电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势

可以用标势φ描述，
E A .
t
❖ 因此，一般情况下电场的表示式为
E A .
t
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用势描述电磁场
B A
E
A t
❖ 把电磁场用矢势和标势表示出来。
❖ 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概 念，标势φ失去作为静电场中势能的意义。
❖ 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
❖ 在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢
势和标势作为一个整体来描述电磁场。
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规范变换和规范不变性
❖ 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E和 B并不对应唯一的A和φ 。
❖ 这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度▽ψ ， 结果不影响B，而这加在A上的梯度部分在E式中有可以 从-∂ψ/∂t中除去，结果亦不影响E。
Maxwell方程组
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
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1
Maxwell方程组
l
E
dl
s
B t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
s
E
dS
Q
0
Q dV
B dS 0
s
I J dS
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2
标势 的Poisson方程
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用势描述电磁场
❖ 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的 表示式必然包含矢势A在内。
❖把
B A.
❖ 代入 E B , t
❖ 得 (E A ) 0 t
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用势描述电磁场
❖ 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因此它
t t t
A E.
t
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规范变换和规范不变性
❖ 即(A’ , φ’)与(A , φ )描述同一电磁场。
❖ 变换
A
A
A A
t
❖ 称为势的规范变换。
❖ 每一组(A , φ )称为一种规范。
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规范变换和规范不变性
❖ 在经典电动力学中，由于表示电磁场属性的可测量的物 理量为E和B，而不同规范有对应着同一的E和B ，因此， 如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规 范选择无关。
B 0J
B0
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静磁场的矢势
❖ 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若
B 0
❖ 则 B 可表为另一矢量的旋度
B A
❖ A 称为磁场的矢势。
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矢势微分方程
❖ 对比静电势的解可得矢势方程的特解
（2AA0）0J
A(x)
0 4
J (x ')dV r
'
❖ 推迟势
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用势描述电磁场
❖ 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯
韦方程组为
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
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用势描述电磁场
❖ 在恒定场中， 由B的无源性引入矢势A，使
B A.
❖ 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的关系式 普遍成立的。
(0)(x) 1 Q 1 40 R
(1) ( x) 1 p 1 40 R
(2) ( x) 1 1 D : 1
40 6
R
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5
Q V dV ' p V x'dV ' D (3x'x' 1r '2)dV '
V
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6
静磁场的矢势
❖ 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的磁场部分为
须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。 ❖ 因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取▽∙A为任意的值。
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规范变换和规范不变性
❖ 每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件 可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明 显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同 的辅助条件。应用最广的是以下两种规范条件：
❖ 式中x '是源点，x是场点，r为由x ' 到x的距离。
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矢势的多级展开
❖ 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域 比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某 点O为坐标原点，把1/r的展开式得
A(x)
0 4
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
❖ 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律应该保持不 变，这种不变性称为规范不变性。
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规范变换和规范不变性
❖ 从数学上来说，规范变换自B由 度 的A存在是由于在势的定义式
E A .
t
❖ 中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。 ❖ 我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A，还必
1 R
... dV
'
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矢势的多级展开
A(0) (x) 0 J (x')dV '＝０
4 R
A(1) (x)
0 4
mR R3
0 4
m
1 R
m
1 2
x'
J(x')dV
'
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本讲主要内容
❖ 用势描述电磁场
❖ 规范变换和规范不变性
❖ d’Alembert 达郎贝尔方程
E 0
E /0 E
2
0
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静电场的标势
❖ 若电荷连续分布，电
荷密度为ρ ，设r为
由源点x' 到场点x的
距离，则场点x处的
电势为
(x)
1
4 0
( x)dV
r
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4
(x) (0) ( x) (1) ( x) (2) ( x) ...
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规范变换和规范不变性
❖ 设ψ为任意时空函数，作变换
A
A
A A
பைடு நூலகம்
t
则，(A’,φ’)与(A,φ)对应于同一个(E,B)。
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❖有
规范变换和规范不变性
B ' A A
A B,
A A
t
E ' A
t
A
❖ 矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回路的线 积分等于该时刻通过回路的磁通量。
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用势描述电磁场
❖ 在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场 不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方 面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电 场是有旋的。因此在一般情况，电场是有源 和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描 述。