2020年初中数学总复习 (第一章 数和式) 学案

第一章 数与式 第一节 实数及其运算一、实数的分类：按定义分：有理数：整数正整数0 负整数分数 正分数 (有限小数和负分数 无限_______小数）无理数: 正无理数负无理数 (无限______小数）按大小分：____ 正整数正分数0 （ 0既不是也不是负数）负数 负整数负分数注意：1.有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数：（1）开方开不尽的数，如2、3、5、32等 （2）含有根号的三角函数值，如45sin °、sin60°等。

（3）特定结构的无限不巡环小数，如1.101001000100001……；（相邻两个1之间依次多写1个0） （4）π及化简后含π的数、如π+3，3π等 （判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

）3、____即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； 二、实数的相关概念（一）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

1、三要素： ________、_______、_________2、数轴上的点和实数是一一对应的应关系：数轴上的每一个点都表示一个_______，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的______来表示。

3、在数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数_____。

4. 数轴上两点之间的距离，即两点所表示数的差的______。

（二）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

1.非零实数a 的相反数是_______； 0的相反数还是______；2. a 和b 互为相反数⇔a+b=______3.几何意义：数轴上表示相反数（0除外 ）的两个点在原点______，且到原点的距离______。

（三）绝对值：231.一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a正数的绝对值是其____，0的绝对值是_____，负数的绝对值是它的______；绝对值最小的数是___。

2. 几何意义：数轴上表示这个数对应的点到原点的______，离原点越远的数绝对值越_____。

（四）倒数：乘积为1的两个数互为倒数1. 实数a （a≠0）的倒数是__________；注意：0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和-1。

2. a 和b 互为倒数⇔ab=__________ 三、科学记数法.用科学记数法把一个数表示成a×n10的形式，关键是确定a 和n 的值1、确定a ：____ ≤ a ＜______，n 为整数：2、确定n ：原数≥10时,n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1或原数变为a 时小数点向左移动的位数。

当0<原数<1时。

n 为负整数,n 的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前的零的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a 时小数点向右移动的位数。

如640000 科学计数法表示为__________常考的计数单位有1千=___。

1万=____，1亿=_____。

常考的计量单位有1微米=______米。

1纳米=_______米等 3、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。

精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。

四、实数大小的比较1、数轴比较法：在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、类别比较法：正数>0>负数；正数大于一切负数；两个负数比大小，________大的反而小；如 -3_____-23、平方比较法：)0(___2>>⇔>b a b a b a （主要用于二次根式估值及含有根式的大小比较）4、作差比较法：a -b>0 <=> a ___b; a -b<0 <=> a ___b; a -b=0 <=> a ___b;5、作商比较法：设a ，b 为正数，若1>b a ，则 a ___b ；若1=b a ，则 a ___b ；若1<ba，则 a ___b ； 五、四则运算 （一）加法 1. 加法法则（1）同号两数相加:取相同的符号，并把绝对值_____；（2）异号两数相加:取绝对值较大的符号，并用较大数的绝对值______较小数的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得_____（4）一个数与0相加，仍得这个数.即a+0= ______2， 加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=______ ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+________. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a -b=a+________. （三）乘法 1.、乘法法则：（1）两数相乘，同号为____，异号为______，并把绝对值______； （2）任何数同零相乘都得_____；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为____；各个因数都不为零，积的符号由______因数的个数决定. 2、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab = ba ； （2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . （四）除法: 除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

即a÷b=a×____(b≠0) （3）0除以任何数都等于_____，0不能做被除数。

无意义即0a六、常考运算 （一）乘方： 1.乘方的定义：（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方；2）乘方中，相同的因数叫做_____，相同因数的个数叫做_______，乘方的结果叫做______； 2、乘方的运算性质：① 正数的任何次幂都是______；① 负数的奇次幂是_____，负数的偶次幂是_____；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b -a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a -b)n =(b -a)n . ① 任何数的偶数次幂都是非负数；① 1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；① -1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；（-1) 2019 =______;(-1)2020= _______① 零次幂：a 0 =____(a≠0),如（_______)23(0=-）① 负整指数幂：a -p = ________(a≠0,p 为正整数），特别地，a -1= ________(a≠0）。

如2-1= ________，（-2）-1= ________，121-⎪⎭⎫ ⎝⎛= ________，121-⎪⎭⎫⎝⎛-=__________① 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

=⨯⨯⨯⨯444844476K K an a a a a 个指数 底数（二）去绝对值符号：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-)____()(0)___(b a b a b a b a 如_____23=-去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

（三）算术平方根和立方根：_______12______,9______,8_____,4====______27_______,833==（四）特殊的三角函数值：sin30°= cos___=____, sin60°= cos___=____,sin45°= cos___=____,tan30°=____,tan45°=____,tan60°=____, 七、实数的混合运算1. 先将每个小项的值计算出来。

2. 再根据实数的运算顺序计算。

（1）先___后加减；（2）有括号时先计算_______的；（3）同级运算按照从__到___的顺序进行运算第二节 数的开方及二次根式一、算术平方根，平方根，立方根1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作。

0的算术平方根为____；从定义可知，只有当a____0时,a 才有算术平方根。

即 实数a （a≥0）的算术平方根为，算术平方根等于本身的数为________2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。

即实数a （a≥0）的 平方根为______，正数有____个平方根（一正一负）它们互为相反数； 0只有一个平方根，就是它本身；负数______平方根。

3, 立方根： 实数a 的立方根为_____（a 为任意实数），立方根只有____个，正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根等于本身的数为_______. 二、二次根式 （ 一）有关概念：1. 二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。

有意义的条件_______________a a2. 最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

最简二次根式满足两个条件： 1.被开方数不含分母，2。

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3. 同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

如:________4. 分母有理化：把分母中的________化去叫做分母有理化。

5. 有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 与a ；d c b a +与d c b a -）（二）二次根式的性质：1、双重非负性：二次根式a ①被开方数a ≥0，①a ≥022、)0()(2≥=a a a ；3、⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a aa a a a ；4、b a ab ⋅=（a≥0，b≥0）；5、)0,0(≥≥=b a ba b a （三）、运算：1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

2、二次根式的乘法：ab b a =⋅（a≥0，b≥0）。

3、二次根式的除法：)0,0(≥≥=b a baba 二次根式运算的最终结果如果不是最简二次根式，要化成最简二次根式。

（五）.估值 1、先对根式平方，如()772=2、找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9。

3、对以上两个整数开方，如39,24==4、确定这个根式的值在开放后所得的两个整数之间，如 2 <7<3第三节 代数式与整式一、列代数式及其求值。