2015全国各地高考数学卷导数应用题型集锦
导数的应用专项训练(附解析2015高考数学一轮)
导数的应用专项训练（附解析2015高考数学一轮）导数的应用专项训练（附解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．(2013•浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.答案：B2．(2012•辽宁)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：y＝12x2－lnx，y′＝x－1x＝x2－1x＝－＋＞0)．令y′≤0，得0＜x≤1，∴递减区间为(0,1]．故选B.答案：B3．(理科)(2013•浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B 错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)(x ＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.答案：C3．(文科)若函数f(x)＝x3－x＋1在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一个零点，则a＋b的值为()A．3B．－2C．2D．－3解析：由于f(－1)＝1＞0，f(－2)＝－5＜0，即f(－1)f(－2)＜0且函数为增函数，故函数零点必在区间(－2，－1)内，故有a＋b＝－3.答案：D4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案：C5．已知函数f(x)＝alnx＋x在区间2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝ax＋1.又∵f(x)在2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈－2，＋∞)．答案：－2，＋∞)6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在－2,2]上有最大值3，那么此函数在－2,2]上的最小值为________．解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.答案：－377．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1]，∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，∴a＞2或a＜－1.答案：a＞2或a＜－18．(2013•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．9．(2014•郑州质量预测)已知函数f(x)＝1－xax＋lnx.(1)当a＝12时，求f(x)在1，e]上的最大值和最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－14x在1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．解：(1)当a＝12时，f(x)＝－＋lnx，f′(x)＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2，∴当x∈1,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在1,2)上单调递减；当x∈(2，e]时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上单调递增，故f(x)min＝f(2)＝ln2－1.又∵f(1)＝0，f(e)＝2－ee＜0.∴f(x)在区间1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.综上可知，函数f(x)在1，e]上的最大值是0，最小值是ln2－1. (2)∵g(x)＝f(x)－14x＝1－xax＋lnx－14x，∴g′(x)＝－ax2＋4ax＋44ax2(a＞0)，设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在1，e]上恒成立即可满足题意．∵a＞0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥43即可．故正实数a的取值范围为43，＋∞.B组能力突破1．(2013•福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.答案：D2．f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋x•f′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为()A．(－4,0)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0,4)解析：令g(x)＝x•f(x)，则g(x)为奇函数且当x＜0时，g′(x)＝f(x)＋x•f′(x)＜0，∴f(x)的图象的变化趋势如图所示：所以xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．答案：D3．设函数f(x)＝px－1x－2lnx(p是实数)，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p的取值范围为________．解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝px2－2x＋px2，要使f(x)为单调增函数，须f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥2xx2＋1＝2x＋1x在(0，＋∞)上恒成立，又2x＋1x≤1，所以当p≥1时，f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．答案：1，＋∞)4．(理科)已知函数f(x)＝ln|x|，(x≠0)，函数g(x)＝＋af′(x)，a∈R.(1)求函数y＝g(x)的表达式和单调区间；(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．解：(1)因为f(x)＝ln|x|，所以当x＞0时，f(x)＝lnx，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)．所以当x＞0时，f′(x)＝1x，当x＜0时，f′(x)＝1－x•(－1)＝1x，∴当x≠0时，f′(x)＝1x，所以当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋ax.易知，g(x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；②当a＞0时，g′(x)＝＋－，由g′(x)＞0得，g(x)的增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，由g′(x)＜0解得g(x)的减区间是(－a，0)和(0，a)．(2)由(1)知，当x＞0时，g(x)＝x＋ax.所以当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取等号．所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a.所以2a＝2.解得a＝1.4．(文科)已知函数f(x)＝lnx，函数g(x)＝＋af′(x)，a∈R.(1)求函数y＝g(x)的单调区间；(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．解：(1)因为f′(x)＝1x，所以g(x)＝x＋ax，且x＞0，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上递增；②当a＞0时，由g′(x)＝0得x＝a或x＝－a(舍)x∈(0，a)时，g′(x)＜0；x∈(a，＋∞)时，g′(x)＞0，即g(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增．综上，当a≤0时，g(x)的增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)由(1)，知当x＞0时，g(x)＝x＋ax.所以当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取等号．所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a.所以2a＝2.解得a＝1.。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
的坐标为
．
【答案】 1,1
【解析】
试题分析：因为 y ex ，所以 y ex ，所以曲线 y ex 在点 0,1 处的切线的斜率 k1 y x0 e0 1，
设 的坐标为 x0,
y0 （ x0
0 ），则
y0
1 x0
，因为
y
1 x
，所以
y
1 x2
，所以曲线
y
1 x
在点
处的切线的斜率 k2
与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.
2. (2015 湖南理) 02(x 1)dx
.
【答案】 0 .
【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计 算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.
3．（2015 福建文）“对任意 x (0, ) ， k sin x cos x x ”是“ k 1”的（ ） 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B
考点：导数的应用．
4.(2015 全国新课标Ⅰ卷理)设函数 f (x) = ex (2x 1) ax a ,其中 a 1，若存在唯一的整 数 x0，使得 f (x0 ) 0，则 a 的取值范围是（ ）
2．（2015 福建理）若定义在 R 上的函数 f x 满足 f 0 1 ，其导函数 f x 满足
f x k 1 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．
f
1 k
1 k
【答案】C
B．
f
1 k
k
1 1
C．
2015高考数学一轮题组训练：3-2导数的应用(一)
第2讲 导数的应用(一)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________． 解析 f ′(x )＝e x (x －2)， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )的单调增区间是(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)2．(2013·浙江卷改编)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是________．解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 答案 ②3．(2014·苏州模拟)函数y ＝x e x 的最小值是________．解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e4．(2013·威海期末考试)函数y ＝ln x －x 2的极值点为________．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝1x －2x ＝1－2x 2x ，令y ′＝1－2x 2x ＝0，解得x ＝22，当x ＞22时，y ′＜0，当0＜x ＜22时，y ′＞0，所以当x ＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22. 答案 225．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则________． ①a ＜－1；②a ＞－1；③a ＞－1e ；④a ＜－1e . 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 ①6．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)7．(2014·淄博模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －78．(2013·福建卷改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)；②－x 0是f (－x )的极小值点；③－x 0是－f (x )的极小值点；④－x 0是－f (－x )的极小值点．解析 ①错，因为极大值未必是最大值；②错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；③错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；④正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点． 答案 ④ 二、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， 所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定________．①有最小值；②有最大值；③是减函数；④是增函数解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数． 答案 ④2．(2013·金陵中学模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 93．(2014·宁波调研)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是________． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a . ∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－(ax ＋1)(x －1)x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.答案(－1，＋∞)二、解答题4．(2012·全国卷)设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．解(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜x＋1e x－1＋x(x＞0)．①令g(x)＝x＋1e x－1＋x，则g′(x)＝－x e x－1(e x－1)2＋1＝e x(e x－x－2)(e x－1)2.由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)＜0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.。
2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数
2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数一、选择题1.在曲线y=ln(2x)上，点Q在xe上，则PQ最小值为（）A。
1-ln2.B。
2(1-ln2)。
C。
1+ln2.D。
2(1+ln2)2.已知函数f(x)=(ln(x+1)-x)/x，则y=f(x)的图像大致为（）3.设点P在曲线y=x/(1+x^2)上，ABCD为正方形，其中AB与y轴平行，BC与x轴平行，且P在BC上，则P到AD的距离的最小值为（）4.设a=log3 6.b=log5 10.c=log7 14，则（）A。
c>b>a。
B。
b>c>a。
C。
a>c>b。
D。
a>b>c5.已知函数f(x)={-x^2+2x (x0)}，若|f(x)|>=ax，则a的取值范围是（）A。
(-∞。
0]。
B。
(-∞。
1]。
C。
[-2.1]。
D。
[-2.0]6.设函数f(x)=3sin(πx)，若存在f(x)的极值点x满足x^2+[m/2]^2<1，则m的取值范围是（）A。
(-∞。
-6)∪(6.∞)。
B。
(-∞。
-4)∪(4.∞)。
C。
(-∞。
-2)∪(2.∞)。
D。
(-∞。
-1)∪(1.∞)7.设曲线y=a*x-ln(x+1)在点(1.a-1)处的切线方程为y=2x，则a=（）A。
0.B。
1.C。
2.D。
38.已知函数f(x)=ax-3x+1，若f(x)存在唯一的零点x，且x>0，则a的取值范围是（）A。
(2.+∞)。
B。
(1.+∞)。
C。
(-∞。
-2)。
D。
(-∞。
-1)9.如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则f(x)的单调递增区间为（）图片无法复制，故省略）二、解答题1.已知函数f(x)=x^2-3x+2，g(x)=e^x-2，h(x)=ln(x+1)，则f(g(h(x)))的定义域为（）2.已知函数f(x)=x^3-3x+2，g(x)=sinx，则f(g(x))的最小正周期为（）3.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d均为常数，且f(-1)=0，f(0)=1，f(1)=2，f'(0)=0，则f(2)的值为（）4.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，若f(x)在x=1处取得极小值0，则a+b+c的值为（）5.已知函数y=e^x+e^-x，则y的最小值为（）6.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d均为常数，且f(1)=f'(1)=0，则f(0)+f''(0)的值为（）10．正确答案为B。
2015年全国高考数学试题分类汇编考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015年新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)＝0,当x＞0时,xf′(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,＋∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,＋∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)＜0,构造函数g(x)＝,对函数g(x)＝求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)＞0成立的x的取值范围.【试题解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,＋∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时,g(x)＞0,则f(x)＞0;当x＜-1时,g(x)＜0,则f(x)＞0,综上所述,使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a＞0,b＜0,c＞0,d＞0B.a＞0,b＜0,c＜0,d＞0C.a＜0,b＜0,c＜0,d＞0D.a ＞0,b ＞0,c ＞0,d ＜0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。
【试题解析】选A 。
由函数f(x)的图像可知a ＞0,令x ＝0得d ＞0，又/2()32f x ax bx c =++可知12x x ，是方程/()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>，所以121220030.03b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩，故选A.3. (2015年陕西高考理科·T12)对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f(x)上【解题指南】根据选项假设A 错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【试题解析】选A.若选项A 错误,则选项B,C,D 正确.f ′(x)＝2ax ＋b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以{{{,解得,即,230230)1(3)1(a b a c b a c b a f f -=+==+=++='=,因为点(2,8)在曲线y ＝f(x)上,所以4a ＋2b ＋c ＝8,即4a ＋2×(-2a)＋a ＋3＝8,解得:a ＝5,所以b ＝-10,c ＝8,所以f(x)＝5x 2-10x ＋8,因为f(-1)＝5×1-10×(-1)＋8＝23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确.4.(2015年福建高考理科·T10) 若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【解题指南】利用导数与单调性的关系及构造函数法求解.【试题解析】选C.因为f ′(x)＞k ＞1,构造函数g(x)＝f(x)-kx,所以g(x)在R 上单调递增,又＞0,所以g＞g(0)即f-＞-1,得到f＞,所以C 选项一定错误.A,B,D 都有可能正确.5.(2015年福建高考文科·T12)“对任意x∈,ksinxcosx ＜x ”是“k ＜1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解题指南】构造函数,利用导数求出k 的范围.【试题解析】选B.令g(x)＝ksinxcosx-x＝sin2x-x,因为x∈,2x∈,当k ≤0时,sin2x ＞0,g(x)＜0恒成立,当0＜k ≤1时,g ′(x)＝kcos2x-1,因为＜1,所以此时g ′(x)＜0,g(x)在上单调递减,又g(0)＝0,所以g(x)＜g(0)＝0成立,当k ＞1时,g ′(x)＝0有一个根x 0且在区间(0,x 0)单调递增,此时g(x)＜0不恒成立,故k 的范围是k ≤1,k ≤1不能推出k ＜1,充分性不成立,但是k ＜1能推出k ≤1,必要性成立. 6.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T12)设函数f(x)＝e x (2x-1)-ax ＋a,其中a ＜1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)＜0,则a 的取值范围是 ( )A.)1,23[e -B. )43,23[e -C. )43,23[eD. )1,23[e【解题指南】构造函数g(x)＝e x (2x-1),y ＝ax-a,使得f(x 0)＜0,即g(x 0)在直线y ＝ax-a 的下方.【试题解析】选D.设g(x)＝e x (2x-1),y ＝ax-a,由题意知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y ＝ax-a 的下方.因为g ′(x)＝e x (2x ＋1),所以当x ＜-时,g ′(x)＜0,当x ＞-时,g ′(x)＞0,所以,当x ＝-12时,[g(x)]min ＝-2.当x ＝0时,g(0)＝-1,g(1)＝e,直线y ＝ax-a 恒过点(1,0),且斜率为a,故-a ＞g(0)＝-1,且g(-1)＝-3e -1≥-a-a,解得≤a ＜1.二、填空题7.(2015年新课标全国卷Ⅰ文科·T14)已知函数f ＝ax 3＋x ＋1的图象在点处的切线过点,则a ＝ .【解题指南】先对函数f＝ax 3＋x ＋1求导,求出在点处的切线方程.【试题解析】因为f ′(x)＝3ax 2＋1,所以图象在点处的切线的斜率k ＝3a ＋1,所以切线方程为y-7＝(3a ＋1)(x-2),即y ＝(3a ＋1)x-6a ＋5,又切点为,所以f(1)＝3a ＋1-6a ＋5＝-3a ＋6,又f(1)＝a ＋2,所以-3a ＋6＝a ＋2,解得a ＝1. 答案:18.(2015年新课标全国卷Ⅱ文科·T16)已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝ . 【解题指南】先对函数y ＝x ＋ln x 求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立,利用Δ＝0求出a 的值.【试题解析】y ′＝1＋,则曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为k ＝y ′＝1＋1＝2,故切线方程为y ＝2x-1.因为y ＝2x-1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,联立⎩⎨⎧+++=-=1)2(122x a ax y x y 得ax 2＋ax ＋2＝0,显然a ≠0,所以由Δ＝a 2-8a ＝0⇒a ＝8. 答案:89.（2015·安徽高考理科·T15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==【解题指南】利用导数的单调性及极值判断各选项。
专题16 导数及其应用小题综合(学生卷)-十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题16导数及其应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1导数的基本计算及其应用（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函数的导数求解，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高考的命题热点，要熟练掌握2.会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟练掌握3.会用导数研究函数的零点和方程的根，会拓展函数零点的应用，会导数与函数性质的结合，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握4.会构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握考点2求切线方程及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷考点3公切线问题（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4利用导数判断函数单调性及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷考点5求极值与最值及其应用（10年5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷考点6利用导数研究函数的极值点及其应用（10年5考）2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷5.要会导数及其性质的综合应用，加强复习考点7导数与函数的基本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷考点8利用导数研究函数的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷考点9利用导数研究方程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国卷、2015·安徽卷考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷考点01导数的基本计算及其应用1．（2020·全国·高考真题）设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =．2．（2018·天津·高考真题）已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为．3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e ,()x f x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为.4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为．考点02求切线方程及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<8．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.12．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-13．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.14．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．15．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=16．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=17．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．18．（2018·全国·高考真题）曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为．19．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．20．（2017·全国·高考真题）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为．21．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是.22．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是．23．（2015·全国·高考真题）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a .24．（2015·陕西·高考真题）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．25．（2015·陕西·高考真题）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为.考点03公切线问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（2016·全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2015·全国·高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=．考点04利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.4．（2019·北京·高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．5．（2017·山东·高考真题）若函数()e xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x -=B ．()2f x x=C ．()-3xf x =D ．()cos f x x=6．（2016·全国·高考真题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎣⎦7．（2015·陕西·高考真题）设()sin f x x x =-，则()f x =A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数8．（2015·福建·高考真题）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭9．（2015·全国·高考真题）设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-È+¥C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)⋃+∞考点05求极值与最值及其应用1．（2024·上海·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是．7．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．考点06利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >4．（2017·全国·高考真题）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．15．（2016·四川·高考真题）已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．2考点07导数与函数的基本性质结合问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．5．（2017·山东·高考真题）若函数()x y e f x = 2.71828...e =（是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为①=2xf x -（）②=3xf x -（）③3=f x x （）④2=2f x x +（）6．（2015·四川·高考真题）已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2＋ax （其中a ∈R ）.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有（写出所有真命题的序号）.考点08利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．4．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．16．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上考点09利用导数研究方程的根及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．3．（2015·安徽·高考真题）函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)x f xe x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2015·安徽·高考真题）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b。
2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)(2021年整理)
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专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分(B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、（2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)01()x x e dx --⎰=( ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理)试题·9）式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x+=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ )A ．146π- B ．146π+C ．4πD ．163。
(江西省新八校2014—2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f ',当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(sin 1sin f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是( ）A.a c b >>B.b c a >>> C 。
a b c >>D 。
2015年高考数学真题解析之导数真题(理科)
a （其中 a，b 为常数）模型. x b
2
（1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域； ②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 4． （本小题满分 12 分， （1）小问 7 分， （2）小问 5 分） 设函数 f x
| f( x) g ( x) | x 2 ．
14． （本小题 13 分）已知函数 f x ln （Ⅰ）求曲线
1 x ． 1 x
y f x
在点 0 ，f 0 处的切线方程；
x3 时， f x 2 x ； 3
（Ⅱ）求证：当
f x
2a 2a , 0, ,0 3 上单调递减； 在 ， 上单调递增，在 3
2a 2a x , 0 , x 0, 3 时， f x 0 ， 3 时， f x 0 ， 当 a 0 时， 2a 2a , 0, f x , 0 3 3 上单调递减． 上单调递增，在 所以函数 在 ，
试卷第 2页，总 3页
（Ⅱ）若 x 0, f x 0 成立，求 a 的取值范围. 10．已知 a 0 ，函数 f ( x ) e sin x ( x [0, )) ，记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第
ax
n ( n N * ) 个极值点，证明：
（1）数列 { f ( xn )} 是等比数列 （2）若 a
2015高考数学——专题九 导数及其应用
专题九 导数及其应用1.（15北京理科）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2.（15北京文科）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.3．（15年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )22f x ππ在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2000,D 14aa b z b ===-≤求满足时的最大值。
2008-2015全国二卷圆锥曲线--导数大题汇编
2008--20、（本小题满分12分）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ： 2284160x y x y +-++=。
（1） 求直线l 斜率的取值范围2008--21、（本小题满分12分）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。
（1）求()y f x =的解2009--21（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数42()36f x x x =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程2009--21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF = ，求k 的值；2010--（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率2010--（22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+；2011--（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；2011-（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；2012--（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()cos f x ax x =+，[0,]x π∈。
【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题一 高考中的导数应用问题文档强练 文 新人
专题一 高考中的导数应用问题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值X 围是__________． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1].题型一 利用导数研究函数的单调性 例1设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值X 围．思维启迪 求出f ′(x )，分析函数的单调性，得出结论．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(－∞，1]．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞)． 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的X 围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值． 解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意， 结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意， 综上可知，a ≥1.(2)证明 当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值X 围． 思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22， 故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华 对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的X 围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值X 围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a)，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3， 所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值X 围． 解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)． ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值X 围为(－∞，12]． 4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值． 故公共点只有一个． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，某某数m 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x， 令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6．(2013·某某)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a ； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1， 即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，12.。
高考数学湖南卷导数的应用历年真题解析
高考数学湖南卷导数的应用历年真题解析一、函数的导数及其应用解析在高考数学湖南卷中，导数的应用是一个重要的考点。
下面将通过历年真题解析来帮助大家更好地理解和掌握该知识点。
1. 2015年湖南卷题目：设曲线C上点P的横坐标为x，纵坐标为y(x>0)。
已知曲线C上每个点P的坐标满足方程xy'=y-2xln x+2。
若曲线经过点A（1，0），则C的方程为（）。
解析：首先根据题目给出的条件，我们可以得到该曲线的导数表达式为y'=(y-2xln x+2)/x。
接下来将点A（1，0）代入该导数表达式，即可求得C的方程。
最后带入选项验证即可得到答案。
2. 2018年湖南卷题目：函数f(x)=x^4-2ax^2（a>0）在区间[-1,2]上有且仅有一个极值点，且该极值点是最小值点。
则实数a的取值范围是（）。
解析：根据题目要求，可以得到函数f(x)在区间[-1,2]上的导数表达式为f'(x)=4x^3-4ax。
我们需要找到这个函数的极值点，根据导数的符号变化来判断。
最后通过选项逐个验证，可以得到实数a的取值范围。
3. 2020年湖南卷题目：已知函数f(x)=ln(x^2-3x+2)在区间(1,∞)上严格单调递增，则不等式f(x)>ln5的解集是（）。
解析：首先，由题目中给出的条件可得到函数f(x)的导数表达式为f'(x)=2x-3/(x^2-3x+2)。
根据函数的单调性，我们需要找到不等式f(x)>ln5的解集。
最后通过选项逐个验证，可以得到解集的范围。
二、导数的应用之最值问题解析除了以上介绍的函数的导数及其应用外，导数的最值问题也是数学高考中常见的考点。
下面我们将通过历年真题解析来帮助大家更好地理解和掌握该知识点。
1. 2016年湖南卷题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+a(x-2)+b在区间[1,3]上的极值为1，且a，b满足b-a=2。
则f(x)的最小值是（）。
2015年高考数学导数真题与答案
导数目录1.【2015高考，理10】.................................................. - 2 -2.【2015高考，理12】.................................................. - 2 -3.【2015高考新课标2，理12】.......................................... - 3 -4.【2015高考新课标1，理12】.......................................... - 4 -5.【2015高考，理16】.................................................. - 5 -6.【2015高考天津，理11】.............................................. - 5 -7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）.......................... - 6 -8.【2015高考，19】（本小题满分16分）.................................. - 8 -9.【2015高考，理20】................................................. - 10 -10.【2015高考，17】（本小题满分14分）................................ - 13 -11.【2015高考，理21】................................................ - 14 -12.【2015高考，理21】................................................ - 17 -13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）........................... - 19 -14.【2015高考，理20】................................................ - 21 -15.【2015高考，理21】................................................ - 22 -16.【2015高考，理22】................................................ - 24 -17.【2015高考新课标1，理21】........................................ - 26 -18.【2015高考北京，理18】............................................ - 27 -19.【2015高考，理19】................................................ - 29 -20【2015高考，理21】................................................. - 31 -1.【2015高考，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k>，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ． 【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U【答案】A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1） 【答案】D 【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.5.【2015高考，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403=，所以答案应填：1.2． 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()ba f x dx ⎰． 6.【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . O xy【答案】16【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015高考，理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】0.【解析】试题分析：0)21()1(22200=-=-⎰x x dx x . 【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mx f x m e x =-+，根据m 的围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．8.【2015高考，19】（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． （2） 1.c =当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． （2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而304027a ab >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根， 所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠，解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U U ． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间的符号，根据符号判定函数在每个相应区间的单调性． 已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.9.【2015高考，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =?(Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．【解析】解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=- 当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x -+-¢=-= 当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >， |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x +-¢=--++故当0x Î（时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时，N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2H ()12=,11x xx x x x-¢=--++ 当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得1000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 2则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为千米． 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.11.【2015高考，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值围.【答案】（I ）：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；（II ）a 的取值围是[]0,1.（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以，1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时，0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）由（I ）知， （1）当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00f =所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （2）当819a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()00f =，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x > 所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减； 又()00f =所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意； （4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时，()11011x h x x x '=-=>++当11x a>-时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意. 综上所述，a 的取值围是[]0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解.12.【2015高考，理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，22x ππ-<<.因为22x ππ-<<，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22ππ-存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时，函数(sin )f x 单调递增.因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.（Ⅱ）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立，由此可知，函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.（Ⅲ）D 1≤，即||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a z b =-≤. 取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=. 由此可知，24a zb =-满足条件D 1≤的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.14.【2015高考，理20】设函数()()23xx axf x a R e+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值围。
2015高考数学(新课标I版)分项汇编专题3导数(含解析)文
专题3 导数一．基础题组1. 【2008全国1，文4】曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】B2. 【2005全国1，文3】函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5【答案】D3. 【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．4. 【2011全国1，文20】已知函数32()3(36)124f x x ax a x a =++---，a R ∈. (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围。
5. 【2010全国1，文21】已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1) x 2＋4x . (1)当a ＝16时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数)(x f =x 4-3x 2+6. (1)讨论)(x f 的单调性;(2)设点P 在曲线y=)(x f 上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程.7. 【2007全国1，文20】（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
2015年高考数学真题分类汇编：专题(03)导数(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题03 导数 文1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】 函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．4.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 【答案】1 【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.5.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.6.【2015高考陕西，文15】函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解析】()()(1)xxy f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=- 【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 7.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.【解析】（Ⅰ）由题意可知r x -≠ 所求的定义域为()()r r -∞--+∞ ，，. 2222)()(r xr x axr x ax x f ++=+=，422222)())(()2()22()2()(r x r x x r a r xr x r x ax r xr x a x f ++-=+++-++=' 所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =处取得极小值(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =是()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．9.【2015高考福建，文22】已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式'()0f x >或'()0f x <求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==.(i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．11.【2015高考湖北，文21】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题. 【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.12.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e. 【解析】（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II ）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.其次是根据（II ）的结论，确定得到()m x 的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥. 13.【2015高考四川，文21】已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a )所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增(Ⅱ)由f '(x )＝2(x －1－lnx －a )＝0，解得a ＝x －1－lnx令Φ(x )＝－2xlnx ＋x 2－2x (x －1－lnx )＋(x －1－lnx )2＝(1＋lnx )2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e )＝2(2－e )＜0 于是存在x 0∈(1，e )，使得Φ(x 0)＝0令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－lnx (x ≥1) 由u '(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e )＝e －2＜1即a 0∈(0，1)当a ＝a 0时，有f '(x 0)＝0，f (x 0)＝Φ(x 0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x )在区间(1，＋∞)上单调递增 当x ∈(1，x 0)时，f '(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 当x ∈(x 0，＋∞)时，f '(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2xlnx ＞0 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a 消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a ∈(0，1)，f (x )的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f (x )的单调性，进一步说明对于找到的a ，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】（I ）由3()44f x x ¢=-,可得()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）()()()00g x f x x x '=-,()()()F x f x g x =- ,证明()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,由()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,得()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,由()4h x x = 在在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,可得11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .试题解析:（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412a x '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解. 15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数()2ln xf x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22ln a a a+，即证明了所证不等式.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a ex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?.故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.试题解析：(1)当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2ax =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩(2)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则s t ast b +=-⎧⎨=⎩.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.17.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数2()32f x ax x ¢=+，由已知有4()03f ¢-=可得关于a 的一个一元方程，解之即得a 的值，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性．试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.。
2015年高考数学理科试题汇编(函数与导数)
2015年高考全国各地理科数学试题汇编(函数-导数)注: 为了保证对各地试题的整体认识,此部分没有按知识点剪切分类.（新课标I ）设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）（新课标I ）若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则a=（新课标I ）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数（新课标II ）设函数⎩⎨⎧≥<-+=)1(2)1()2(log 1)(2x x x x f x，则=+-)12(log )2(2f f （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （新课标II ）（新课标II ）设函数f’(x)是奇函数))((R x x f ∈的导函数，f （-1）=0，当x>0时，0)()('<-x f x xf ，则使得f (x) >0成立的x 的取值范围是（A ）)1,0()1,( --∞ （B ）),1()0,1(+∞- （C ）0,1()1,(---∞ （D ）),1()1,0(+∞ （新课标II ）设函数f(x)=e mx +x 2-mx.(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f(x 1)- f(x 2)｜≤e -1,求m 的取值范围（北京）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤（北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油（北京）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．（北京）（本小题13分） 已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．（浙江）7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+（浙江）10、已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．（浙江）12、若2log 3a =，则22aa-+= ．（浙江）18、（本题满分15分）已知函数f （x ）=2x +ax+b （a ，b ∈R ）,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值。
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全国各地高考数学卷导数应用题型集锦
（全国卷10）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（
）A (23
,2) B (π,2π) C (25
,23)
D (2π,3π) （全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(
2b a )<(b-a)ln2. (天津卷9)函数],0[)(26sin(2x x y
)为增函数的区间是(A)]3,0[(B)]127,`12[(C)]65
,3[(D)]
,65
[（天津卷20）（本小题满分12分）已知函数x bx ax x f 3)(23在1x 处取得极值。
(I)讨论)1(f 和)1(f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；
(II)过点)16,0(A 作曲线)(x f y 的切线，求此切线方程。
（广东卷1（设函数2322,2()4
2,2x x f x x x x a
在2x 处连续，则a (A)1
2(B)14
(C)14(D)13（广东卷19）本小题12分设函数1
()1,0f x x x (I)证明：当0
a b 且()()f a f b 时，1ab (II)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y
f x 上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式。
（用0x 表示）
（广东卷21）本小题12分。
设函数
()ln()f x x x m ，其中常数m 为整数(I)当m 为何值时，()0
f x (II)定理：若函数()
g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点
0(,)x a b ，使得0()0g x 试用上述定理证明：当整数
1m 时，方程()0f x 在2,m m e m e m 内有两个实根（江苏卷10）函数13)
(3x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，-1 (B)1，-17
(C)3，-17 (D)9，-19 (湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数,)(2ax
e x x
f 其中a ≤0,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.。