运动电荷在磁场中的受力

3、 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动

教学目标：

1．掌握洛仑兹力的概念；

2．熟练解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题 教学过程： 1.洛伦兹力

运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。 计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F 安 =BIL ；其中I=nesv ；设导线中共有N 个自由电子N=nsL ；每个电子受的磁场力为F ，则F 安=NF 。由以上四式可得F=qvB 。条件是v 与B 垂直。当v 与B 成θ角时，F=qvB sin θ。

2.洛伦兹力方向的判定

在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速度方向），即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。

3.有关洛伦兹力大小的计算

（1）正确画出带电粒子可能的运动轨迹图，

a)定偏向：运用左手定则定轨迹偏向，其中要特别注意四指指向与负电荷的运动方向相反。 b)定圆心：主要利用v f ⊥或弦与半径垂直的关系确定。找出对应交点就找到了圆心。 c)定半径：方法有两种，一是利用几何关系求；二是根据半径公式求。 （2）可能用到常用的四个关系式

a) qvB= m R v 2= m 2

ωr=m ωv=m T

π2v ；

可得： R=

Bq mv ； c) T=Bq m π2； d)T t π

θ

2=

3、带电粒子在有边界的匀强磁场中的运动 1、带电粒子在半无界磁场中的运动

【例1】 如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

M

解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r ，由图还可看出，经历时间

相差2T /3。答案为射出点相距Be mv s 2=，时间差为Bq

m

t 34π=∆。关键是找圆心、找半径和用对称。

【例2】 一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P （a ，0）点以速度v ，沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O /，并得出半径为

aq mv B Bq

mv a

r 23,32=

==得；射出点坐标为（0，a 3）。 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。

【例3】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里.

（1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离.

（2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t m

qB

2=

θ。 解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为r ，则据牛顿第二定律可得：

r

v m Bqv 2

= ，解得Bq mv r =

如图所示，离了回到屏S 上的位置A 与O 点的距离为：AO =2r 所以Bq

mv AO 2=

（2）当离子到位置P 时，圆心角：t m

Bq r vt ==α 因为θα2=，所以t m

qB

2=

θ. y

x

o

B

v v

a

O / O

B

S

v θ

P

2．穿过圆形磁场区。

画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。偏角可由

R

r

=

2

tan

θ

求出。经历时间由Bq m t θ=得出。

注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

【例4】如图所示，一个质量为m 、电量为q 的正离子，从A 点正对着圆心O 以速度v 射入半径为R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B 。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。

解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（2≥n ），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n +1）.由几何知识可知，离子运动的半径为

1

tan

+=n R r π

离子运动的周期为qB m T π2=，又r

v m Bqv 2

=，

所以离子在磁场中运动的时间为1

tan

2+=

n v R t π

π. 【例5】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿OO ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，

在直角三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =（L +r ）tan θ，而)

2

(tan 1)

2tan(2tan 2θ

θ

θ-=

，r v R

v

O /

O

M

N

L

A

P

O

A

v 0

B