高中数学 第二章 推理与证明章末总结教学反思 新人教A版选修1-2
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理教学反思新人教A版选修1-2
合情推理教学反思对于学生学习的的难点，我觉得主要有以下几点：归纳推理：主要在于观察、分析及在此基础上的猜想能力.有些习题规律明显，而有些则不明显，另外学生的观察能力也因人而异。
对于几何习题，一般情况下,既可以从数字角度寻找规律,也可以从几何图形角度出发,当然应该侧重于后者。
个人认为：突破难点的重要途径就是加强训练，在训练中积累经验,同时提升观察、分析的方法及技巧。
类比推理：与归纳推理类似,已知某类事物的已知性质，要猜想出另一类事物的相应性质，有时也不容易。
如圆的方程与球的方程,不少学生认为对球的方程中指数是3；另外由三角形的重心公式，猜想四面体的重心公式，等等。
要突破难点，首先仍然在于做大量有针对性习题，将涉及的种种类比知识全部过关，并总结规律。
其次，猜想也不仅仅是猜想,可结合严密的逻辑推理，因为绝大多数性质均可以进行证明,当然猜想的结论必须是正确的.实验版教材对于合情推理及猜想的重视程度超乎寻常，个人感觉似乎过头。
在实践教学中，很可能误导学生展开盲目的猜想,而忽视了严密的逻辑推理.进而,可以适当减少这方面的内容及相应的课时。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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201x-201x学年高中数学 第二章 推理与证明章末优化总结 新人教A版选修1 -2
B．等于 n3
C．等于 n4
D．等于 n(n＋1)
解析：前三组数分别求和得 1,8,27，即 13,23,33，所以猜想第 n 组数的和为 n3.
答案：B
2．如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且 SA，SB，SC 和底 面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB 面积分别为 S1， S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
设 a，b，c 是不相等的正数，求证 lna＋2 b＋lnb＋2 c＋lna＋2 c>ln a＋ln b ＋ln c. [证明] 要证明 lna＋2 b＋lnb＋2 c＋lna＋2 c>ln a＋ln b＋ln c 只需证明 lna＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>ln(abc)，① 由于 y＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数 要证①式成立，只要证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc，②
(2)当 a＝1 时，f(x)＝21x2＋ln x，x∈[1，e] 令 F(x)＝f(x)－23x3＝12x2＋ln x－32x3， 又 F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x x＋2x2≤0， 所以 F(x)在[1，e]上是减函数， 所以 F(x)≤F(1)＝12－23<0， 所以 x∈[1，e]时，f(x)<23x3.
当 n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an 能被 5 整除，即 b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15， b8＝a20，…，所以 b2k＝a5k(k∈N*)． 所以 b2 012＝a5×1 006＝a5 030. ②由①可知 b2k－1＝a5k－1＝12×5k(5k－1)＝5k52k－1. (2)三角形边长―类―比→四面体各面面积，三角形的面积―类―比→四面体体积 因此 R＝S1＋S23＋VS3＋S4
高中数学 第二章 推理与证明章末总结教学反思 新人教A版选修1-2
推理与证明
本节课有以下特点：
1激情引趣，创设“可行”的推理。
兴趣是最好的老师，游戏是学生最喜欢的。
学生思维的开启需要各种刺激和诱因。
本节课创设了游戏情境，让学生在情境中学习，使学生感受到数学就在身边。
创设了一个自主、和谐、平等、民主的学习氛围，让学生先学，然后再自主汇报，在师生互动中对学生进行方法上的引导，使教学的有效性得到了保证。
2.自主探究，同桌合作交流，为学生提供展示的舞台。
“一个和尚担水喝，两个和尚挑水喝”，研究也证明最有效的小组合作方式为两人合作。
在教学过程中，我鼓励学生独立思考，在此基础上，进行同桌小组合作学习，然后进行全班交流学习。
学生对简单推理有一定的生活经验，通过观察、分析、合作、交流，总结认识了推理要遵循有序、全面的思考方法，初步建立有序全面思考问题的理念。
在整个教学过程中，我给学生留了充分地探索时间与空间，给学生创设了一个宽松、民主、和谐的氛围。
从而使学生积极地参与学习，我也以学生的身份和学生一起探究、交流。
学生有疑问的时候，我适时地帮助他们排除障碍。
3.注重学生良好的学习习惯的养成。
在本节课的教学中，我始终关注学生数学良好习惯的养成。
在课前，我要求学生把数学课本及学具摆放好。
课中通过多种猜一猜的游戏让学生学会倾听，先认真听好老师说的游戏规则，再按规则玩游戏。
游戏过后又让学生表达游戏的经过，从而也就提高了学生的数学素养。
高中新课标数学选修1-2《推理与证明》教学体会
塔”实验模型。在数学实验的过程中通过实际操作,激
发学生学习数学的兴趣,引导学生进行探索、交流、总
结,从而提高学生的探索意识。
3．引导学生自主探究，体验成为数学家的快感
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 —
“歌德巴赫猜想”。6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7，
…1000=29+971，…继续这样的过程，你能提出什么样
SABC
1 2
a2 b2 a•b 2
教材中的解答是由左向右证明的,我认为由右向左推 更容易理解
2020/11/4
9
2.教材42页 例5: 如图所示SA 平面ABC，AB BC，过A作
SB的 垂 线 ， 垂 足 为E， 过E作SC的 垂 线 ， 垂 足为F。求证：AF SC
பைடு நூலகம்
分析中说用综合法比较困难， 我不能理解，综合法更容易书写． 证明中的（ ）应该如何填写？
间，在情境中学会新的知识。
2020/11/4
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4．鼓励学生大胆猜想，品味成功的乐趣
在初中里，学生接触过这样的命题：等边三角形内的 一点，到三边的距离和是定植。引导学生猜想，类比在空 间会有什么样的结论。猜想：正四面体内一点，到四个面 的距离和是定值。新课标中编入了一些让学生猜测和想象 的内容，以发展学生的想象力和各种不同的思维取向。这 不仅有助于学生加深对知识的理解，同时通过学生的大胆 猜想和探究，培养了学生发现问题、探索问题、分析、归 纳问题的能力，进而使学生体会到成功地乐趣。在新课标 教材中，通过“观察”、“思考”、“问题”、“探究”栏 导学生积极思考与探索,逐步形成各项能力. 在教材处理 上,我们应该以积极的态度落实好新增内容的教学,推动新
高中数学 第二章 推理与证明章末总结教案 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明章末总结教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明章末总结教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章 推理与证明知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
●2。
类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理. 2）类比推理的思维过程是：推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明 数学归纳法●3。
演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理. 3）三段论式推理常用的格式为：M —-P （M 是P ） ① ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；S-—M (S 是M ） ② ②是小前提，它指出了一个特殊对象；S-—P (S 是P) ③ ③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
新课标人教A版选修1-2第二章第1节《归纳推理》说课稿
归纳推理人教A版普通高中课程标准实验教科书选修1-2各位评委：大家好，我是xxx，现担任高二数学，今天我说课的题目是《归纳推理》。
我准备就下面几方面来进行分析。
一、教材分析1、教材的地位和作用推理与证明是人教版普通高中课程标准实验教科书选修1-2第二章第一节内容，思想贯穿于高中数学的整个知识体系，是新课标教材的亮点之一。
本节内容将归纳推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.2、教材处理《归纳推理》是培养学生观察、分析、发现、概括、猜想和探索能力的极好素材。
根据本节课标要求：从演示观察，先形象地真实举例，然后转化为猜想，引导探究典型例子分析，加强对概念的理解。
二、教学目标分析：1．知识技能目标：理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理。
2、过程方法目标：学生自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.让学生明白数学发现的过程和方法，培养学生分析解决问题的能力，锻炼他们探索规律，融会贯通的能力，并使学生思维能力得到提升。
3．情感态度，价值观目标:通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.三、教学的重点、难点分析：1、教学重点：了解归纳推理含义、能利用归纳进行简单推理。
教学策略：演示观察，先形象地真实举例，然后转化为猜想，引导探究典型例子分析，加强对概念的理解2．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学策略：第一，创设情景；第二，观察规律，得出猜想；第三，实际应用，提出质疑。
四、教法分析、教学手段与教具选择：1．教学方法：自主探究、协作学习、启发发现、课堂讨论法2．教具：多媒体、粉笔、黑板。
3.教学手段：多媒体教学课件。
五、学法分析：本课教给学生的学法是“发现问题、分析问题、解决问题”。
人教版A版高中数学选修1-2：第二章推理与证明_小结(8)
件：
充要条件
①
；
充要条件
②
．
（写出你认为正确的两个充要条件）
1.两组相对侧面分别平行； 2.一组相对侧面平行且全 等；
3.对角线交于一点； 4.底面是平行四边形．
例5. 类比平面内直角三角形的勾股 定理,试给出空间中四面体性质的猜 想.
1.C=90° 2.3条边的长度a,b,c. 3.2条直角边a,b和斜边c.
(1)整数是自然数, -3是整数,
-3是自然数;
(2)无理1(数0.333是) 无限小数,
3
11 3
(
0.333
)
是无限小数,
3
1 是无理数.
3
演绎推理错误的主要原因 （1）大前提不成立； （2）小前提不符合大前提的条件
正确性有待进一步证明.
归纳推理是由特殊到一般的推 理;
类比推理是由特殊到特殊的ห้องสมุดไป่ตู้ 理．
演绎推理是由一般到特殊的推 理
三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 (3)结论
所研究的特殊情况; S是M， 根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
（2）类比推理的思维过程大致如下 图所示：
强调：类比推理不象归纳推理 那样局限于同类事物, 同时,类 比推理比归纳推理更富于想 像,因而也就更具有创造性.
动手练一练：
①
②
③
1.观察图中 和 的个数，猜想第n 个图形中 和 的个数
2.试求第几个图中 和 的个数相等
练习： 1.在括号内填上适当的数
(1) 1,5,9,13,17,
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法教学反思 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法教学反思新人教A版选修1-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法教学反思新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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反证法教学反思在数学教学中,抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径.本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤,会用反证法证明数学中的一些简单命题。
在准备这节课时，首先从课程分析和学情分析着手。
综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式.反证法是间接证明的一种基本方法,但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考,动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。
学生从初中开始就对反证法有所了解，在选修2—1《常用逻辑用语》一章中学习了四种命题的关系，原命题与原命题的逆否命题同真同假，而反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。
但并没有系统学习过反证法的步骤,因此对反证法的理解是零散的。
本节课意在改变传统教学过程中过于注重传授知识的倾向,让学生自己去发现问题，解决问题。
先巧用故事《道旁苦李》引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从王戎判断“李为苦李"的过程中体会反证法的内涵。
学生共同探讨总结出反证法的含义：反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。
高二数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修1-2
高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A 版选修1-2合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .••••， • • •• •• • •， • • • •• •• •• • • •，…n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________． 解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4，S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝n a 1·a 2·…·a n (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x ，则 d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n＝nc 1＋n （n －1）2x n＝c 1＋(n －1)·x 2. 可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的． 答案：c 1＋c 2＋…＋c n n已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135. (1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)·g (2)和f (9)－5f (3)·g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝（－x ）13－（－x ）－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝ 15(x 131－x 132)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 131·x 132. ∵x 131－x 132<0，1＋1x 131·x 132>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f (4)－5f (2)·g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0.由此概括出对所有不等于零的实数x 有f (x 2)－5f (x )·g (x )＝0.∵f (x 2)－5f (x )·g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0， ∴该等式成立．►变式训练1．已知数列{a n }的相邻两项a 2k －1，a 2k 是关于x 的方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两个根且a 2k －1≤a 2k (k ＝1，2，3，…)．(1)求a 1，a 3，a 5，a 7及a 2n (n ≥4)，不必证明；(2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n .解析：(1)方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两根为x 1＝3k ，x 2＝2k .当k ＝1时，x 1＝3，x 2＝2，∴a 1＝2；当k ＝2时，x 1＝6，x 2＝4，∴a 3＝4；当k ＝3时，x 1＝9，x 2＝8，∴a 5＝8；当k ＝4时，x 1＝12，x 2＝16，∴a 7＝12.∵当n ≥4时，2n ＞3n ，∴a 2n ＝2n (n ≥4)．(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋…＋2n )＝3n 2＋3n 2＋2n ＋1－2. 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14， ∴1ab≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 证法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab≥8， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b≥4， 即证b a ＋a b ≥2. 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，∴原不等式成立．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点G .∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形．∴AF ∥EG .∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFG 为菱形，∴CF ⊥EG .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G .∴CF ⊥平面BDE .►变式训练2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，且b 1·b 2·b 3＝164. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ， 所以b 1＝12，b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ，b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2d . 由b 1b 2b 3＝164，解得d ＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)证明：由(1)得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 则12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 所以T n ＝2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝2－12n －1－n 2n ， 又因为2－12n －1－n 2n ＜2，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。
人教课标版高中数学选修1-2：《推理与证明》章末回顾-新版
第二章推理与证明章末小结一、知识梳理1．思维导图2．知识梳理1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论．二、重难点突破1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．三、题型探究（一）合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．例1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，• • •• •• • •，• • • •• •• •• • • •，…，n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n与n的关系式为________．【知识点：归纳推理】详解：依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)例2 若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列n b =b (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等差数列，则有数列n d =________也是等差数列． 【知识点：类比推理】 详解 ：12n c c c n +++L 类比猜想可得12nn c c c d n+++=L 也成等差数列，若设等差数列{}n c 的公差为x ，则12nn c c c d n+++=L 11(1)2(1)2n n xnc x c n n -+==+-g可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：12nc c c n +++L ．例3 已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算(4)5(2)(2)f f g -g 和(9)5(3)(3)f f g -g 的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【知识点：函数的奇偶性，函数的单调性，指数的运算，不等式的性质】 详解：(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，1111113333112233121211331211()()()1555x x x x f x f x x x x x --⎛⎫-- ⎪-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭g ， ∵1133120x x -<，113312110x x +>g ，∴12()()0f x f x -<∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得(4)5(2)(2)0f f g -=g ，(9)5(3)(3)0f f g -=g ． 由此概括出对所有不等于零的实数x 有2()5()()0f x f x g x -=g ． ∵221111222233333333332()5()()5055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---=-=-=g g g∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性． （二）直接证明与间接证明 1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用． 例4 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【知识点：不等式的证明，综合法与分析法】 详解：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立． 2．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例5 求证：两条相交直线有且只有一个交点．【知识点：反证法，两条直线的位置关系；数学思想：分类的思想】 详解：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个交点．(1)若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或a 与b 异面，与已知矛盾；(2)若直线a 、b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．点拔：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法． 例6 已知0<a ≤3，函数3()f x x ax =-在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x 0≥1，f (x 0)≥1时，有00(())f f x x =.求证：f (x 0)＝x 0.【知识点：反证法，函数的单调性；数学思想：分类的思想】 证明：假设f (x 0)≠x 0，则必有f (x 0)>x 0或f (x 0)<x 0.若f (x 0)>x 0≥1，由于f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则00(())f f x x >． 又00(())f f x x =，∴00()x f x >，与假设矛盾． 若00()1x f x >≥，则00()(())f x f f x >． 又00(())f f x x =，∴f (x 0)>x 0，也与假设矛盾．综上所述，当x 0≥1，f (x 0)≥1且00(())f f x x =时有f (x 0)＝x 0.点拔： (1)对于f (f (x 0))的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能． (2)反设中有两种情况，必须逐一否定． 四．课后作业（一）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 【知识点：演绎推理】解：A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数【知识点：反证法】解析：D假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【知识点：归纳推理，类比推理，演绎推理】解析：D A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除【知识点：反证法】解析：A用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【知识点：归纳推理】解：C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)【知识点： 函数的单调性，三角函数的单调性，演绎推理】解：A α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π，所以π2>β>π2－α>0.，所以0<cos β<cos(π2－α)＝sin α<1， 1>sin β>sin(π2－α)＝cos α>0，又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．故选A.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】解：D 法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5【知识点：归纳推理】解：B 从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0【知识点：归纳推理】解：A 所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】 解：C A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x【知识点：归纳推理】解：C 根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x .12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是()A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n【知识点：归纳推理】解：C构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.（二）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．【知识点：演绎推理】解：菱形的对角线互相垂直且平分大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．【知识点：反证法；数学思想：分类思想】解：A易知三人同去的城市为A，又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．【知识点：类比推理】解：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3. “圆中正方形的面积“类比为“球中正方体的体积”，可得结论．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．【知识点：归纳推理】解：14 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. （三）解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．【知识点：归纳推理，函数的解析式】 解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z )．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.【知识点：演绎推理，诱导公式，两角和的正切】证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B.所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tanA tanB )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【知识点：类比推理，反证法，直线与平面平行的性质】解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．【知识点：演绎推理，等差数列的前n 项和，等比 中项】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.【知识点：不等式的证明，分析法，反证法】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立．(2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．【知识点：演绎推理，线面垂直的判定，面面垂直的性质，锥体的体积】(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1O C.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1O C.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。
高二新课程数学第二章《推理与证明》复习小结(新人教A版)选修1-2
第二章推理与证明(复习)学习目标1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；4. 能用反证法进行数学证明.~ P55，找出疑惑之处）28复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.合情推理的结论.演绎推理是由到的推理.演绎推理的结论.复习2：综合法是由导;分析法是由索.直接证明的两种方法: 和;是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※典型例题例1 已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值.变式：已知数列⑴求出；⑵猜想前项和.（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：；（2）求证：.变式：如右图所示，平面ABC ，，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴；⑵.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.※ 动手试试练1. 求证：当有两个不相等的非零实数根时，.A B C S F E练2. 数列满足（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）三、总结提升※学习小结※知识拓展帽子颜色问题“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．．是（）.A．C4H9 B．C4H10C．C4H11D．C6H122. 用反证法证明：“”，应假设为（）.A. B. C. D.3. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（）.A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理4. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是___________.5. 由“以点为圆心，为半径的圆的方程为”可以类比推出球的类似属性是.课后作业1. 若,求证:1.求证, ,(是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与轴有两个交点.。
高中数学选修1-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
sin (200 ∘ + α) + cos (200 ∘ + α + 30∘ ) + sin α cos (α + 30∘ ) =
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分别为 S 1 ，S 2 ，EF ∥ AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ，则 △OEF 的面积 S 0 与
S 1 ，S 2 的关系是 (
)．
mS 1 + nS 2 m+n − − − − m√S 1 + n√S 2 − − C．√S 0 = m+n
A．S 0 =
答案： C
nS 1 + mS 2 m+n − − − − n√S 1 + m√S 2 − − D．√S 0 = m+n
B．S 0 =
4. 观察 sin 220 ∘ + cos 250 ∘ + sin 20∘ cos 50∘ = 个与以上两式规律相同的一个等式
答案：
．
3 3 ，sin 215 ∘ + cos 245 ∘ + sin 15∘ cos 45∘ = ，写出一 4 4 3 4
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥ DC，AB = a，CD = b (a > b) 若 EF ∥ AB，EF 到 CD 与
ma + nb ．试用类比的方法，推想出下述问题的结 m+n 果．在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD ，BC 相交于 O 点，设 △OAB，△OCD 的面积 AB 的距离之比为 m : n ，则可推算出：EF =
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1. 下列说确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误
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推理与证明
本节课有以下特点：
1激情引趣，创设“可行”的推理。
兴趣是最好的老师，游戏是学生最喜欢的。
学生思维的开启需要各种刺激和诱因。
本节课创设了游戏情境，让学生在情境中学习，使学生感受到数学就在身边。
创设了一个自主、和谐、平等、民主的学习氛围，让学生先学，然后再自主汇报，在师生互动中对学生进行方法上的引导，使教学的有效性得到了保证。
2.自主探究，同桌合作交流，为学生提供展示的舞台。
“一个和尚担水喝，两个和尚挑水喝”，研究也证明最有效的小组合作方式为两人合作。
在教学过程中，我鼓励学生独立思考，在此基础上，进行同桌小组合作学习，然后进行全班交流学习。
学生对简单推理有一定的生活经验，通过观察、分析、合作、交流，总结认识了推理要遵循有序、全面的思考方法，初步建立有序全面思考问题的理念。
在整个教学过程中，我给学生留了充分地探索时间与空间，给学生创设了一个宽松、民主、和谐的氛围。
从而使学生积极地参与学习，我也以学生的身份和学生一起探究、交流。
学生有疑问的时候，我适时地帮助他们排除障碍。
3.注重学生良好的学习习惯的养成。
在本节课的教学中，我始终关注学生数学良好习惯的养成。
在课前，我要求学生把数学课本及学具摆放好。
课中通过多种猜一猜的游戏让学生学会倾听，先认真听好老师说的游戏规则，再按规则玩游戏。
游戏过后又让学生表达游戏的经过，从而也就提高了学生的数学素养。