反比例函数知识点及举例

反比例函数

知识梳理

知识点l. 反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k y =或y=kx -1

（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：

（1）k 是常数，且k 不为零；（2）

x k

中分母x 的指数为1，如22y x

=不是反比例函数。 （3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质

重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用

反比例函数x

k

y =

的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质

x

k

y =

)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：

当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数x

k

y =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式

（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式x

k

y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的

对应值或图象上点的坐标，代入x

k

y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：x

k

y =

（0k ≠）； ②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式x

k

y =中。 知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

知识点5.反比例函数综合

最新考题

综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。” 2010年中考反比例函数复习策略： 1． 抓实双基，掌握常见题型； 2． 重视函数的开放性试题； 考查目标一.反比例函数的基本题 例1在函数1

2

y x =

-中，自变量x 的取值范围是（ ）。 A 、x ≠0 B 、x ≥2 C 、x ≤2 D 、x ≠2 例2．反比例函数6

y x

=-

图象上一个点的坐标是 。 考查目标二. 反比例函数的图象

例1．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (p a )与它的体积v (m 3)的乘积是一个常数k ，即pv ＝k (k 为常数，k ＞0)，下列图象能正确反

映p 与v 之间函数关系的是（ ）

。

p p p p

例2已知反比例函数)0(<=

k x

k

y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是 （ ）

A 、正数

B 、 负数

C 、非正数

D 、不能确定 考查目标三、反比例函数图象的面积与k 问题

例1、反比例函数x

k

y =

（k >0）在第一象限内的图象如图1所示，P 为该图象上任一点，PQ ⊥x 轴，设△POQ 的面积为S ，则S 与k 之间的关系是（ ）

A ．4k S =

B ．2

k

S = C ．S =k D ．S >k 例2．设P 是函数4

p x

=在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原点

的对称点为P’，过P 作PA 平行于y 轴，过P’作P’A 平行于x 轴，PA 与P’A 交于A 点，则PAP '△的面积（ ）

A ．等于2

B ．等于4

C ．等于8

D ．随P 点的变化而变化 考查目标四.利用图象，比较大小 例1．已知三点

111()P x y ，，222()P x y ，，3(1

2)P -，都在反比例函数k

y x =

的图象上，若

10x <，20x >，则下列式子正确的是（ ）

A ．1

20y y << B ．120y y <> D ．1

20y y >>

考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系

例1．如图，A 、B 是反比例函数y ＝

2

x

的图象上的两点。AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D 。AB 的延长线交x 轴于点E 。若C 、D 的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE 的面积与ΔACE 的面积的比值是（ ）

A ．21

B ．41 Ｃ．81 D ．161

例2．如图，二次函数m

x m

x y +++=)14(412（m <4）的图

象与x 轴相交于点A 、B 两点．（1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；

（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数9

y x

=的图象相

交于点C ，且∠BAC 的余弦值为4

5

，求这个二次函数的解析式．