平衡方程
平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
平衡方程应用6
15
§3—2 平衡方程及其应用
解（1）选取研究对象 ，画受力图
FAC
FCA
16
§3—2 平衡方程及其应用
２、建立坐标系列出平衡方程
∑F x＝0 ， －W cos45°－FＡＣ－FＴ cos15°－FＡＢ cos75°＝0 ∑Fｙ ＝0， －W sin 45°＋FＴsin15°+ F2 平衡方程及其应用
二力矩式：
Fx 0 FAx FB cos45 0
M A 0 Fa M FB sin 45 3a 0 M B 0 FAy 3a F 2a M 0
12
§3—2 平衡方程及其应用
三力矩式：
M A 0 Fa M FB sin 45 3a 0 M B 0 FAy 3a F 2a M 0 M D 0 FAx 3a Fa M 0
M A 0 W1maxa W (e b) 0 W (e b) W1 max 375 kN a
361 kN W1 375kN
25
§3—2 平衡方程及其应用
(2) 取起重机为研究对象，画出受力图,取y轴 向上为正，列出平衡方程
M A 0 W1a FBb W (e b) F (l b) 0
13
§3—2 平衡方程及其应用
3-2-2、平面力系的几种特殊情形 1、平面汇交力系
Σ FX=0 Σ Fy=0
14
§3—2 平衡方程及其应用
例题3-3起重架可借饶过滑轮A的绳索将重 W=20KN的重物吊起，滑轮A用AB及AC两杆支承。 设两杆的自重及滑轮A的大小，自重均不计， 求杆AB，AC的受力。
化学反应中的物质平衡方程式
化学反应中的物质平衡方程式化学反应是自然界中最为基本和普遍的过程之一。
无论是大自然中的生态系统和生物体内，还是人类社会中的很多生产和制造过程，都需要与化学反应相关的知识。
而物质平衡方程式作为反应方程式的重要组成部分，对于理解化学反应的本质、规律和应用都有着极其重要的作用。
一、什么是物质平衡方程式物质平衡方程式简称平衡方程式，是用化学符号表示化学反应中反应物和生成物的分子式、化学量以及其之间的反应比例关系的化学方程式。
通常由一个反应箭头和两侧的反应物和生成物组成。
例如，下列方程式：H2(g) + O2(g) → H2O(l)表示的是氢气和氧气反应生成水的化学反应，其中H2和O2表示反应物，H2O表示生成物，箭头表示反应的方向和方式，括号内的(g)和(l)分别表示气态和液态状态。
二、物质平衡方程式的基本法则化学反应中，反应物的摩尔数（或质量）和生成物的摩尔数（或质量）之间应当保持一定的比例关系。
也就是说，在反应过程中，反应物和生成物的摩尔数（或质量）应当保持不变，且与反应物的化学量之间存在一定的比例关系。
这就是物质平衡方程式的基本法则。
例如，如下化学反应：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(l)其中，左侧2mol的氢气和1mol的氧气反应生成2mol的水。
反应过程中，反应物和生成物的摩尔数之和相等，即：2mol H2 + 1mol O2 = 2mol H2O在实际的化学反应中，由于反应物和生成物的实际组成往往是不确定的，为了确定反应过程中的总体量和总量变化，需要通过物质平衡方程式列出反应物和生成物之间的化学量关系，进而推导出摩尔数、质量等相应的参数。
三、物质平衡方程式的应用物质平衡方程式在化学工业、环境保护、食品加工、医药制造、生物工程等众多领域中都有广泛的应用。
以化学工业为例，石油化工、钢铁冶炼、电力生产、化肥生产等都需要物质平衡方程式的支持和指导。
例如，在高温高压条件下进行煤气化反应，需要控制反应物的比例和反应温度、压力等因素，以保证反应物产率和质量。
第3章 弹性力学基础知识-1弹性力学的平衡
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
动力平衡方程
动力平衡方程
动力平衡方程是力学中的基本原理之一，它描述了物体在平衡状态下所受到的各种力的平衡关系。
根据牛顿第二定律，一个物体所受到的合力等于其质量乘以加速度。
而根据动力平衡方程，一个物体所受到的所有力的合力为零，因此可以得出物体的加速度为零，也就是物体处于静止状态或匀速直线运动状态。
动力平衡方程通常表示为F=0，其中F代表合力。
在实际应用中，可以通过分析物体所受到的各种力的大小和方向，来求解动力平衡方程中的未知量，例如物体所受到的支持力、摩擦力等。
动力平衡方程在工程学、物理学、建筑学等领域都有广泛的应用，是理解物体力学特性的基本概念之一。
- 1 -。
平面力系的平衡方程
平面力系的平衡方程平面力系是物理学中一个重要的概念，它描述了在平面内作用的多个力之间的关系。
平面力系的平衡方程是研究平面力系平衡状态的基本工具。
本文将从平面力系的定义、平衡条件以及平衡方程的推导和应用等方面进行论述。
一、平面力系的定义平面力系是指在平面内作用的多个力所构成的力系统。
这些力可以是来自不同方向的，也可以是来自同一方向的。
平面力系的特点是力的作用线都在同一平面内。
二、平衡条件平面力系的平衡条件是指力系中所有力的合力为零，力矩也为零。
力的合力为零意味着力系中所有力的矢量和为零，即ΣF=0。
力的合力为零是平衡的必要条件，但不是充分条件。
力矩为零意味着力系中所有力对某一点的力矩的矢量和为零，即ΣM=0。
力矩为零是平衡的充分条件。
三、平衡方程的推导平衡方程的推导基于牛顿第二定律和力矩的定义。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，反向相反。
对于平面力系，可以将合外力分解为水平方向和垂直方向的分力。
设水平方向的合外力为ΣFx，垂直方向的合外力为ΣFy。
根据牛顿第二定律，物体在水平方向和垂直方向的加速度分别为a_x和a_y，则有ΣFx=ma_x，ΣFy=ma_y。
对于力矩的定义，力矩等于力的大小与力臂的乘积。
力臂是指力作用线与某一点的垂直距离。
设力F_i的力臂为r_i，则力F_i对该点的力矩为M_i=F_i*r_i。
根据力矩的定义，平面力系中所有力对该点的力矩的矢量和为零，即ΣM=0。
四、平衡方程的应用平衡方程可以用于解决平面力系的平衡问题。
通过列写平衡方程，可以求解未知力的大小和方向。
在列写平衡方程时，需要选择合适的坐标系，并确定参考点。
参考点的选择应该便于计算力矩，通常选择力系中力的作用点或力的交点作为参考点。
在实际应用中，平衡方程可以用于解决各种平面力系的平衡问题。
例如，可以用平衡方程来分析悬挂物体的平衡状态，计算悬挂绳的张力和物体的重力。
还可以用平衡方程来分析桥梁、建筑物等结构的平衡状态，计算支撑力和应力分布等。
平面汇交力系几个平衡方程
平面汇交力系几个平衡方程现在，平衡是现代物理学中一个重要的概念。
在人类的生活中，平衡是一个不可缺少的因素。
在物理学上，平衡的概念更加重要，它是物理学的基础，受到许多科学家的关注。
例如，在平面汇交力学中，平衡受到了演出表面质量，场面施加外力，场面施加旋转力和扭转力等多种因素的影响。
有关平面汇交力学的平衡方程有许多，其中有几个重要的平衡方程如下：首先是平衡方程，它规定：总力等于零。
由此可见，所有施加在平面上的力必须平衡，一方增加，另一方必须减少，以保持平衡。
其次是动量方程，它的定义为：旋转力的总动量等于零。
由此可见，不论是外力，旋转力还是质量，运动的总动量必须相等。
再次是摩擦力方程，它规定：摩擦力等于外力和旋转力之和。
它强调了摩擦力和平衡之间的关系，摩擦力是外力和旋转力的一种综合体，是实现平衡的必要因素。
最后是扭转力方程，它的定义为：扭转力的总动量（include其质量）等于零。
它提到了扭转力和平衡之间的关系，如果质量和扭转力的总动量不平衡，则不能达到平衡。
平衡在物理学上的意义很重要，它和我们生活中平衡的概念一样，都是为了确保物理形态处于一种稳定的状态。
在平面汇交力学中，上述几个平衡方程对于理解和研究多种力之间的关系至关重要，在实际工程应用中，它们也是非常有用的。
通过运用平衡方程，人们可以更好地了解物理模型，实现各种物料的平衡，并且能够建立起更加稳定的系统。
综上所述，做为物理学的基础，平衡在物理学上的重要性不言而喻。
在平面汇交力学中，有几个重要的平衡方程受到了许多科学家的关注，它们是实现物理模型的平衡以及建立稳定系统的基础。
并且，它们也在实际工程应用中发挥着重要作用。
相平衡方程表达式
相平衡方程是物理学中一个重要的概念，它涉及到系统处于平衡状态时，各组分之间的物质平衡关系。
相平衡方程的表达式是一个重要的工具，可以用来描述一个系统中所有相之间的平衡热力学关系，并指导我们更好地理解和刻画系统的性质和行为。
相平衡方程表达式包括以下两个方程式：
1. 化学势平衡方程：
μ_i = μ_i^o + RT ln a_i
其中，μ_i表示组分i的化学势，μ_i^o指标准化学势，在标准状态下组分i的化学势值，R 为气体常量，T为温度，a_i为组分i的活度。
化学势平衡方程描述了在化学反应中每一个组分的化学能量在平衡时必须相等，因此可以形成一个化学势平衡方程，该方程可用于刻画系统中化学反应的平衡。
2. 物相平衡方程：
μ_A = μ_B + RT ln (P_A/P_B)
其中，μ_A和μ_B分别指两个不同物质的化学势，P_A和P_B代表两个物质在体系中的物质量。
这个物相平衡方程主要用于研究气液平衡和液液平衡，在热力学中有重要应用。
总而言之，相平衡方程表达式是描述化学反应和相平衡中组分的间相互关系的一个重要工具。
它通过建立实际系统和平衡系统之间的平衡关系，帮助我们更好地理解和刻画系统的性质和行为，在物理学和化学研究中有着重要应用。
平衡方程应用
第三章平衡方程的应用第一节静定问题及刚体系统平衡一、静定与静不定问题在刚体静力学中，当研究单个刚体或刚体系统的平衡问题时，由于对应于每一种力系的独立平衡方程的数目是一定的（见表3-1），所以，当研究的问题其未知量的数目等于或少于表3-1 各种力系的独立方程数独立平衡方程的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。
若未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题（或称超静定问题），而总的未知量数与独立的平衡方程数两者之差称为静不定次数，图3－1所示的平衡问题中，已知作用力F，当求二个杆的内力（见图a、b）或二个支座的约束反力（见图c）时，这些问题都属于静定问题；但是工程中为了提高可靠度，有时采用图3－2所示系统，即图a、b中增加1根杆，图c增加1个滚轴支座，这样未知力数目均增加了1个，而系统独立的方程数不变，这样这些问题就变成了一次静不定问题。
图3－1 静定问题图3－2 静不定问题静不定问题仅用刚体静力平衡方程是不能完全解决的，需要把物体作为变形体，考虑作用于物体上的力与变形的关系（见本书第二篇），再列出补充方程来解决。
在关于静不定问题的求解，已超出了本章所研究的范围。
二、刚体系统的平衡问题由若干个物体通过约束联系所组成的系统称为物体系统，简称为物系。
本篇讨论刚体静力学，将物体视为刚体，所以物体系统也称为刚体系统。
当整个系统平衡时，则组成该系统的每一个刚体也都平衡，因此研究这类问题时，既可取系统中的某一个物体为分离体，也可以取几个物体的组合或取整个系统为分离体。
一旦取出分离体后，该分离体以外物体对于这个分离体作用的力称为外力，分离体系统内各物体间相互作用的力称为内力。
在研究刚体系统的平衡问题时，不仅要分析外界物体对于这个系统作用的力（外力），有时还需要分析系统内各物体间相互作用的力（内力）。
由于内力总是成对出现的，因此，当取整个系统为研究对象时，可不考虑其内力。
空间力系的平衡方程式及其应用
即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，
M x (F ) 0 ， M y (F ) 0， M z (F ) 0 。于是，空间汇交力系的平衡方程
只有三个，即
Fx 0
Fy
0
Fz
0
（3-18）
（2）空间平行力系
若取z轴平行于力系中各力的作用线，则 Oxy 坐标面与各力作用线
衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢
都等于零。即
FR 0
MO 0
根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成
空间任意力系平衡的必要与充分条 件是：力系中各力在任一直角坐标 系中每一轴上的投影的代数和等于 零，以及各力对每一轴的矩的代数 和也等于零。
Fx 0
Fy 0
式中，负号表明 FB ，FC 的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。
例3-4
O1 和 O2 圆盘与水平轴 AB 固连，O1 盘垂直于z轴，O2 盘垂直于x轴，
力的矢量和。
即
FR F1 F2 Fn Fi （3-11）
图3-9
附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 MO，等于各附加力
偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。
MO MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
F称R 为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢 M。O
Fz 0
M
x
(F
)
0
M y (F ) 0
M
z
(F
)
0
（3-17）
空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可 以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可 由方程式（3-17）导出，具体如下。
梁的平衡方程
梁的平衡方程
梁是机械力学中的重要研究对象，它是由具有一定跨度的弹性构件构成的，它横跨顶部的两个支座，但可以很容易的承受剪切、压缩和弯曲的荷载。
而梁的平衡方程，就是用来描述梁系统在荷载作用下的不同变形轨迹的一类基本的描述方程。
梁的平衡方程的基本理论可以总结为三点：一、梁受到的水平约束力要平衡梁内的水平剪力；二、梁受到的垂直约束力要平衡梁内的竖向拉力；三、梁横截面上求和为零的力要平衡梁内受到的弯矩。
基于上述三大基本原则，在一般情况下，梁的平衡方程可写为：
F1 = F2，
F3 = F4，
M1 = M2 = … = Mn = M。
其中，F1和F2是梁支座或悬臂点处受力的横向分力，F3和F4是梁支座或悬臂点处受力的纵向分力；M1到Mn是梁横截面上的各点的弯矩，而M是所有点弯矩的总和。
梁的平衡方程提供了求解梁承载荷载作用下的几何变形轨迹的坐标系的基础，是梁的结构形态及其荷载受力模式的理论依据。
反过来，当梁的几何形态及形受力模式确定后，根据梁的平衡方程可以将梁承载荷载作用下的变形量计算出来，从而分析梁的结构受力状态。
理论力学第六章 平衡方程及其应用
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
平衡方程几何方程物理方程
平衡方程几何方程物理方程物理学是一门以观察世界、描述现象和探索规律为基础的科学。
在物理学中，我们经常会遇到各种方程，如平衡方程、几何方程和物理方程等。
这些方程在研究和解决物理问题时起着重要的作用。
平衡方程是描述物理系统在力学平衡状态下的方程。
在力学中，一个物体处于平衡状态意味着它的受力和力矩之和为零。
在平衡方程中，受力和力矩的平衡常表示为代数方程组。
通过求解这个方程组，我们可以确定物体的平衡状态以及受力的大小和方向。
平衡方程的解可以帮助我们更好地理解和掌握物体在不同环境下的平衡条件。
几何方程是描述物理系统几何特征的方程。
在几何学中，我们需要通过几何方程来描述物体的形状、大小和位置等几何属性。
几何方程可以帮助我们研究物体之间的几何关系，如距离、角度和比例等。
通过几何方程，我们可以进行空间分析和建模，为物理问题的解决提供必要的几何信息。
几何方程的应用广泛，尤其在建筑、工程和地理学等领域中起着重要作用。
物理方程是描述物理系统运动规律和相互作用的方程。
在物理学中，物理方程是基础的表述物理规律的数学公式。
物理方程可以描述物体在不同条件下的运动、变化和相互作用等现象。
通过物理方程，我们可以建立起物理模型，预测和分析物理现象的发展和演变。
物理方程也是物理学研究的重要工具，它们能够帮助我们理解和解释自然界中的种种现象。
在物理学中，平衡方程、几何方程和物理方程是相互关联的。
它们共同构建了物理学的理论框架和研究方法。
平衡方程、几何方程和物理方程相互补充，互相支持，通过它们的综合应用，我们可以更好地理解和解释物理世界中的各种现象和规律。
总之，平衡方程、几何方程和物理方程是物理学研究中不可或缺的工具。
它们在描述和解决物理问题中具有重要的指导意义。
通过深入理解和应用这些方程，我们可以更好地理解和掌握物理学的知识，为实践应用提供支持，进一步推动物理学科的发展和创新。
平衡方程应用(物系)7
11
§3—2 平衡方程及其应用
解：1.以梁为研究对象，画分离体受力图。 m y m=16KN·
另一种解法。分别取半拱AC和BC 为研究对 象，画出它们的受力图
24
§3—2 平衡方程及其应用
例题3-8 曲柄冲压机由冲头, 连杆，曲柄和飞轮组成。设曲 柄OB在水平位置时系统平衡， 冲头A所受的工作阻力F。已知 飞轮重W，连杆AB长l，曲柄OB 长r，不计冲头，曲柄和连杆的自 重。求作用于飞轮上的力偶距M 和轴承O处的约束力。
F
y
0, F FC FR FD 0
/ H
FC F FR FD 172kN
/ H
33
34
§3—2 平衡方程及其应用
小结： 1、平面力系平衡 2、平面力系平衡的解题方法
35
17
§3—2 平衡方程及其应用
设物体系由N个物体构成，每个物体都受到平
面任意力系的作用，则分别取每一物体研究后，
共有3N个独立的平衡方程，可以求解3N个未
知量。
18
§3—2 平衡方程及其应用
例题3-7 三铰拱每半拱重W=300KN，跨长 l=32m，拱高h=10m。 求：1.支座A，B处的约束力。 2.铰C处的约束力。
FE FH 60kN
(2)取AE部分为研究对象，画出受力图 列出平衡方程
M
B
0, FA 10 F1 5 F 2 0
平面力系的平衡方程
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 700 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
力学电子教案（ 3、4 ）
【课题名称】
平衡方程及其应用
【教材版本】
李世维主编．中等职业教育国家规划教材—机械基础（机械类）．第2版．北京：高等教育出版社，2006
【教学目标与要求】
一、知识目标
1、了解力在坐标轴上的投影；
2、理解平面力系的平衡方程及其应用。
二、能力目标
通过平面力系平衡方程的应用，培养分析问题和解决问题的能力。
三、素质目标
1、了解力在坐标轴上的投影；
2、了解平面力系的平衡方程及其特例。
应用平衡方程解决工程实际问题，培养工程意识。
四、教学要求
1、初步了解力在坐标轴上的投影；
2、应用力的平移原理建立平衡方程并能解决工程实际问题。
【教学重点】
1、力在坐标轴上的投影；
2、平衡方程的应用。
【难点分析】
应用力的平移原理建立平衡方程
【教学方法】
教学方法：讲练法、演示法、讨论法、归纳法。
【教学资源】
1．机械基础网络课程．北京：高等教育出版社，2006
2．吴联兴主编．机械基础练习册．北京：高等教育出版社，2006
【教学安排】
教学步骤：讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。
【教学过程】
★复习旧课（5分钟）
1、力的平移原理
2、力偶性质
☉力偶无矩心
☉力偶无合力
☉等效力偶可以互换
★导入新课
平衡方程是在解决工程实际问题中，通过对力的分析，建立起来的力的数学解析表达式，是工程实际中对受力情况的一种定量分析方法。
★新课教学（80分钟）
§2-2 平衡方程及其应用
一、平面受力时的解析表示法
力在坐标轴上的投影
力F在x、y轴上的投影：
力F在x、y轴分力大小：
投影正负规定如下：若此力沿坐标轴的分力的指向与坐标轴一致，则力在该坐标轴上的投影为正值；反之，则投影为负值．
❖注意：
力的分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。
❖讨论：
合力是否一定比分力大？
二、平面受力时的平衡方程及应用
1、平面一般力系的简化
F 1F '
2
F ''
l 1O
l 2
l 3
一般力系平移后得到一个汇交力系和力偶系。
2、平面一般力系的平衡
平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶矩同时为零。
平衡方程：
例题分析：教材例2-5、例2-6 三、平面受力的特殊情况
1、平面平行力作用的平衡平衡方程
例题分析： 塔式起重机的机身总重G =220kN ,重心在塔中点，最大起重量,尺寸如图所示。
求（1）当平衡重时，轨道的反力；
（2）满载时保持机身平衡的最小平衡重； （3）空载时保持机身平衡的最大平衡重。
解：
（1）由平衡力系平衡方程求反力
A 3
O
A 2
A 1
F 1
F 3
F 2
R '
L O
O
00x y o F F M ∑=∑=∑=00
y O F M ∑=∑=0
)(=∑P M B
（2）满载时，
（3）空载时，
2、平面力偶系的合成与平衡
作用在物体同一平面内的力偶，称为平面力偶系。
平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
若力偶系平衡，则合力偶矩必为零。
平衡方程
例题分析：钻孔时钻头给工件施加一个压力和一个力偶，其力偶矩，若夹紧工件的两个螺栓间的距离，求每个螺栓所受的横向力。
解：
0M m ==∑
kN N A 45=0
=∑y P 0
=---+Q P G N N B A kN N B 255=0=A N 0
)(=∑P M B 0)212(2)26(min =--⋅++P G Q kN Q 5.7min =0=B N 0)(=∑P M A 02)26(max =⋅--G Q kN Q 110max =kN Q kN 1105.7<<
课内练习：练习册（先练习后总结）
★ 小结（5分钟）
⏹ 平面任意力系的简化 ⏹ 平面任意力系的平衡
⏹ 平面任意力系平衡方程的应用 ⏹ 力偶系的平衡及平衡方程的应用 ★ 作业 练习册
平 衡 方 程
根据平衡的充要条件
R ＝0 ， M O ＝0
对于一般力系，由
R=R x i + R y j + R z k ＝0, M O = M ox i + M oy j + M oz k ＝0
有
R x = R y = R z = 0, M ox = M oy = M oz = 0
对于一般力系，由平衡的充要条件，可以得到主矢和主矩在X 、Y 、Z 方向的分量都等于零。
1=+m l N A N l
m N A
A 250=-=
N
N N A B 250==
于是得到空间一般
力系的平衡方程
:
对于平面一般力系，
平衡方程为：
对于平面一般力系，Fz = 0 自然满足，三个力矩平衡方程也简化成对O点的力矩之和等于零，因此，平面一般力系的平衡方程就是图示的三个方程。
平面一般力系平衡方程的其他形式：一个力的平衡方程再加上两个力矩方程，这叫做二矩式，要求两
个矩心的连线不垂直于X轴；三个力矩平衡方程，这叫做三矩式，要求三个矩心不共线。
A、B 连线不垂直于x 轴A、
B、C 三点不在同一条直线上。