初中几何二倍角问题的辅助线

初中几何二倍角问题的辅助线
一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：
（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.
（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.
如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.
思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.
【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E 作ED⊥AC于D.
则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.
即∠B=∠CDE=90°.
思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.
【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.
在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，
∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.
思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.
【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图
则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D
∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.
【总结】
关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.
【配套练习】
1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.
2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC是等边三角形.
【答案】
1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD ＞AD ∴2AC＞AB.
2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.
思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF≌△DCF可得.。