固体物理晶格振动与晶体的热力学函数
晶格振动与晶体的热学性质关系综述
晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。
它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。
本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。
晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。
一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。
这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。
晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。
在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。
而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。
除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。
例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。
由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。
在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。
例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。
总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。
研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。
随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。
这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。
通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。
此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动和晶体的热容量之间存在着密切的关系。
晶体是由原子或分子组成的，而这些原子或分子之间通过化学键相互连接。
晶体中的原子或分子在平衡位置周围会围绕着振动，形成了晶格振动。
而晶格振动又会对晶体的热容量产生影响。
本文将对晶格振动与晶体的热容量之间的理论关系进行分析和讨论。
1. 晶格振动的基本理论晶格振动是指晶体内的原子或分子在平衡位置附近进行的振动。
晶格振动可以分为弹性振动和非弹性振动两种类型。
弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的小范围振动，其能量是守恒的；非弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的较大范围振动，其能量有耗散。
晶格振动可以用简谐振动模型进行描述。
简谐振动模型假设原子或分子在平衡位置附近的振动是线性且稳定的。
根据简谐振动模型，晶体中的原子或分子可以看作是质量为m的质点，其位置记作x，势能记作V(x)。
根据胡克定律，晶体中的原子或分子在位移为x时所受的力可以表示为F(x) = -dV(x)/dx，其中dV(x)/dx代表势能关于位移的导数。
根据牛顿第二定律可以得到运动方程：m(d^2x/dt^2) = -dV(x)/dx。
2. 晶体的热容量晶体的热容量是指单位质量晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
晶体的热容量可以分为等压热容量和等容热容量两种类型。
等压热容量是在等压条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量；等容热容量是在等容条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
根据热力学理论，晶体的热容量与晶体内部的能量转移有关。
晶体的热容量可以通过振动模型来解释。
晶体的热容量主要与晶体中的振动模式和振动频率有关。
因为晶格振动与原子或分子之间的相互作用有密切关系，不同的振动模式会对应不同的能量转移方式，从而影响晶体的热容量。
3. 晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动与晶体的热容量之间存在着一定的关系。
晶格振动会改变晶体内部的能量传递方式，进而影响晶体的热容量。
03_06_晶格热容的量子理论
实际晶体 态密度：
金属铝
• 总态密度是两 支横波(T1,T2) 和一支纵波 （L) 的叠加。 • 低频部分都近 似为抛物线。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
假设1：N个原子构成的晶体，原子以相同频率 w0 振动；
假设2：谐振子能量是量子化的
温度T下，平衡后谐振子平均能量：
总能量
热容
w0 CV 3NkB f B ( ) —— 爱因斯坦热容函数 k BT
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度
定容比热
在较高温下，该理论与实验符合很好； 但在低温下，与实验结果差别很大，低温下测量有 Cv~ T 3
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 爱因斯坦模型
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
上面推导使用积分公式
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
徳拜公式的比热容曲线
金属镱实验结果与 徳拜模型比较。
2
为简化，做变量代换，令
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
第三章晶格振动和晶体的热学性质讲课文档
A
2
M
第21页，共84页。
π
o
πq
a
a
长声学波
长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振 幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了原胞质心的运动。
长光学波:
(
A B
)
m M
;
M AmB0
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，
长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
1
2 (q )m m M M 1 1 (m 4 m M M )2sin 2 1 2 q a 2 o ， 光 学 支 格 波 （ 光 学 波 ） ；
1
2 (q )m m M M 1 1 (m 4 m M M )2sin 2 1 2 q a 2 A ， 声 学 支 （格 a波 co， ust声 ic学 s）波
中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近
似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间
点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。
1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
( , )
aa
对应于 N/2lN/2( l只能取N个值)
与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现了两个频 率不同的振动模式。由于不等价的q的数目与原胞数目相等，因此，双原 子链共有2N个不同的振动模式。（N个波矢数，2N个频率数）
固体物理(第三章 晶格振动与晶体的热学性质)
µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模， 问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振 动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一 个原子的振动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动 常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固体物理基础学：第3章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动在晶体中形成了各种模式的波（格波），这些模式 是相互独立的，各模式的波所取的能量是分立的 简谐近似下，通过一些数学手段处理，可以用一系列独立的 简谐振子来描述这些相互独立、能量分立的振动模式 这些谐振子的能量量子，成为声子 晶格振动的总体可看做是声子的系宗
3-0 本章导读
热容量 热运动在宏观性 质的表现
v f （ n1 - n） （ n - n 1） n
平衡位置
牛顿第二定律 F=ma
力与两个原 子的位移有关
d 2 n （ n1 - n） （ n - n 1） m dt 2
(1)
非平衡位置
这即是第n个原子的运动方程！
3-2 一维单原子链模型
dv f d
d 2v 其中 ( 2 )a dr
3-1 一维单原子链模型
现考虑第n-1和第n+1个原子对第n个原子的双重作用 同样，写出简谐近似后的相互作用势v，如下：
v
1 2 2 （ ） （ ） n n 1 n 1 n 2
对位移求偏导，得到力：
杜隆－珀替经验规律： 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分 定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量 3Nk＝3R
—— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 爱因斯坦模型与德拜模型
研究晶格振动的意义远不限于热学性质。晶格振动是 研究固体 宏观性质和微观过程的重要基础。对晶体的热学性质、电学性 质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
其中任意一个简正坐标方程解
Qi Asin(it )
可化为 i
—— ωi是振动的圆频率，当只考察某一个 的振动时：
方程
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
固体物理晶格振动与晶体的热力学函数
第三章晶格振动与晶体的热力学函数一、填空体1.若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_ 个独立的振动,_ N__个波矢,3N_支格波。
2.体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为，则晶格振动的模式书为24N/_。
3.三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv〜T o4.某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有9N支，其中3N支声学波，包括2N 支横声学波，1N支纵声学波；另有皿支光学波。
5.二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv〜T o6.一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv〜T7.三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T o8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为上T o9.一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U〜T o10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能o11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能o12.某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有4N支，其中2N支声学波，包括N 支横声学波，N支纵声学波；另有込支光学波。
13.某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有3N支，其中_N_支声学波，包括N 支横声学波，_0_支纵声学波；另有2N支光学波14.晶格振动的元激发为声子，其能量为 _，准动量为q。
15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、介质是各向同性介质。
16.对三维体积为V的晶体，波矢空间中的波矢密度为：匕丐；对二维面积为S(2 )3的晶体，波矢空间中的波矢密度为：—；对一维长度为L的晶体，波矢空间(2 )中的波矢密度为：—02二、基本概念1.声子晶格振动的能量量子。
2.波恩-卡门条件即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动●简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：简谐近似：势能展开式保留到二次项微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。
晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa ax d U d x d U d a U a U x U把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。
在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动q趋于0时，w也趋于零，称为声学波4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q,有3n 个ω（即有3n 支色散曲线） 在3n 支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。
晶格振动对晶体热学性质的影响分析
晶格振动对晶体热学性质的影响分析晶格振动是指晶体中原子或离子围绕其平衡位置进行的微小振动。
这种振动对晶体的热学性质有着重要的影响。
本文将对晶格振动对晶体热学性质的具体影响进行分析，探讨其在热导率、热膨胀系数以及热容等方面的作用。
1. 晶格振动与热导率晶格振动与热导率之间存在密切的关系。
晶体的热导率主要由晶格振动引起的热传导贡献，以及电子的热传导贡献两部分组成。
晶格振动通过传递能量来引发热传导。
在晶体中，晶格振动以声子的形式传递热能。
声子的传播与晶格结构以及晶体的弹性性质密切相关。
因此，晶体的结构、晶格常数以及键的强度等都会对晶格振动与热导率产生影响。
2. 晶格振动与热膨胀系数晶格振动也会对晶体的热膨胀系数产生影响。
热膨胀系数是指物体由于温度变化而引起的长度、体积等物理量的变化比例。
晶体在受热后，晶格振动会引起原子或离子间距的变化，使晶体的体积发生变化。
晶体中原子或离子的质量、键的强度以及振动模式等因素都会影响晶格振动与热膨胀系数之间的关系。
3. 晶格振动与热容晶格振动还会对晶体的热容产生影响。
热容是指物体在吸热或放热过程中温度变化单位下的热量变化。
晶格振动会影响晶体中原子或离子的平均动能，从而影响晶格的热容。
晶格振动的能量传递会改变晶体原子或离子的能级分布，进而导致晶体的热容发生变化。
4. 晶格振动对热学性质的调控晶格振动对晶体的热学性质有着重要的调控作用。
通过调控晶格振动，可以有效地改变晶体的热导率、热膨胀系数以及热容等性质。
研究表明，通过控制晶体的晶格结构、晶格缺陷以及晶格畸变等方式，可以调控晶格振动的传播行为，从而实现对晶体热学性质的调控。
这对于材料的设计与应用具有重要的意义。
结论综上所述，晶格振动对晶体热学性质的影响是不可忽视的。
晶格振动通过影响热导率、热膨胀系数以及热容等参数，调控晶体的热学性能。
深入理解晶格振动对晶体热学性质的影响，有助于材料科学领域的研究与应用。
晶格振动和晶体的热力学-To students
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
则有 要求
2 q h —— h为整数 Na
波矢的取值范围
N N h 2 2
波矢
2 q h Na
3）选取Born-Von Karman边界条件，还可以抵消 有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从 而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的 内在禀性：平移对称性
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的
，每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
晶格振动和晶体的热学性质
凌福日 lingfuri@
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3.1 一维晶格的振动 3.2 三维晶格的振动 3.3 简正振动 声子 3.4 晶格振动谱的实验测定方法 3.5 长波近似 3.6 晶格振动热容理论 3.7 晶格振动的非简谐效应 3.8 晶体的热力学函数
群速为0的波矢 的物理意义何在呢?
• 由于邻近原子振动的位相差为qa，即邻近原子散射的子波 的位相差为π，故被B反射的子波到达被A反射的子波时，
它们的位相相同（或相差2π的整数倍）。这种情形适用于
被其它晶格点所反射的子波，在 q= π/a 处，所有的散射子 波相长地干涉，结果反射取极大。这与X射线中的布拉格 条件相同，只不过这里是弹性波。从物理上看，由于反射 极大，它与入射波形成驻波，当然它的群速为零。可见，
预处理
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量 势场来描述电子对离子运动的影响。将电子的运动和离 子的运动分开 。基于将离子、电子划分为两个子系统 而分别加以处理的理论简化方案，分别形成了晶格动力 学和固体电子论两大分支。
晶格振动与晶体的热学性质
m 2 A (eiaq eiaq ) B 2 A 2 iaq iaq M B (e e ) A 2 B
(2 m 2 ) A (2 cos aq) B 0 2 (2 cos aq) A (2 M ) B 0
在长波极限下： q 0
2 mM mM
在长波极限下，光学波的振幅关系：
2 m 2 B 2 cos aq A
m B M A
说明在长光学波时，光学波在长波极限下描述原胞质心不动、 不同原子相对于质心的振动，原胞中的两种原子的运动相位 相反。
q 0, 0
色散关系称为 声学支。
a
m
|q|
cq
ca
m
类似于连续介 质的波速形式
在长波极限下，相邻两个原子的相位差趋向于“零”， 而且在一个波长内可以包含许多个原子，因此晶格可以 看作是连续介质。
一维单原子链色散关系: 短波极限
短波极限相当于： q
aq aq 则： sin m 2 m sin m a 2 m 2 2
l l mk ...... k k
其中
m 2 A 0
，＝1，2，3
＝ C
k'
l l iq R R k k' k k ' e
5.思考题长声学支格波能否将晶体宏观极化？
不能。长声学支格波的特征是原胞内不同原子没有 相对位移，原胞作整体运动（质心运动）。长光学支 格波可以使晶体宏观极化。长光学支格波的特征是每 个原胞中的不同原子做相对振动，使正负离子产生相 对位移。
(精选推荐)晶格振动和晶体的热力学
2
a
是用微观参数表示的弹性波的波速。 13
对于一维的连续介质，因位移引起的应变
u(x dx ) u(x ) dx
设介质的弹性模量c ,因形变产生的恢复力：
F
c u(x
dx ) dx
u(x )
c
du(x ) dx
同理，（x-dx）形变产生的恢复力：
F(x
dx )
晶格振动和晶体的热学性质
1
2
3
第3.5节 长波近似
本节主要内容: 3.5.1 长声学波 3.5.2 长光学波
4
在3.1中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置 附近做微振动的观点（不再是连续介质）,推出晶 格振动的声学波和光学波。
对长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹 性波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一；
6
3.5.1 长声学波
7
一、长声学波
在§3.1 中，以一维双原子链为例，当q很小时，即 对于长波极限，得到声学波色散关系为
2
1
2
qa
(1)
mM
长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为
vp
q
2
mM
1
2
a(2)
β：恢复力常数，
d
u2 2n1
dt 2
2
mM
2
mM
q
2a
2
u2n
2
(8)
q
2a
u2 2n1
对于l为有限整数的情况，由试解（4）式，可得
u2nl e iq(l 1)a , u2n1
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
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第三章 晶格振动与晶体的热力学函数一、填空体1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。
4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6Nπ2L 。
二、基本概念 1. 声子晶格振动的能量量子。
2.波恩-卡门条件即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
3.波矢密度波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3c)2(V ，Vc 为晶体体积。
4. 模式密度单位频率间隔内模式数目。
5.晶格振动。
答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
6.简谐近似 答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。
这个近似即称为简谐近似。
7.格波答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
三、简答题1. 试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性. 特点：1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动； 2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。
局限性：1） 在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T 3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。
爱因斯坦模型过于简化。
2） 德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T 3成正比的规律。
但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 答：设温度TH>TL, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.6. 高温时, 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系? 答：温度很高时,, 频率为的格波的(平均) 声子数为.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。
答：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2/2sinqaqa maqp βωυ== 群速度为2cos qam qa dq d g βωυ==9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第Nt+j个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
q只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q的取值将趋于连续。
限大，波矢10.下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。
请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？答:上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。
由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。
11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？答：2N，6N。
12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。
13.试述长光学波与长声学波的本质区别?答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。
长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
15.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?1013, 属于答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。
四、证明计算1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程，)2()(2222ln l n u q a tu m ++-=∂∂β观上的质点位移u ，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离a l n )(+可视为准连续坐标x ，即uAe Ae u t qx i t l n q i l n ===--++][])([ωω于是（2）化成22222x u v tu ∂∂=∂∂ 其中m av β=2. 在一维双原子链中，如1>>m M ，求证qa M sin 21βω=)cos 21(222qa M mm +=βω()()}]cos [(12/12222qa m M m M m M m+++-++≈}]cos 4)[(12/122qa M mm M m M m++-+≈β}cos 42111{2qa M mm++≈β}cos 1{22qa M m m +≈βqa M m m 22cos 12+=∴βω)cos 21(22qa M mm +≈β220=-=M m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止。
3.在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。
解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+1和n-1个原子对平衡⎭⎝B 讨论当温度很高时，结果又会怎样？ 证明：按照量子理论，一个谐振子的能级是ωεη⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 21式中，ω为谐振子的角频率；n 取正整数。
在热平衡条件下，谐振子的平均能量为 ∑=n nn P εε式中nP 为谐振子处于能级n ε的几率。
若按玻耳兹曼统计计算，上式写成∑∑∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=00/21exp /21exp 21n B n B T k n T k n n ωωωεηηη[]∑∞-/exp BT k n n ωωηη在高温下，B ，有 ωωηηT k T k cth B B 22≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故得 T k B ≈ε可见，在高温下，一个量子谐振子的平均能量与经典理论的结论相同。
5.在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n 个与第 n +m 或 n-m 个原子间的恢复力系数为m β，试求格波的色散关系。
解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+m 和n-m 个原子对平衡位置的位移分别为un+m 与 un-m ，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为)2()()(,n m n m n m m n n m n m n m m n u u u u u u u f -+=---=-+-+βββ第 n 个原子受力的总合为∑∑∞=-+∞=-+==11,)2(m n m n m n m m m n n u u u f F β因此第 n 个原子的运动方程为0z y x 解：2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωωΘ则 1020202=-+-+-Cq B q A q zy x ωωωωωω这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π34，而2/10Aa ωω-=，2/10Bb ωω-=，2/10Cc ωω-=q 空间内的波矢密度()33)2(2ππρVL q =⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，故椭球内的总状态数N 为 ()2/302/131342ωωππ-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=ABC V N所以)21sin()21cos()21sin(21)21cos()21sin(2122qa qa qa qa qa qa qa dq d m m m ωωωωω==222221)]21(sin 1[21)21cos(21ωωωωω-=-==m m m a qa a qa a dq d 模式密度为2222122122)(ωωπωωπω-=-=mm Na L D7. 已知一个频率为i ω的简谐振动在温度T 下的平均能量 121/-+=T k ii i B i e ωωωεηηη 试用爱因斯坦模型求出由N 个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。