高中物理相遇和追及问题(完整版)

相遇追及问题

一、考点、热点回顾

一、追及问题

1.速度小者追速度大者

类型图象说明

匀加速追匀速①t=t0以前，后面物体与

前面物体间距离增大

②t=t0时，两物体相距最

远为x0+Δx

③t=t0以后，后面物体与

前面物体间距离减小匀速追匀减速

④能追及且只能相遇一

次

匀加速追匀减速

2.速度大者追速度小者

度大者追速度小者

匀减速追匀速开始追及时，后面物体与

前面物体间的距离在减小，当

两物体速度相等时，即t=t0

时刻：

①若Δx=x0,则恰能追

及，两物体只能相遇一次，这

也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速

②若Δx

及，此时两物体最小距离为

x0-Δx

③若Δx>x0,则相遇两次，设

t1时刻Δx1=x0,两物体第一

次相遇，则t2时刻两物体第

二次相遇

匀减速追匀加速

①表中的Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；

②x0是开始追及以前两物体之间的距离；

③t2-t0=t0-t1;

④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度.

二、相遇问题

这一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.

第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.

解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.

求解追及问题的分析思路

(1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．

(2)通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．

(3)寻找问题中隐含的临界条件．例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等．利用这些临界条件常能简化解题

过程．

(4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次

函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．

相遇问题

相遇问题的分析思路：

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．

（1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系． (2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系． (3)寻找问题中隐含的临界条件．

(4)与追及中的解题方法相同．

二、典型例题

【例1】物体A 、B 同时从同一地点，沿同一方向运动，A 以10m/s 的速度匀速前进，B 以2m/s 2

的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A 、B 再次相遇前两物体间的最大距离． 【解析一】 物理分析法

A 做 υA ＝10 m/s 的匀速直线运动，

B 做初速度为零、加速度a ＝2 m/s 2

的匀加速直线运动．根据题意，开始一小段时间内，A 的速度大于B 的速度，它们间的距离逐渐变大，当B 的速度加速到大于A 的速度后，它们间的距离又逐渐变小；A 、B 间距离有最大值的临界条件是υA ＝υB ． ① 设两物体经历时间t 相距最远，则υA ＝at ② 把已知数据代入①②两式联立得t ＝5 s 在时间t 内，A 、B 两物体前进的距离分别为 s A ＝υA t ＝10×5 m＝50 m

s B ＝12at 2＝12

×2×52

m ＝25 m

A 、

B 再次相遇前两物体间的最大距离为 Δs m ＝s A －s B ＝50 m －25 m ＝25 m 【解析二】 相对运动法

因为本题求解的是A 、B 间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选B 为参考系，则A 相对B 的初速度、末速度、加速度分别是υ0＝10 m/s 、υt ＝υA －υB ＝0、a ＝－2 m/s 2

． 根据υt 2

－υ0＝2as ．有0－102

＝2×(-2)×s AB 解得Ａ、B 间的最大距离为s AB ＝25 m ． 【解析三】 极值法

物体A 、B 的位移随时间变化规律分别是s A ＝10t ，s B ＝12at 2＝12

×2×t 2 ＝t 5

.

则A 、B 间的距离Δs ＝10t －t 2

，可见，Δs 有最大值，且最大值为

Δs m ＝4×(－1)×0－102

4×(－1) m ＝25 m

【解析四】 图象法

根据题意作出A 、B 两物体的υ-t 图象，如图1-5-1所示．由图可知，A 、B 再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA ＝υB ，得t 1＝5 s ． A 、B 间距离的最大值数值上等于ΔOυA P 的面积，即Δs m ＝1

2×5×10 m＝25 m ．

【答案】25 m

【点拨】相遇问题的常用方法

(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按（解法一）中的思

路分析．

(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．

(3)极值法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△＝0，说明刚好追上或相碰；若△＜0，说明追不上或不能相碰．

(4)图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解． 拓展

如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的υ－t 图象，由图象可以看出 （ 〕

A ．这两个物体两次相遇的时刻分别是1s 末和4s 末

B ．这两个物体两次相遇的时刻分别是2s 末和6s 末

C ．两物体相距最远的时刻是2s 末

D ．4s 末以后甲在乙的前面

【解析】从图象可知两图线相交点1s 末和4s 末是两物速度相等时刻，从0→2s，乙追赶甲到2s 末追上，从2s 开始是甲去追乙，在4s 末两物相距最远，到6s 末追上乙．故选B ． 【答案】B

【实战演练1】（2011·新课标全国卷）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。 【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程，再根据两车加速度的关系，求出两车路程之比。

【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t 0）的速度为v ，第一段时间间隔内行驶的路程为s 1，加速度为a ，在第二段时间间隔内行驶的路程为s 2，由运动学公式有， v=a t 0 ① s 1=12 a t 02

② s 2=v t 0＋12

2a t 02

③

设汽车乙在时刻t 0的速度为v ′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s 1′、s 2′，同理有，

v′=2a t 0 ④ s 1′=12 2a t 02

⑤

s 2′=v′ t 0＋12

a t 02

⑥

设甲、乙两车行驶的总路程分别为s 、s ′，则有