2014版高考数学模拟试题精编2

2014版高考数学模拟试题精编2
课标全国卷数学高考模拟试题精编二
【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.
第Ⅰ卷 (选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x ＝( )
A．0 B．－2
C．0或－2 D．0或±2
A ．y ＝±2
2x B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±1
2
x
5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3
6．(理)已知⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n
的展开式的各项系数和为
32，则展开式中x 4
的系数为( ) A ．5 B ．40 C ．20 D ．10
(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法
抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
7．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( ) A．5 B．6
C．7 D．8
8．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC
＝2，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为2
3，
则这个球的表面积为( )
A.125π
6
B．8π
C.25π
4
D.
25π
16
9．(理)已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
(文)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
10．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A.3
4
B.
3
2
C．1 D．2
11．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为
a ，
b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2
＋π有零
点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.14
12．(理)设函数f (x )＝x －1
x
，对任意x ∈[1，＋
∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
0，12
(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·2x ，x ≤0，log 1
2
x ，x ＞0.若关
于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)答题栏
题
号
123456789
1
1
1
1
2 答
案
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，
y ≥0
当
且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．
15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x
；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)
＝________.
16．(理)已知a n ＝∫n 0
(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．
(文)在△ABC 中，2sin 2
A
2
＝3sin A ，sin (B －C)
＝2cos B sin C ，则AC
AB
＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2(n ＋1)x＋n2＋5n－7.
(Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成
数列{a
n }，求证：{a
n
}为等差数列；
(Ⅱ)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离
构成数列{b
n }，求{b
n
}的前n项和S
n
.
18．(理)(本小题满分12分)
某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．
(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；
(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人
对每一个问题正确回答的概率均为1
2
，用随机变
量X表示该中学获得B类资格的人数，求X的分布列及期望EX.
(文)(本小题满分12分)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095­2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微
克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区某年全年每天的PM2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).
(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；
(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率；
(3)以这12天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．
19.(理)
(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD ＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；
(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．
(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－
A
1B
1
C
1
的所有棱长都为2，D为CC
1
的中点．
(1)求证：AB
1⊥平面A
1
BD；
(2)设点O为AB
1
上的动点，当OD∥平面ABC时，
求AO
OB
1
的值．
20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24
＋y 23
＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.
(Ⅰ)当AP →·AQ →＝92
时，求此时直线l′的方程； (Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝
π4处的切线斜率为2π8
. (1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单
调性；
(2)设函数g(x)＝ln(mx＋1)＋1－x
1＋x
，x≥0，其
中m＞0，若对任意的x
1
∈[0，＋∞)总存在
x
2∈[0，
π
2
]，使得g(x
1
)≥f(x
2
)成立，求m的取
值范围．
(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1
2
x2－
1
3
ax3(a＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若a＝e，
(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；
(ⅱ)求证：x＞0时，不等式g′(x)≥1＋ln x 恒成立．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在AB 的延长线上．
(1)若EA ＝2ED ，EB ＝3EC ，求AB CD
的值； (2)若EF∥CD，求证：线段FA ，FE ，FB 成等比数列．
23．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分
别是⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ
(φ为参数)和⎩⎨⎧ x ＝cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C
1和C
2
的极坐标方程；
(2)射线OM：θ＝α与圆C
1
的交点为O、P，与
圆C
2
的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值．24．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.
(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；
(2) 当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围．。