抽样调查不等概率抽样
抽样调查第3章 不等概抽样
N
i
2、对自然数集合{ 1,2, … , X }作有放回简单随机抽 样，根据抽得随机数a决定入样单元.若
a {1,2,, X1}, 则第一个单元入样
若a { X j 1, X j 2,, X j },
j 1 j 1 j 1 i 1 i 1 i
则第i个单元入样，i =2,3,…, N 3、重复2，直至抽得n个单元.
不等概πPS抽样的实现
实现步骤
2、取出第一个样本单元后不放回，当第一个样本 单元为U j时，以概率pi抽取第二个样本单元 pi pi (i j ) 1 p j
i 2 pi
Ui ,U j同时入样的概率为：
2 pi p j D (1 pi p j ) (1 2 pi )(1 2 p j )
每次抽取后抽中的单元不放回要求各单元的入样概率正比于规模测度ps抽样的概念修正概率修正概率数必须给一个修正概率在不同的抽取次抽样次数较多时确定修正概率很麻烦通常将总体分成许多层在每层使用样本量为2的ps抽样不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现brewerbrewer抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率1963年由brewer提出大体思路设计好第一次抽取概率令第二次抽取概率正比实现步骤的入样概率表示不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现抽取第二个样本单元时以概率单元为后不放回当第一个样取出第一个样本单元不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现durbindurbin抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率大体思路第一次抽取概率正比于p调整第二次的抽取概率使总的入样概率正比于x实现步骤抽取第二个样本单元时以概率单元为后不放回当第一个样取出第一个样本单元不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现不等概不等概psps抽样的实现抽样的实现sensenmidzunomidzuno抽样方法抽样方法抽取第一个样本单元以概率大体思路解决样本量超过2的麻烦使ii近似地正比于近似地正比于xxii实现步骤2从剩下的n1个单元中抽取容量为n1的简单随机样本不放回估估值值法法horvitzhorvitzthompsonthompson估计估计其均方偏差为的无偏估计是总体总估计抽样ps321htht估计估计总体总数总体总数yy的估计值为的估计值为估估值值法法无偏估计量为估计的均方偏差的两个定理htps322ijijsinghrao1973且较少负值较稳定通过大量模拟发现例
不等概率抽样的概念和特点
（1）将总体单元按规模分层，对较大单元的层抽样比高一些，特大层的 抽样比甚至可以100%，而较小单元的层抽样比低一些。
（2）采用不等概抽样来减少抽样方差，即赋予每个单元与其规模成比例 的入样概率，然后在估计中采用不同的权数来进行弥补。
分层抽样：抽样选择概率小的单位会有较 高的权数。
n
N
Wi yi n
yi
又如，对于霍维茨——汤普森估计量
YˆHT
yi
i
在入选概率与规模成比例条件下，
的性质为
i
i
nZi
则
YˆHT
n
yi nZ i
1 n
n
yi Zi
YˆHH
πPS抽样的实施
n=2条件下严格的πPS抽样
布鲁尔方法 德宾方法
n >2条件下严格的πPS抽样
inijninn???1?????ininiihtywyy??????iiw?1?n固定条件下的包含概率第i单位入样概率第ij单位都入样概率21kin1in1inikkikiik2iiiyyy1?kkininikiikkihtyyyv???????????????????????????????????????sskkkii2is2iiyy2y1?iikikkiihtyv?????????kkiiik2sksk?kkiiiiikikkihtyyyv??????????????2?jjiinijijjinhtyyy????????????hty?是y的无偏估计i1ji?hty?是?htyv的无偏估计hhy?ppshty?ps其他公式在某种程度上可用这两个公式表现
2拉希里方法
不需要累计，两次随机数决定抽中的单位。 第一次：1-N之间的随机数i 第二次： 1-maxM之间的随机数m 如果Mi> m,第i个单位被抽中
抽样技术第6章不等概率抽样
不等概率抽样
不等概率抽样是抽样调查中一个重要 的方法，如当所要研究的总体单元规模相 差很大，采用不等概率抽样可以提高估计 的精度，减少抽样误差。本文首先介绍不 等概率抽样原理，并以抽取一个初级样本 单元psu(n=1)为例,介绍其思想；然后考 虑抽取多个初级样本单元(n>1)，分别详 细讨论采用有放回和无放回方法得到的估 计量的均值和方差。
• 令 为第i个psu中元素个数，K为总体中
元素个数，则
。有了概率 ，我
们得到pps抽样。对于一阶段pps抽样，
所以：
3.两阶段有放回抽样
• 两阶段有放回的不等概率抽样的估计量与 一阶段的相同。具体的，有放回的抽取一 些psu’s，以已知概率 抽取第i个psu。 如一阶段抽样一样， 是在样本中出现的 次数。然后在第i个psu中，抽取一个 子单元的概率样本。虽然其他任何概率抽 样方法都可用，无放回的简单随机抽样或 系统抽样通常用于选取子样本。
• 两阶段有放回抽样和一阶段有放回抽样的 唯一区别在于：在两阶段抽样中，我们需 要估计 。如果psu i在样本中出现多次， 则会产生 个总体估计值：
• 子样本抽样程序必须满足两个要求：
①无论何时被抽取作为样本，同样的子样本 抽样设计用于从这个中选取第二个子样本, 即ssu’s。虽然是从同一个抽取不同的子样 本，但必须是独立的抽取。
单元i在至少一次在样本中的总概率为:
• 这样，不等概率抽样思想变得非常简单。 有放回抽取n个psu’s。然后估计总体总值， 使用前部分的估计量，独立的抽取每一个 初级样本单元（psu）。有些psu’s可能被抽 取多次，使用一个给定psu计算的总体总值
包括的次数跟psu被抽取的次数一样多。因 为psu’s被有放回地抽取，所以我们可得到n 个独立的总体总值估计值。则我们去这n个
第七章不等概率抽样
](j
i)
• 具体抽取中，每个单元的抽取可使用代码法完成。此时累计的 “Mi”就是上述相应概率。【例5.9，P179】
3、莫蒂方法（Murthy）
• n>2时的一种非严格的πPS抽样方法。
• 抽样方法：（逐个抽取法）
◎ ◎
第第一二个个单单元元按在与剩余ZNi －MM1个0i 单成元比中例，的按概与率抽取Z j
NN
NN
N
ij (ij,i固定）(n1)i n(n1)
i1 ji
i1 ji
i1
that is:
N i1
N ji
ij
1n(n1) 2
• 与放回的PPS抽样类似，对于不放回不等概率抽样，最感兴趣 的仍然是πi与单元大小Mi成比例的情形，即：πi～k* Mi。
• 记单元大小的一个相对度量为：Zi＝Mi/M0（注意Zi在此处仅表 示一个相对度量，不具有第2节“入样概率”的含义）。则有：
这种不等概率抽样为多项抽样（multinominal sampling）
• 特别地，当总体中每个单元具有一个说明其“大小”或“规模”
的度量Mi时，则可将每个单元的入样概率取为：
Zi
M M0i ,(M0
N
i1
Mi)
此时每个单元在每次抽样中的入样概率与单元大小成比例，称
这种特殊的多项抽样为与大小成比例的概率抽样（sampling
则由数理统计（放回简单随机抽样），有：
E(YˆHH)E()Y;
V(YˆHH)n1V()n1iN 1Zi(YZii Y)2
而样本方差：
v()n11in1(m yii YˆHH)2
是 V ( ) 的无偏估计 从而：
v(Y ˆH H )n 1v()n (n 1 1)i n 1(z yiiY ˆH H )2
抽样技术7不等概率抽样
抽样技术：7不等概率抽样1. 引言在进行数据分析和统计研究时，抽样是一种常用的技术。
抽样技术允许我们从总体中选择一个样本，以便推断总体的性质。
在抽样技术中，不等概率抽样是一种常见的方法，它允许我们以非均匀的概率抽取样本。
本文将介绍关于7种不等概率抽样方法的详细信息。
2. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一，它要求每个个体被选中的概率相等且任意组合都是可能的。
然而，在某些情况下，简单随机抽样可能并不适用，例如当总体分布不均匀时，或者我们希望在样本中增加一定的多样性。
这时，我们可以考虑使用不等概率抽样方法。
3. 整群抽样整群抽样是一种不等概率抽样方法，它将总体划分为若干个互不重叠的群组（或称为簇），然后从每个群组中抽取样本。
整群抽样可以有效地减少抽样过程中的复杂性，并提高样本的效率。
整群抽样常用于调查社会群体或大型组织等场景。
4. 分层抽样分层抽样是一种根据总体特点进行划分的抽样方法，它将总体划分为若干个层级或相似的子群（层），然后从每个层中抽取样本。
通过分层抽样，我们可以保证样本在各层中的分布情况与总体相似，从而更为准确地推断总体的特征。
5. 系统抽样系统抽样是一种按照固定间隔选择样本的抽样方法。
它类似于简单随机抽样，但是通过定义一个间隔，我们可以按照一定的规律抽取样本。
例如，我们可以在总体中选取每隔一定数量的个体作为样本。
系统抽样在样本大小较大时表现出较高的效率。
6. 按比例分层抽样按比例分层抽样是一种常用的不等概率抽样方法，它根据总体各层的比例确定各层的样本容量。
比例分层抽样可以使得样本在各层中的分布与总体的比例相对应。
这种抽样方法适用于总体中的各个层存在不同比例的情况。
7. 两阶段抽样两阶段抽样是一种复杂的不等概率抽样方法，它将抽样过程分为两个阶段。
在第一阶段，我们从总体中选择一部分群组（或称为簇），在第二阶段，我们从每个群组中抽取一定数量的样本。
两阶段抽样适用于总体较大或分布复杂的情况下，可以提高抽样的效率。
抽样调查：不等概率抽样
总体单元 Yi 规模测度 Mi 0. 在抽取样本单元时，各单元被抽取的概率正比于Mi .
有放回PPS 抽样是常见的一种不等概率抽样方案。每次抽取，第i
单 元Yi 被 抽 中 的 概 率p i
正
比
于
M
响，只有 Mi m时它才入样，因此第 i 个单元入样的概率与
Mi的大小成正比，此时 Zi Mi M0
二、估 值 法
PPS抽样法的估值法的理论依据
定理3.1.1 在有放回PPS抽样下，
是总体总数Y
N
Yi
Yˆ PPS
的无偏估计.
பைடு நூலகம்
1 n
n
i 1
yi pi
i 1
( pi为第i个样本单元yi时的抽取概率，而不是总体中第i单元对应的抽取概率.)
i j ij
j
) yi
yj
,
v2 ( YˆHT
)
Nn
( i
j
ij
i1 ji
ij
) (
yi
i
yj
j
)2 .
注：两估计量均有可能取负值，通过模拟比较，v2较稳定且
较少取负值。
§3.3 Rao-Hartley-Cochran随机分群抽样
拉奥-哈特利-科克伦（1962）
设总体个体单元总数N nM k( 0 k n ) 1. 将总体随机分成n个群 其中k个群有M 1个个体单元，n k个群有M个个体单元； 2. 在每一个群中，以正比于规模测度的概率抽取一个单元 作为样本单元。
估计的均方偏差为：
V(Yˆ PPS
)
抽样调查：不等概率抽样
二、估 值 法
PPS抽样法的估值法的理论依据
定理3.1.1 在有放回PPS抽样下，
Yˆ PPS
1 n
是总体Y总 N数 Yi 的无偏.估计
n
i1
yi pi
i 1
(pi为i个 第样y本 i时单 的元 抽取总 概体 率 i单 中 ， 元 第 而 对不 应 .)是 的
估计的均方偏差为：
VY ˆ(PP)Sn 1 i n1pi(p yii Y)2.
例3.1 设某总体共有N=8个单元，相应 M i及代码如表所示
i
Mi
30 Mi
累计
代码
1
2/5
12
2
1/2
15
3
2/3
20
4
4/3
40
5
8/5
48
6
3/5
18
7
2/3
20
8
1
30
12
1～12
27
13～27
47
28～47
87
48～87
135 88～135
153 136～153
173 154～173
2、Hansen-Hurwitz （汉森—赫维茨）估计量
若 y1,y2, ,yn是按 Z i为入样概率的多项抽样而得的样 本数据，它们相应的 Z i 值自然记为 z1,z2, ,zn ，则对总
体总和， Hansen-Hurwitz 给出了如下的估计量：
yHH
1 n
n i 1
yi zi
且 E(yHH)Y ，即 y HH 是总体总和 Y 的无偏估计。
为整数。见下表。
表3—1 pps 抽样时各单元的代码数
单元 i 单元大小M i
07-第七章 不等概率抽样
（7.4）
（7.5）
5
3. 若 n > 1 ，则
ˆ )= v(Y HH
n æ yi ˆ 1 ç - YHH å n(n - 1) i =1 ç è zi
ö ÷ ÷ ø
2
（7.6）
ˆ ) 的无偏估计。 是 V (Y HH ˆ 的 在证明上述性质以前，我们先就 PPS 抽样这种特殊情形，说明 Y HH
*
[1,24] 中的一个随机数为 9，由于 M 4 = 6 < 9 ，因此需要重抽。设第二次抽
到的一组随机数为 (7,15) ，则仍然不满足要求，还需要抽。若再次抽到的随 机数组为 (2,8) ，则由于 M 2 = 10 > 8 ，故第 2 个单元被抽中。如此重复直 到抽到 n 个单元（允许重复）为止。 拉希里法适用于 N 很大的情况，因为它不需要列出如表 7.1 这样的表。 7.2.3 汉森——赫维茨估计量及其性质 对于 多 项 抽样，由于抽样是不等概率的，每个样本单元的 观测 值 ，因此对于总体参数的估计与等概率抽样 y1 , y 2 , , y n 就不再是“平等的” 不同。前已提到，这个估计也与样本单元 Z i 的取值 z1 , z 2 , , z n 有关。汉森 ——赫维茨（Hansen-Hurwitz）提到的对总体总和 Y 的估计如下：
Mi
8 10 17 6 24 9 5 7 4 10
累计 M i 8 18 35 41 65 74 79 86 90 100
代码 1~8 9~18 19~35 36~41 42~65 66~75 76~79 80~86 87~90 91~100
M 0 = 100
在 [1,100] 范围内产生 5 个随机数，设分别为 04，73，25，49 及 82，则 第 1，第 6，第 3，第 5 及第 8 个单元即为抽中的单元。如果我们欲再增加 一个样本单元，产生的随机数为 58，则又对应第 5 个单元，这个单元即为 抽中两次。由于单元愈大，被赋予的代码数就愈多，因此每个单元入样的概
不等概率抽样的方法的应用研究
不等概抽样方法的应用研究99统计992137 石磊【内容摘要】在抽样调查中，不等概抽样是一个重要的内容，如一个地区商场销售额总额的估计，由于大商场与小商场的销售额差异巨大，因此，大商场与小商场不能同等对待。
这时使用不等概率抽样方法可以很好的提高估计值得精度。
在整群抽样或多阶抽样中，常采用不等概抽样，在实际问题中，很少采用一种抽样方法，而常常采用是几种抽样方法有机结合，最常见的方案为多阶不等概抽样。
【关键词】不等概抽样，PPS，πPS，二阶段抽样。
【ABSTRACT】In sample investigation, sample with unequal probabilities is one important content, such as one regional market sales amount estimation of total value, Because emporium and little sales amount of market difference enormous, so, the emporium and little market can put on an equal footing . Use the sampling with unequal probabilities method can kind improvement estimate precision of deserving very at this moment. Besides, in overall to go on and when sampling, go on when sampling to a certain all residence of city to some, To have more very much the same residences in such aspects as economy different block of city this. If use one steps sample, not only trouble, but also the precision estimated is poor.【KEY WORDS】sampling with unequal probabilities PPSπPS two-stage sampling一、不等概抽样的理论基础（一）不等概抽样的概念等概抽样是指总体中的每个单元具有同样的入样概率的随机抽样。
三阶段不等概率抽样设计
三阶段不等概率抽样设计
三阶段不等概率抽样设计是一种常用的抽样方法，用于从整体群体中选择代表性样本。
它将样本选择过程分为三个阶段，每个阶段的概率不等，具体步骤如下：
1. 第一阶段：按照一定的抽样概率，从总体中选择第一阶段的样本单元。
这可能涉及到某些抽样单元的非选择或重复选择，以达到样本的多样性。
2. 第二阶段：在第一阶段选择的样本单元中，按照一定的概率再次进行抽样，选择第二阶段的样本单元。
这个阶段的抽样概率可能与第一阶段有所不同，以达到更好的样本覆盖和精度。
3. 第三阶段：在第二阶段选择的样本单元中，按照一定的概率再次进行抽样，选择最终的样本个体。
同样，这个阶段的抽样概率可能与前两个阶段有所不同。
通过三阶段不等概率抽样设计，可以灵活地选择样本单元，并通过控制抽样概率来保证样本的代表性和可靠性。
这种设计方法在实际应用中可以更好地适应不同的调查需求和场景，提高样本选择的效果。
抽样技术7不等概率抽样
M0
M2 0
例 某企业欲估计上季度每位职工的平均病假天数。该 企业共8个分厂，现用不等概整群抽样拟抽取3个分厂， 并以置信度95%计算其置信区间。
分厂编号
职工人数 Mi
累积区间
1
1200
1－1200
2
450
1201－1650
3
2100
1651－3750
4
860
3751－4610
5
2840
4611－7450
17 21
15.00 1045 22*
12.30 220 23
3.86 4600 24 15.80 2370 25
9.00 21.00
940 26 640 27
mi
yi
1.50
10
8.00
80
28.42 13672
9.01 3845
0.75
480
5.00 28.43
311 9284
9.97
842
5.20
放回不等概率抽样对总体特征的估计
三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质：
样本单元被抽中的概率z1， ，zn ,则对总体总量Y的估计是
YˆHH
1 n
n i 1
yi zi
(1)E(YˆHH ) Y
(2)V (YˆHH )
1 n
N i 1
Zi
(
Yi Zi
Y )2
(3)v(YˆHH )
其中第2、19号被抽中两次
解：根据题中所给资料，n=30,M0=9542, 利用汉森-郝维茨估计量，则有：
YHH
1 n
n 1
yi M 0 zi n
抽样调查方法与技术：不等概率抽样
二、PPS抽样的实施
1、代码法： 为什么说与规模大小成比例？ 第i个单位包含的代码个数与其规模Mi相等，
每次抽取产生的随机数假设在1—M0之间均 匀分布，很显然代码个数越多的单位（规模越 大的单位）被抽中的可能性越大。
（抽中的概率早已确定：Mi/M0。）
i
Mi
1 3.84 2 0.68 3 4.63 4 0.49 5 7.18 6 1.28 7 7.01 8 7.42 9 8.80
第一节 问题的提出
一、不等概率抽样的必要性 （P137-138，不等概率抽样运用的两种情形
：） ①需要估计总体总量，但总体单元规模相差很
大的情形； ②由于种种原因不能直接对基本的较小单元抽
样的情形。
第一节 问题的提出
二、不等概率抽样的分类 （一）放回不等概率抽样
所谓放回不等概率抽样是指，在抽样之前 就给总体中每个单位赋予一个确定的抽取概 率，在放回抽样的每一次抽取中，每个单位 被抽中的概率都不变（概率不变，不是概率 相等），直到抽够n个样本单位为止。
（二）不放回不等概率抽样
由于每次抽取采用不放回的形式，样本中 不会出现重复的单位，抽样效率比放回形式 的高，但同时也由于各次抽取相互不独立， 所以无论抽样的实施还是目标量及其方差的 估计都比放回形式复杂。不放回不等概率抽 样方法中，最重要最常用的是样本量固定， 总体中每个单位的入样概率与单位的规模大 小严格成比例的抽样。(πps)
第二节 放回不等概率抽样
一、多项抽样与PPS抽样 P139
设总体包含N个单位，在放回抽样的每一次 抽取中，抽到第i个单位的概率为Zi ( 0≤Zi≤1;i=1,2,…，N） 且 ，按此规定 有放回地独立抽取n次，共抽到n个单位（有 可能重复），称这样的抽样为多项抽样 (Multinomial Sampling)。
不等概率抽样问题的研究
不等概率抽样问题研究目录摘要 (1)1 不等概率抽样方法的介绍 (2)1.1 不等概率抽样估计的定义 (2)1.2 不等概率抽样 (2)1.2.1 放回不等概率抽样 (2)1.2.2 不放回不等概率抽样 (5)2 结论 (9)谢辞 (11)参考文献 (12)不等概率抽样问题研究李娟指导教师：苗刚摘要：在实际抽样中，我们常常遇到很多不同的情况，对于不同的情况我们也会采用不同的抽样方法进行研究。
常用的抽样方法主要有等概率抽样与不等概率抽样。
本文将针对不等概率抽样问题进行研究。
关键词：抽样；不等概率；样本；指标在现实生活中，由于现实的局限性，我们常常需要对总体进行抽样估计，抽样估计的方法也是多种多样。
在实际运用中，我们常常会发现运用等概率抽样方法来对总体指标进行估计时会出现单位均值估计不足的缺陷，那么我们应该如何改变这种现状，以提高抽样估计的效率呢？随着抽样调查在我国应用领域的不断扩展，很多学者对于抽样调查中等概率抽样估计的不足提出了建议。
他们提议如果我们运用不等概率抽样方法对总体指标进行估计，那么这些问题将迎刃而解。
1 不等概率抽样方法的介绍1.1 不等概率抽样估计的定义不等概率抽样估计，也就是大单位赋予大的入样概率，小单位赋予小的入样概率，入样概率一般与单位规模大小成正比。
1.2不等概率抽样方法的分类不等概率抽样方法按不同的分类方法可以分成许多不同的类型。
但最主要的分类方法是按抽样过程中被抽到的单位是否被放回总体中进行分类，分为放回不π。
等概率抽样)psPPS和不放回不等概率抽样()(抽样抽样1.2.1 放回不等概率抽样所谓放回不等概率抽样，是指在抽样之前就给总体中每一个单位赋予一个确定的抽样概率，在放回抽样的每一次抽取中，每个单位被抽中的概率都不变，直到抽够n个样本单位为止，对于放回不等概率抽样，由于每次抽取时总体的分布都不变，所以各次抽取是相互独立的，因此，无论抽样的实施，还是目标量的估计，都特别简单，这是这种抽样方法的最大优点。
不等概率抽样调查的应用
PPS抽样方法的研究及其在我国农村居民消费支出估计的应用〔摘要〕不等概率抽样估计是一种十分有效的抽样推断方法，它在实践中有着广泛的应用，采用不等概率抽样修正等概率抽样，可以弥补抽样调查中等概率抽样估计的不足。
由于金融危机引起出口增长受阻，国内投资增长缓慢，城镇居民消费预期恶化且收入分配差距过大，农村有效需求的扩大成为备受关注的问题。
因此，有必要通过市场调查，了解和掌握我国农村居民的消费状况。
应用PPS 抽样方法对我国农村居民生活消费支出进行估计，可以得到相关数据，进而为制定有效的产业策略提供参考依据。
〔关键词〕PPS 抽样；Hansen-Hurvitz 估计量；农村居民消费支出一、引言近20多年来，我国经济连续高速增长主要是由投资带动的，而作为拉动经济增长的最重要的要素———消费需求却严重不足。
消费率是指最终消费额占GDP 的比重，消费率是衡量消费需求的一个重要指标。
如果消费率下降，那么表明消费需求不足，如果消费率上升，则表明消费需求扩张。
近年来，我国消费率数据也遵循了这一规律，最终消费占GDP的比重一直呈下降趋势。
市场经济改革以来，我国最终消费率持续下降，投资与消费增速的差距拉大。
1990我国最终消费率是62.5％，投资率34.9％,消费率高出投资率的27.6％。
2009年最终消费率降到4 8％，投资率是47.7％,消费率仅高出投资率0.3％。
据国外经验来看，在国外很多发达国家和发展中国家，他们的投资率一般在20％~30％左右，消费率一般在7 0％~80％左右。
对比中国的情况，投资率显著高于国外的平均水平，消费率也明显偏低。
目前，“三农”问题已经成为中央政府及有关各部门和理论界极为关注的热点问题。
消费是经济的原动力，消费、投资和净出口被誉为拉动经济增长的“三架马车”，其中消费的作用是最重要的。
当前，我国消费市场的形势并不乐观。
由于金融危机引起出口增长受阻，国内投资增长缓慢，城镇居民消费预期恶化且收入分配差距过大，在这种情况下，人们自然地将增加有效需求的注意力转向了农村。
抽样技术不等概率抽样
抽样技术：不等概率抽样引言在统计学和数据分析中，抽样技术是一项重要的工具，用以从总体中选择一部分元素进行研究。
而抽样技术的核心就是如何从总体中选取样本，以保证样本能够准确地反映总体的特征。
其中一种常用的抽样技术是不等概率抽样。
不等概率抽样是指在抽取样本时，各个个体被选中的概率不相等。
与等概率抽样相比，不等概率抽样更能满足实际问题的需求，更能提高样本的效率和精确性。
本文将介绍不等概率抽样的原理、常用方法以及应用案例，希望能够帮助读者更好地理解和应用抽样技术。
不等概率抽样的原理不等概率抽样的原理基于概率论和统计学的基本原理。
在进行不等概率抽样时，需要根据总体的特征和研究目的，选择合适的抽样方法和样本选择概率，以使样本能够准确地反映总体。
不等概率抽样的核心在于赋予每个个体被选中的概率，也称为抽样概率。
抽样概率可以根据总体特征和研究目的进行选择，常见的选择方法包括：概率比例抽样、系统抽样、整群抽样等。
概率比例抽样是一种根据个体在总体中所占比例来确定抽样概率的方法。
具体而言，可以先计算出样本所需的个体数目，再根据各个个体在总体中的比例，分配相应的抽样概率。
这样可以保证样本能够按比例反映总体的特征。
系统抽样是一种按照一定规律选择样本的方法。
具体而言，可以在总体中确定一个起始点，然后以固定的间隔选择样本个体。
系统抽样具有简单方便、无需随机表和随机数的优点，常用于总体具有周期性分布的情况。
整群抽样是一种将总体划分为若干群体，然后随机选择部分群体进行抽样的方法。
这种方法适用于总体分布不均匀，但各群体内部相对均匀的情况。
通过整群抽样，可以减小样本误差，提高样本的代表性。
不等概率抽样的常用方法不等概率抽样有多种不同的方法和技术，根据实际问题的需求和样本特征的不同，可以选择合适的抽样方法。
以下将介绍几种常用的不等概率抽样方法。
简单随机抽样是不等概率抽样中最基本的方法之一。
简单随机抽样是指每个个体都有相等的被选中概率，且个体间的选择是相互独立的。
常见的非概率抽样方法
常见的非概率抽样方法非概率抽样，又称为不等概率抽样或非随机抽样，就是调查者根据自己的方便或主观判断抽取样本的方法。
它不是严格按随机抽样原则来抽取样本，所以失去了大数定律的存在基础，也就无法确定抽样误差，无法正确地说明样本的统计值在多大程度上适合于总体。
虽然根据样本调查的结果也可在一定程度上说明总体的性质、特征，但不能从数量上推断总体。
非概率抽样依抽样特点可分为方便抽样、定额抽样、立意抽样、滚雪球抽样和空间抽样。
①方便抽样样本限于总体中易于抽到的一部分。
最常见的方便抽样是偶遇抽样，即研究者将在某一时间和环境中所遇到的每一总体单位均作为样本成员。
“街头拦人法”就是一种偶遇抽样。
某些调查对被调查者来说是不愉快的、麻烦的，这时为方便起见就采用以自愿被调查者为调查样本的方法。
方便抽样是非随机抽样中最简单的方法，省时省钱，但样本代表性因受偶然因素的影响太大而得不到保证。
②定额抽样定额抽样也称配额抽样，是将总体依某种标准分层（群）；然后按照各层样本数与该层总体数成比例的原则主观抽取样本。
定额抽样与分层概率抽样很接近，最大的不同是分层概率抽样的各层样本是随机抽取的，而定额抽样的各层样本是非随机的。
总体也可按照多种标准的组合分层(群)，例如，在研究自杀问题时，考虑到婚姻与性别都可能对自杀有影响，可将研究对象分为未婚男性、已婚男性、未婚女性和已婚女性四个组，然后从各群非随机地抽样。
定额抽样是通常使用的非概率抽样方法，样本除所选标识外无法保证代表性。
③立意抽样立意抽样又称判断抽样，研究人员从总体中选择那些被判断为最能代表总体的单位作样本的抽样方法。
当研究者对自己的研究领域十分熟悉，对研究总体比较了解时采用这种抽样方法，可获代表性较高的样本。
这种抽样方法多应用于总体小而内部差异大的情况，以及在总体边界无法确定或因研究者的时间与人力、物力有限时采用。
④滚雪球抽样以若干个具有所需特征的人为最初的调查对象，然后依靠他们提供认识的合格的调查对象，再由这些人提供第三批调查对象，……依次类推，样本如同滚雪球般由小变大。
非概率抽样方式
非概率抽样方式（三）非概率抽样方式非概率抽样，又称为不等概率抽样或非随机抽样，是调研者根据自己的方便或主观判断抽取样本的方法。
主要有偶遇抽样、主观抽样、滚雪球抽样、、定额抽样等类型。
1．偶遇抽样，也称就近抽样、方便抽样或自然抽样。
它是指研究者根据现实情况，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作为调查对象，或者仅仅选择那些离得最近的、最容易找到的人作为调查对象。
其优点是方便省力，其缺点是样本的代表性差，，有很大的偶然性。
2．主观抽样，也称目标式抽样、判断式抽样或立意抽样。
它是调查者根据自己的主观分析，来选择和确定调查对象的方法；。
主观抽样取得的样本．其代表性取决于研究者对总体的了解程度和判断能力。
主观抽样的优点是，可以充分发挥研究人员的主观能动性，其缺点是，样本的代表性难以判断，不能推论。
3．滚雪球抽样。
当我们无法了解总体情况时，可以从总体中的少数成员入手。
对他们进行调查向他们询问还知道哪些符合条件的人，再去找那些人并询问他们知道的人，如同滚雪球一样。
我们可以找到越来越多具有相同性质的群体成员。
4．定额抽样。
定额抽样从对总体性质的了解开始，在某一总体中考虑具有某种属性的人数所占的比例，然后从具有这种属性的人群中收集数据，并按各类人在总体中的比例赋予它的适当的比重。
这样收集数据，从理论上讲应当能够代表总体。
这种方法存在的问题是：定额的比例必须精确，但由于最新的关于总体性质变化的信息并不容易得到，往往造成抽样中的偏差。
（四）抽样中的误差问题进行抽样调查可产生两类误差，一类是抽样误差，另一类是非抽样误差。
1．抽样误差：由抽样的随机性产生，属于随机误差抽样误差是指主要指样本平均数与总体平均数之差、样本比率与总体比率之差。
抽样误差中通常运用最多的抽样平均误差，即指样本平均数或样本比率的标准差。
在重复抽样条件下，（1）样本平均数的抽样平均误差公式为其中， 为总体标准差，n为样本个案数。
（2）样本比率的抽样平均误差公式为：其中，P为总体比率，n为样本个案数实际计算时，则以样本标准差代替总体标准差，以样本比率代替总体比率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
响，只有 Mi m时它才入样，因此第 i 个单元入样的概率与
Mi的大小成正比，此时 Zi Mi M0
二、估 值 法
PPS抽样法的估值法的理论依据
定理3.1.1 在有放回PPS抽样下，
是总体总数Y
N
Yi
Yˆ PPS
的无偏估计.
1 n
n
i 1
yi pi
i 1
( pi为第i个样本单元yi时的抽取概率，而不是总体中第i单元对应的抽取概率.)
yi pi
1 [15 (140) 12 (100) 7 ( 65 )]
3 529
529
529
59.04 .
这一估计的均方偏差的估计为
v( YˆPPS
)
1
n
(
n( n 1 ) i1
yi pi
YˆPPS
)2
4.93
2、Hansen-Hurwitz （汉森—赫维茨）估计量
单 元Yi 被 抽 中 的 概 率p i
正
比
于
M
，
i
pi
Mi
N
Mj
Mi M
j 1
一次抽取后，放回被抽中的单元再作下次抽取。
不等概率 抽样
有放回不等概率抽样 (PPS)
无放回不等概率抽样
( pPsS)
一、实现方法
（1）累积和法 或 代码法
它适合于 N 若在实际中存在
M不i不太是大整的数情的形话。，假则定可所以有乘的以M一i 为个整倍数数，使倘其
估计的均方偏差为：
V(Yˆ PPS
)
1n
n i1
pi (
yi pi
Y
)2 .
证明 考虑随机变量Z，
则Z
yi
P{
Z
Yi pi
}
pi ,
是随机变量Z的独立同分布样本，故
pi
E(
zi
)
N
Yi
p i 1 i
pi
Y
,
E( YˆPPS
)
1 n
n
E(
i 1
zi
)
Y
,
V
( YˆPPS
)
var(
z
)
1 n2
n
var(
i 1
zi
)
1 n
var(
z1
)
1
N
(
Yi
n p i1 i
E( z1
))2
pi
1 n
N
i 1
pi
(
Yi pi
Y
)2
定理3.1.2 在有放回PPS抽样下，
v( YˆPPS
)
1
n
(
n( n 1 ) i1
yi pi
YˆPPS
,
M
里面随机等可能的选
0
取一个整数，设为m ,若代码 m 属于第 j个单元拥有的代码
数，则第 j个单元入样。整个过程重复 n次，得到 n个单元
入样（当然存在重复的可能性）构成 pps 样本。
例3.1 设某总体共有N=8个单元，相应 Mi及代码如表所示
i
Mi
30 Mi
累计
代码
1
2/5
12
2
1/2
15
3
2/3
20
4
4/3
40
5
8/5
48
6
3/5
18
7
2/3
20
8
1
30
12
1～12
27
13～27
47
28～47
87
48～87
135 88～135
153 136～153
173 154～173
203 174～203
M0 203
假设第 i 个单元在 n次抽样中被抽中 ti 次，则(t1, t2, , tN )
为整数。见下表。
表3—1 pps 抽样时各单元的代码数
单元 i 单元大小Mi
代码数
1
M1
2
M2
1, 2, , M1
M1 1, M1 2, , M1 M2
N 1
N 1
N 1
N
MN
Mi 1, Mi 2, , Mi M N M0
i 1
i 1
i 1
每次抽样前，先在整数 1, 2,
,N
Cov(ti , t j ) nZi Z j
i j
倘若单元有一个数值度量其大小，诸如职工人数、工厂产值
商店销售额等，或者感兴趣的调查指标在上一次普查时的数
据也可以作为其单元大小的一种度量。记 M为i 第 i 个单元的
“大小”，并记M0
N
i 1
Mi
若取 n=3，在1～203中随机有放回地产生3个随机整数，不 妨设为45、89、101，则第 3 个单元入样一次，第 5 个单 元入样 2 次。
§3.1 PPS 抽 样
PPS抽样：抽取概率正比于规模测度。
——Sampling with Probability Proportional to Size
总体单元 Yi 规模测度 Mi 0. 在抽取样本单元时，各单元被抽取的概率正比于Mi .
有放回PPS 抽样是常见的一种不等概率抽样方案。每次抽取，第i
是一个随机向量，其联合分布为：
n! t1 !t2 !
tN
!
Z t1 1
Z t2 2
Z tN N
N
ti n (3.1)
i 1
这是我们熟悉的多项分布，多项抽样其名正出于此。
多项分布(3.1)具有如下性质：
E(ti ) Var(ti )
nZi nZ
i
(1
Z
i
)
i 1, 2,
100棵，要调查该村庄水果产量，以正比于果树棵树的概率取3 个果园作样本.
果园序号 1 2 3 4 5
678
规模测度X 50 30 65 80 140 44 20 100
如果实地调查得第5、第8、第3号三个果园的产量分别为 15,12,7，求该村八个果园的总产量估计.
解： Yˆ PPS
1n
n i1
若 y1 , y2 , , yn 是按 Zi为入样概率的多项抽样而得的样 本数据，它们相应的 Zi值自然记为 z1, z2 , , zn ，则对总
体总和， Hansen-Hurwitz 给出了如下的估计量：
yHH
1 n
n i 1
yi zi
且 E( yHH ) Y ，即 yHH 是总体总和 Y 的无偏估计。
)2
1
n
[(
n( n 1 ) i1
yi pi
)2
nYˆP2PS
]
注：
可用Yˆ PPS估计总体总数Y;
用
1 N
Yˆ PPS估
计
总
体
平
均
值Y;
其均
方误差的估计
分别为v(Yˆ PPS
)和(
1 N
)2
v(Yˆ PPS
).
例 一村庄有8个果园，分别由果树50, 30, 65, 80, 140, 44, 20,
（2）最大规模法 或 Lahiri(拉希里)方法
当 N 相当大时，累计的 M0将很大，给代码法的实施带
来很多不方便。Lahiri提出下列方法：令
M*
max{
1i N
M
i
}
每次抽取 1～N 中一个随机整数 i 及 1～M *内一个随机整数
m ，如果Mi m，则第 i 个单元入样；若 Mi m，则按前面 步骤重抽 (i, m) ，显然，第 i 个单元的入样与否受到m 的影
Var( yHH )
1 n
N i 1
Z
i
(
Yi Zi