整数规划简介

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4.1
整数规划的数学模型
4.2
分枝定界法
4.3
指派问题
4.4
指派问题的Excel处理
4.1 整数规划的数学模型
4.1.1 案例
• 例4.1 某厂生产A、B两种产品,这两种 产品的单位利润分别为25元和40元。
• 生产每种产品都需要3道工序,其各种产 品的工时(单位:时)、每一工序每周可 供使用的时间如表4.1所示,问工厂如何安 排生产,使其获利最大?
4.1.2 整数规划数学模型的一般形式
• 整数规划数学模型一般可以表示如下:
• 式中opt即optimize(最优化)的缩写,根 据问题要求不同,可以表示为max(最大化) 或min(最小化)。
• 整数规划可分为以下3种类型。
(1)纯整数规划(pure integer linear programming)
• 例如,所求解是机器的台数、工人的人 数或装货的车数、场址的选定等,都必须 部分或者全部满足整数要求,这样的问题 称为整数线性规划问题,简称为整数规划, 记为ILP。
• 整数规划的应用范围是极其广泛的,它 不仅在工业、工程设计和科学研究方面有 许多应用,而且在计算机设计、系统可靠 性、编码、经济分析等方面也有新的应用。
• 因此不能简单地将松弛问题的最优解舍 入化整(如四舍五入),得出整数规划的 最优解。
• 通过仔细分析,从图4.1可知,整数规划 问题的可行解集是相应的线性规划问题的 可行域内的整数格子点,它是一个有限集。
• 因此,我们可以用另一种方法进行讨论, 即将所有的可行解依次代入目标函数,比较 所得的目标函数值的大小,从而得到最优解。
• 在这类决策问题中,问题是在“要”或 者“不要”之间进行选择,我们可以令决 策变量是整数,且只取0或1,分别表示不 投资或者投资。
• 假定cj代表第j项投资得到的收益,aij是用 于第j项投资的第i项资源的数量,bi为第i种 资源的限制,则上述问题可列成下式:
• 由于所有的变量都只能取0或1,所以,这 样的整数规划问题称为0—1规划。
• 解 设、分别是A产品和B产品的周产量, z为这两种产品每周总的利润。
• 根据题意,建立模型如下:
• 其中,max是英文maximize(最大化) 的缩写。
• 由于所有变量要求取整数,故称它为全 整数规划问题。
• 例4.2 我们要做投资决策,就是对几个潜 在的投资方案做出选择,若投资决策可以 是在可行的几个厂址中做出选择;或设备 购置的选择;或对一组研究和发展项目做 出决定。
• 这种表达式实际上是将x2在3和4间的小数 部分划掉了,把可行域RO分成了R1和R2,显 然这种分法把原来线性规划的解(2.25,3.75) 排除出去了,但没有排除任何整数可行解, 这一过程称为分枝,
• 即用两个矛盾的约束条件式(4-3)分别 代入原问题式(4-1)形成两个子问题ILP1 和ILP2:
② 整数规划无可行解。
③ 有可行解(当然就存在最优解),但最 优解值一定不会优于原线性规划的最优值。
(2)整数规划最优解不能按照实数 最优解简单取整而获得。
• 例4.5 已知整数规划问题:
• 解 如果先不考虑整数条件,得到如下线 性规划问题(称为松弛问题):
图4.1 例4.5
• 在B点得到最优解:
• 解 ILP1的松弛问题LP1,得到 x1 = 1.8, x2 = 4, z = 41。
• 解 ILP2的松弛问题LP2,得到 x1 = 3, x2= 3, z2 = 39。
(2)混合整数规划(mixed integer liner programming)
(3)0—1型整数规划(zero—one integer liner programming)
ห้องสมุดไป่ตู้
• 整数规划特点如下。
(1)原线性规划有最优解,当自变 量限制为整数后,其整数规划解出现 下述情况。
① 原线性规划最优解全是整数,则整数规 划最优解与线性规划最优解一致。
第4章 整数规划简介
学习方法
了解整数规划的数学模型的特点。 掌握整数规划的分枝定界法。 学会指派问题及其求解方法。
• 整数规划(Integer Linear Programming, ILP)可分成线性部分和整数部分,并常 常把整数规划作为线性规划的特殊部分。
• 在线性规划问题中,有些最优解可能是 分数或小数,但对于某些具体问题,常要 求解答必须是整数。
• 这个方法称为完全枚举法。
• 如上例有整数可行解和目标函数值:
• 经过比较,所以得到最优解x1 = 0, x2 = 2, 目标函数最优值z = 10。
4.2 分枝定界法
• 整数规划,除少数可以用完全枚举法或 用线性规划的单纯形法直接求解,一般整 数规划必需寻找新的求解方法。
• 常用的求解整数规划的方法有分枝定界 法、割平面法等,对于特别的0—1规划问 题的求解,可以采用隐枚举法和匈牙利法。
• 这里我们仅介绍整数规划的分枝定界法, 它也可以用于求解混合整数规划问题和0—1 规划问题。
4.2.1 案例
• 例4.6 求解下述整数规划。
•解
(1)首先,我们注意到式(4-1)的可 行解集为图4.2中阴影部分内的整数格 子点组成的集合,暂时不考虑整数限 制条件(5)。
图4.2 例4.6
• 解相应的线性规划(1)~(4),即式 (4-1)的松弛问题LP:
x1
2, x2
9 ,且有 5
z
11。
• 再考虑整数条件: • 如将x2凑成整数,x2 = 2,则点(2, 2)落 在可行域外,不是可行解;若将x2凑成整 数1,但点(2, 1)不是最优解。
• 因为当x1 = 2,x2 = 1,得到z = 7,而当 x2 = 0, x2 = 2,得到z = 10,显然点(0, 2) 比点(2,1)更好。
• 得最优解 x1 = 2.25, x2 = 3.75, z0 = 41.25
(2)其次,我们注意到线性规划式
(4-2)的解x1、x2具有小数,但这两
个变量在式(4-1)中都必须是整数, 那就是说必须把小数部分“划掉”。
• 我们注意到,对x2=3.75而言(对x1也是 如此),最终的最优解不会在3和4之间取 值,亦即必然有:
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