二倍角公式及其变形公式
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2sin240°
10° =
2sin 40°= 2sin 40°
2.故填
2.
(2)原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
=24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
=23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
48°
=22sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
(2)因为 sinπ4-α=sinπ2-π4+α=cosπ4+α, 则已知条件可化为 sinπ4+αcosπ4+α=16, 即12sin2π4+α=16,所以 sinπ2+2α=13, 所以 cos 2α=13.因为 α∈π2,π,所以 2α∈(π,2π),
从而 sin 2α=- 1-cos22α=-232, 所以 tan 2α=csions 22αα=-2 2,
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
3.如图,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的 仰角为 θ,由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处,测得顶 端 A 的仰角为 2θ,再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 D 点, 测得顶点 A 的仰角为 4θ,求 θ 的大小和建筑物 AE 的高.
=cos2α-sin2α=1-2sin2α=1-2×
552=35.
答案:35
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第三章 三角恒等变形
1.对倍角公式的三点说明 (1)前提:所含各三角函数有意义. (2)联系:公式 S2α,C2α,T2α 是在公式 Sα+β,Cα+β,Tα+β 中,分 别令 β=α 时,得到的一组公式,即倍角公式是和角公式的特例. (3)倍角公式中的“倍角”的相对性:对于两个角的比值等于 2 的情况都成立,如 6α 是 3α 的 2 倍,3α 是32α的 2 倍.这就是说, “倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的.
故 tan 4α=1-2tatann22α2α=-1-(4-22
2)2=4
7
2 .
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
把本例(1)中的条件“sin α= 55”改为“sin α+ cos α= 55”,求 sin 2α,cos 2α,tan 2α 的值.
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第三章 三角恒等变形
解:因为 sin α+cos α= 55,所以(sin α+cos α)2=15, 即 1+2sin αcos α=15,sin 2α=2sin αcos α=-45. 因为 α∈π2,π,所以 cos α<0,所以 sin α-cos α>0, 所以 sin α-cos α= (sin α-cos α)2= 1-sin 2α=355, 所以 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α) = 55×-355=-35,所以 tan 2α=csions 22αα=43.
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第三章 三角恒等变形
2.已知 cos α=-34,sin β=23,α 是第三象限角,
β∈π2,π. (1)求 sin 2α 的值;
(2)求 cos(2α+β)的值. 解:(1)因为 α 是第三象限角,cos α=-34,
所以 sin α=- 1-cos2α=- 47,
所以
sin
2α=2sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( × ) (2)存在角 α,使得 sin 2α=2sin α 成立.( √ ) (3)对于任意的角 α,cos 2α=2cos α 都不成立.( × )
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第三章 三角恒等变形
§3 二倍角的三角函数
第 1 课时 二倍角公式及其应用
第三章 三角恒等变形
1.二倍角公式
名称 简记符号
公式
适用范围
二倍角的 正弦公式 二倍角的 余弦公式
S2α sin 2α=__2_s_in__α_c_o_s_α___ cos 2α=_c_o_s_2_α_-__si_n_2_α__
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第三章 三角恒等变形
【解】 连接 OA,设∠AOP=α,过 A 作 AH⊥OP,垂足为 H,
在 Rt△AOH 中,OH=cos α,AH=sin α,
所以 BH=taAnH60°= 33sin α,
所以
OB=OH-BH=cos
α-
3 3 sin
α,
设平行四边形 ABOC 的面积为 S,
栏目 导引
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
【解】 (1)因为 α∈π2,π,sin α= 55,
所以 cos α=-255,
所以 sin 2α=2sin αcos α=2× 55×-255=-45,
cos
2α=1-2sin2α=1-2×
552=35,
tan 2α=csoins 22αα=-43.故填-45,35,-43.
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第三章 三角恒等变形
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向:分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析,消除差异.
(2)公式逆用:主要形式有 2sin αcos α=sin 2α,
sin αcos α=12sin 2α,cos α=2sisnin2αα,cos2α-sin2α=cos 2α,
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第三章 三角恒等变形
2.cossi2n15151°0-°ssinin22105°5°的值为(
)
A.-12
B.12
C.
3 2
D.-
3 2
1
1
解析:选 B.原式=cocso2s2250°-°sisnin2202°5°=2csoisn5400°°=2ssiinn4400°°=12.
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第三章 三角恒等变形
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形,将题设 条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对 结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名 靠拢,以便将题设条件代入结论.
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第三章 三角恒等变形
(2)另外,注意几种诱导公式的应用,如: ①sin 2x=cosπ2-2x=cos2π4-x =2cos2π4-x-1=1-2sin2π4-x; ②cos 2x=sinπ2-2x=sin2π4-x=2sinπ4-xcosπ4-x; ③cos 2x=sinπ2+2x=sin2π4+x=2sinπ4+xcosπ4+x.
24°cos 24°cos 16cos 6°
48°=2sin164c8o°cso6s°48°
=1s6inco9s66°°=16cocos s66°°=116.
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第三章 三角恒等变形
给值求值 (1)已知 α∈π2,π,sin α= 55,则 sin 2α=__________, cos 2α=__________,tan 2α=__________. (2)已知 sinπ4+αsinπ4-α=16,且 α∈π2,π,求 tan 4α 的值.
C2α =_1_-__2_s_i_n_2α_=_2_c_o_s_2α__-__1
α∈R
二倍角的
正切公式
T2α
2tan α tan 2α=__1_-__t_a_n_2α__
α≠π2+kπ, α≠π4+k2π,
其中 k∈Z
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
2.倍角公式的变形 (1)因为 sin2α+cos2α=1,所以公式 C2α 可以变形为 cos 2α=__1_-__2_si_n_2_α__=__2_c_o_s_2_α_-__1__;① 或 cos2α=1+c2os 2α,sin2α=1-c2os 2α.② 其中公式①称为升幂公式,②称为降幂公式. (2)常用的两个变形: (sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=1+sin 2α, (sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-sin 2α.
第三章 三角恒等变形
解析:(1)错误.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的, 而二倍角的正切公式,要求 α≠π2+kπ(k∈Z)且 α≠π4+kπ(k∈Z), 故此说法错误. (2)正确.当 α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α. (3)错误.当 cos α=1-2 3时,cos 2α=2cos α.
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
所以 10 3sin 4θ=30sin 2θ, 即 20 3sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,所以 cos 2θ= 23. 又因为 2θ∈0,π2,所以 2θ=π6,所以 θ=1π2. 所以 AE=30sinπ6=15(m). 所以 θ=1π2,建筑物 AE 的高为 15 m.
3.1-tatnan1251°5°=________.
解析:原式=12×1-2tatann1251°5°=12tan 30°= 63.
答案:
3 6
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第三章 三角恒等变形
4.若 sin α= 55,则 cos4α-sin4α=________.
解析:cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)
tan 12
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【解】
第三章 三角恒等变形
(1)原式=2sinπ5cosπ5πcos25π=sin25πcoπs25π
2sin5
2sin5
4π π
sin =
5π=
sin5π=14.
4sin5 4sin5
(2)原式=1-22cos2π8=-2cos22π8-1=-12cosπ4=- 42.
(3)原式=tanta21nπ21π-2 1=-2·1-2tatann1π221π2=-2×ta1nπ6=-332=-2 3.
2tan α 1-tan2
α=tan
2α.
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第三章 三角恒等变形
1.(1)计算:cos 101°-+cos3s8i0n°10°=________. (2)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值.
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第三章 三角恒等变形
1 解:(1)原式=22cos
10°+
3 2 sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
解:因为∠ACD=θ+∠BAC, 所以∠BAC=θ,所以 AC=BC=30 m. 又因为∠ADE=2θ+∠CAD,所以∠CAD=2θ, 所以 AD=CD=10 3 m. 在 Rt△ADE 中,AE=AD·sin 4θ=10 3sin 4θ, 在 Rt△ACE 中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ,
αcos
α=2×-
47×-34=3 8 7.
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
(2)因为 β∈π2,π,sin β=23,
所以 cos β=- 1-sin2β=- 35,
cos 2α=2cos2α-1=2×196-1=18,
所以 cos(2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β
=18×- 35-387×23=-
当
2α+π6=π2,即
α=π6时,Smax=
1- 3
63=
63,
所以当
A
是P︵Q的中点时,所裁钢板的面积最大,最大面积为
3 6
平方米.
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第三章 三角恒等变形
解决此类实际问题,应首先确定主变量角 α 以及相关的常量与 变量,建立关于角 α 的三角函数式,再利用和(差)角公式或二倍 角公式求解.对于求三角函数最值的问题,一般利用三角函数 的有界性来解决.
第三章 三角恒等变形
则
S=OB·AH=cos
α-
3 3 sin
α·sin
α=sin
αcos
α-
33sin2α
=12sin
2α-
63(1-cos
2α)=12sin
2α+
63cos
2α-
3 6
=
1
3
3 2 sin
2α+12cos
2α-
63=
13sin2α+π6-
3 6.
由于 0<α<π3,所以π6<2α+π6<56π,
5+6 24
7 .
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第三章 三角恒等变形
二倍角公式在实际中的应用 焊接工王师傅遇到了一个难题:如图所示,有一块扇形 钢板,半径为 1 米,圆心角 θ=π3,施工要求按图中所画的那样, 在钢板 OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC,要求使裁下的 钢板面积最大.试问王师傅如何确定 A 的位置,才能使裁下的 钢板符合要求?最大面积为多少?
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第三章 三角恒等变形
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广
泛.常用形式:①1+cos 2α=2cos2α,②cos2α=1+c2os 2α,
③1-cos
2α=2sin2α,④sin2α=1-c2os
2α .
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第三章 三角恒等变形
化简求值 求下列各式的值: (1)cosπ5cos25π;(2)12-cos2π8;(3)tan1π2- 1 π .