整数规划简介

• 这里我们仅介绍整数规划的分枝定界法， 它也可以用于求解混合整数规划问题和0—1 规划问题。
4.2.1 案例
• 例4.6 求解下述整数规划。
•解
（1）首先，我们注意到式（4-1）的可 行解集为图4.2中阴影部分内的整数格 子点组成的集合，暂时不考虑整数限 制条件（5）。
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图4.2 例4.6
• 解相应的线性规划（1）～（4），即式 （4-1）的松弛问题LP：
第4章 整数规划简介
学习方法
了解整数规划的数学模型的特点。 掌握整数规划的分枝定界法。 学会指派问题及其求解方法。
• 整数规划（Integer Linear Programming, ILP）可分成线性部分和整数部分，并常 常把整数规划作为线性规划的特殊部分。
• 在线性规划问题中，有些最优解可能是 分数或小数，但对于某些具体问题，常要 求解答必须是整数。
② 整数规划无可行解。
③ 有可行解（当然就存在最优解），但最 优解值一定不会优于原线性规划的最优值。
（2）整数规划最优解不能按照实数 最优解简单取整而获得。
• 例4.5 已知整数规划问题：
• 解 如果先不考虑整数条件，得到如下线 性规划问题（称为松弛问题）：
图4.1 例4.5
• 在B点得到最优解：
• 这个方法称为完全枚举法。
• 如上例有整数可行解和目标函数值：
• 经过比较，所以得到最优解x1 = 0, x2 = 2， 目标函数最优值z = 10。
4.2 分枝定界法
• 整数规划，除少数可以用完全枚举法或 用线性规划的单纯形法直接求解，一般整 数规划必需寻找新的求解方法。
• 常用的求解整数规划的方法有分枝定界 法、割平面法等，对于特别的0—1规划问 题的求解，可以采用隐枚举法和匈牙利法。
x1
2, x2
9 ,且有 5
z
11。
• 再考虑整数条件： • 如将x2凑成整数，x2 = 2，则点（2, 2）落 在可行域外，不是可行解；若将x2凑成整 数1，但点（2, 1）不是最优解。
• 因为当x1 = 2，x2 = 1，得到z = 7，而当 x2 = 0, x2 = 2，得到z = 10，显然点（0, 2） 比点（2,1）更好。
4.1.2 整数规划数学模型的一般形式
• 整数规划数学模型一般可以表示如下：
• 式中opt即optimize（最优化）的缩写，根 据问题要求不同，可以表示为max（最大化） 或min（最小化）。
• 整数规划可分为以下3种类型。
（1）纯整数规划（pure integer linear programming）
• 解 ILP1的松弛问题LP1，得到 x1 = 1.8, x2 = 4, z = 41。
• 解 ILP2的松弛问题LP2，得到 x1 = 3, x2= 3, z2 = 39。
• 在这类决策问题中，问题是在“要”或 者“不要”之间进行选择，我们可以令决 策变量是整数，且只取0或1，分别表示不 投资或者投资。
• 假定cj代表第j项投资得到的收益，aij是用 于第j项投资的第i项资源的数量，bi为第i种 资源的限制，则上述问题可列成下式：
• 由于所有的变量都只能取0或1，所以，这 样的整数规划问题称为0—1规划。
（2）混合整数规划（mixed integer liner programming）
（3）0—1型整数规划（zero—one integer liner programming）
• 整数规划特点如下。
（1）原线性规划有最优解，当自变 量限制为整数后，其整数规划解出现 下述情况。
① 原线性规划最优解全是整数，则整数规 划最优解与线性规划最优解一致。
• 例如，所求解是机器的台数、工人的人 数或装货的车数、场址的选定等，都必须 部分或者全部满足整数要求，这样的问题 称为整数线性规划问题，简称为整数规划， 记为ILP。
• 整数规划的应用范围是极其广泛的，它 不仅在工业、工程设计和科学研究方面有 许多应用，而且在计算机设计、系统可靠 性、编码、经济分析等方面也有新的应用。
• 得最优解 x1 = 2.25, x2 = 3.75, z0 = 41.25
（2）其次，我们注意到线性规划式
（4-2）的解x1、x2具有小数，但这两
个变量在式（4-1）中都必须是整数， 那就是说必须把小数部分“划掉”。
• 我们注意到，对x2=3.75而言（对x1也是 如此），最终的最优解不会在3和4之间取 值，亦即必然有：
• 解 设、分别是A产品和B产品的周产量， z为这两种产品每周总的利润。
• 根据题意，建立模型如下：
• 其中，max是英文maximize（最大化） 的缩写。
• 由于所有变量要求取整数，故称它为全 整数规划问题。
• 例4.2 我们要做投资决策，就是对几个潜 在的投资方案做出选择，若投资决策可以 是在可行的几个厂址中做出选择；或设备 购置的选择；或对一组研究和发展项目做 出决定。
• 因此不能简单地将松弛问题的最优解舍 入化整（如四舍五入），得出整数规划的 最优解。
• 通过仔细分析，从图4.1可知，整数规划 问题的可行解集是相应的线性规划问题的 可行域内的整数格子点，它是一个有限集。
• 因此，我们可以用另一种方法进行讨论， 即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数值的大小，从而得到最优解。
4.1
整数规划的数学模型
4.2
分枝定界法
4.3
指派问题
4.4
指派问题的Excel处理
4.1 整数规划的数学模型
4.1.1 案例
• 例4.1 某厂生产A、B两种产品，这两种 产品的单位利润分别为25元和40元。
• 生产每种产品都需要3道工序，其各种产 品的工时（单位：时）、每一工序每周可 供使用的时间如表4.1所示，问工厂如何安 排生产，使其获利最大？
• 这种表达式实际上是将x2在3和4间的小数 部分划掉了，把可行域RO分成了R1和R2，显 然这种分法把原来线性规划的解（2.25,3.75） 排除出去了，但没有排除任何整数可行解， 这一过程称为分枝，
• 即用两个矛盾的约束条件式（4-3）分别 代入原问题式（4-1）形成两个子问题ILP1 和ILP2：