2020届四川省成都市石室天府中学高三第四次阶段性质量检测数学(理)试题
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4．D
【解析】
【分析】
作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．
21．设函数 .
（1）若函数 在 是单调递减的函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
22．已知 ， ，动点 满足直线 ；
（2）若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 相交于点 ，求 的最小值及此时直线 的方程.
A． B． C． 或 D． 或
10．已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为 .点 为双曲线 的右顶点，若点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率是（）
A． B． C．2D．3
11．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
12．如图，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，若 ， ，且满足 ，则 等于（）
①函数 在 上是增函数；
②函数 的图象关于 中心对称；
③不存在斜率小于 且与函数 的图象相切的直线；
④函数 的导函数 不存在极小值.
其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
17．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求直线 和曲线 的普通方程；
【详解】
由题意 ,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
先求出满足 的 值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由 得 ，即 ， ，因此“ ”是“ ， ”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
23．已知 ， ， 为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先确定集合 中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意 ，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有 个元素的集合其子集有 个，其中真子集有 个．
2．B
【解析】
【分析】
求出复数 ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
A．2B．3C．4D．8
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．“ ”是“ ， ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据： ， ， ， ，下列函数模型中拟合较好的是（）
日期
1
2
3
4
5
6
7
全国累计报告确诊病例数量 （万人）
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系？
（2）求出 关于 的线性回归方程 （系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据： ， ， ， .
A． B． C． D．
9．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长 ， ， 求三角形面积 ，即 .若 的面积 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为 的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）
（2）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最小值及此时 点的坐标.
评卷人
得分
三、解答题
18．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期 和全国累计报告确诊病例数量 （单位：万人）之间的关系如下表：
A．2B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13． 展开式中 的系数为_______________．
14．直线 （ ， ）过圆 ： 的圆心，则 的最小值是______.
15．若函数 在区间 上恰有4个不同的零点，则正数 的取值范围是______.
16．关于函数 有下列四个命题：
2020届四川省成都市石室天府中学高三第四次阶段性质量检测数学（理）试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．集合 的子集的个数是（）
A． B． C． D．
6．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为（）
A．1B．2C． D．4
7．如图，正方体 中， ， ， ， 分别为棱 、 、 、 的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（）
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
19．已知数列 是公比为正数的等比数列，其前 项和为 ，满足 ，且 成等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的值.
20．如图，三棱柱 的侧棱 垂直于底面 ，且 ， ， ， ， 是棱 的中点.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【解析】
【分析】
作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．
21．设函数 .
（1）若函数 在 是单调递减的函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
22．已知 ， ，动点 满足直线 ；
（2）若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 相交于点 ，求 的最小值及此时直线 的方程.
A． B． C． 或 D． 或
10．已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为 .点 为双曲线 的右顶点，若点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率是（）
A． B． C．2D．3
11．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
12．如图，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，若 ， ，且满足 ，则 等于（）
①函数 在 上是增函数；
②函数 的图象关于 中心对称；
③不存在斜率小于 且与函数 的图象相切的直线；
④函数 的导函数 不存在极小值.
其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
17．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求直线 和曲线 的普通方程；
【详解】
由题意 ,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
先求出满足 的 值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由 得 ，即 ， ，因此“ ”是“ ， ”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
23．已知 ， ， 为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先确定集合 中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意 ，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有 个元素的集合其子集有 个，其中真子集有 个．
2．B
【解析】
【分析】
求出复数 ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
A．2B．3C．4D．8
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．“ ”是“ ， ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据： ， ， ， ，下列函数模型中拟合较好的是（）
日期
1
2
3
4
5
6
7
全国累计报告确诊病例数量 （万人）
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系？
（2）求出 关于 的线性回归方程 （系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据： ， ， ， .
A． B． C． D．
9．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长 ， ， 求三角形面积 ，即 .若 的面积 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为 的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）
（2）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最小值及此时 点的坐标.
评卷人
得分
三、解答题
18．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期 和全国累计报告确诊病例数量 （单位：万人）之间的关系如下表：
A．2B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13． 展开式中 的系数为_______________．
14．直线 （ ， ）过圆 ： 的圆心，则 的最小值是______.
15．若函数 在区间 上恰有4个不同的零点，则正数 的取值范围是______.
16．关于函数 有下列四个命题：
2020届四川省成都市石室天府中学高三第四次阶段性质量检测数学（理）试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．集合 的子集的个数是（）
A． B． C． D．
6．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为（）
A．1B．2C． D．4
7．如图，正方体 中， ， ， ， 分别为棱 、 、 、 的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（）
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
19．已知数列 是公比为正数的等比数列，其前 项和为 ，满足 ，且 成等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的值.
20．如图，三棱柱 的侧棱 垂直于底面 ，且 ， ， ， ， 是棱 的中点.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.