α的终边，并由此写出角α的集合．
解析：作直线y ＝1
2交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则射线OA 与射线OB 为角α
的终边，如图所示．满足条件的角α的集合为
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .
基础提升
1．若π4<θ<π
2
，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是(D )
A ．tan θ<cos θ<sin θ
B ．sin θ<tan θ<cos θ
C ．cos θ<tan θ<sin θ
D ．cos θ<sin θ<tan θ
解析：如图，作出角θ的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由图可知，OM <MP <AT ，即cos θ<sin θ<tan θ.故选D.
2．已知角α的余弦线的长度不大于角α的正弦线的长度，那么角α的终边落在第一象限内的范围是(C )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π4
B.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫π4，π2 C.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z) D.⎝
⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4(k ∈Z)
解析：由单位圆中的三角函数线，可知角α的终边应落在如图所示的阴影区域，用终边相同角表示终边落在阴影区域的角为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z)．故选C.
3．若0<α<2π，则使sin α<
32和cos α>1
2
同时成立的α取值范围是(D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2 B.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53π，2π
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，2π 解析：如图所示，适合sin α<
32的角α的范围和适合cos α>1
2
的角α的范围的公共部分，即为角α的范围．故选D.
4．已知MP ，OM ，AT 分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有(D ) A ．MP <OM <AT B ．OM <AT <MP C ．AT <OM <MP D ．OM <MP <AT
解析：作出75°角的正弦线、余弦线、正切线，结合图形知OM <MP <AT .故选D.
5．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(D ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
解析：运用单位圆中的三角函数线，采用排除法，易判断D 正确．故选D. 6．若△ABC 的两个内角α，β满足cos α·cos β<0，则此三角形为(B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能
解析：设0<α<β<π，当cos α·cos β<0时，cos α>0，cos β<0，所以π
2<β<π，
故△ABC 为钝角三角形．
7．函数y ＝|cos x |cos x ＋|tan x |
tan x 的值域是(B )
A ．{1，2}
B ．{－2，0，2}
C ．{－2，2}
D ．{0，1，2}
解析：当角是第一象限中的角时，y ＝1＋1＝2；当角是第二象限的角时，y ＝－1－1＝－2；当角是第三象限的角时，y ＝－1＋1＝0；当角是第四象限的角时，y ＝1－1＝0.故综上可知函数的值域是{－2，0，2}．故选B.
巩固提高
8．已知α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是________________． 解析：作出α角的正弦线MP 、余弦线OM ，则MP ＋OM >OP ，即sin α＋cos α>1. 答案：sin α＋cos α>1
9．在(0，2π)内，使tan α>1成立的α的取值范围是________________．
解析：利用三角函数线知，π4<α<π2或5π4<α<3π2
. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4
，3π2
10．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，α在[0，2π]内，则α的取值范围是________________．
解析：由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，
tan α>0且α在[0，2π]内．
∴π4<α<π2或π<α<5π
4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎪⎫π，5π4
11．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，试判断lg(sin θ－cos θ)的符号． 解析：由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0，又tan θ<0，角θ终边在第二象限．∵θ终边在第二象限，
∴sin θ>0，cos θ<0.
由三角函数线可知sin θ－cos θ>1. ∴lg(sin θ－cos θ)>0.
12．在单位圆中画出适合cos α≤－1
2的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
解析：作直线x ＝－1
2交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图
中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .
1．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线．
2．三角函数线是与单位圆有关的平行(或重合)坐标轴的特殊的有向线段，字母顺序不能随意调换，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．
3．三角函数线是三角函数的一种几何表示，是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解决或证明三角形不等式、求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数图象的作图工具．。