1999年全国高考-数学(理)
专题辅导：高考中有关绝对值综合题的类型及解法(上)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------专题辅导：高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）曾安雄绝对值是中学数学中的一个重要概念，也是历年高考中常考的知识点之一，由于其综合性强，几乎能与高中数学所有知识相结合。
故不少同学遇到此类问题，存在思路不清等障碍。
实际上处理起来并不难，关键在于：去掉绝对值符号（常用有定义法、分段讨论法、平方法及性质法等），将问题转化为不含绝对值的常规问题来解决。
下面将以高考题为例，浅谈含绝对值综合题的常见类型与解法，供参考。
一、与集合、映射知识相结合例 1（1999 年全国高考题）已知映射 f：AB，其中集合 A={-3， -2， -1， 1， 2， 3， 4} ，集合 B 的元素都是 A 中元素在 f 下的象，且对任意的 aA，在 B 中和它对应的元素是| a| ，则集合 B 中元素的个数是（）（A） 4 （B）3 （C） 6 （D） 7 解：本题含义就是找出映射 f：a| a| ，根据绝对值的定义，可算出-3， -2， -1， 0， 1，2， 3 的绝对值不同个数为 4，故选 A。
例 2（2019 年全国高考题）设集合 A={x| xZ 且-10x-1} ，1 / 4B={x| xZ 且| x| 5} ，则 A B 中的元素个数是（）（A） 11 （B） 10 （C） 16 （D） 15 解：化去集合 B 中的绝对值，可得 B={x| xZ 且-5x5} ，于是 A B={x| xZ 且-10x5} ={-10， -9，， -1， 0， 1， 2， 3， 4， 5} ，共有 16 个元素，故选 C。
二、与三角函数知识相结合三角函数中含有绝对值问题，常是分象限讨论而去掉绝对值符号。
1999年高考数学试题及答案(全国理) - 副本
1999年普通高等学校招生全国统一考试一选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S（B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S（D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b（4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos在[]b a ,上 （A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M -（5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 （A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称 （7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为 （A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2（9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 （11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、 下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程： ①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
1999年高考数学试题及答案(全国理)
1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷第1至 2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b（4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos在[]b a ,上 （A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215（11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类） 第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
高三数学第一轮复习：不等式的解法知识精讲 试题
卜人入州八九几市潮王学校高三数学第一轮复习：不等式的解法【本讲主要内容】 不等式的解法 【知识掌握】 【知识点精析】“≥〞是不等“＞〞与方程“＝〞的结合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集。
1.常见不等式的解法步骤：〔1〕对ax>b 形式的不等式，当a>0时解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为()-∞，b a ，当a ＝0且b<0时解集为R ，当a ＝0且b ≥0时，解集为Φ；因未限制a 的符号，故ax<b 可改为-ax>-b 不必另行列出。
〔2〕一元二次不等式我们总可化为x 2+bx+c>0和x 2+bx+c<0两形式之一，记△＝b 2－4c 。
〔3〕特殊的高次不等式f 〔x 〕>0或者f 〔x 〕<0的解法关键是把函数式y ＝f 〔x 〕进展因式分解，依次得到方程f 〔x 〕＝0的假设干个解，用数轴标根法求解，要特别注意重根的情况的处理。
〔4〕分式不等式的解法关键是不能像分式方程那样去分母，而是采用移项、通分整理，变成HY 型)()(x g x f >0或者)()(x g x f <0,分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。
〔5〕无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围〔偶次方根下被开方数非负〕，二是式子两边偶次方的前提是两边非负。
不能保证两边非负，就要进展讨论。
形如：)(x f >g 〔x 〕⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≥<≥2)]([)(0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f x g x f 或；形如：)(x f <g 〔x 〕⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ；形如：)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ；〔6〕指数、对数不等式，化为同底的方法是指数、对数不等式的根本解法，要注意定义域为前提，且必须在原始不等式中求定义域，在无法确定指数、对数函数的单调性时，必须推论底与1的大小关系，然后分类解答。
1999年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国卷.理科)
1999年普通高等学校招生全国统一考试物理第I卷一、本题共12小题；每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分1．下列说法正确的是A．当氢原子从n＝2的状态跃迁到n=6的状态时，发射出光子B．放射性元素的半衰期是指大量该元素的原子核中有半数发生衰变需要的时间C．同一元素的两种同位数具有相同的质子数D．中子与质子结合成氘核时吸收能量2．一太阳能电池板，测得它的开路电压为800mV，短路电流为40mA，若将该电池板与一阻值为20欧的电阻器连成一闭合电路，则它的路端电压是A．0．10V B．0．20V C．0．30V D．0．40V3．下列说法正确的是A．衰变为要经过1次a衰变和1次衰变B．衰变为要经过1次哀变和1次衰变C．衰变为要经过6次。
衰变和4次衰变D．衰变为要经过4次a衰变和4次衰变4．一定质量的理想气体处于平衡状态I，现设法使其温度降低而压强升高，达到平衡状态II，则A．状态I时气体的密度比状态II时的大B．状态I时分子的平均动能比状态II时的大C．状态I时分子间的平均距离比状态II时的大D．状态I时每个分子的动能都比状态II时的分子平均动能大5．假设地球表面不存在大气层，那么人们观察到的日出时刻与实际存在大气层的情况相比A．将提前B．将延后C．在某些地区将提前，在另一些地区将延后D．不变6．图为地磁场磁感线的示意图在北半球地磁场的坚直分量向下。
飞机在我国上空匀逐巡航。
机翼保持水平，飞行高度不变。
由于地磁场的作用，金属钒翼上有电势差设飞行员左方机翼未端处的电势为U1，右方机翼未端处的电势力U2，A．若飞机从西往东飞，U1比U2高B．若飞机从东往西飞，U2比U1高C．若飞机从南往北飞，U1比U2高D．若飞机从北往南飞，U2比U1高7．下面是4种亮度可调的台灯的电路示意图，它们所用的白炽灯泡相同，且都是“220V，40W”当灯泡所消耗的功率都调至20瓦时，哪种台灯消耗的功率最小？8．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于A．物体势能的增加景B．物体动能的增加量C．物体动能的增加量加上物体势能的增加量D．物体动能的增加量加上克服重力所做的功9．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力10．地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是S，c的单位是m/s2，则A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的车速度D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度11．如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。
1999全国高考数学试题_理_解析
).
A. 1 B. - 1 C. 0 D. 2
解: 令 x= 1, - 1, 得
a0+ a1 + a2 + a3+ a4= ( 2+ 3) 4 ,
a0- a1 + a2 - a3+ a4= ( 2- 3) 4 .
两式相乘, 得
( a0 + a2+ a4) 2- ( a1 + a3 ) 2 = ( 2+ 3) 4 ( 2- 3) 4 = 1, 选 A.= cosx 时,来自f ( x ) sin x =
1 2
sin 2 x
满足题设, 应选
B.
6. 在极坐标系中, 曲线 Q
= 4sin( H-
P 3
)
关于(
).
A1 直线 H=
P 3
轴对称
图2
B. 直线 H=
5 6
P
轴对称
C. 点( 2,
P 3
)
中心对称
D. 极点中心对称
解: 作出已知圆的图形, l : H=
b] 上是 增 函 数, 且 f ( a) = - M , f ( b) = M , 则函 数
g( x ) = M cos( Xx + U) 在[ a, b ] 上( ) .
A . 是增函数
B. 是减函数
C. 可以取得最大值 M D. 可以取得最小值- M
解: 由题意知 D = [ a, b] = [ 2 kP-
2>
1,
_
2 3
[
log ax <
3 4
或 log ax >
1.
下同标准答案.
别解 2:
高中数学解题理论与技巧第一篇理论篇
解法1:将左端彻底展开,然后逐步倒退, 略加更动,使之变为右端.
评析:这种工作失于过分保守,只知比猫 画虎,毫无创造意识.
注意到要证的等式两端表现的差异,仅
是a 2 与 3 位置不同.若将左端的 a 2 与 3
恒等式的任一端关于 2 , 3 对称就够了.
运用已知条件,记 ti t(i ),则有
=-c(a-b)(c-a-b)-ab(a-b) =(a-b)(ac+bc-c2-ab)=(a-b)(b-c)(c-a) 正好与分母相同,相约后值为1.所以答案为1.
例恒3:等若式函1 t数( t1 ( t (1 x 2 ) )有 2 ) tt( ( t (3 3 x y4 4 )) ) 1t1 t(( x t)t(1 ( x )t1 t (( y3 y) ) ) 性3 ) tt( ( 质2 2 , 则4 4 ) )
2
),由OA⊥OB
得B的坐标为
B
x2
y2
acos( bsin(
) asin
2
) bcos
2
则S=4S△AOB=2OA•OB≤OA2+OB2=(a2cos2θ+ b2sin2θ)+ (a2sin2θ+ b2cos2θ)=a2 + b2
例8:求函数
y
ax 1 a2x2 2
(a≠0)的最大值与最小值.
1
4
3
3k1 4
3,所以最大值为
1
4
3 ,最小值
4
பைடு நூலகம்
例9:设λ,ω是已知的复数(|λ|≠1),解关于z
的方程 zz
解:对已知式求共轭复数 zz
与上式联立可解得
z
1989年全国高考数学试题及答案解析
1989年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。
1999高考数学试题及答案
1999高考数学试题及答案1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x=2n,n∈Z}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，则A∩B=（）A. {x|x=2n,n∈Z}B. {x|x=2n+1,n∈Z}C. ∅D. R答案：C2. 已知函数f(x)=x^2+2x+3，g(x)=x^2+3x+3，则f[g(x)]等于（）A. x^2+5x+9B. x^2+5x+12C. x^2+7x+12D. x^2+7x+15答案：C3. 已知向量a=(1,2)，b=(2,3)，则|a+b|等于（）A. 3B. 3√2C. √10D. 5答案：C4. 已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞,-1)∪(1,+∞)B. (-∞,1)∪(1,+∞)C. (-∞,-1)∪(1,+∞)答案：A5. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）的一条渐近线为y=(√2/2)x，则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B6. 已知函数f(x)=x^3+1，x∈R，则f(1)+f(-1)+f(0)的值为（）A. 1B. 3C. -1D. -37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a5=10，a2+a4=6，则S5的值为（）A. 20B. 15C. 10D. 5答案：B8. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，x∈R，若对于任意x∈[2,3]，f(x)>0恒成立，则实数m的取值范围为（）A. m>-2B. m>-1C. m>0D. m>1答案：D9. 已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|=2，则点P的坐标为（）A. (1,2)B. (1,-2)C. (2,4)D. (2,-4)答案：A10. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1，若f'(x)=3x^2+2ax+b，且f'(1)=0，f'(-1)=0，则a+b的值为（）A. -4B. -2C. 0D. 2答案：C11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=16，则S3的值为（）A. 7B. 8C. 15D. 31答案：A12. 已知直线l：y=kx+1与圆C：x^2+y^2=4相交于A，B两点，若|AB|=2√2，则k的值为（）A. 1B. -1C. 0D. ±1答案：D二、填空题（每小题4分，共24分）13. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，x∈R，若f(x)=0的根为x1，x2，则|x1-x2|=______。
1998年高考数学试题及答案(全国理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ． 4)2y (x 22=-+C ． 4y )2x (22=+-D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是 A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A 5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120° B ．150° C ．180° D ．240° [Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ．i 2123+± D ． i2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ．'S S S +=02 D ．S'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 [Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A ．215arccos- B ． 215arcsin- C ．251arccos- D ． 251arcsin-[Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2) [Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
集合常见错误分析
集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1. 注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例 1. 设{}A x y x y x y N =+=∈(,)|,*46，，{}B x y x y x y N =+=∈(,)|,,*327，则A B =___________．错解：由方程组46,327x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：1,2.x y =⎧⎨=⎩ 故{}A B =12，． 错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}A B =()12，．2. 注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．例2．已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ⊆，求a 的值． 错解：若a a 213-+=，即a a 220--=，则a =-1或a =2；若a a a 21-+=，即a a 2210-+=，则a =1．综上，所求a 的值为-1，1，2．错因分析：当a =1时，A 中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此a =1应舍去，所以满足题意的a 值为-1，2．3. 注意∅的特殊性 ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例 3. 已知集合{}{}A x axB x x x =+==--=||105602，，若A B ⊆，求由实数a 组成的集合C ．错解：因为{}A aB A B =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⊆178，，，， 所以-=--=1718a a 或，即a a ==-1718或，所以C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1718，． 错因分析：导致错误的原因是漏掉A =∅的情形，当a =0时，A =∅亦满足条件，可得C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭01718，，． 4. 注意取等的可能性例 4. 已知{}{}A x x B y y x a x A =-<<==+∈|,|12，，{}C z z x x A ==∈|,2，且B C C =，求实数a 的取值范围．分析：由已知得：{}|12B y a y a =-<<+，{}|04C z z =≤<，由B C C = 得B C ⊆，又12a a -<+，知B ≠∅，故有10,2 4.a a -≥⎧⎨+≤⎩ 解得12a ≤≤． 注：不要忽略a +=24的情况．5. 注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．例5. 已知集合{}{}A a aB a a a =-+=-+-31312122，，，，，，且A B ={}-3，求实数a 的值．错解：由{}A B =-3，知33213a a -=--=-或，即01a a ==-或．错因分析：当a =0时，{}{}A B =-=--301311，，，，，，此时{}A B =-31，，与A B {}=-3矛盾，应舍去．6. 注意分类讨论的重要性例 6. 已知集合{}{}A B x x ax b =-=-+=11202，，|，若B ≠∅，且A B A = ，求实数a 和b 的值．分析：因为A B A =，故B A ⊆，又B ≠∅，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：0,1,1,11 1.a a a b b b ===-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩或或 7. 注意条件隐含性例7. 全集{}22,3,23S a a =+-，{}|21|2A a =-，，{}5S A =ð，求实数a 的值． 错解：因为{}5S A =ð，所以55∈∉S A 且，从而a a 2235+-=． 解得：a a ==-24或．错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以A S ⊆． 当a a S =-=∈2213时，||，符合题意；当a =-4时，||219a S -=∉，不符合题意，故a =2．注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．高考集合问题常见类型解析湖南省 黄爱民 赵长春集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。
1999年高考数学试题及答案(广东)
1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（广东卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 60分）参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b （4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123 （8）若(),323322103x a x a x a a x +++=+则()()231220a a a a +-+的值为（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29（B ）5 （C ）6（D ）215（11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ）⎪⎭⎫⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ（12）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（广东卷） 第II 卷（非选择题 90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
1999年全国高考文科试题
的个数是
（A）4 （B）5
（C）6
（D）7
（3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于
（A）a
（B）a-1
（C）b
（D）b-1
（4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b） =M，
则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上
（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
（A）（M∩P〕∩S
（B）（M∩P）∪S
（C〕（M∩P）∩
（D〕（M∩P）∪
（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中
元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素
（A）9/2
（B）5
（C）6
（D）15/2
（11）若sina＞tga＞ctga(-
＜a＜
)，则a∈ （A）（-
，-
） （B）（-
，0） （C）（0，
） （D）（
，
）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们 的
侧面积的比为1：2，那么R=
（A）10
（B）15 （C）20 （D）25
1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题参考答案及评分标准(文史类)
说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评 分细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解
13.和积转换法
杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！高考数学母题[母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248) 669和积转换法[母题]Ⅰ(11-13):若正数a,b,c,d,x,y 满足ax+by=cxy-d(cd-2ab ),且cd ≥2ab ,则xy 的取值范围是 .[解析]:由cxy-d(cd-2ab )=ax+by ⇒cxy-d(cd-2ab )≥2abxy ⇒(xy -d)(c xy +cd-2ab )≥0⇒xy -d ≥0⇒xy ≥d 2⇒xy 的取值范围是[d 2,+∞).[点评]:己知f(a+b,ab)=0,求a+b 的最小值,或ab 的最大值,基本方法是利用基本不等式把其一换为另一式,即进行和积转换,然后通过解不等式求解;由该题生成高考试题有许多,列举部分如下:[子题](1):(1999年全国高考试题)若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .[解析]:由ab=a+b+3⇒ab-3=a+b ≥2ab ⇒(ab +1)(ab -3)≥0⇒ab ≥3⇒ab ≥9⇒ab 的取值范围是[9,+∞).注:该题是此类问题在高考中出现的第一题,因此,该题是此类高考试题的始源,显然,该题是母题的子题. [子题](2):(2010年浙江高考试题)若正实数x,y 满足2x+y+6=xy,则xy 的最小值是 .[解析]:由2x+y+6=xy ⇒xy-6=2x+y ≥2xy 2⇒(xy 2+2)(xy 2-6)≥0⇒xy 2≥6⇒xy ≥18,等号当且仅当2x=y,即x=3,y=6时成立⇒xy 的最小值是18.注:该题是1999年全国高考试题的变式,因此,该题也是母题的子题.[子题](3):(2010年重庆高考试题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)29(D)211[解析]:由x+2y+2xy=8⇒8-(x+2y)=x(2y)≤(22y x +)2⇒(x+2y+8)(x+2y-4)≥0⇒x+2y ≥4.等号当且仅当x=2y,即x=2, y=1时成立⇒x+2y 的最小值是4.故选(B).注:该题是1999年全国高考试题的另一种变式,多年高考出现同类试题,证明了高考母题存在的充分性,同时也说明该母题存在的必要性.[子题系列]:1.(2014年上海春招试题)已知a 、b ∈R +,若a+b=1,则ab 的最大值是 .2.(2010年山东高考试题)已知x,y ∈R +,且满足3x +4y=1则xy 的最大值为 . 3.(2014年上海高考试题)若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 4.(2004年重庆高考试题)己知yx 32+=2(x>0,y>0),则xy 的最小值是 .5.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知正数x 、y 满足x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立m 则k 的最小值是_ _ .6.(2009年天津高考试题)设x,y ∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=23,则yx 11+的最大值为( ) (A)2 (B)23 (C)1 (D)217.(2011年南京第一次质检试题)己知f(x)=log 2(x-2),若实数m,n 满足f(m)+f(2n)=3,则m+n 的最小值是 . 8.(2012年天津高考试题)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n 的取值范围是( )670 [母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248)(A)[1-3,1+3] (B)(-∞,1-3]∪[1+3,+∞) (C)[2-22,2+22] (D)(-∞,2-22]∪[2+22,+∞) 9.(2011年重庆高考试题)若实数a 、b 、c 满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c 的最大值是 .10.(2011年浙江高考试题)设x,y 为实数,若4x 2+y 2+xy=1,则2x+y 的最大值是 . 11.(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y 满足4x 2-5xy+4y 2=5,设S=x 2+y 2,则minmax11S S += .12.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y 满足x 2-3xy+y 2=2,则x 2+y 2的值域是 . 13.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2+xy+y 2=3,则x 2-xy+y 2的最大值和最小值分别为 . 14.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知实数a,b 满足a 2+ab+b 2=1,且t=ab-a 2-b 2,则t 的最大值和最小值的积为 .15.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x,y ∈R,且x 2+23xy −y 2=3,则x 2+y 2的最小值是_____.16.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2+2xy −y 2=7,则x 2+y 2的最小值为_____. [子题详解]: 1.解:由1=a+b ≥2ab ⇒ab ≤41. 2.解:由1=3x +4y≥212xy ⇒xy ≤3. 3.解:由x 2+2y 2≥22xy=22 4.解:由2=yx 32+≥2yx 32⋅⇒xy ≥6.5.解:由5=x+y ≥2xy ⇒xy ≤425⇒lgx+lgy ≤2-4lg2⇒k 的最小值是2-4lg2. 6.解:由a x=b y=3⇒log 3a=x 1,log 3b=y1⇒x 1+y 1=log 3a+log 3b=log 3ab ≤log 3(2b a +)2=1.故选(C).7.解:由f(m)+f(2n)=3⇒log 2(m-2)+log 2(2n-2)=3⇒(m-2)(n-1)=4⇒4=(m-2)(n-1)≤[2)1()2(-+-n m ]2⇒m+n 最小值是7. 8.解:由直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切⇔22)1()1(|2)1()1(|+++-+++n m n m =1⇔m+n+1=mn ⇒m+n+1≤(2n m +)2⇒ |m+n-2|≥22⇒m+n ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).故选(D). 9.解:设2a=x,2b=y,2c=z,则x,y,z>0,且x+y=xy,x+y+z=xyz ⇒z=1-+xy y x =1-xy xy =1+11-xy ;由x+y=xy ⇒xy ≥2xy ⇒xy ≥4 ⇒z=1+11-xy ≤34⇒2c≤34⇒c ≤log 234=2-log 23,当且仅当x=y=2⇒a=b=1时,等号成立⇒c 的最大值是2-log 23. 10.解:由4x 2+y 2+xy=1⇒(2x+y)2-3xy=1⇒(2x+y)2-1=3xy=23(2x)y ≤23(22y x +)2⇒(2x+y)2≤58⇒2x+y ≤5102.11.解:4x 2-5xy+4y 2=5⇒xy=1-54S,x 2+y 2≥2|xy|⇒S ≥2|1-54S|⇒1310≤S ≤310. 12.解:设S=x 2+y 2,由x 2-3xy+y 2=2⇒xy=31(S-2);由x 2+y 2≥2|xy|⇒S ≥32|S-2|⇒S ≥54⇒x 2+y 2的值域是[54,+∞). 13.解:设x 2-xy+y 2=t,x 2+y 2=21(3+t),xy=21(3-t),x 2+y 2≥2|xy|⇒21(3+t)≥|3-t|⇒1≤t ≤9. 14.解:由a 2+ab+b 2=1,且t=ab-a 2-b 2⇒1+t=2ab,1-t=2(a 2+b 2);由a 2+b 2≥2|ab|⇒1-t ≥2|1+t|⇒3t 2+10t+3≤0⇒t 的最大值和最小值的积为1.15.解:设x 2+y 2=r 2(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2+23xy −y 2=3⇒r 2(cos 2θ-sin 2θ)+23r 2sin θcos θ=3⇒r 2(cos2θ+3sin2θ)=3⇒sin(2θ+6π)=223r≤1⇒r 2≥23. 16.解:设x 2+y 2=r 2(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2+2xy −y 2=7⇒r 2(cos 2θ-sin 2θ)+2r 2sin θcos θ=7⇒r 2(cos2θ+ sin2θ)=7⇒sin(2θ+4π)=227r ≤1⇒r 2≥227⇒x 2+y 2的最小值为227.。
1999年高考数学试题及答案(全国理)
1999年高考数学试题及答案(全国理)1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷第1至 2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b （4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29（B ）5 （C ）6 （D ）215 （11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类） 第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1． 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。
2000年高考试题—数学理(全国卷)
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1． 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 52． 在复平面内，把复数i 33−对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )A ．23B ．i 32−C ．i 33−D ．3i 3+3． 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是 ( ) A ．23B ．32C ． 6D ．64． 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtg tg >C ． 若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ． 若α、β是第四象限角，则βαtg tg > 5． 函数x x y cos −=的部分图像是 ( )6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分15% ……某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ． 1200~1500元D ． 1500~2800元7． 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫⎝⎛+2lg b a ，则 ( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ． Q <P <RD ． P <R <Q8． 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛−=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛−=4sin 2πθρC ． ()1cos 2−=θρD ． ()1sin 2−=θρ9． 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10． 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．x y 3=B ．x y 3−=C ． x y 33=D ． x y 33−= 11． 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( ) A ．a 2B ．a21C ． a 4D ．a4 12． 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )A ．321arccosB ．21arccosC ． 21arccos D ． 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13． 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14． 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________15． 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+−+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______16． 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18． (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60． (I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα−−BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． 19． (本小题满分12分)设函数()ax x x f −+=12，其中0>a ．(I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．C 1CDABD 1B 1A 120． (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c −+1为等比数列，求常数p ；(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．21． (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) 22． (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B(8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2kπ，k ∈Z ， 即 x =6π＋kπ，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋kπ，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换： (i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分 但AC ⊥BD ，AC∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413 ——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=−， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ． 作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23， 所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ， 由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分 当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ， 又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．OHGC 1CDA BD 1B 1A 1解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+−≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212a ax −≤≤}； 当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++−x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212a a−，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分 即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]， 整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0， 解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ． 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)． 由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<−≤≤−;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<−+−≤≤++−300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分 当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分 综上，由100>87．5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (h c ，h )，E (x 0, y 0)，其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++−12c c = )1(2)2(+−λλc ， λλ+=10h y ． 设双曲线的方程为12222=−by a x ，则离心率a c e =． 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=−bh e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−⎪⎭⎫ ⎝⎛+−b h e λλλλ． ② ——7分 由①式得 14222−=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=−e ，故 2312+−=e λ．——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+−≤e ． 解得107≤≤e ． 所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。
2003年高考数学试题(全国理)及答案
2003年高考数学试题(全国理)及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π （ ）A ．247B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12- D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．22R πB ．249R π C ．238R π D ．223r π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x的四个根组成的一个首项为4112．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3πB ．4πC ．3π3 D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx-展开式中9x 的系数是 .14．使1)(log2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分） 已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos (=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t∈<≤+且是集合t s a s n中所有的数从小到大排列成的数列， 即.,12,10,9,6,5,3654321======a a a a a a将数列}{na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12— — — —— — — — —（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 设Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b s t n中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=kb2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
铁的化合物
（2）亚铁化合物 ） 亚铁化合物既具有氧化性又具有还原性 氧化性： 氧化性 Fe 例：Fe2++ Zn = Zn2++Fe
Al、Mn、Zn等
还原性： 还原性：遇较强氧化剂时被氧化成三价铁的化合物
Fe
2+
− → Fe 3+ + −
铁及其化合物间的相互关系： 铁及其化合物间的相互关系：
讨论1：下列物质发生反应时， 讨论 ：下列物质发生反应时， 其离子方程式正确的是（ 其离子方程式正确的是（ B ） A、三氯化铁溶液中加入过量铁粉 、
Fe3++Fe＝2Fe2+ ＝
B、向含0.1mol FeBr2的溶液中通入 、向含 的溶液中通入2.24L 氯气（标准状况） 氯气（标准状况）
2Fe2++2Br-+2Cl2＝2Fe3++4Cl-+Br2
C、氯化铁溶液中通入硫化氢 、
2Fe3+ + S2- = 2Fe2+ + S
D、向盛硫化亚铁的容器中加入稀硝酸 、 FeS+2H+＝Fe2++H2S↑ 讨论2：将适量铁粉放入三氯化铁溶液中，完全反应后， 讨论 ：将适量铁粉放入三氯化铁溶液中，完全反应后，溶液中的 Fe3+和Fe2+浓度相等，则已反应的 3+和未反应的 3+的物质的量 浓度相等，则已反应的Fe 和未反应的Fe 之比是（ 之比是（ A ） A、2∶3 B、3∶2 C、1∶2 D、1∶1 、 ∶ 、 ∶ 、 ∶ 、 ∶ 年全国高考试题） （1993年全国高考试题） 年全国高考试题
加强碱溶液 单质F 溶液K
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1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）注意事项：l．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。
台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h 表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩D．（M∩P）∪2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A 中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是A．4 B．5 C．6 D．73．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）=b，ab ≠0，则g（b）等于A．a B．a-1 C．b D．b-14．函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是A．sin x B．cos x C．sin 2x D．cos 2x6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于A．直线θ=π/3轴对称 B．直线θ=6/5π轴对称C．点（2，π/3）中心对称 D．极点中心对称7．若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是8．若（2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为A．l B．-1 C．0 D．29．直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为A．π/6 B．π/4 C．π/3 D．π/210．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为A．9/2 B．5 C．6 D．15/211．若sina>tga>ctga(-π/2<a<π/2)，则a∈A．(-π/2,-π/4) B．（-π/4，0）C．（0，π/4） D．（π/4，π/2）12．如果圆台的上底面半径为5．下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=A．10 B．15 C．20 D．2513．已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：①4x＋2y-1=0②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A．①③ B．②④C．①②③D．②③④14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A．5种 B．6种 C．7种 D．8种第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第II卷共6页。
用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题；每小图4分，共16分把答案填在题中横线15．设椭圆x2/a2+y2/b2＝1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1。
若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是___________________。
16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________________种（用数字作答）。
17．若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是_______________。
18．α、β是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线。
给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________________________。
三、解答题：本大题共6小题：共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（本小题满分10分）解不等式20．（本小题满分12分）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ，y=θ-argZ(0<θ<π/2)求函数的最大值以及对应的θ值21．本小题满分12分如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC 与底面ABcD所成的角为45°，AB＝a（Ⅰ）求截而EAC的面积：（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥B1—EAC 的体积22．（本小题满分12分）上图为一台冷轧机的示意图；冷轧机由若干对轧辊组成。
带钢从一端输人，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
（1）输入带钢的厚度为a ，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ro ，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ （一对辊减薄率＝输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）输入该对的带钢厚度（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm 。
若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L K 。
为了便于检修，请计算L 1、L 2、L 3并填人下表（轧钢过程中，带钢宽度不变沮不考虑损耗）（23）（本小题满分14分）已知函数y=f （x ）的图象是自原点出发的一条折线。
当n≤y≤n+1(n=0,1,2...)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b≠1），设数列{x n }由f （x n ）=n （n=1，2，...）定义（1）求X 1、X 2和x n 的表达式；（2）求f （x ）的表达式，并写出其定义域：（3）证明：y=f （x ）的图象与y=x 的图象没有横坐标大于1的交点。
（24）（本小题满分14分）如图，给出定点A（a，0）（a〉0）和直线l：分线交AB于点C求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）题每小题5分，满分60分。
（1）C （2〕A （3〕A （4）C （5）B（6）B （7）D （8）A （9）C （10）D（11）B （12）D （13）D （14）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分（15）1/2（16）12（17）[9,+∞]（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β三、解答题（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类论的思想，满分10分解：原不等式等价于————一一一一4由①得logax≥2/3由②得logax<3/4, 或logax>1,由③得logax>1/2.由此得2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一8分当a>1时得所求的解是{x| ≤x< }U{x|x>a};当0<a<1时得所求的解集是：{x| <x≤}U{x|0<x<a}.——一一一一10分（20）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力，满分12分。
解：由0＜θ＜π/2得tgθ＞0。
由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)=1/(3/tgθ+2tgθ)∵3/tgθ+2tgθ≥2∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤/12.当且仅当3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2时，即tgθ= /2时，上式取等号。
所以当θ=arctg /2时，函数tgy取最大值/12。
由y=-argθz得y ∈(- π/2,π/2).由于在（-π/2, π/2）内因正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctg /12. 12分( 21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念思维能力、空间想象能力及运算能力。
满分12分。
（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，－－－－2分∴∠EOD＝45°。
DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.故S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分（II）解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC。