二倍角公式及其变形公式

第三章 三角恒等变形
解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的， 而二倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠π4＋kπ(k∈Z)， 故此说法错误． (2)正确．当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当 cos α＝1－2 3时，cos 2α＝2cos α.
24°cos 24°cos 16cos 6°
48°＝2sin164c8o°cso6s°48°
＝1s6inco9s66°°＝16cocos s66°°＝116.
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第三章 三角恒等变形
给值求值 (1)已知 α∈π2，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝__________， cos 2α＝__________，tan 2α＝__________. (2)已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且 α∈π2，π，求 tan 4α 的值．
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第三章 三角恒等变形
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( × ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( √ ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × )
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第三章 三角恒等变形
则
S＝OB·AH＝cos
α－
3 3 sin
α·sin
α＝sin
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
63cos
2α－
3 6
＝
1
3
3 2 sin
2α＋12cos
2α－
63＝
13sin2α＋π6－
3 6.
由于 0<α<π3，所以π6<2α＋π6<56π，
tan 12
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【解】
第三章 三角恒等变形
(1)原式＝2sinπ5cosπ5πcos25π＝sin25πcoπs25π
2sin5
2sin5
4π π
sin ＝
5π＝
sin5π＝14.
4sin5 4sin5
(2)原式＝1－22cos2π8＝－2cos22π8－1＝－12cosπ4＝－ 42.
(3)原式＝tanta21nπ21π－2 1＝－2·1－2tatann1π221π2＝－2×ta1nπ6＝－332＝－2 3.
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35.
答案：35
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第三章 三角恒等变形
1．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义． (2)联系：公式 S2α，C2α，T2α 是在公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，分 别令 β＝α 时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例． (3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这就是说， “倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
2tan α 1－tan2
α＝tan
2α.
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第三章 三角恒等变形
1.(1)计算：cos 101°－＋cos3s8i0n°10°＝________. (2)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
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第三章 三角恒等变形
1 解：(1)原式＝22cos
10°＋
3 2 sin
第三章 三角恒等变形
§3 二倍角的三角函数
第 1 课时 二倍角公式及其应用
第三章 三角恒等变形
1．二倍角公式
名称 简记符号
公式
适用范围
二倍角的 正弦公式 二倍角的 余弦公式
S2α sin 2α＝__2_s_in__α_c_o_s_α___ cos 2α＝_c_o_s_2_α_－__si_n_2_α__
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第三章 三角恒等变形
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，
sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，
5＋6 24
7 .
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第三章 三角恒等变形
二倍角公式在实际中的应用 焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形 钢板，半径为 1 米，圆心角 θ＝π3，施工要求按图中所画的那样， 在钢板 OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC，要求使裁下的 钢板面积最大．试问王师傅如何确定 A 的位置，才能使裁下的 钢板符合要求？最大面积为多少？
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第三章 三角恒等变形
2.cossi2n15151°0－°ssinin22105°5°的值为(
)
A．－12
B．12
C．
3 2
D．－
3 2
1
1
解析：选 B．原式＝cocso2s2250°－°sisnin2202°5°＝2csoisn5400°°＝2ssiinn4400°°＝12.
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第三章 三角恒等变形
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第三章 三角恒等变形
【解】 连接 OA，设∠AOP＝α，过 A 作 AH⊥OP，垂足为 H，
在 Rt△AOH 中，OH＝cos α，AH＝sin α，
所以 BH＝taAnH60°＝ 33sin α，
所以
OB＝OH－BH＝cos
α－
3 3 sin
α，
设平行四边形 ABOC 的面积为 S，
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当
2α＋π6＝π2，即
α＝π6时，Smax＝
1－ 3
63＝
63，
所以当
A
是P︵Q的中点时，所裁源自文库板的面积最大，最大面积为
3 6
平方米．
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第三章 三角恒等变形
解决此类实际问题，应首先确定主变量角 α 以及相关的常量与 变量，建立关于角 α 的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍 角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数 的有界性来解决．
αcos
α＝2×－
47×－34＝3 8 7.
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第三章 三角恒等变形
(2)因为 β∈π2，π，sin β＝23，
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 35，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×196－1＝18，
所以 cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝18×－ 35－387×23＝－
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第三章 三角恒等变形
解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC， 所以∠BAC＝θ，所以 AC＝BC＝30 m. 又因为∠ADE＝2θ＋∠CAD，所以∠CAD＝2θ， 所以 AD＝CD＝10 3 m. 在 Rt△ADE 中，AE＝AD·sin 4θ＝10 3sin 4θ， 在 Rt△ACE 中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ，
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第三章 三角恒等变形
3.如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的 仰角为 θ，由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处，测得顶 端 A 的仰角为 2θ，再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 D 点， 测得顶点 A 的仰角为 4θ，求 θ 的大小和建筑物 AE 的高．
C2α ＝_1_－__2_s_i_n_2α_＝_2_c_o_s_2α__－__1
α∈R
二倍角的
正切公式
T2α
2tan α tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α__
α≠π2＋kπ， α≠π4＋k2π，
其中 k∈Z
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第三章 三角恒等变形
2.倍角公式的变形 (1)因为 sin2α＋cos2α＝1，所以公式 C2α 可以变形为 cos 2α＝__1_－__2_si_n_2_α__＝__2_c_o_s_2_α_－__1__；① 或 cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α.② 其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式． (2)常用的两个变形： (sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α， (sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.
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第三章 三角恒等变形
2.已知 cos α＝－34，sin β＝23，α 是第三象限角，
β∈π2，π. (1)求 sin 2α 的值；
(2)求 cos(2α＋β)的值． 解：(1)因为 α 是第三象限角，cos α＝－34，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 47，
所以
sin
2α＝2sin
故 tan 4α＝1－2tatann22α2α＝－1－(4－22
2)2＝4
7
2 .
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第三章 三角恒等变形
把本例(1)中的条件“sin α＝ 55”改为“sin α＋ cos α＝ 55”，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值．
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第三章 三角恒等变形
解：因为 sin α＋cos α＝ 55，所以(sin α＋cos α)2＝15， 即 1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45. 因为 α∈π2，π，所以 cos α<0，所以 sin α－cos α>0， 所以 sin α－cos α＝ (sin α－cos α)2＝ 1－sin 2α＝355， 所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝ 55×－355＝－35，所以 tan 2α＝csions 22αα＝43.
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第三章 三角恒等变形
(2)因为 sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α， 则已知条件可化为 sinπ4＋αcosπ4＋α＝16， 即12sin2π4＋α＝16，所以 sinπ2＋2α＝13， 所以 cos 2α＝13.因为 α∈π2，π，所以 2α∈(π，2π)，
从而 sin 2α＝－ 1－cos22α＝－232， 所以 tan 2α＝csions 22αα＝－2 2，
3.1－tatnan1251°5°＝________．
解析：原式＝12×1－2tatann1251°5°＝12tan 30°＝ 63.
答案：
3 6
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第三章 三角恒等变形
4．若 sin α＝ 55，则 cos4α－sin4α＝________.
解析：cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
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第三章 三角恒等变形
所以 10 3sin 4θ＝30sin 2θ， 即 20 3sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以 cos 2θ＝ 23. 又因为 2θ∈0，π2，所以 2θ＝π6，所以 θ＝1π2. 所以 AE＝30sinπ6＝15(m)． 所以 θ＝1π2，建筑物 AE 的高为 15 m.
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第三章 三角恒等变形
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广
泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋c2os 2α，
③1－cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝1－c2os
2α .
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第三章 三角恒等变形
化简求值 求下列各式的值： (1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；(3)tan1π2－ 1 π .
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第三章 三角恒等变形
【解】 (1)因为 α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以 cos α＝－255，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 55×－255＝－45，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35，
tan 2α＝csoins 22αα＝－43.故填－45，35，－43.
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第三章 三角恒等变形
(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形，将题设 条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对 结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名 靠拢，以便将题设条件代入结论．
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第三章 三角恒等变形
(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如： ①sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x ＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x； ②cos 2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x； ③cos 2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x.
2sin240°
10° ＝
2sin 40°＝ 2sin 40°
2.故填
2.
(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
＝23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
48°
＝22sin