因式分解十字相乘
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解
十字相乘法因式分解十字相乘法是乘法公式：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解，用于分解可写成x²+(a+b)x+ab的一元二次方程。
使用十字相乘法前的判定：形如ax²+bx+c的多项式，是否能够使用十字相乘法进行因式分解取决于Δ=b²-4ac是不是完全平方数，当Δ是完全平方数时才能在整数范围内进行十字相乘分解。
例子：a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6x所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6）十字相乘法就是要将二次函数各项系数反过来拆成这样的四个数，使之符合上图规律，找到这样的四个数就可以将二次函数转化为两个一次二项式的相乘的形式十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd十字相乘法因式分解练习题：x²-x-56 3x²+4x-15 x²-10x+16 6y²+19y+15 14x²+3x-27 10（x+2）²-29（x+2）+10 2x²-7x+3。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法因式分解
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) x2-5x+6
x2-5x+6 =(x-2)(x-3)
x
-2
步骤：
x
-3
(-3x)+(-2x)=-5x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
把多项式中二次项与常数项分别进行分解后,十字交叉相 乘得到一次项，这种因式分解方法叫十字相乘法因式分解.
探索新知
把下列式子进行因式分解
x2-5x+6
探究新知
计算： (x+2)(x+3)= x2+5x+6 (x+2)(x-3)= x2-x-6 (x-2)(x+3)= x2+x-6 (x-2)(x-3)= x2-5x+6
观察上面等式，有什么特点？
整式乘法：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
第4章 因式分解
浙教版 七年级下
知识回顾
因式分解的方法有哪些？ 1. 提取公因式法 2. 公式法
平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解的一般步骤：
首项有“负号”要先提
①多项式中若含有公因式，就要先提取公因式； ②尝试利用公式法（平方差，完全平方式）进一步分解； ③分解后再进行去括号，合并同类项等化简整理； ④直至不能再分解为止。
例1 利用十字相乘法因式分解.
(1)x2-4x+3
(2)x2+6x+8
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解十字相乘法例题及解析
因式分解十字相乘法例题及解析算术中，十字相乘法是一种古老而又重要的乘法，它把复杂的乘法变成简单的因式分解乘法。
在这种乘法中，每一步都可以把乘积分解成两个小乘积。
通过把乘法看作分解，我们可以求出这样的乘积，而这些乘积的因式分解统称为十字相乘法。
一般来说，十字相乘法是指把乘积分解成两个因式的乘法，常见的叫法有：因式分解十字相乘法、十字相乘因式分解法等。
十字相乘法的求解方法比较简单，只要把乘积写成两个因式相乘，就可以把乘积写成因式分解式。
常见的例子有：例1：(x + y)(x - y) = x2 - y2由于x + y和x - y是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式x2 - y2。
例2：(x + y)(y + z) = xy + xz + yz由于x + y和y + z是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式xy + xz + yz。
由此可见，十字相乘法是一种简单、有效的乘法。
学习者要掌握它，就要先熟练地掌握所有乘法规律。
除了上述例子外，还有更多关于十字相乘法例题等。
下面分别以几道典型例题及其解析，来帮助大家熟悉十字相乘法的应用。
例题1：(x + 2y)(x - 4y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即x + 2y和x - 4y，所以得出因式分解式：x2 - 2xy - 4xy + 8y2 = x2 -6xy + 8y2。
例题2：(2x + 3y)(3x - y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2x + 3y和3x - y，所以得出因式分解式：6x2 - y2 - 6xy + 3y2 = 6x2 - 3xy + y2。
例题3：(2a + 3b)(2b - 3a) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2a + 3b和2b - 3a，所以得出因式分解式：4ab - 9a2 + 9b2 = 4ab - 9(a2 + b2)。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法什么是因式分解十字相乘法？因式分解十字相乘法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解的过程。
通过使用十字相乘的方法，可以将一个复杂的多项式分解为更简单的因式。
这种方法常用于解决多项式的乘法和因式分解问题。
如何使用因式分解十字相乘法？以下是使用因式分解十字相乘法的步骤：步骤 1：观察多项式的结构首先，我们需要观察多项式的结构，特别是查看是否有公因式。
如果存在公因式，我们可以先提取出来，以简化后续的计算。
步骤 2：找到多项式的两个因式接下来，我们需要找到多项式的两个因式，这两个因式相乘后可以得到多项式。
这两个因式应该满足以下两个条件：1.相乘后得到的结果与原始多项式相同。
2.相乘后得到的结果可以进一步分解。
步骤 3：使用十字相乘法一旦我们找到了两个因式，我们可以使用十字相乘法来展开计算。
十字相乘法的步骤如下：1.将两个因式分别写在一个十字形结构的两侧。
2.首先，将两个因式的每个对应的项相乘，将结果写在下方。
3.然后，将下方的结果进行合并，得到最终的分解式。
步骤 4：进一步分解如果在步骤 3 中的分解式仍然可以进一步分解，我们可以重复步骤 2 和步骤 3 ，直到不再存在进一步分解的可能。
步骤 5：总结结果最后，我们可以将所有得到的因式整理在一起，以得到最终的因式分解结果。
一个示例：因式分解 x^2 + 5x + 6让我们使用因式分解十字相乘法来解决一个简单的例子，以便更好地理解这个方法。
我们要解决的多项式是 x^2 + 5x + 6 。
步骤 1：观察多项式的结构这个多项式没有显式的公因式，所以我们可以继续下一步。
步骤 2：找到多项式的两个因式我们需要找到两个因式，它们相乘后可以得到 x^2 + 5x + 6 。
一个直观的选择是 (x + 2) 和 (x + 3) 。
我们可以验证一下它们是否满足条件。
(x + 2) * (x + 3) = x^2 + 5x + 6满足条件，我们可以继续下一步。
因式分解(十字相乘法)
十字相乘法简单易懂，并且适用于各种类型的多项式。
十字相乘法步骤
1
步骤详解
2
2. 根据十字相乘法规则，将各项依次
相乘
3
实例演示
4
通过实例演示，展示十字相乘法的具 体步骤和计算过程。
步骤详解
1. 将多项式写成乘法形式
步骤详解
3. 将相乘得到的项合并并简化
练习及应用
练习题目
通过一些练习题，巩固因式分解和十字相乘法的 运用。
因式分解(十字相乘法)
因式分解是一种数学技巧，用于将一个多项式表达式拆分为两个或多个较简 单的因式。
基本概念介绍
什么是因式分解
因式分解是将一个复杂的代数式拆解成较简单的乘积形式。
因式分解的应用场景
因式分解在代数方程、因子分析和问题求解中具有广泛的应用。
十字相乘法原理
1 原理概述
十字相乘法是一种用于因式分解的方法，通过交叉相乘求得多项式的因子。
推广因式分解的学习方法和技巧，提供应用建议并鼓励学生探索更多数学概念。
பைடு நூலகம்
应用案例
介绍一些实际问题，在解决这些问题中应用因式 分解和十字相乘法。
常见问题解答
1 常见问题梳理
整理并解答关于因式分解和十字相乘法的常见问题。
2 解答分享
分享一些解题技巧和策略，帮助学生更好地理解和掌握因式分解。
总结及推广
因式分解的价值
因式分解有助于简化复杂的数学问题，提高解题速度和准确度。
推广和应用建议
因式分解中的“十字相乘法”
解读因式分解系列之二编制人：平生曜曜因式分解对“十字相乘”法的具体阐述1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“整数系数”的“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，你就可以大大减少“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好先把多项式作“降幂排列”。
其运用的要领是：竖着请进来，横着抬出去。
6、下面通过举例，来对“十字相乘法”作具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀，三再抬走。
一排顺序是指：先将原式按“二次项、一次项、常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
三再抬走是指：分解结果要“横起写”，不要交叉写！也就是：竖着请进来，横着抬出去。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有 技巧 吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
因式分解之十字相乘法
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
思而不学则殆
独立练习：把下列各式分解因式
x 2 x 15
2
y 3 y 18
2
a 13a 42
2
x px q
2
二次三项式分解因式为
(3x) (5x) 8x
(x + a )(x + b)
的形式
学以致用
将下列各式分解因式
x 7 x 12
2
x 3 x 10
2
学而不思则罔
试将 x
2
6 x 16
2
分解因式
x 6 x 16
本课关键词
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 口答计算结果
(1) (2) (x+3)(x+4) (x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常
2
步骤：
x
x
7
或
7
数项 ②交叉相乘，和相 加 ③检验确定，横 写因式
1
1
x 7x 6x
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱) 举一反三：
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
因式分解之十字相乘法
待定系数法 二次六项式
学习心得
• 1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd=
x2+(p+q)x+pq (ax+b)(cx+d)
.
猜想 合并同类项
• 2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)xy+bey2+(af+cd)x+(bf+ce)y+cf
• (x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)×(-4) =x2-11x+28 x • =x2+3x-8x+3×(-8) =x2-5x-24 x -7 +3 -4 -7x-4x ∴x2-11x+28=(x-7)(x-4) ∴x2-5x-24= . (x-8)
x
x
-8
(x+3) +3x-8x (x+3)(x-8)
2x
3x
-2y 4xy-10xy
• 2.3x2+11x+10=(3x )( x 3x x
)
• 4.7x2-19x-6=( x x
)( x
)
5 2 1 6x+5x
x
7
2
7×(-3)x+2x
模型小结
• 1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x ) • 2.3x2+11x+10=(3x )( x ) • 3.5x2-6xy-8y2=( x )( x ) • 4.7x2-19x-6=( x )( x ) 的
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
因式分解十字相乘法
因式分解（factoring）是指将一个多项式表示为若干个积的形式。
十字相乘法（cross multiplication）是一种因式分解的方法，用于多项式形如a * x + b * y = c * x + d * y 的情况。
具体来说，要使用十字相乘法进行因式分解，需要按照如下步骤操作：1.将多项式的两边同时乘上x 和y 的积，得到(a * x + b * y) * (c *x * y) = (c * x + d * y) * (a * x * y)。
2.将积展开，得到a * c * x^2 + a * d * x * y + b * c * x * y + b * d * y^2= a * c * x^2 + a * d * x * y + b * c * x * y + b * d * y^2。
3.将两边同时减去x * y 的积，得到a * c * x^2 + b * d * y^2 - x * y *(a * d + b * c) = 0。
4.将因式分解的结果写成(a * x + b * y) * (c * x + d * y) = 0 的形式，即得到(a * x + b * y) * (c * x + d * y) = 0。
这样，就可以得到多项式a * x + b * y = c * x + d * y 的因式分解结果。
例如，要对多项式2 * x - 3 * y = 5 * x + 4 * y 进行因式分解，可以按照如下步骤操作：1.将多项式的两边同时乘上x 和y 的积，得到(2 * x - 3 * y) * (5 *x * y) = (5 * x + 4 * y) * (2 * x * y)。
2.将积展开，得到2 * 5 * x^2 - 3 * 4 * x * y = 2 * 5 * x^2 + 4 * 2 * x * y3.将两边同时减去x * y 的积，得到2 * 5 * x^2 - 3 * 4 * x * y - 2 * 5 *x^2 - 4 * 2 * x * y = 0。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
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海豚教育个性化简案
海豚教育个性化教案（真题演练）
三、课堂小结
对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
3．书写格式:竖分横积
系数不为1的十字相乘法
例2 把2x2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2－7x－5分解因式.
海豚教育错题汇编。