2.1离散型随机变量及其分布列

Байду номын сангаас
写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自 所表示的随机试验的结果：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数x ；（x=1、2、3、···、10）
（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（Y=2、3、···、12） （3）某城市1天之中发生的火警次数X（；X=0、1、2、3、···）
解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； {X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； {X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； {X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
变题：{X < 3}在这里又表示什么事件呢？
“取出的3个球中，白球不超过2个”
例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令
1，针尖向上 X 0，针尖向下
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是， 随机变量X的分布列是
X
0
1
P
1-p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个
电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量
与规定量之差； （3）某城市1天之内的温度； （4）某车站1小时内旅客流动的人数； （5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. （6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，
随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而 函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射
在这两种映射之间， 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值结果相当于函数的值域。
所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值 范围，并说明X的不同取值所表示的事件。
教学重点：随机变量的意义，离散型随机变量的分布列 的概念
新疆 王新敞 奎屯
教学难点：随机变量意义的理解及离散型随机变量分布列 的求法
新疆 王新敞 奎屯
引例：
（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？
1，2，3，4，5，6 能否把掷硬
（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几币种的情结况果？也
0分，1分，2分 用数字来表
2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。
（如灯泡的寿命，树木的高度等等） 注意： （1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量
0, 寿命 1000小时 Y 1, 寿命 1000小时
若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量
就叫做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。
注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是 可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义
“X=0，表示正面向上，X =1，表示反面向上”
按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？
三、离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x2，…，xi，…，xn
X取每一个xi (i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 有时为了表达简单，也用等式
P(X=xi)=Pi 来表示X的分布列
（4）某品牌的电灯泡的寿命X； [0，+∞)
（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场
任意一棵树木的高度x． [0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一
列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。
（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）
示呢？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？
正面向上，反面向上
思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？
分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出 现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出 现的。
一、随机变量的概念：
在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果 都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就 可看成是这些数字的变化。
某同学可能取得的等级。
若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数， 请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生 的概率是多少？ （1）{X是偶数}；（2） {X<3}；
X
1
2
3
4
5
6
1 11 111
P
6 66 666
解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) 1 2
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) 1 3
若 Px 4 0.3，则（ C ）
A． n 3 B． n 4 C． n 10 D．不能确定 3
2、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=___5__
ξ
-1
0
1
P
0.16
a
a2
10
2
3
a
0.3
5
课堂练习：
3、某一射手射击所得环数x 分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_0_._8__8__
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3
当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选
故其概率为
P( X
1)
C42 C53
3 5
当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
故其概率为
P( X
2)
C32 C53
3 10
当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，
概率为 P( X 3) 1 10
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
P( X 1) 1 , P( X 0) 2 1 ,
离散型随机变量及其分布列
教学目的： （1）了解随机变量、离散型随机变量的意义，并能说明
随机变量取的值所表示的随机试验的结果 新疆 王新敞 奎屯
（2）理解离散型随机变量分布列的意义，会求某些简单 的离散型随机变量的分布列。
（3）掌握离散型随机变量分布列的两个基本性质，并会 用它来解决一些简单的问题．
i=1，2，…，n
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率；
2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
6
63
P( X 1) 3 1 62
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
X1
0
-1
111 P
632
求离散型随机变量分布列的基本步骤： （1）确定随机变量的所有可能的值xi （2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi （3）列出表格
定值 求概率 列表
课堂练习：
1、随机变量x 的所有等可能取值为1, 2,3，…, n ，
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
3
3
1
5 10 10
小结：
一、随机变量的定义： 二、随机变量的分类： 三、随机变量的分布列：
1、分布列的性质: （1）pi 0, i 1, 2,
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
2、求分布列的步骤:
定值 求概率 列表
作业：
课本P49 A组第1、5题