长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学答案
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．201910．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f（x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，. 【解析】 【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数． 当时，2()(00)a f x x a x x =+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<， ，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立． 121204x x x x -<>Q ，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.24．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a≥即1(0,]2a∈时，()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
湖南省长沙一中2021 2021学年高一上学期期中数学试题
湖南省长沙一中2021 2021学年高一上学期期中数学试题湖南省长沙一中2021-2021学年高一上学期期中数学试题2022-2022学年，湖南长沙第一中学，高中，第一中学数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合M={1,0,1}，n={x|x22x=0}，则m∩n=（）a．{1，0，1}b．{0，1}c．{1}d．{0}2.已知功能，则f[f（2）]=（）a、 0b.1c.2d.33．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）a．y=|x|b．y=3xc、 y=d.y=x2+44.以下函数为偶数函数（a.y=XB.y=2x2）c．y=xd．y=x2十、∈[0，1]5．函数f（x）=2x22x的单调递增区间是（）a．（∞，1]b．[1，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）6.以下一组不正确的指数和对数公式是（）a.e0=1与ln1=0；b、八,=2与log82=c、 Log39=2和9=3D。
Log33=1和31=37.函数y=loga（x+2）+1的图像交点（）A.（1,2）B.（2,1）C.（2,1）d.（1,1）8．三个数a=0.72，b=log20.7，c=20.7它们之间的大小关系是（）A.A<C<B.B.A<B<CC。
B<a<CD。
B<C<a9．函数f（x）=log3x+x3零点所在大致区间是（）a．（1，2）b．（2，3）c．（3，4）d．（4，5）10.当a>1时，函数y=a在同一坐标系中xy=logax的图像(）a．b．c．d。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．函数f（x）=12.当x∈ （1,2），函数f（x）=3的取值范围为13．函数f（x）=是一个偶数函数，定义字段是[A1，2A]，然后是a+B=x+log3（x+2）的域是14．函数f（x）在（1，1）上是奇函数，且在区间（1，1）上是增函数，f（1t）+f （t）＜0，则t的取值范围是．15.计算机的成本不断下降。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一12月月考数学试题 答案和解析
由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线 ，则直线与函数的图象至多有一个交点，
根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；
对于C图，当x=0时，有两个y值对应；
对于D中图象能表示y是x的函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】
∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
【点睛】
本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．
2020-2021长沙市长沙市第一中学高一数学下期中第一次模拟试卷含答案
y
4 3
(x 1) ，即
4x 3y 4 0 ，选 D.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线 a 垂直的直线 b 的平行线， 与直线 c 平行线的夹角.
【详解】
在直线 a 上任取一点 O ，过 O 做 c / /c ，则 a, c 确定一平面 ，
过 O 点做直线 b 的平行线 b ，所有平行线 b 在过 O 与直线 a 垂直的平面 内， 若存在平行线 b1 不在 内，则 b1 与 b 相交又确定不同于 的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以 b 都在平面 内， 且 , l ，在直线 c 上任取不同于 O 的一点 P ， 做 PP l 于 P ，则 PP ， POP 为是 c 与 所成的角为 60 ， 若 b l ，则 b ,b c ，若 b 不垂直 l 且不与 l 重合， 过 P 做 PA b ，垂足为 A ，连 PA ，则 b 平面 PPA，
11．已知实数 x, y 满足 2x y 5 0 ，那么 x2 y2 的最小值为（ ）
A． 5
B． 10
C． 2 5
D． 2 10
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的体积为（ ）
A．64
B． 64 3
C．16
D． 16 3
二、填空题
13．给出下面四个命题：
由平面几何知识知，为使由点 (a, b) 向圆所作的切线长的最小，只需圆心 C(1, 2) 与直线
x y 3 0 上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为 ( 1 2 3 )2 2 4 ， 2
故选 B . 考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析
湖南省长沙市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞2．函数1()2x f x a +=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过的点为（ ） A ．(1,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)-D ．(1,2)--3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）A B ．C ．28D ．4．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1)B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( ) A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°6．已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离7．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ； ③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知直线10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．54C ．3D ．49．已知幂函数()y f x =的图象过点⎛⎝⎭，则21log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A．2BC．D ．1210．已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）11．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC是边长为角形，PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．654πB ．16πC ．6516πD ．494π12．已知1()22ln20191xxxf x x-+=-++-，若()(1)4038f a f a ++>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知直线l20y -+=，则直线l 的倾斜角为__________.14．在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，且AB ，AC ，AD 两两垂直，点E 为CD 的中点，则直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值是__________． 15．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B的距离始终等于则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．三、解答题17．已知集合{}2|450A x x x =--，集合{|22}B x a x a =+.（1）若1a =-，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.18．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程.（2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 19．已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值.21．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 22．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦. （1）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.参考答案1．C 【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数． 【详解】解：因为集合{|0}A x x a =-， 所以{}|A x x a =， 又因为2A ∈， 则2a ，即[2,)a ∈+∞ 故选：C ． 【点睛】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题． 2．A 【分析】令指数为0，即可求得函数1()2x f x a +=-恒过点．【详解】解：令10x +=，可得1x =-，则(1)121f -=-=-∴不论a 取何正实数，函数1()2x f x a +=-恒过点(1,1)--故选：A ． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题． 3．A 【分析】利用体对角线公式直接计算即可. 【详解】1BD === A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.4．B 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5．D 【分析】通过证明AC ⊥平面11BB D D ，可证得直线1BD 与直线AC 垂直，即所成的角为90. 【详解】画出图像如下图所示，连接11,BD B D ，由于几何体为正方体，故1,AC BD AC DD ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥,即所成的角为90.所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题. 6．A 【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切. 【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=，等于半径之和，∴两个圆相外切.故选A. 【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 7．C 【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案． 【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误； ③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确； ④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误． ∴正确的个数为1． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题． 8．B 【分析】12m m=⇒=10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】10y +-=与直线30my ++=12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=，所以两直线之间的距离为54d ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．B 【分析】设()af x x =，将点⎛ ⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出a 的值，然后再计算出21log 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】设()af x x =，由题意可的()333af ==，即1233a -=，12a ∴=-，则()12f x x -=，所以，112211222f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log 22222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 10．B 【分析】由方程f （x ）＝a ，得到x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，且x 3x 4＝1；化简()31232343112x x x x x x x ++=-+，利用数形结合进行求解即可． 【详解】作函数f （x ）的图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1； 当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1； 故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<； 则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1，当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]． 故选B ．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，在等边三角形ABC 中，取AB 中点F ，设其中心为G ，由AB =113FG CE ==． 设PAB ∆的外心为E ，在PAB ∆中，由PA PB ==，AB =得1cos 7P ==，则sin P =．设PAB ∆的外接圆半径为r27r=，即74r =．再设三棱锥P ABC -的外接球球心为O，则外接球半径R OA ==．∴该三棱锥外接球的表面积为26544ππ⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 12．C 【分析】 设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，则()()2019f x g x =+，则可证()g x 为奇函数，且在定义域上单调递增，则()(1)4038f a f a ++>等价于()(1)g a g a >--，再根据函数的单调性及定义域得到不等式即可解得. 【详解】解：设1()22ln1xxxg x x -+=-+-，则()()2019f x g x =+. 由1()22ln ()1x xx g x g x x---=-+=-+，所以()g x 为奇函数， 又12()22ln22ln 1(11)11x xx x x g x x x x --+⎛⎫=-+=-+--<< ⎪--⎝⎭， 易知22,2,ln 11x xy y y x -⎛⎫==-=-⎪-⎝⎭为增函数，故()g x 为增函数， 所以()(1)4038f a f a ++>，即()2019(1)20194038g a g a ++++> ()(1)g a g a ∴>-+， 即()(1)g a g a >--，故1,11,111,a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题. 13．60° 【分析】设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ= 【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=，[)0,θπ∈则60θ=︒．故答案为：60︒． 【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．3【解析】 【分析】由AB ，AC ，AD 两两垂直可知AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在三角形ABE 中计算即可. 【详解】∵AB ，AC ，AD 两两垂直， ∴AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在RT△ABE 中，AB=2，，∴sin∠AEB=AB BE 3=，∴直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值3，【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15．,1515⎡-⎢⎣⎦【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．16 【详解】设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE BH ==BAH 中，cosHBA ∠==∴6HBA π∠=，4612HBG πππ∠=-=,∴12HG π=，同理EF ；在直角三角形HAE 中，2HAE π∠=，AH AE ===∴2HE π==，在等边三角形BCD 中，3CBD π∠=，∴3GH π==，=，故答案为2. 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题． 17．（1）{|1x x 或5}x ；（2）2a >或3a -【分析】（1）由此能求出集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ，从而能求出A B ．（2）由A B B =，得B A ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）1a =-时，集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ， 集合{|22}{|21}B x a x a x x =+=-， {|1A B x x =或5}x ．（2）因为A B B =，∴B A ⊆，若B =∅，则22a a >+，∴2a >；若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨⎩∴3a-.综上，2a >或3a -.即(](),32,a ∈-∞-+∞【点睛】本题考查交集和并集的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，属于基础题． 18．(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --= 【分析】（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出． 【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624823AB k --==-- ∴AB 的垂直平分线斜率为34，所以由点斜式32(5)4y x +=-，得AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式322352y x +-=-+-得3110x y --=所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --= 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力．19．（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==，∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题 20．（1）见证明；（2【分析】方法一：（1）由题意，得出PO AC ⊥，再由菱形的性质，求得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥面PBD ，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面ACE ⊥面PBD ； （2）连接OE,证得OE PD ⊥，得到POE ∠是二面角P AC E --的平面角，在POE ∆中，即可求解.法二：（1）以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PBD 的一个法向量为n ，根据AC n ∥，得AC ⊥面PBD ，在面面垂直的判定定理，证得面ACE ⊥面PBD ； （2）分别求得平面PAC 和平面ACE 的法向量为,u v ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ∴PO AC ⊥∵在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ∴AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ∵CE PD ⊥ ∴OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=∴BD =OD =又2PO = 所以PD ==故7OE ==∴cos OE POE OP ∠==即二面角P AC E --法二：（1）菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 又PO ⊥面ABCD 故可以以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由2,60AB ABC =∠= 可知相关点坐标如下：())()()()0,0,2,,,0,1,0,0,1,0P BD A C -则平面PBD 的一个法向量为()0,1,0n =因为()0,1,0AC = 所以AC n 故AC ⊥面PBD 从而面ACE ⊥面PBD （2）设PE ED λ=，则32,0,1E λλ⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭ 因为CE PD ⊥ 所以34011CE PD λλλ⋅=-=++ 故43λ=可得：4367E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭平面PAC 的一个法向量为()1,0,0u = 设平面ACE 的一个法向量(),,v x y z =则20607v AC y v AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩故()3,0,2v =∴3cos ,7u v == 即二面角P AC E --的余弦值为7【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21．（1）L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100千件.【分析】（1）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得()L x ； （2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得()L x 的最大值即可. 【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元， 依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－21103x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－250＝－213x ＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－10000511450x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－250＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当0<x <80时，L (x )＝－()21603x -＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1 200－＝1 200－200＝1 000. 此时x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1 000万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题.22．（1）1-；（2）1,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）对k 分类讨论，当0k ≠时，令1()4(1)22x xg x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得；（2）令2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++，即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，可转化为函数21()log 4(1)22x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ，即21log 4(1)212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根，即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得. 【详解】解：（1）当0k =时，2211()log 2log 122xf x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，不合题意； 0k ≠时，令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意；②当k 0<时，且此时对称轴102k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-， 所以2max11111()(1)22222k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1k =-或13k =（舍）， 所以1k =-.（2）当01k <<时，设2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【全国百强名校】长沙市一中高一第1次阶段性考试试卷-数学(附答案)
数学试题一中版第!" 页共"页
长沙市第一中学学年度高一第一学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一选择题
"!#!解析$集合#"$#%中有两个元素$%集合#"$#%有&&'(个子集$故选 #)
&!*!解析由集合$'#%"&' 槡%&!"%'!!+$!"&#'"$,+"$''#&"&' 槡%&!"%''-$,+"$
" .
$
解得)"'"$%+!%"'!&%&,","$%+!789&."'
" &
$故选
*)
二填空题
".!!&!解析因为函数+!%"'%&,&定义在!!+$-"上$由+!""'2得"&,&'2$解得"'!&! "(!6!解析设两门都是优秀的同学共有% 人$如图)
则&-,&.!%,2'(-$得%'6! "1!!+!&#-&!解析因为定义在 上的偶函数+!%"在!-$,+"单调递增$且+!!&"'-$
数学试题一中版第!+ 页共"页
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
（2）判断“ ”是“ 比 更接近 ”的什么条件，是以下四种——充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件中的哪一种，并说明理由．
长沙市第一中学2022-2023学年度高一第一学期第一次阶段性检测
数学
时量：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
C ， D. ，
3.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
4.以下说法正确的是（）
A. 的最小值为2
B. 的最小值为2
C. 的最小值为2
D.若正实数a，b满足a+b=1，则 的最小值为4
5.已知集合 ， ，若 ，则实数m的取值集合是（）
A. B.
C. D.
6.已知函数 ，则 （）
， ，故 ， 是真命题，
所以命题p： ， 的否定为假命题，B错误；
若 ，满足 ，此时 无意义，故C错误；
且 ，则 ，充分性成立，D错误.
故选：A
8.设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a， （a与b可以相等，也可以不相等）， 且 ，则称S是“和诣集”．则下列命题中为假命题的是（）
A.存在一个集合S，它既是“和诣集”，又是有限集
A.存在一个集合S，它既 “和诣集”，又是有限集
B.集合 是“和诣集”
C.若 ， 都是“和诣集”，则
D.对任意两个不同的“和谐集” ， ，总有
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项等合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.⏹Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.⏹On the same sheet of paper, write or type your name, address,telephone number, and birth date.⏹Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴022 0431xx≤≤⎧⎨<-<⎩，解得0131 4xx≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或1 3【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．18．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 25．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________②对任意,,ÎÄ=Ä；③对任意()()()()a b R a b b aa b c R a b c c ab a c b c cÎÄÄ=Ä+Ä+Ä-，,,,2以下正确的选项是（）A．()202=0ÄÄB．()()ÄÄÄ2020=8C．对任意的,,a b c RÎ，有()()ÄÄ=ÄÄa b c b c aD．存在,,a b c RÎ，有()()()+ĹÄ+Äa b c a c b c五、解答题17．已知{}R ,{}A x x x m B x x =Î++==>∣∣2200，且A B Ç=Æ，求实数m 的取值范围.18．设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+£，2{|0}B x x a =+<.（1）当4a =-时，求A B Ç和A B È；（2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．已知函数()2()24f x x a x =-++（a ∈R ）.(1)若关于x 的不等式()f x <0的解集为（1，b ），求a 和b 的值;(2)若对任意x ∈[]1,4，()1f x a ³--恒成立，求实数a 的取值范围.21．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；【分析】首先求解集合,B C 再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项.【详解】由集合的定义可知，{}0,1A B ==，{}{}{}{},0,1,0,1C =Æ，所以A C Î.故选：AC 12．BCD【分析】根据给定的新运算得到a b Ä的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的选项.【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b Ä=ÄÄ=Ä+Ä+Ä-´=++，对于A ，()2022222228ÄÄ=Ä=´++=，故A 错误；对于B ，()()200222ÄÄÄ=Ä，由①中结果可知()()20208ÄÄÄ=，故B 正确；对于C ，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b cÎÄÄ=Ä++=++++++R abc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a cb c a b =++=++++Ä+Ä+Äabc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a ÄÄ=ÄÄ，故C 正确；对于④，取1,1a b c ===，则1212152Ä=´++=，而()()()1111211116Ä+Ä=´++=，故()()()1111111+ĹÄ+Ä，故D 正确.所以同时参加数学和化学小组的有故答案为：815。
2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.On the same sheet of paper, write or type your name, address, telephone number, and birth date.Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。
2019-2020学年湖南省长沙一中高一(上)第一次段考数学试卷
（x≠0），
2
∴f（1﹣2x） =
1 ― 2
，
2
1
1
令 1﹣2x = ，得 x = ，
2
4
1 2
15
1―( )
1
4
16
= 1 = 15．
∴f（ ） =
1
2
( )2
4
16
故选：C．
12．【分析】由已知可得 f（x） +
2
1
= a 恒成立，且 f（a） = ，求出 a＝1 后，将 x＝log23
17，
则 f（7）＝a•73+7b+7＝﹣（﹣a•73﹣7b+7）+14＝17+14＝31．
故选：A．
9．【分析】对任意 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研
究函数的奇偶性，故对所给的 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1 进行赋值研究
A．{2}
B．{2，﹣2}
C．{2，0}
D．{2，﹣2，0}
5．（3 分）函数 f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．
（2，1）
D．（2，2）
6．（3 分）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+3 在区间[0，t]上的最大值为 3，最小值为 2，则实数 t
或者直接使用子集的公式，
因为集合元素个数有 2 个，所以子集的个数为 22＝4 个．
故选：D．
2．【分析】求函数的定义域化简集合 P，求函数的值域化简集合 Q，再根据补集与交集的定
2020-2021长沙市高一数学上期末第一次模拟试题含答案
2020-2021长沙市高一数学上期末第一次模拟试题含答案一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．983．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)6．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<7．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.15．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 16．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 17．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；18．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________. 三、解答题21．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.23．已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ）（1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知函数2()1f x x x m =-+.（1）若()f x 在x 轴正半轴上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围； （2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A3．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．4．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.6．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.7．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U .内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．11．A解析：A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示，且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32 【解析】 【分析】 【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =． 答案：12或3215．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】 【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】 【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 18．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题解析：916 【解析】 【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩， 当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥， 解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-， 所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 22．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案；（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+， 所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.23．（1）1k =（2）30a -≤≤【解析】【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =. 当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数. （2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立 即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立， 因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*） 在R 上任取1x ，2x ，且12x x <， 则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立，即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-， 因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩ 解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.24．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.25．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.【详解】 （1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212x x x x x xg x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.26．（1）2m >；（2）m <【解析】【分析】（1）首先>0∆，保证有两个不等实根，又121=x x ，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，转化为2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 ,只要求得2x x+在[1,2]上的最小值即可． 【详解】 （1）由题知210x mx -+=有两个不等正根，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，∴2m >；（2）211x mx -+>-恒成立即22mx x <+恒成立，又[1,2]x ∈，故2m x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可 , 又2y x x=+在[1,2]x ∈上的值域为 ,故m <【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．。
湖南省长沙一中2020-2021学年高一上学期第一次阶段性检测物理试题+答案
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测物理第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（共12题，每小题4分，共48分，1~9题只有一个选项符合题意，10~12题有多个选项符合题意.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分）1.关于质点，下列说法中正确的是（）A.质量很小的物体一定能看成质点B.体积很小的物体一定能看成质点C.形状不规则的物体一定不能看成质点D.地球虽大，且有自转和公转，但有时也可被视为质点2.下列物理量中不．属于矢量的是（）A.位移B.速度C.温度D.加速度3.某驾驶员使用定速巡航，在高速公路上以时速110公里行驶了200公里，其中“时速110公里”、“行驶200公里”分别是指（）A.速率、路程B.速度、路程C.速率、位移D.速度、位移4.下列说法中的“快”，哪些是指加速度较大（）A.从高速公路走，很快就能到B.刘翔的起跑是比赛选手中最快的C.摩托车很快就追上了前面的自行车D.协和式客机能在20000m高空飞行得很快5.某质点做直线运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示.则（）A.在12s时刻质点开始做反向的直线运动B.在0~20s内质点的速度不断增加C.在0~20s 内质点的平均速度大小为0.8m /sD.在0~20s 内质点的瞬时速度等于它在这段时间内平均速度的时刻只有一处6.一枚火箭由地面竖直向上发射，其速度——时间图象如图所示，由图象可知（ ）A.0~a t 段火箭的加速度小于~a b t t 段火箭的加速度B.在0~b t 段火箭是上升的，在~b c t t 段火箭是下落的C.b t 时刻火箭离地面最远D.c t 时刻火箭回到地面7.2011年8月，我国军事现代化进程十迎来了又一个里程碑，中国第一艘航空母舰试验平台首次进行出海航行试验.某次航母做匀加速直线运动，航行x 的距离用时1t ，紧接着航行3x 用时2t ，据此可知航母的加速度是（ ） A.122xt t + B.128xt t + C.()()12121223x t t t t t t -+D.()121223x t t t t -+8.如图所示，一物体做匀加速直线运动，依次经过A 、B 、C 三点，其中B 是A 、C 的中点.已知物体在AB 段的平均速度为3m /s ，在BC 段的平均速度为6m /s ，则物体经过B 点时的速度是（ ）A.4m /sB.4.5m /sC.5m /sD.5.5m /s9.一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1s 、2s 、3s ，则这三段位移的长度之比分别是（ ）A.221:2:3B.331:2:3C.1:2:3D.1:3:510.某质点做匀减速直线运动，依次经过A 、B 、C 三点，最后停在D 点.已知6m AB =，4m BC =，从A 点运动到B 点，从B 点运动到C 点两个过程速度变化量都为2m /s -，下列说法正确的是（ ）A.质点到达B 点的速度大小为2.55m /sB.质点的加速度大小为22m /sC.质点从A 点运动到C 点的时间为4sD.A 、D 两点间的距离为12.25m11.在如图所示的位移图象和速度图象中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是A.1t 时刻甲、乙两车相遇B.10~t 时间内，甲车的平均速率大于乙车的平均速率C.20~t 时间内，丁车在2t 时刻领先丙车最远D.20~t 时间内，丙、丁两车的平均速度相等12.A 、B 两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方()2v 随位置（x ）的变化规律如图所示，下列判断正确的是A.汽车A 的加速度大小为218m /sB.汽车A 、B 在6m x =处的速度大小为6m /sC.从开始到汽车A 停止前，当6m A x =时A 、B 相距最远D.从开始到汽车A 停止前，当7.5m A x =时A 、B 相距最远第Ⅱ卷 非选择题（共52分）二、实验题（本题共2个小题，每空2分，共14分）13.（6分）我们可以用光电门来完成“探究小车速度随时间变化的规律”这一实验，实验装置如图所示.实验步骤如下：①用米尺测量两光电门之间的距离s ；已知遮光片的宽度为d ； ②调整轻滑轮，使细线水平；③让物块从光电门A 的左侧由静止释放，用数字毫秒计分别测出遮光片经过光电门A 和光电门B 所用的时间A t ∆和B t ∆，求出加速度a ； 回答下列问题：（1）物块通过光电门A 的速度A v =______，通过光电门B 的速度B v =______（用题中给出的物理量表示）. （2）物块的加速度大小a 可用d 、s 、A t ∆和B t ∆表示为a =______.14.在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，按如图1所示实验仪器进行实验.（1）“测定匀变速直线运动的加速度”部分实验步骤如下：A.实验完毕，关闭电源，取出纸带B.将小车停靠在打点计时器附近，小车尾部与纸带相连C.接通电源，待打点计时器工作稳定后放开小车D.把打点计时器固定在平板上，让纸带穿过限位孔上述实验步骤的正确顺序是：______（用字母填写）.（2）某同学得到一条用打点计时器打下的纸带，并在其上取了O、A、B、C、D、E、F共7个计数点（图中每相邻两个计数点间还有四个打点计时器打下的点未画出），如图2所示.打点计时器接的是50Hz的低压交流电源.他将一把毫米刻度尺放在纸带上，其零刻度和计数点O对齐，从刻度尺上直接读取数据记录在表中.①由以上数据可计算出打点计时器在打A，B，C，D，E各点时物体的速度，如表所示.v=______m/s.（速度取三位有效数字）表中E点的速度应该为E②试根据表格中数据和你求得的E点速度在图3作出v t-图象，并从图象中求得物体的加速度a=______2m /s （加速度取两位有效数字）.三、计算题（本题共4个小题，共38分）15.（8分）水平面上一物体以15m /s 的初速度做匀变速直线运动，并从此时开始计时. （1）若第4s 末物体的速度方向未改变，大小减小为3m /s ，求物体的加速度；（2）若物体的加速度取（1）中数值始终不变，速度方向可以改变，求物体第7s 末的速度.16.（8分）一辆汽车在平直公路上匀速行驶，速度大小为010m /s v =，关闭油门后汽车的加速度大小为22m /s .求：（1）关闭油门后到汽车位移24m x =所经历的时间1t . （2）汽车关闭油门后210s t =内滑行的距离.17.云南省彝良县曾发生特大泥石流，一汽车停在小山坡底，突然司机发现在距坡底240m 的山坡处泥石流以8m /s 的初速度、20.4m /s 的加速度加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动.已知司机的反应时间为1s ，汽车启动后以20.5m /s 的加速度一直做匀加速直线运动.试通过计算说明汽车能否安全脱离?18.（12分）在某娱乐节目中，有一个关口是跑步跨栏机，它的设置是让观众通过一段平台，再冲上反向移动的跑步机皮带并通过跨栏，冲到这一关的终点.现有一套跑步跨栏装置如图所示，平台长14m L =，跑步机皮带长232m L =，跑步机上方设置了一个跨栏（不随皮带移动），跨栏到平台左端的距离310m L =，且皮带以01m /s v =的恒定速率转动，一位挑战者在平台起点从静止开始以212m /s a =的加速度通过平台冲上跑步机，之后以221m /s a =的加速度在跑步机上往前冲，在跨栏时不慎跌倒，经过2s 爬起（假设从摔倒至爬起的过程中挑战者与皮带始终相对静止），然后又保持原来的加速度2a 在跑步机上顺利通过剩余的路程，求挑战者通过全程所需要的时间.（跨栏时间不计，跨栏前后速度不变）参考答案：长沙市第一中学2020—2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测物理参考答案一、选择题（共12题，每小题4分，共48分，1~9题只有一个选项符合题意，10~12题有多个选项符合题意.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分）二、实验题（本题共2个小题.共14分.每空2分）13.（1）Adt∆Bdt∆（2）222B Ad dt ts⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪∆∆⎝⎭⎝⎭14.（1）DBCA （2）①23.2 ②如下图0.42（0.40~0.44）三、计算题（本题共4个小题.共38分）15.（8分）【解析】（1）以物体的初速度方向为正方向，15m/sv=第4s末3m/stv=tv vat-=23m /s a =-物体的加速度大小为23m /s ，方向与初速度方向相反 （2）第7s 末.0t v v at =+26m /s t v =-第7s 末，物体的速度大小为6m/s ，方向与初速度方向相反 16.（8分）【解析】（1）取汽车初速度方向为正方向.010m /s v =22m /s a =-由匀变速直线运动规律可得2012x v t at =+ 求得14s t =，26s t =（舍去）. （2）汽车停止时间0t v v t a-'=5s t '=所以在10s 时汽车已经停止. 通过的位移为：()012t x v v t '=+ l7.（10分）【解析】设泥石流到达坡底的时间为1t ，速率为1v ，则21011112s v t a t =+1011v v a t =+代入数值得120t =，116m /s v =1v a t v '==汽32s t =2211132m 256m 222s a t '==⨯⨯=汽 泥石流在113s t t t '=-=总内前进的距离1208m s v t '==石 所以泥石流追不上汽车18.（12分）【解析】匀加速通过平台过程.有211112L a t =通过平台的时间12s t ==冲上跑步机的初速度1114m /s v a t == 冲上跑步机至跨栏过程，有23222112L v t a t =+. 解得22s t =摔倒至爬起过程随皮带移动的距离012m 2m x v t ==⨯= 取地面为参考系。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题(含答案)
长沙市第一中学2024—2025学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分得分_________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，使得”的否定形式是（ ）A ．，使得B ．，使得C ．，使得D ．，使得3．若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（ ）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．菱形D ．矩形4．如图所示，为全集，，，为的子集，则阴影部分所表示的集合可为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，则C ．若，则D ．若且，则6．“”是“对任意的正实数，均有”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（ ）A ．1人B ．2人C ．3人D ．5人{}210M x x =-=1M⊆{}1M-∈{}1M⊆M∅∉*n ∃∈N 221n n >+*n ∃∈N 221n n <+*n ∀∈N 221n n <+*n ∃∈N 221n n ≤+*n ∀∈N 221n n ≤+1x 2x 3x 4x A 1x 2x 3x 4x U A B C U ()A B C ()()U A B C ð()()U A B C ð()()U A B Cða b c d a b >c d >a b c d +>+22a b >a b -<-0c a b >>>a b c a c b >--0a b >>0m >a m ab m b+>+1a =x 2ax x+≥8．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．2B ．C ．1D ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面四边形，则“四边形是平行四边形”的一个必要条件是（ ）A ．四边形的两组对边分别相等B ．四边形的两条对角线互相平分C ．四边形的四条边长均相等D ．四边形的两组对边平行10．不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）A ．且B ．不等式的解集是C ．D ．不等式的解集是11．对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若，且，则B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．不等式的解集为_________．13．已知正实数，，则的最小值是_________．14．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，，．（1）求，；（2）若是的真子集，求实数的取值范围．16．（15分）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x y z 2240x xy y z -+-=xyz213x y z +-151694ABCD ABCD 20ax bx c -+>{}21x x -<<0b <0c >0bx c ->{}2x x >0a b c ++>20ax bx c ++>{}12x x -<<A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈∉ A B ⊕A B {}1,2,3A ={}2,3,4B ={}1,4A B ⊕=A B ⊆R A B B ⊕=A =∅A B ⊆R A B ⊕=∅A B =A B ⊆R A B A ⊕⊆A B ⊆A B ⊆R A B A B⊕=⊕R R ðð3112x x->-a b 4=2a b +0x <x 22x x a +-<a {}15A x x =-≤≤{}31B x x =-≤≤{}21C x a x a =≤≤+A B ()R A B ðC A a万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本）（1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式；（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？17．（15分）（1）设，，，为正实数，证明不等式：；（2）若正实数，满足，求的最小值；（3）若正实数，满足，求的最小值．18．（17分）已知函数．（1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．19．（17分）非空集合，是集合的真子集，且，如果，，，使得，其中，，则称，是集合的一组有序基底集，记为．已知由正整数构成的集合，其有序基底集的个数记为．（1）时，写出所有符合条件的；（2）时，是集合的一组有序基底集，求集合中含有元素4的概率；（3）证明：．长沙市第一中学2024—2025学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011()020x x ≤≤x ()2m x =+m 16272m x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1086m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭y x a b x y ()222a b a b x y x y++≥+x y 22x y +=224122x y y x +++x y 14x y x y+=+x y +()()21y ax a x a a =+-+∈R ()210ax a x a +-+≥x a x ()2132ax a x a a +-+<+0m <x ()21164ax a x a m a m+-+=++a B C A B C =∅ a A ∀∈b B ∃∈c C ∈a b c λμ=+λ{}0,1μ∈B C A (),B C {}1,2,3,,A n = (),B C ()f n 3n =(),B C 4n =(),B C A B ()()()22132f n f n f n +≤+≤+答案C D B D C A B A ABD BCD ABD1．C 【解析】根据集合与元素、集合与集合的基本关系可知，选项A 中，；选项B 中，；选项D 中，．故选项C 正确．2．D 【解析】由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”．3．B 【解析】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可以满足要求，故选B ．4．D 【解析】根据交、并、补运算可判断阴影区域为选项D ．5．C 【解析】选项A ，取，，，，则，A 错误；选项B ，当，时，，但，不成立，B 错误；选项C ，当时，，C 正确；选项D ，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D 错误，故选C ．6．A 【解析】对任意的正实数，均有，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，，，，即，当时，一定成立；时，不一定成立．“”是“对任意的正实数，均有”的充分不必要条件，故选A ．7．B 【解析】如图，设只参加田径一项比赛的有人，只参加球类一项比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛且不参加游泳比赛的有人．故可解得故只参加田径一项比赛的有2人．1M ∈{}1M -⊆M ∅⊆*n ∃∈N 221n n >+*n ∀∈N 221n n ≤+1x 2x 3x 4x 1a =0b =2c =1d =a b c d +<+1a =-0b =22a b >a b ->-0c a b >>>()()a ba cb bc a ac bc a b c a c b >⇔->-⇔>⇔>--b m b a m a +>+a m ab m b+<+ x 2ax x+≥22x a x ∴+≥x 22a x x ≥-+x ()22211x x x -+=--+ 0x >()2111x ∴--+≤1a ≥ 1a =1a ≥1a ≥1a =∴1a =x 2ax x+≥x z y 1830,59,515,x y z x y y z +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩2,2,8.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩8．A 【解析】根据题意，，则，即，当且仅当，即时，等号成立，此时，当取得最大值时，，分析可得，当时，取得最大值2．故选A ．9．ABD 【解析】由四边形为平行四边形可推得，A ，B ，D 均正确；选项C ，满足条件的四边形是菱形，而由四边形是平行四边形无法推出其是菱形．故选ABD ．10．BCD 【解析】对于A ，，，1是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以A 错误；对于B ，，由可得不等式解集为，所以B 正确；对于C ，当时，，，所以C 正确；对于D ，由题得，因为，所以，所以，所以不等式的解集是，所以D 正确．11．ABD 【解析】对于A ，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A 正确；对于B ，因为，所以，即与是相同的，所以，B 正确；对于C ，因为，所以，所以，即C 错误；对于D ，由于，而，故，即D 正确．故选：ABD ．三、填空题12．【解析】不等式，移项得，即，可化为2240x xy y z -+-=22224443z x xy y x y xy xy xy xy =-+=+-≥-=3z xy ≥224x y =2x y =22246z x xy y y =-+=xyz 2222132131211222622x y z y y y y y y ⎛⎫+-=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭12y =213x y z+-0a <2-20ax bx c -+=121ba-=-=21ca-⨯=b a =-2c a =-0b >0c >()22bx c bx b b x -=-=-0b >{}2x x >1x =-20ax bx c -+>0a b c ++>2220ax bx c ax ax a ++=-->0a <220x x --<12x -<<20ax bx c ++>{}12x x -<<A B B ⊕={},B x x A B x A B =∈∉ A B ⊆B A B A =∅A B ⊕=∅{},x x A B x A B ∅=∈∉ A B A B A B =A B A ⊕⊆{},x x A B x A B A ∈∉⊆ B A ⊆{}()(){}R R R R R R R R ,,A B x x A B x A B x x A B x A B ⊕=∈∉=∈∉ ðððððððð{},x x A B x A B =∈∉ {},A B x x A B x A B ⊕=∈∉ R R A B A B ⊕=⊕ðð324xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3112x x ->-31102x x -->-3402x x -<-，解得，则原不等式的解集为．13．7【解析】由，即，时，等式成立．所以，，当，时，的最小值是7．14．【解析】可将当时，有解转化头至少有一个负数解，构造，，画出图形，如图：当时，两个图象相交于点，要使其相交于轴左侧，则需满足，在的图象不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，对应的，解得，则，综上所述，．四、解答题15．【解析】（1），或，或．（2）因为．①当时，，即．②当时，，即，且等号不能同时取得，解得．()3204x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭324x <<324x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2x y+≤≤=4a =b =22142a b ++≥=27a b +≥4a =b =2a b +924a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭0x <22x x a +-<22x x a ->-22y x =-y x a =-2a =()0,2y 2a <y x a =-22y x =-22x x a -=-0∆=94a =-94a ≥-924a a a ⎧⎫∈-≤<⎨⎬⎩⎭{}11A B x x =-≤≤ {R 3B x x =<-ð}1x >(){R 3A B x x =<- ð}1x ≥-C A ÞC =∅21a a >+1a >C ≠∅21a a ≤+1a ≤21,15,a a ≥-⎧⎨+≤⎩112a -≤≤综上所述，．16．【解析】（1）依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元，所以收益，．（2）由（1）可知，，其中，当且仅当，即时，取等号．所以，所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元．17．【解析】（1），当且仅当时，等号成立．（2），当且仅当且，即，时，等号成立；即的最小值是．（3），所以，当且仅当且，即，时，等号成立．18．【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；12a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭()1081086622m x m x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭x ()162162727222m x x x m x ⎛⎫⎡⎤++=+++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦()()108162162627221062222y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+++-+++=-- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦020x ≤≤()16216210621102222y x x x x ⎡⎤=--=-++⎢⎥++⎣⎦020x ≤≤()16222362x x ++≥=+()162222x x +=+7x =()1621102211036742y x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦7x =()()()()()()222222222x y ya xb xy a b a b a b a b ya xb x y x y xyx y xy x y ++-+++++-=-=+++()()20xb ya xy x y -=≥+a bx y=()222244122235x y x y y x x y ++≥=++++2122x y y x =++22x y +=37x =87y =224122x y y x +++45()21214x y x y x y++=+≥+3x y +≥12x y =14x y x y+=+1x =2y =()210ax a x a +-+≥x 0a =0x ≥当时，则有解得．故实数的取值范围是．（2）不等式等价于，即，当时，不等式可化为，解集为；当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，．当时，，此时不等式解集为；当时，，此时不等式解集为；当时，，此时不等式解集为；当时，，此时不等式解集为．综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．（3）当时，因为，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为，关于的方程有四个不等实根，0a ≠()220,140,a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩13a ≥a 13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭()2132ax a x a a +-+<+()()21210ax a x a +--+<()()120ax a x ⎡⎤++-<⎣⎦0a =20x -<{}2x x <0a ≠1111a x a a+=-=--22x =0a >12x x <112x x a ⎧⎫--<<⎨⎬⎩⎭103a -<<12x x >121x x x a ⎧⎫<>--⎨⎬⎩⎭或13a =-12x x ={}2x x ≠13a <-12x x <112x x x a ⎧⎫<-->⎨⎬⎩⎭或0a ={}2x x <0a >112x x a ⎧⎫--<<⎨⎬⎩⎭103a -<<121x x x a ⎧⎫<>--⎨⎬⎩⎭或13a =-{}2x x ≠13a <-112x x x a ⎧⎫<-->⎨⎬⎩⎭或0m <11644m m -+≥=-11644t m m =+≤-18m =-x ()21164ax a x a m a m+-+=++()210a x a x t +--=x ()210a x a x t +--=即有两个不同正根，则由②③式可得，由①知：存在，使不等式成立，故，即，解得．故实数的取值范围是．19．【解析】（1），；，；，；，；，；，；，；，．（2）时，集合的有序基底集有22个，分别是：，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，．符合条件的有9个，故所求概率为．（3）当，其部分有序基底集在时，仍可作为有序基底集；当，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作为时的有序基底集；当，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作为()210ax a x t +--=()()21212140,10,0,a a t a x x a t x x a ⎧⎪∆=--->⎪-⎪+=->⎨⎪-⎪=>⎪⎩①②③1a >14t ≤-()2410at a +->()214104a a ⎛⎫⨯-+-> ⎪⎝⎭2310a a -+>a <a >a a a ⎧⎪>⎨⎪⎩{}1B ={}2C ={}1B ={}2,3C ={}2B ={}1C ={}2B ={}1,3C ={}3B ={}1,2C ={}1,2B ={}3C ={}1,3B ={}2C ={}2,3B ={}1C =4n =A {}1B ={}2,3C ={}3B ={}1,2C ={}1,2B ={}3C ={}2,3B ={}1C ={}1,4B ={}2C ={}1,4B ={}2,3C ={}2,4B ={}1C ={}2,4B ={}1,3C ={}3,4B ={}1,2C ={}1,2,4B ={}3C ={}1,3,4B ={}2C ={}2,3,4B ={}1C ={}1B ={}2,4C ={}1B ={}2,3,4C ={}2B ={}1,4C ={}2B ={}1,3,4C ={}3B ={}1,2,4C ={}1,2B ={}3,4C ={}1,3B ={}2,4C ={}2,3B ={}1,4C ={}1,2,3B ={}4C ={}4B ={}1,2,3C =922{}1,2,3,,A n = (),B C {}1,2,3,,,1A n n =+ {}1,2,3,,A n = (),B C B 1n +{}1,2,3,,,1A n n =+ {}1,2,3,,A n = (),B C C 1n +时的有序基底集；时，有序基底集还有，；，．从而证明：．{}1,2,3,,,1A n n =+ {}1,2,3,,,1A n n =+ {}1,2,3,,B n = {}1C n =+{}1B n =+{}1,2,3,,C n = ()()()22132f n f n f n +≤+≤+。
2020年长沙市高中必修一数学上期中试卷(附答案)
2020年长沙市高中必修一数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．38．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33211．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数的定义域是 .15．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.16．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.23．已知函数24()(0,1)2x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.24．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？25．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域15．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±120,423,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.16．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.17．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.18．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.19．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：13【解析】 【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax by +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上，把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果.【详解】Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上，把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13.【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <. ∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-即：242422x x x xa a a aa a a a ---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x xm +->- 令(2113)xt t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+， 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题. 24．（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.考点：1.函数建模；2.二次函数.25．（1）722x x⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）34.2p p><-或【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B时，可得B⊆A，分B为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x|0≤x≤}，∴A∩B={x|2＜x≤}；（2）当A∩B=B时，可得B⊆A；当时，令2p-1＞p+3，解得p＞4，满足题意；当时，应满足解得；即综上，实数p的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
长沙市一中高一第一次阶段性测试数学试卷
长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 试 卷满 分：120分 时间：100分钟 出卷人：艾简书 校对：任竞争一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将正确选项填在答卷上）1．有下列说法：（1）0{0}∈，（2）{1,2,3}{2,1,3}=，（3）集合{|45}x x <<可以表示成区间（4，5），其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．若{|0A x x =<<，{|12}B x x =≤<，则A B = （ ）A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．3．下图是气温y 与时间t 的函数关系图，从图中可知当气温0y <时，时间t 的范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,5)C ．(5,)+∞D ．(0,5)4．下列说法错误．．的一项是（ ） A ．2()1f x x =+是偶函数 B ．3()f x x =是奇函数C ．1()f x x=图象关于原点对称D ．2()21f x x x =++图象关于y 轴对称5．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） A ．{1,0,1}A =-，{1,0,1}B =-，:f A 中的数平方 B ．{0,1}A =，{1,0,1)}B =-，:f A 中的数求平方根 C ．A Z =，B Q =，:f A 中的数取倒数 D ．A R =，B Z =，:f A 中的数取绝对值 6．下列结论正确的一项是（ ） A ．120.990.99-->B ．33log 1.8log 1.7<C ． 1.81.733<D ．0.30.3log 1.8log 1.7<7．已知2,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 图象大致是（ ）8．已知()f x 为奇函数，且0x ≥时，()(2)f x x x =-，当0x <时，()f x 的表示式为（ ） A ．(2)x x -- B ．(2)x x -+ C ．)2(x x -D ．(2)x x --+9．某城市房价从1500元/m 2，经过4年时间增加到了6000元/m 2，则这4年间平均每年增长率是（ ）A ．1125元B ．100%C1D10．设a 、b 、c 均为正数，且122log a a =，121()log 2bb =，21()log 2cc =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<二、填空题（共5题，每题4分，共20分，请将正确答案填在答卷上）11．观察右图()y f x =图象得()f x 值域是 ．12．已知y k x b =+为R 上减函数，则2y kx b =+的递减区间是 ．13．函数y =的定义域是 （用区间表示）14．设{|2,1}xA y y x ==≥，12{|log ,1}B y y x x ==≤，则A B = .15．如图中正OAB ∆边长为4，动直线CD ⊥x 轴，设OC x =，CD 截三角形OAB 左边部分面积为y ，写出y 关于x 的解析式为 ．长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 答 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11． 12． 13． 14．15．三、解答题（共5题，每题12分，共60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题12分）画出下列函数的图像，并根据图像说出函数()y f x =的单调区间（1）256y x x =-- （2）y = 2x17．（本小题12分）化简或计算：（1÷（2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅18．（本小题12分）（1）已知xy a =图象过(2,4)，且()1x ag x b a =-+是奇函数，求()g x 解析式，（2）已知21()log 1xf x x-=+的定义域为(1,1)-,判定()f x 奇偶性并证明；19．（本小题12分）如图：要修建从居民区O 点到风景区P 点的公路，其中AB 是原有一条笔直的公路可供利用，从O 到A 修路造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ，当PD 长为l （1)2≤≤l ）时，该段造价为（l 2 + 1）a 万元，已知OA ⊥AB ，PB ⊥AB ，AB = 1．5km ，OA =km ．PB = 1 km,在AB 上求一点D 、使沿折线O →A →D →P 修建公路总造价最少？并求最小值20．（本小题12分）已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．（1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值．长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 试 卷 教师卷满 分：120分 时间：100分钟 出卷人：艾简书 校对：任竞争一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将正确选项填在答卷上）1．有下列说法：（1）0{0}∈，（2）{1,2,3}{2,1,3}=，（3）集合{|45}x x <<可以表示成区间（4，5），其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案：D2．若{|0A x x =<<，{|12}B x x =≤<，则A B = （ ）A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．答案：C3．下图是气温y 与时间t 的函数关系图，从图中可知当气温0y <时，时间t 的范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,5)C ．(5,)+∞D ．(0,5)答案：B4．下列说法错误．．的一项是（ ） A ．2()1f x x =+是偶函数 B ．3()f x x =是奇函数C ．1()f x x=图象关于原点对称D ．2()21f x x x =++图象关于y 轴对称答案：D5．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） A ．{1,0,1}A =-，{1,0,1}B =-，:f A 中的数平方 B ．{0,1}A =，{1,0,1)}B =-，:f A 中的数求平方根 C ．A Z =，B Q =，:f A 中的数取倒数 D ．A R =，B Z =，:f A 中的数取绝对值 答案：A6．下列结论正确的一项是（ ） A ．120.990.99-->B ．33log 1.8log 1.7<C ． 1.81.733<D ．0.30.3log 1.8log 1.7<答案：D7．已知2,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 图象大致是（ ）答案：A8．已知()f x 为奇函数，且0x ≥时，()(2)f x x x =-，当0x <时，()f x 的表示式为（ ）A ．(2)x x --B ．(2)x x -+C ．)2(x x -D ．(2)x x --+答案：B9．某城市房价从1500元/m 2，经过4年时间增加到了6000元/m 2，则这4年间平均每年增长率是（ ）A ．1125元B ．100%C1D答案：C 41500(1)6000x +=，1x = 10．设a 、b 、c 均为正数，且122log a a =，121()log 2bb =，21()log 2cc =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 答案：A 作有关图象可知二、填空题（共5题，每题4分，共20分，请将正确答案填在答卷上）11．观察右图()y f x =图象得()f x 值域是 ． 答案：[1,1]-12．已知y kx b =+为R 上减函数，则2y kx b =+的递减区间是 ． 答案：[0,)+∞13．函数y =的定义域是 （用区间表示） 答:[2,+）∞14．设{|2,1}x A y y x ==≥，12{|log ,1}B y y x x ==≤，则A B = .答案：{|2}y y ≥或[2,)+∞15．如图中正OAB ∆边长为4，动直线CD ⊥x 轴，设OC x =，CD 截三角形OAB 左边部分面积为y ，写出y 关于x 的解析式为 ．答案：22,02),24x x y x x <≤=⎨⎪-<≤⎪⎩三、解答题（共5题，每题12分，共60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16、画出下列函数的图像，并根据图像说出函数()y f x =的单调区间 （1）256y x x =-- （2）y = 2x解:1)图要求是开口向上的抛物线,两根要准确(-6与1) (4)减区间( 2.5( 2.5,)-∞+++∞，），增区间为..........................+2分 2)图要求是增函数,过定点(0,1),值域（0，+）∞ (4)增区间是（-∞+∞，）……………………+2分 17．化简或计算：（1÷ （2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅ 解析：原式=6ab ……………………+6分 2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅解析：原式=318lg52lg 2log 2242lg 2lg5+⋅=+=……………………+6分 18． （1）已知x y a =图象过(2,4)，且()1xag x b a =-+是奇函数，求()g x 解析式， （2）已知21()log 1xf x x-=+的定义域为(1,1)-,判定()f x 奇偶性并证明； 解析： （1）2a =，1b =．221()12121x x x g x -=-=++........................+6分 （2）()f x 为奇函数，证明略 (6)19．如图：要修建从居民区O 点到风景区P 点的公路，其中AB 是原有一条笔直的公路可供利用，从O 到A 修路造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ，当PD 长为l （1)2≤≤l ）时，该段造价为（l 2 + 1）a 万元，已知OA ⊥AB ，PB ⊥AB ，AB= 1.5km ，OA PB = 1 km,在AB 上求一点D 、使沿折线O →A →D →P 修建公路总造价最少？并求最小值解析： 设BD = x则PD =[1，2) ， AD = 1.5 – x， OA总费用yy a + （1.5 – x ）+2a（PD a)12+ a + （1.5 – x ）2aa x )1)1((22+++ (4)= a 21.522xx -++） =（x 2 –1124x + a （0)5.1≤≤x (4)当x= 14时，总造价最小为43(16y a = (4)1120．已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-． （1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 . 解析：（1）∵)(,131x f a ∴≤≤的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= (1)当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； (1)当1≤a 1<2时，a ∈（)(],1,21x f 有最大值M （a ）=f （3）=9a －5; …………+2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=∴).121(169),2131(12)(a a a a a a a g …………+2分 （2）设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ]21,31[)(在a g ∴上是减函数. …………+2分 设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ()11(,1]2g a ∴在上是增函数…………+2分. ∴当12a =时，()g a 有最小值21…………+2分．。
2020-2021学年湖南省长沙一中高一上学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)
【详解】
解：根据题意得： ， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合 中的元素，由 得 ，由子集的定义求解．
A． ，
B． ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为 或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式 的解后可得不等式 的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A， ，则 ，故 ，故A不成立.
对于B， ，则 ，
故 ，所以 ，故B成立.
对于C，设 ，其中 ，
对D：令 ，定义域为
所以函数为偶函数且在 单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则 ， ，
若 ，则 ， ，故 ；
若 ，则 ， ，故 ，故C成立.
对于D，由不等式 可得 或 ，
故 或 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数 ，则 ________.
【答案】8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
!#"-1!"4#z)1!#&#!&2
$ )
1!#
&2
" %
#
2
" #
$
" #
!
槡 *+&
!#&#!&2
$ )
$槡##!
3%!&"TJy@&槡##28"! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj "#i
"*!,-!"",/C0
,&+2/ 0 1(#$2(#11!!,,#$
槡 !#"$#2
" *
'#$
$#$
" *
1
#$$!
'#2
" *
'
#$'!
.#2
" *
'
# $.!
#$#2'#2.#2
1#&* .=>!
8
,#&!$&2"'+#&$!"?&'
$ #
#&&+?&'#*
,=>!
./0+
"$!)!,-%%+1%#1)*%&@)!
"%!+!""# !,-*)+!1*1*$1+AB/C!
!1*+*4,+1!"#*1
[\]+T"+X#]^+T"&X#_+PQ*S"`Z'X#Pa`Z"'X#S
a`Z"'X!
,bcF#d+PSe+aPTfg'+!!"&2"+2'2'2'2'2$"1)!
1,%+
"(!,-!""8 +%&#!#&!$$+#!&2""!&!$"$+#!"$&$$#
h+1(&,!"$&$$)!jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj #i 8*%&#!#,&2,#!"$+%&&!!,!""'$&&!!,2""'$+ #,!"$&$,2"#h*1(&,,!"$&$,2")!jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj %i
!"#$%&''()*%$%'+$%,-./01
!"#$%&
'()*+
" # $ % & ' ( ) * "+ "" "#
, - , . - / - / -/ -, ., /.,
&!-!,-0"#"+"#!##1#$2&2# 槡$2# 槡$2$!#$2&2#槡$ 槡$2&
#+!,-!""0#$2'1#$'#.$"
2
# '
1#!
3$2#'1
" #
$!$2#'"$
" $
2'#
1
" #
&2#$'2#'$
!
0#$'2#'$'%#3$2#''
* #
!
1231#$'1#'$#h$1'1
$ #
4#67st!jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
'i
#
# #
,1!"# (1"!
9(,&2#; #
#
2
( %
"+!
!"#$%&!'()"!!#
h(,&2#"+T-{@ ! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj &i !#"$&#!!"2$"&2"1!$&!""!&!"""+!
"41$&+#^6|%!!$&2""!&!""&+#$" &&&"! jjjjjjjjjjjjjjjjjjj (i #41$1+#^6|!&2""+#&&"! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj *i
$'&"((3&!)1$!''!'"!"* /=>!8 .<&1(2$((+$$&"!
"41+$$&+!&4&2
&2
" #
1#&1#(!
#41+!&$$&"4&2
&2
" #
1(2(2"
#&1#(2#$1#(2"3&2
&2
" #
+#+1*# ,!2"1"1,$!#"##n4 , p-#h^qKr! ,#N./Cst!jjjjjjjjjj "+i
")!,-!""h#--&2
$ )
"+#8&(
ust!
"41-1+#AB+jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj #i
#41-++4#-"+#-#!$-&+#+&-&$! &+ DE%+$-&$4#v!%!&"Twxy@ ! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 'i
$41+&$&"4#$" ""#
9!$&!""!&!"""+#&&"?&"$" ! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj ""i
DE}~%""1$&+4#^6|T-{@
&
" $
&&&"
!
#"1$1+4#^6|T-{@(&,&&")!
$"1+&$&"4#^6|T-{@ & &&"?&"$" ! jjjjjjjjjjjjjjjjjj "#i
+-*1
&,!
$ #
$&$$
#9
,!"1!
$ #
#h
,1!
" #
!
klmAB/C! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj &i
!#"+#+.*#
,!"$!"#n4 $$,2"#
,
op-!h^qKr!
,#N./Cst!
jjjjjjjj
"+i
+#*.+# ,!2"$"$,$!#"##+$,$#! jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj "+i
3%
$ #
1%
" %
1$""'!""'"1!
" &
*+
-!
)!/!,-,/0$1'$2!'""+#+&'&$!
#$2#'1'$2!'"2#'1'2%"2#'2"!$'%槡#!$!
1231'2%"1#'2"#'1槡#!"(+$4567*+ /!
*!-/
"+!-,
""!., "#!/.,!,-8 -5&1+!&9#&1"#&1+* - :;!8/<&1(2$((+$$&")1(2'+