第一章 高聚物的应力与应变

∂w ∂v + = 2ε yz e yz = ∂y ∂z
ezx =
∂u ∂w + = 2ε zx ∂z ∂x
• 矩阵III中的元素与变形无关，而是对应于 物体的转动。
• 因此，变形矩阵可以写为：
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ε xx ∂v = ε yx ∂z ∂w ε zx ∂z
1．3．2 应变分量 ． ．
• 如图，由P1（x，y，z）移 到P1’（x+u，y+v，z+w）， 其位移分量为u，v和w； • P2（x+dx，y+dy，z+dz） 为P1的邻近点，由P2移到 P2’，其位移分量为u+du， v+dv，w+dw， • 故两邻近点的相对位移为 du，dv，dw。如果dx，dy， dz是无限小量，则有
1．2．2 物体内任一点的应力状态
z
σ zz
τ xz
τ zx τ zy
τ yz σ yy
τ xy τ yx
σ xx
y
x
• 在某点P从物体中取出一微小的平行六面体， 其棱边平行于坐标轴，每个面上都受到一 个应力作用，而每个应力又可以分解为与 坐标轴平行的三个分量。三组面共有九个 分量，用应力张量表示：
X N = lσ , YN = mσ , Z N = nσ
代入（5）式得：
l (σ xx − σ ) + mτ yx + nτ zx = 0
lτ xy + m(σ yy − σ ) + nτ zy = 0
（8）
lτ xz + mτ yz + n(σ zz − σ ) = 0
• l、m、n不能全为0，故上式的系数行列式为0。
C
e zz
ezx e xx
A
e yz
P
e yy
B
exy
• 形变张量： •
exx eij = exy exz e yx e yy e yz ezx ezy ezz
或
e11 e12 eij = e21 e22 e31 e32
e13 e23 e33
1 ∂u ∂w ( − ) 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w ( − ) 2 ∂z ∂y 0 III
• 矩阵I各元素代表线度变形
exx = ε xx ∂u = ∂x
e yy = ε yy =
∂v ∂y
ezz = ε zz =
∂w ∂z
• 而
∂v ∂u exy = + = 2ε xy ∂x ∂y
ε xy ε xz 0 ω xy ω xz ε yy ε yz + ω yx 0 ω yz ε zy ε zz ω zx ω zy 0
P1(x,y,z) P2'(x+dx+u+du,y+dy+v+dv,z+dz+w+dw) ds' P1'(x+u,y+v,z+w)
ds
P2(x+dx,y+dy,z+dz)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v dv = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w dw = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
σ xx σ ij = τ xy τ xz
τ yx τ zx σ yy τ zy τ yz σ zz
τ zx = τ xz
(4)
其中，τ xy = τ yx
τ yz = τ zy
第一个下标代表应力作用面的外法线方向，第二个下标是分量方向。
点任意截面的应力： 过P点任意截面的应力 点任意截面的应力 • 设截面的外法线为N，过P点在截面上取三 角形ABC及另外三个与坐标面平行的平面， 构成辅助四面体。设N的方向余弦为： • {l、m、n} • 记三角形ABC上的应力是SN，其分量变为 XN，YN，ZN，按x方向平衡条件，得：
N 0 N 0
1．3 应变状态 ．
• 1．3．1基本概念 ． ． 基本概念 • P点的形变用PA，PB，PC长度和相互夹角的变化 来表示。 • exx，eyy，ezz分别表示PA，PB，PC的正应变，伸 长为正，收缩为负； • exy，eyz，ezx分别表示PA与PB，PB与PC，PC与 PA间夹角（直角）的切应变（夹角改变量的正 切），夹角变小为正，变大为负。 • 已知一点的以上6个形变分量，就可求得经过该点 任一线段的正应变，也可求得经过该点的任意两 个线段之间角度的改变，于是就可以完全确定该 点的形变状态。
σ xx − σ τ yx τ zx τ xy σ yy − σ τ zy = 0 τ xz τ yz σ zz − σ
（9） （10）
展开得 其中，
σ 3 − I 1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0
I 1 = σ xx + σ yy + σ zz
σ xx τ xy σ yy τ yz σ zz τ zx I2 = + + τ xy σ yy τ yz σ zz τ zx σ xx
= l σ xx+ m σ yy+ n σ zz+2mnτ yz + 2nlτ zx + 2lmτ xy （6）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 τ N = S N − σ N = X N + YN2 + Z N − σ N
（7）
1．2．3 主应力与应力主向 ． ．
• 如果过P点的某一斜截面上的剪切应力为0， 则此截面上的正应力称为P点的一个主应力 （又称全应力），此斜面称为应力主面， 其法线方向为P点的一个应力主向，主应力 在坐标轴上的投影为：
（12）
式（9）称为特征值方程 ）称为特征值方程。
1．2．4 最大与最小应力 ． ． • 取三个坐标轴与三个主应力重合。
0 σ 1 0 σ ij = 0 σ 2 0 0 0 σ3
（1）最大与最小正应力 ） 由（6）式，截面（l，m，n）上的正应力为
σ N = l 2σ 1+ m 2σ 2+ n 2σ 3
用l2+m2+n2=1消去上式的l，得
（13）
σ N = (1 − m 2 − n 2 )σ 1+ m 2σ 2+ n 2σ 3
• • •
令m和n的偏导数为零，可得极值 σ 1 。 σ 同理：2 和 σ 3 也是极值。 因此 σ 1 , σ 2 , σ 3 中最大的即为最大正应力， 最小的即为最小正应力。 （2）最大与最小切应力 ）
1．1．2 高聚物的力学行为 ． ．
• 特点： T g 以下：普弹性； T g 以上：高弹性； • • 转变区：黏弹性。 −t / τ • ε = ε 0 (1 − e ) • −t / τ σ = σ 0e •
(2) (3)
1．2 应力状态 ．
• 1．2．1定义 ． ． 定义 • 1．外力：对物体所施加的，使物体发生变形的力。 又分体力和面力。 • 体力：分布在物体体积内的力，如重力，惯性力。 • 面力：分布在物体表面的力，如流体压力。 • 2．内力：物体受外力变形时，其中各部分相对位 置改变而引起的相互作用力。内力的面密度的极 限称为应力。 • 与物体的形变及材料强度直接有关的是应力在其 作用截面的法向和切向分量。
•
∂u du ∂x dv = ∂v ∂x dw ∂w ∂x
位移矩阵
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂u ∂z ∂x ∂v = 0 ∂z ∂w 0 ∂z
•
2 τ N = (lσ 1 ) 2 + ( mσ 2 ) 2 + ( nσ 3 ) 2 − (l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 ) 2
极值有6组：
l
±1
0 0 0 0
0 0
0
± 1/ 2 ± 1/ 2
m n
2 τN
±1
± 1/ 2
0
± 1/ 2
0 0
±1
± 1/ 2
± 1/ 2
0
X N ∆S − σ xx l∆S − τ yx m∆S − τ zx n∆S + X∆V = 0
最后一项为体力分量，可以认为是高阶小量。
过P点任意截面的应力 点任意截面的应力： 点任意截面的应力
z C N
τ xy σ yy
τ yz
A O xN
zN P yN
τ xy
τ xz
B
σ xx
ZN SN YN XN
τ xz
τ yz
σ zz
y
x
• ΔS是三角形ABC面积，约去有：
X N = lσ xx + mτ yx + nτ zx
同理有：
YN = lτ xy + mσ yy + nτ zy Z N = lτ xz + mτ yz + nσ zz
（5）
这样，截面上的正应力和切应力分别是：
σ N = lX N + mYN + nZ N
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ∂z dx ∂v dy ∂z ∂w dz ∂z
原始矩阵
1 ∂u ∂v ( + ) 2 ∂y ∂x 0 1 ∂v ∂w ( + ) 2 ∂z ∂y 1 ∂u ∂w ( + ) 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w ( + ) 2 ∂z ∂y 0 II