最新高二数学试题及答案
新高考高二数学试卷答案
1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. -2D. 2√2答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，因此-2是有理数。
2. 函数y=2x+1在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A解析：函数y=2x+1的斜率为2，大于0，因此函数在定义域内单调递增。
3. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：等差数列的公差是相邻两项之差，因此公差为5-2=3。
4. 若复数z满足|z+1|=2，则复数z的实部a的取值范围是（）A. -1≤a≤1B. a≥1C. a≤1D. a≤-1答案：A解析：复数z可以表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部。
由|z+1|=2，得|a+bi+1|=2，即|a+1+bi|=2。
根据复数的模的定义，得到(a+1)²+b²=4。
因为b²≥0，所以(a+1)²≤4，即-2≤a+1≤2，解得-1≤a≤1。
5. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=60°，则三角形ABC的面积是（）A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 6√3答案：C解析：由等腰三角形的性质知，BC=AB=AC。
在等腰三角形中，底边上的高也是中线，因此高将底边BC平分。
设BC的中点为D，则AD⊥BC，且AD=√3。
三角形ABC的面积为1/2×BC×AD=1/2×AB×√3=4√3。
6. 函数y=x²-4x+3的顶点坐标是（）答案：（2，-1）解析：函数y=x²-4x+3可以写成y=(x-2)²-1的形式，因此顶点坐标为（2，-1）。
7. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则第n项an=（）答案：3×2^(n-1)解析：等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，代入a1=3和q=2，得到an=3×2^(n-1)。
2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y =4x 2的焦点坐标是( )A. (1,0)B. (0,1)C. (116,0)D. (0,116)2.已知双曲线的方程为x 24−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =± 22x B. y =± 2x C. y =± 33x D. y =± 3x3.已知椭圆方程为：3x 2+4y 2=12，则该椭圆的长轴长为( )A. 4B. 2C. 2 3D. 34.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是( )A. 100名学生是个体B. 样本容量是100C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 1000名学生是样本5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，96.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为( )A. 245B. 165C. 145D. 1257.已知直线l 1:a 2x +y +1=0与直线l 2:x−3ay +7=0，则“a =3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知圆C 1：x 2+y 2+4x−4y +7=0与圆C 2：(x−2)2+(y−5)2=16的公切线条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E,F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E,F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M,N ，设BM =x ，x ∈(0,1)，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积S =f(x),x ∈(0,1)，则f(x)有最小值；③若四棱锥A−MENF 的体积V =p(x)，x ∈(0,1)，则p(x)常函数；④若多面体ABCD−MENF 的体积V =ℎ(x)，x ∈(12,1)，则ℎ(x)为单调函数．其中假命题为( )A. ①B. ②C. ③D. ④10.已知曲线C:(x 2+y 2)2=9(x 2−y 2)是双纽线，则下列结论正确的是( )A. 曲线C 的图象不关于原点对称B. 曲线C 经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)C. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D. 若直线y =kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(−∞,−1]二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x + 3y +1=0的倾斜角是( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘2.已知x 2+y 2+ax +a =0表示圆，则实数a 的取值范围为( )．A. (0,4)B. (−∞,0)C. (4,+∞)D. (−∞,0)∪(4,+∞)3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为( )A. 10B. 60C. 125D. 2434.平的内动点P (x,y )满足方程 (x +1)2+y 2+ (x−1)2+y 2=2 3，则动点P 的轨迹方程为( )A. x 23+y 22=1B. x 22+y 23=1C. x 23−y 22=1D. y 23−x 22=15.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 46.刍甍(cℎúméng)是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍(如图)，底面BCDE 为矩形，且BC =3，BD = 13,AF//平面BCDE,▵ABE 和▵CDF 为全等的正三角形，AF =1，则平面ABE 和底面BCDE 的夹角的余弦值为( )A. 13 B. 33 C. 22 D. 637.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点O ，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条PAB 的P 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A 、B 各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证PA 与PB 的长度不变，当A 、B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆．已知|PA |=3|AB |，且P 在椭圆的右顶点时，B 恰好在O 点，则该椭圆的离心率为( )A. 32B. 34C. 74 D. 558.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为y=3x”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.若椭圆x2m +y2=1(m>1)与双曲线x2n−y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点，则▵F1PF2的面积是( )A. 12B. 1C. 2D. 410.已知M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平自直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则( )A. d=3,S<1B. d=3,S>1C. d=10,S<1D. d=10,S>1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
高二数学试题及答案解析
高二数学试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(0)的值为（）A. 3B. 1C. -1D. 0答案解析：将x=0代入函数f(x)=x^2-4x+3，得到f(0)=0^2-4*0+3=3，所以答案是A。
2. 已知数列{an}为等差数列，且a1=2，a3=8，则公差d为（）A. 2B. 3C. 6D. 8答案解析：根据等差数列的性质，a3=a1+2d，将已知的a1=2和a3=8代入，得到8=2+2d，解得d=3，所以答案是B。
3. 若直线l的方程为y=2x+1，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (-1/2,0)D. (1/2,0)答案解析：令y=0，解方程2x+1=0，得到x=-1/2，所以直线l与x轴的交点坐标为(-1/2,0)，答案是C。
4. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值为（）A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3答案解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导，得到f'(x)=3x^2-3，所以答案是A。
5. 已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a·b的值为（）A. 10B. 8C. 5D. 2答案解析：向量a·b=1*3+2*4=3+8=11，所以答案是A。
6. 若复数z=1+i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. 0答案解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以答案是A。
7. 已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±x/2B. y=±2xC. y=±x/√2D. y=±√2x答案解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，代入a=2，b=1，得到y=±x/2，所以答案是A。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
![山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4758bd323d1ec5da50e2524de518964bcf84d2e6.png)
42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
高二数学考试题库及答案
高二数学考试题库及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。
A. 3B. 5C. 7D. 9答案：C3. 若直线l的方程为y = 2x + 3，且与x轴交于点A，求点A的坐标。
A. (0, 3)B. (-3/2, 0)C. (3/2, 0)D. (0, -3)答案：B4. 计算定积分∫[0,1] x^2 dx的结果。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B5. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。
A. 3 - 4iB. 3 + 4iC. -3 + 4iD. -3 - 4i答案：A6. 求下列不等式组的解集：x^2 - 4x + 3 > 0 和 x - 2 < 0。
A. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)B. (1, 2)C. (-∞, 1) ∪ (2, +∞)D. (2, 3)答案：A7. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求其顶点坐标。
A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)答案：A8. 若向量a = (2, -1)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的点积为多少？A. 3B. 2C. -3D. -2答案：D9. 计算三角函数sin(π/6)的值。
A. 1/2B. √3/2C. 1D. 0答案：A10. 求下列方程的实数解：x^2 - 5x + 6 = 0。
A. 2, 3B. 1, 6C. 2, -3D. -2, -3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其对称轴的方程。
答案：x = 22. 计算二项式(1 + x)^3的展开式中x^2项的系数。
新高二数学试题及答案
新高二数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C2. 若f(x) = 2x - 1，求f(2)的值：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值：A. 11B. 13C. 15D. 17答案：B4. 以下哪个选项是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2C. 4D. 5答案：A5. 以下哪个选项是不等式x^2 + 4x + 3 > 0的解集？A. x < -1 或 x > -3B. x < -3 或 x > -1C. x < 1 或 x > 3D. x < -3 或 x > 1答案：B6. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切答案：B7. 已知向量a = (3, 4)，b = (-1, 2)，求向量a与b的点积：A. -2B. 10C. 6D. 14答案：B8. 函数y = |x| + 1在x = 0处的导数为：B. 1C. 2D. -1答案：B9. 以下哪个选项是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点？A. (±a, 0)B. (0, ±b)C. (±a, ±b)D. (±b, 0)答案：A10. 已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + c^2 - b^2 = ac，求角B的大小：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5在x = 1处的值为______。
2024高二数学试题及答案
2024高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=16，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B3. 若直线l的方程为y=2x+3，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，则|AB|的长度为：A. 5B. √5C. √10D. √13答案：D4. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前n项和Sn：A. n^2+2nB. n^2+nC. n^2+2n+1D. n^2+n+1答案：A5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 已知向量a=(2,-1)，b=(1,3)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 5D. -5答案：C7. 若复数z满足|z-1|=2，且|z|=3，则z的实部为：A. 1B. 2C. -1D. -2答案：B8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=b/2C. b=2aD. b=a/2答案：A9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B10. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式：A. -2B. 2C. -5D. 5答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的第10项a10为________。
答案：1912. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为________。
贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月考试试题 数学(含答案)
贵州高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B 版必修第一册至必修第四册，选择性必修第一册到2.3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 以下关于复数的四个命题中，错误的是（）A. B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限C. 复数的共轭复数D. 复数的虚部为2. 在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（）A. B.C.D. 3. 命题“，，使得”的否定是（）A. ，，使得 B. ，，使得C. ，，使得 D. ，，使得4. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（）534i z =+1z =z z 34i 5z -=z 45-l 0l ππ2π4x ∀∈R n ∃∈N e x n ≤x ∀∈R n ∃∈N e x n >x ∃∈R n ∀∈N e x n >x ∃∈R n ∃∈N e xn >x ∀∈R n ∀∈N e xn >14AB AA ==112AD =A.B.C. D. 5. 过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（）A. B. C. D. 6. 经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（）A. B. C. D. 7. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（）A. 两个圆心所在直线的斜率为B. 两圆恰有3条公切线C. 两圆公共弦所在直线的方程为D.的最小值为8. 已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有（）A.B. 函数的图象关于直线对称C. 将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称D. 若方程在上有两个不等实数根，则的()2,4P -2310x y ++=32140x y -+=3280x y --=2380x y +-=23140x y ++=()1,1-210x y -+=1x =-4370x y -+=20x y -+=1y =A 1C 228120x y y +-+=B 2C 228280x y x y +-++=45-4520x y -+=AB 5-()y f x =R 12x x ≠()()12123f x f x x x -<-()()212690f x f x ---+<(),3-∞()1,+∞3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()cos 0f x x x ωωω=->π2ω=()f x π6x =-()f x π6y ()34f x =12,x x ()12cos x x +=10. 已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（）A. 若，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，则D. 若与不垂直，则垂直于内无数条直线11. 定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（）A. B. 满足C. D. 上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，，，若，则的值为______.13. 如图，在四面体中，，，点，分别在，上，且，，则______.14. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线在m n l αβ//l αl β⊂m αβ= //l m l m ⊥l n ⊥m α⊂n ⊂αl α⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥l αl α{}0x x ≠()f x x y ()()()f xy f x f y =+01x <<()0f x <()lg f x x =()f x ()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f -=()f x (),0-∞()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c = ()()2a kc b a +⊥-k O ABC -OA OB OC 3===60AOC BOC AOB ∠=∠=∠=︒M N OA BC 2OM MA =2BN NC =MN =P ABC -2PA PB PC ===AB BC ==AB BC ⊥E PB E ααP ABC -l 2380x y -+=10x y +-=32180x y -+=m与直线关于点对称，求直线的方程.16. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求；（2）若，求面积最大值.18. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点.（1）求圆在点处的切线方程；（2）求面积最大值；（3）求的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）证明：平面平面.的的的l ()1,1-m [)20,30ABC V A B C a b c cos sin b A A a c +=+B 2b =ABC V ()0,0E ()2,0F -M P M 20x y +-=x y A B 2π3221x y +=C M C PAB 22PA PB +P ABCD -PA ⊥PBC 24AB DC ==BC =AB BC ⊥//DC AB ABCD ⊥PAB（2）若，求点到平面的距离.（3）求满足题设条件的所有几何体中，与平面所成角的正弦值的最大值.π3ABP ∠=C PAD PD ABCD贵州高二数学考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ABC10.【答案】AD11.【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】5 613.14. 【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程.【详解】因为，所以，所以交点是，设直线的方程为，代入，则，所以，因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为，关于的对称点为，且在直线上，所以，即，所以直线的方程为.16.【小问1详解】由题意可得：平均数为【小问2详解】由的频率为可得两组人数比为，故5人中，来自的人数分别为2和3，所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,故2位领队来自同一组的概率为.17.【小问1详解】因为，所以，πl m 238010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2-l 230x y m ++=()1,2-4m =-:2340l x y +-=m l ()1,1-m (),x y (),x y ()1,1-()2,2x y ---()2,2x y ---l ()()223240x y --+--=2320x y ++=m 2320x y ++=22.50.227.50.332.50.237.50.1542.50.147.50.0531.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=31.5[)[)0,20,2525,30.2,0.32:3[)[)0,20,2525,3222325C C 2C 5+=25cos sin b A A a c +=+sin cos sin sin sin B A B A A C +=+所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，所以时取等号，所以18.【小问1详解】由题设，且圆的半径为1，则圆，又，即，显然在圆上，则，所以圆在点处的切线的斜率为，整理得.【小问2详解】由题设，，则()sin cos sin sin sin B A B A A A B =++sin sin sin cos B A A A B =+()0,πA ∈sin 0A >cos 1B B -=π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ5π,666B ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ66B -=π3B =2b =222222cos 4b a c ac B a c ac =+-⇔+-=2242a c ac ac +=+≥4ac ≤1sin 2ABC S ac B ==≤ 2a c ==ABC V (1,0)M -M :M 22(1)1x y ++=2π2π,(cossin 33C 1(2C -M CM k ==M C 12y x -=+10x +-=(2,0),(0,2)A B ||AB =到的距离，则到，所以面积的最大值为【小问3详解】设是的中点，则，且，故，由，，且，所以，，所以，对于，当同向共线时最大，反向共线时最小，所以，综上，.19.【小问1详解】由平面，平面，则，又，由都在面内，则面，面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）易知，又，过作于，由面面，面面，面，所以面，过作，易知，故可构建如下图示空间直角坐标系，又，，则，M 20x y +-=d =P 20x y +-=1+PAB 11)32⨯=D AB 2MA MB MD +=(1,1)D ||DM = PB PM MB =+ PA PM MA =+2221,9,5PM MA MB === 2222PB PM MB PM MB =++⋅ 2222PA PM MA PM MA =++⋅2222222()PA PB PM MA MB PM MA MB +=+++⋅+ 164PM MD =+⋅PM MD ⋅,PM MD [PM MD ⋅∈22PA PB +∈[16-+PA ⊥PBC ⊂BC PBC PA BC ⊥AB BC ⊥PA AB A = PAB ⊥BC PAB ⊂BC ABCD ABCD ⊥PAB PA PB ⊥π3ABP ∠=P PO AB ⊥O ABCD ⊥PAB ABCD PAB AB =PO ⊂PAB ⊥PO ABCD O //Oz BC Oz AB ⊥24AB DC ==BC =//DC AB (0,3,0),(0,1,(0,1,A P C D --所以，若是面的一个法向量，则，令，则，所以点到平面的距离.【小问3详解】同（2）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角，显然在以为直径的圆上，令，显然，可得或，当时，，，则，所以；当时，，，则，所以；综上，与平面.(0,2,(0,2,0)AP AD DC ===(,,)m x y z = PAD 3020m AP y m AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =-(1)m =-C PAD ||||m DC m ⋅=ODP ∠PD ABCD P AB (0,2]OP a =∈24OP OA OB OA OB ⎧=⋅⎨+=⎩22OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩22OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩22OA OB ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(0,D (,0,0)P a DP ==sin OP ODP DP ∠==22OA OB ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩D (,0,0)P a DP ==sin OP ODP DP ∠==PD ABCD1第11页。
2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案
2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、如果a＞1，b＜-1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限2、函数y=2sinx+2 的最大值和最小值分别为（）A. 4；0B. 2；-2C. 2；0D. 4；-43、已知数列中满足则的最小值为（）A. 7B.C. 9D.4、【题文】已知全集集合或则集合=（）A.B.C.D.5、关于函数f（x）=x2-2x+1的零点，下列说法正确的是（）A. 因为f（0）⋅f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点B. 因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）⋅f（2）＜0C. 由于f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，所以f（x）在（-∞，0）内有唯一的一个零点D. 以上说法都不对6、已知直线l1:(a+1)x+y-2=0与直线l2:ax+(2a+2)y+1=0互相垂直,则实数a的值为（）A. 1或2B. 1或-2C. -1或2D. -1或-27、已知函数的一条对称轴方程为则函数f（x）的单调递增区间为（）A. （k∈Z）B. （k∈Z）C. （k∈Z）D. （k∈Z）8、若幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,4)则在定义域内()A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知经过A（-1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为____．10、设函数f（x）=若f（-4）=f（0），则函数y=f（x）-ln（x+2）的零点个数有____个．11、等于_______________．12、【题文】的算术平方根为__________．13、【题文】已知定义域为的函数满足：（1）对任意恒有成立；（2）当时，给出如下结论：①对任意有②函数的值域为③存在使得④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在使得”.其中所有正确结论的序号是____.14、【题文】曲线与轴的交点的切线方程为_______________。
2024年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案
2024年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知=+，则x等于（）A. 7B. 9C. 7或92、二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A. 42B. 168C. 84D. 213、以下命题中，①回归直线必过样本点的中心；②残差平方和越小，则预报精度越高；③若一组数据x1，x2，，x n的平均数为3，方差为4，则2x1+1，2x2+1，，2x n+1的平均值为7，方差不变；④若线性相关系数r=±1；则表示两个变量完全线性相关；⑤商场应根据上月所卖货品尺寸的中位数决定本月的进货比例．正确命题个数有（）A. 2个。
B. 3个。
C. 4个。
D. 5个。
4、若直线l的参数方程为则直线l倾斜角的余弦值为（）A.B.C.D.5、设等差数列满足：公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）.A.B.C.D.6、已知函数为偶函数，则的值（）A. 1B.C.D.7、【题文】不等式的解为（）A.B.C.D.8、有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A. 120B. 240C. 360D. 4809、某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（）A.B.C.D. 3评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、若≠0，≠0，且==，则与+所在直线的夹角是____．11、若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”．例如函数y=x2，x∈[1，2]与y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”、下面6个函数：①y=tanx；②y=cosx；③y=x3；④y=2x；⑤y=lgx；⑥y=x4．其中能够被用来构造“同族函数”的有____．12、已知函数，若函数f（x）的图象经过点（3，），则a=____；若函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有成立，那么实数a的取值范围是____．13、如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4，宽分别为2与3，侧视图是等腰三角形，则该几何体的体积是____．14、已知双曲线点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若则的值为__________．15、命题“若m2+n2=0，则mn=0”的逆否命题是 ______ ．16、关于函数y=f（x）；有下列命题：①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=的定义域为R；②若f（x）=（x2-3x+2），则f（x）的单调增区间为（-∞，）；③函数的值域为R；则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1；④定义在R上的函数f（x）；若对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）则4是y=f（x）的一个周期．其中真命题的序号是 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图．（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形．18、用一平面去截一个圆锥；设圆锥的母线与其高的夹角为α，平面的倾斜角为β，求下列情况下β的取值范围：（1）所截图形为椭圆；（2）所截图形为双曲线。
河北高二数学试题及答案
河北高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \frac{1}{x} \)D. \( y = \sin(x) \)答案：B2. 已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，且 \(a_1 = 2\)，公差 \(d = 3\)，则 \(a_5\) 的值为：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 直线 \(y = 2x + 1\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 9\) 的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 函数 \(y = \ln(x)\) 在 \(x = 1\) 处的导数为：A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{e}\)答案：B5. 已知 \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\)，且 \(\alpha\) 在第一象限，求 \(\cos(\alpha)\) 的值：A. \(\frac{4}{5}\)B. \(-\frac{4}{5}\)C. \(\frac{3}{5}\)D. \(-\frac{3}{5}\)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 已知向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (1, 2)\)，求向量 \(\vec{a} + \vec{b}\) 的坐标。
答案：\((4, 0)\)7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值。
答案：\(\frac{1}{3}\)8. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的焦点到中心的距离为 \(c\)，且 \(c^2 = a^2 + b^2\)，若 \(a = 2\)，\(b = 3\)，则 \(c\) 的值为：答案：\(\sqrt{13}\)9. 计算组合数 \(C(8, 3)\) 的值。
2024年粤人版高二数学上册阶段测试试卷含答案680
2024年粤人版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、（文）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A.B. 5C.D.2、设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式3x-9x＜a对一切正实数均成立．如果命题“p或q”为真命题；且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A. （1；+∞）B. [0；1]C. [0；+∞）D. （0；1）3、已知函数y=-x3-x2+2；则（）A. 有极大值；没有极小值。
B. 有极小值；但无极大值。
C. 既有极大值；又有极小值。
D. 既无极大值；又无极小值。
4、设则此函数在区间(0,1)内为（）A．单调递减， B、有增有减 C.单调递增， D、不确定5、对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（）A. 越大，相关程度越大B. 越大，相关程度越小，越小，相关程度越大C. 且越接近于相关程度越大；越接近于相关程度越小D. 以上说法都不对6、【题文】在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝ ()A. 4B. 5C. 6D. 77、【题文】a、b为实数且a<0,a+b>0,那么不等式中错误的是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、抛物线上一点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离为 .9、若关于的不等式的解集为则实数的取值范围是10、光线从点M（-2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．11、二项式（﹣2x）6的展开式中，x2项的系数为_________．12、【题文】与角-1000同终边的角的集合是____.13、已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为______ ．14、在某次数字测验中，记座位号为n（n=1，2，3，4）的同学的考试成绩为f（n）．若f（n）∈{70，85，88，90，98，100}，且满足f（1）＜f（2）≤f（3）＜f（4），则这4位同学考试成绩的所有可能有 ______ 种．15、从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则X的数学期望为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=∠CDA=45°．（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°；求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G；使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．24、椭圆＞＞与直线交于两点，且其中为坐标原点. （1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤求椭圆长轴的取值范围.25、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形；再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、计算题(共3题，共27分)26、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．27、已知a为实数，求导数28、解不等式组．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．31、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】双曲线的一条渐近线为由方程组消去y,得有唯一解,所以△=所以故选D.【解析】【答案】D2、B【分析】若命题p为真，即恒成立．则有∴a＞1．令由x＞0得3x＞1，∴y=3x-9x的值域为（-∞；0）．∴若命题q为真；则a≥0．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p；q一真一假．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1．故选B【解析】【答案】根据题意；命题p；q有且仅有一个为真命题，分“p真q假”和“p假q真”两种情况加以讨论，即可得出a的取值范围．3、C【分析】y′=-3x2-2x=-x（3x+2），令y′=0，x=0或x=令y′＞0得x＜或x＞0，令y′＜0得＜x＜0∴函数y在上[ 0]是减函数，在（-∞，]；[0，+∞）是增函数。
2024年统编版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案
2024年统编版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A.B.C.D.2、已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（）A. 5B. 10C. 20D. 303、设二次函数f（x）=x2-x+a，若f（-t）＜0，则f（t+1）的值（）A. 是正数B. 是负数C. 是非负数D. 正负与t有关4、高三年级有文科；理科共9个备课组；每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A. 129种。
B. 148种。
C. 165种。
D. 585种。
5、已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x；y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x-2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④6、设变量x、y满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为A. 1，－5B. －1, －5C. 5, －1D. 1，5评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=____．8、设若则9、【题文】是虚数单位，计算_________.10、宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为____11、一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为____km．12、已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．则实数a= ______ ．13、设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|= ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）．15、函数y=-2-x-2的图象经过____象限．16、已知区域D满足，那么区域D内离坐标原点O距离最远的点P的坐标为____．17、对于每一个实数x，f（x）是2-x与x中的较小者，则函数f（x）的值域是____．18、如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____．19、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线FG上运动时；AP⊥DE；③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)20、选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系和直角坐标系中极点与坐标原点重合，极轴与x轴半轴重合，点P的直角坐标为直线l过点P且倾斜角为曲线C的极坐标方程是设直线l与曲线C交于A；B两点．①写出直线l的参数方程；②求|PA|+|PB|的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解析】【解答】解：当a≠0时，整理抛物线方程得x2= y；p=∴焦点坐标为（0，）．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标为：（0，）．故选：C2、A【分析】【分析】由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．【解析】【解答】解：如图；在△ABC中；不妨设AB=5，AC=3，BC=4．则∠ACB=90°；∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点；即球的球心为AB的中点；又P到△ABC的三个顶点的距离相等；∴P在平面ABC上的射影到A；B、C的距离相等；∴O为P在平面ABC上的射影；则OP⊥面ABC；又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP= ．∴= ．故选：A．3、B【分析】【分析】根据二次函数解析式，得出f（t+1）=t2+t+a=f（-t），再结合题意即可得到f（t+1）的值为负数．【解析】【解答】解：∵f（x）=x2-x+a；∴f（t+1）=（t+1）2-（t+1）+a=t2+t+a；又∵f（-t）=t2+t+a；且f（-t）＜0；∴f（t+1）＜0；即f（t+1）为负数．故选：B4、C【分析】根据题意；只须将把12个名额分成9份，每份至少一个名额即可，分别对应8个备课组；选用隔板法；即将12个名额排成一列，共11个间隔即空位，从其11个空位中，选取8个，插入隔板就符合题意；即C118=C113=165；故选C．【解析】【答案】根据题意；只须将把12个名额分成8份，每份至少一个名额即可，分别对应12个备课组，选用隔板法，分析可得答案．5、D【分析】对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；例如（0，1）；（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}；取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【解析】【答案】对于①利用渐近线互相垂直；判断其正误即可．对于②；③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；6、A【分析】【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)7、略【分析】依题意可得d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13【解析】【答案】根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1；最后根据等差数列的通项公式求得答案．8、略【分析】试题分析：因为所以所以考点：1分段函数；2定积分。
2023-2024学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，1，4}B ．{﹣8，﹣5，﹣2，1}C ．{﹣5，﹣2，1}D ．{﹣5，﹣2，1，4} 2．在复平面上，复数5i−2（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），则“k ＝2”是“a →⊥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±12xD ．y ＝±2x5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且a n +1＝3S n （n ∈N *），则（ ）A ．{S n }为等比数列B ．{S n }为等差数列C ．{a n }为等比数列D ．{a n }为等差数列6．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）与圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．外离D ．与m 的取值有关7．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是（ ）A ．√6B ．1C ．4√63D ．2√33 8．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝5∠PF 1F 2，则该椭圆的离心率等于（ ）A ．√62B ．√33C ．√32D ．√63二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．f （﹣2）＝f （2）B ．f （0）＝0C ．若f （x ）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则f （x ）在（0，+∞）上有最大值2D ．若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减10．对于直线l ：mx +ny ﹣3m ＝0（m 2+n 2≠0，m ，n ∈R ），下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的一个方向向量为（n ，﹣m ）B ．直线l 恒过定点（3，0）C ．当m =√3n 时，直线l 的倾斜角为60°D ．当m ＝﹣2且n ＞0时，l 不经过第二象限11．设S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞012．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足A 1F →=xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，且x ，y ，z ∈（0，1），记EF 与AA 1所成角为α，EF 与平面ABCD 所成角为β，则（ ）A ．若z =13，三棱锥E ﹣BCF 的体积为定值 B ．若x ＝y ＝z =12，则AE ⊥BFC ．∀x ，y ，z ∈（0，1），α+β=π2D ．∀x ∈（0，1），总存在y ＝2，使得EF ∥平面BDD 1B 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．14．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0），若|AF |＝|AM |，则直线AB 的斜率为 ．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n +1，则a 2023＝ ．16．在三棱锥O ﹣ABC 中，|OA →|=|OB →|=|OC →|=6，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC =π3，点M 在OA 上，OM →=2MA →，N 为BC 中点，则|MN →|＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n ﹣a n ，求数列{c n }的前10项和．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，且边AB 上的高等于14AB ．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为18，求边BC 的长．19．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +4．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB ＝90°时，求k 的值；（2）若k =12时，点P 为直线l 上的动点，过点P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，求四边形OCPD 的面积的最小值．20．（12分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1．（1）求证：BF ⊥DE ；（2）当B 1D ＝1时，求平面BB 1C 1C 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 2+a 3+a 4＝117，a 3+18是a 2，a 4的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）•a n }的前n 项和等于n 2．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）求数列{b n }的通项公式．22．（12分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线1与x轴垂直，且A，B两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的焦距为4．且0°＜∠AOB＜90°恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．2023-2024学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，1，4}B ．{﹣8，﹣5，﹣2，1}C ．{﹣5，﹣2，1}D ．{﹣5，﹣2，1，4}解：∵集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}＝{x |﹣6＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{﹣5，﹣2，1，4}．故选：D ．2．在复平面上，复数5i−2（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解：由题意，复数5i−2=5(i+2)(i−2)(i+2)=−2﹣i ，其对应的点（﹣2，﹣1）在第三象限． 故选：C ．3．已知向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），则“k ＝2”是“a →⊥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），当k ＝2时，a →⋅b →=22+0﹣4＝0，∴“k ＝2”⇒“a →⊥b →”，当a →⊥b →时，a →⋅b →=k 2﹣4＝0，解得k ＝±2，∴“a →⊥b →“⇒“a ＝±2“，∴“k ＝2”是“a →⊥b →”的充分不必要条件．故选：A ．4．双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±12xD ．y ＝±2x解：由x 2﹣2y 2＝1，得x 2−y 22=1，则a ＝1，b =√2，∴双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是y ＝±√2x ．故选：A ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且a n +1＝3S n （n ∈N *），则（ ）A ．{S n }为等比数列B ．{S n }为等差数列C ．{a n }为等比数列D ．{a n }为等差数列解：∵a n +1＝3S n （n ∈N *），∴S n +1﹣S n ＝3S n ，即S n +1＝4S n ，又S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }为等比数列，公比为4，因此A 正确，B 不正确；由上面可得S n ＝4n ﹣1， n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝4n ﹣1﹣4n ﹣2＝3•4n ﹣2， n ＝1时，上式不成立，因此数列{a n }既不是等比数列，也不是等差数列．因此只有A 正确．故选：A ．6．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）与圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．外离D ．与m 的取值有关解：圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）圆的圆心（﹣3，2m ），半径为1；圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0的圆心（0，m ），半径为2，圆心距为：√(−3−0)2+(2m −m)2=√9+m 2＞1+2，所以两个圆相离．故选：C ．7．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是（ ）A ．√6B ．1C ．4√63D ．2√33解：空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），|AB|=√(−2)2+12+(−2)2=3， 因为BC →=(1，1，1)，BA →=(2，−1，2)，由cos ∠ABC =BA →⋅BC→|BA →||BC →|=3×√3=√33，所以sin ∠ABC =√63， 所以点A 到直线BC 的距离d =|AB →|⋅sin∠ABC =3×√63=√6．故选：A．8．已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝5∠PF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．√62B．√33C．√32D．√63解：因为PF1⊥PF2，所以∠PF2F1+∠PF1F2＝90°，又∠PF2F1＝5∠PF1F2，所以∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝15°，设椭圆的焦距为2c，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos15°＝2c cos15°，|PF2|＝|F1F2|sin15°＝2c sin15°，由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|＝2a，所以2c cos15°+2c sin15°＝2a，即c（cos15°+sin15°）＝a，所以离心率e=ca=1cos15°+sin15°=1√(cos15°+sin15°)2=1√1+2sin15°cos15°=1√1+sin30°=√63．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（﹣2）＝f（2）B．f（0）＝0C．若f（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则f（x）在（0，+∞）上有最大值2D．若f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则f（x）在（0，+∞）上单调递减解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2）＝﹣f（2），A错误；由奇函数的性质可知，f（0）＝0，B正确；若f（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上有最大值2，C正确；若f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，D错误．故选：BC．10．对于直线l：mx+ny﹣3m＝0（m2+n2≠0，m，n∈R），下列说法正确的是（）A．直线l的一个方向向量为（n，﹣m）B．直线l恒过定点（3，0）C ．当m =√3n 时，直线l 的倾斜角为60°D ．当m ＝﹣2且n ＞0时，l 不经过第二象限解：当n ≠0时，直线l 的斜率k =−m n ，可得直线l 的一个方向向量为（1，−m n ）=−1n(n ，−m)， 因此，向量a →=(n ，−m)是直线l 的一个方向向量；当n ＝0时，直线l ：mx ﹣3m ＝0即x ＝3，斜率不存在，一个方向向量为（0，1），此时a →=(n ，−m)=（0，﹣m ）也是直线l 的一个方向向量．综上所述，直线l 的一个方向向量为（n ，﹣m ），A 项正确；将点（3，0）代入直线l 方程，得3m +0﹣3m ＝0，符合题意，故直线l 恒过定点（3，0），B 项正确；当m =√3n 时，直线l 的斜率k =−m n =−√3，可知直线l 的倾斜角为120°，故C 不正确； 当m ＝﹣2时，直线l ：﹣2x +ny +6＝0即2x ﹣ny ﹣6＝0，若n ＞0，则直线l 与x 轴交于（3，0），与y 轴交于（0，−6n）， 可知直线l 经过一、三、四象限，故D 正确．故选：ABD ．11．设S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0解：由等差数列的求和公式可得S n ＝na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+（a 1−d 2）n ， 选项A ，若d ＜0，由二次函数的性质可得数列{S n }有最大项，故正确；选项B ，若数列{S n }有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d ＜0，故正确；选项C ，若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，对应抛物线开口向上，d ＞0，可得数列{S n }是递增数列，故正确；选项D ，若数列{S n }是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n ∈N *，均有S n ＞0，故错误．故选：ABC ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足A 1F →=xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，且x ，y ，z ∈（0，1），记EF 与AA 1所成角为α，EF 与平面ABCD 所成角为β，则（ ）A ．若z =13，三棱锥E ﹣BCF 的体积为定值 B ．若x ＝y ＝z =12，则AE ⊥BFC ．∀x ，y ，z ∈（0，1），α+β=π2D ．∀x ∈（0，1），总存在y ＝2，使得EF ∥平面BDD 1B 1解：对于A ，若z =13，点E 在过线段AB 的三等分点（靠近A 点），并且于AD 平行的线段MN 上， ∵点E 在线段MN 上，且MN ∥BC ，∴点E 到线段BC 的距离为定值，则S △EBC 为定值，又点F 到平面ABCD ，即面EBC 的距离不变，∴V F−EBC =13S △EBC ⋅ℎF−EBC 为定值，故A 正确；对于B ，若x ＝y ＝z =12，则点F 为线段A 1D 1的中点，点E 为线段AC ，BD 的交点， 若AE ⊥BF ，又AE ⊥BD ，且BF ，BD ⊂面BFD ，BF ∩BD ＝B ，∴AE ⊥面BFD ，又EF ⊂面BFD ，∴AE ⊥EF ，设正方体的棱长为a ，则AE =√22a ，AF =√a 2+(a 2)2=√52a ，EF =√a 2+(a 2)2=√52a ， 此时，AF 2≠EF 2+AE 2，∴∠AEF ≠90°，与AE ⊥EF 矛盾，∴AE ⊥BF 不正确，故B 错误；对于C ，∀x ，y ，z ∈（0，1），则点F 在线段A 1D 1上（不含端点），点E 在正方形ABCD 内（不含边界）， 过F 作FG ∥AA 1，交AD 于G ，连接GE ，则∠GFE 为EF 与AA 1所成角，即α＝∠GEF ，∵AA 1⊥平面ABCD ，FG ∥AA 1，∴FG ⊥平面ABCD ，∴∠FEG 是EF 与平面ABCD 所成角，即β＝∠FEG ，∵△EGF 是直角三角形，∴α+β=π2，故C 正确；对于D ，过F 作FG ∥AA 1交AD 于G ，过G 作GE ∥BD ，交AC 于E ，连接EF ，此时满足A 1F →=x xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，x ∈（0，1），y ＝z ，下面证明EF ∥平面BDD 1B 1即可，∵FG ∥AA 1∥DD 1，FG ⊄面BDD 1B 1，DD 1⊂面BDD 1B 1，∴FG ∥面BDD 1B 1，∵GE ∥BD ，GE ⊄面BDD 1B 1，BD ⊂面BDD 1B 1，∴GE ∥面BDD 1B 1，∵GE ∩FG ＝G ，且GE ，FG ⊂面GEF ，∴面GEF ∥面BDD 1B 1，∴∀x ∈（0，1），总存在y ＝z ，使得EF ∥面BDD 1B 1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 56． 解：从四个球中任取两个的所有可能为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 共6种，其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的取法有5种，故所求概率为：P =56． 14．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0），若|AF |＝|AM |，则直线AB 的斜率为 2√6 ．解：因为|AF |＝|AM |，M （p ，0），F(p 2，0)， 所以x A =x M +x F 2=34p ，所以y A 2=2px A =32p 2，y A =√62p ， 所以k AB =k AF =√62p−034p−p 2=2√6，故答案为：2√6．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n +1，则a 2023＝ 4045 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2，可得4a 1+6d ＝4（2a 1+d ），即d ＝2a 1，由a 2n ＝2a n +1，n ∈N *，可得a 2＝a 1+d ＝2a 1+1，即d ＝a 1+1，解得a 1＝1，d ＝2，则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，故a 2023＝2×2023﹣1＝4045．故答案为：4045．16．在三棱锥O ﹣ABC 中，|OA →|=|OB →|=|OC →|=6，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC =π3，点M 在OA 上，OM →=2MA →，N 为BC 中点，则|MN →|＝ √19 ．解：由已知得MN →=MO →+ON →=−23OA →+12OB →+12OC →，则MN →2=（−23OA →+12OB →+12OC →）=49OA →2+14OB →2+14OC →2−23OA →•OB →−23OA →•OC →+12OB →⋅OC →=49×36+14×36+14×36−23×6×6×12−23×6×6×12+12×6×6×12=19，所以|MN →|=√19． 故答案为：√19．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n ﹣a n ，求数列{c n }的前10项和．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ≠0，等比数列{b n }的公比为q ＞0，∵a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3，∴2+d ＝2q ，2+3d ＝2q 2，d ≠0，解得d ＝q ＝2，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，b n ＝2n ；（2）c n ＝b n ﹣a n ＝2n ﹣2n ，∴数列{c n }的前10项和为2(210−1)2−1−2×10×(1+10)2=1936． 18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，且边AB 上的高等于14AB ．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为18，求边BC 的长．解：（1）因为a sin B ＝b cos A ，所以由正弦定理得：sin A sin B ＝sin B cos A ，因为sin B ≠0，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，因为A ∈（0，π），所以A =π4； （2）因为△ABC 的面积为18，所以S =12AB ⋅ℎ=18AB 2=18，解得AB ＝12，即c ＝12， 又S =12bcsinA =18，所以12×12×√22b =18，解得b =3√2， 在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A =18+144−2×3√2×12×√22=90，所以a =3√10，所以边BC 的长为3√10．19．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝90°时，求k的值；（2）若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形OCPD的面积的最小值．解：（1）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+4．又直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝90°时，则圆O到直线AB的距离为√2，则√1+k2=√2，即k2＝7，则k的值为±√7；（2）若k=12时，直线l：y=12x+4．点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，则|PC|=√|OP|2−4，则四边形OCPD的面积为2S△POC=2×12×|PC|×2=2|PC|=2√|PO|2−4，又|PO|≥√12+(12)2=√5，则2√|PO|2−4≥4√555，则四边形OCPD的面积的最小值为4√55 5．20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．（1）求证：BF⊥DE；（2）当B1D＝1时，求平面BB1C1C与平面DEF所成锐二面角的余弦值．（1）证明：如图，取线段BC的中点G，连接EG，B1G，由E ，G 分别是线段CA ，CB 的中点，可得EG ∥AB ∥A 1B 1，所以E ，G ，B 1，A 1四点共面， 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，四边形CBB 1C 1也为正方形，且EC BC =BGBB 1=12， 所以Rt △FCB ～Rt △GBB 1，则∠FBC +∠BGB 1=∠FBC +∠BFC =90°，所以BF ⊥GB 1，又BF ⊥A 1B 1，GB 1∩A 1B 1＝B 1，GB 1，A 1B 1⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥面EGB 1A 1，又DE ⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥DE ；（2）由（1）得BF ⊥面EGB 1A 1，又A 1B 1⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥A 1B 1，又BB 1⊥A 1B 1，BB 1∩BF ＝B ，BB 1，BF ∩面CBB 1C 1，所以A 1B 1⊥面CBB 1C 1，又A 1B 1∥AB ，所以AB ⊥面CBB 1C 1，又BC ⊂面CBB 1C 1，所以 AB ⊥BC ，故AB ，BC ，BB 1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则D （1，0，2），E （1，1，0），F （0，2，1），DE →=(0，1，−2)，EF →=(−1，1，1)， 设平面DEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{DE →⋅n →=y −2z =0EF →⋅n →=−x +y +z =0，取z ＝1，可得n →=(3，2，1)， 又平面BB 1C 1C 的一个法向量为m →=(1，0，0)，设平面BB 1C 1C 与平面DEF 所成锐二面角为θ，所以cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=3√1+4+9=3√1414． 21．（12分）已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 2+a 3+a 4＝117，a 3+18是a 2，a 4的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）•a n }的前n 项和等于n 2．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）求数列{b n}的通项公式．解：（1）∵a3+18是a2，a4的等差中项，∴2（a3+18）＝a2+a4，又a2+a3+a4＝117，可得2（a3+18）＝117﹣a3，解得a3＝27，∴a2+a4＝90=a3q+a3q=27q+27q，q＞1，解得q＝3，∴a3＝a1×32＝27，解得a1＝3．∴S n=3(3n−1)3−1=3n+1−32．（2）由（1）可得a n＝3n，∵数列{（b n+1﹣b n）•a n}的前n项和等于n2，∴a1（b2﹣b1）+a2（b3﹣b2）+…+（b n+1﹣b n）•a n＝n2，n≥2时，a1（b2﹣b1）+a2（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）•a n﹣1＝（n﹣1）2，相减可得：（b n+1﹣b n）•a n＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，∴b n+1﹣b n=2n−1 3n，n＝1时，3（b2﹣b1）＝1，解得b2﹣b1=13，对于上式也成立，∴b n+1﹣b n=2n−13n，n∈N*，∴n≥2时，b n＝b1+（b2﹣b1）+…+（b n﹣1﹣b n﹣2）+（b n﹣b n﹣1）＝1+13+332+⋯+2n−53n−2+2n−33n−1，∴13b n=13+132+⋯+2n−53n−1+2n−33n，相减可得23b n＝1+2（132+⋯+13n−1）−2n−33n=1+2×19(1−13n−2)1−13−2n−33n，化为：b n＝2−n3n−1，经过验证n＝1时也成立，∴b n＝2−n3n−1．22．（12分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线1与x轴垂直，且A，B两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C 的焦距为4．且0°＜∠AOB ＜90°恒成立，求双曲线C 的实轴长的取值范围．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时，令x ＝c 得c 2a 2−y 2b 2=1， 解得|y|=b 2a ，所以A ，B 两点的距离为2b 2a ， 根据题意可得2b 2a =2a ，所以a 2＝b 2＝c 2﹣a 2，整理得e =c a =√2； （2）双曲线C 的焦距为4，则c ＝2，即F （2，0），b 2＝4﹣a 2＞0，由于直线l 的斜率不为零，设其方程为x ＝my +2，联立{x =my +2x 2a 2−y 24−a 2=1，消去x 得[a 2（m 2+1）﹣4m 2]y 2+4m （a 2﹣4）y ﹣（a 2﹣4）2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−4m(a 2−4)a 2(m 2+1)−4m 2，y 1y 2=−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2， 由于A ，B 两点均在双曲线的右支上，所以y 1y 2=−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2＜0， 所以a 2（m 2+1）﹣4m 2＞0，即0≤m 2＜a 24−a 2， 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2＝（m 2+1）y 1y 2+2m （y 1+y 2）+4=(m 2+1)⋅−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2+2m ⋅−4m(a 2−4)a 2(m 2+1)−4m 2+4 =m 2a 2(4−a 2)−a 4+12a 2−16a 2(m 2+1)−4m 2， 由0°＜∠AOB ＜90°恒成立，得m 2＜a 24−a 2时，均有OA →⋅OB →＞0， 并且OA →，OB →不可能同向，即m 2a 2（4﹣a 2）﹣a 4+12a 2﹣16＞0，由于a 2（4﹣a 2）＞0，因为不等式左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2＝0时，﹣a 4+12a 2﹣16＞0成立即可，解得√5−1＜a＜√5+1，又0＜a＜2，所以√5−1＜a＜2，所以双曲线C的实轴长的取值范围为(2√5−2，4)．。
2024年鲁教版高二数学上册阶段测试试卷含答案
2024年鲁教版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若函数f（x）=a x+ka-x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A.B.C.D.2、已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且C（，），设=m+n（m，n∈R），则的值为（）A.B. 3C.D.3、汽车以100km/h的速度向东行驶2h；而摩托车以50km/h的速度向南行驶2h．则关于下列命题：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确命题的个数是（）A. 0个。
B. 1个。
C. 2个。
D. 3个。
4、下列几何体中；正视图；侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）5、已知角α的终边上一点的坐标为(－)，则角α的正弦值为( )A. －B.C. －D.6、【题文】已知为正实数，且若对于满足条件的恒成立，则的取值范围为A.B.C.D.7、如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A. 10B. 11C. 10或11D. 12评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知集合A={x|-1≤x≤4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是____．9、已知f（x）=x2011+ax3--6，f（-3）=10，则f（3）=____．10、的二项展开式中的常数项为____．（用数字作答）11、若函数在R上的图象均是连续不断的曲线；且部分函数值由下表给出：。
x 1 2 3 4f（x） 2 4 3 -2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学期中测试卷1(时间：120分钟满分：150分)2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四3个选项中，只有一项是符合题目要求的)41．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )5A．a2<ab<b2B．b2<ab<a26C．a2<b2<ab D．ab<b2<a27答案B82．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是( )9A．此数列不是等差数列，也不是等比数列10B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列11C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列12D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列13解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2187，…14若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，15a n＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.16∴{a n}可为等差数列．17若{a n}为等比数列，则公比q＝93＝3.18a n＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.19∴{a n}也可能为等比数列．20答案 B213．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为()22A．钝角B．直角23C．锐角D．60°24解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.25即a2＋b2－c2＝c2>0，cos C>0.26答案 C274．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列28{a n}的前7项和为()29A．63 B．6430C．127 D．12831解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.32∴S7＝1－271－2＝128－1＝127.33答案 C34355．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折7次，这36时报纸的厚度和面积分别为()37A．8a，b8B．64a，b 6438C．128a，b128D．256a，b 25639答案 C406．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，41而点(4,4)在此区域内，则b的范围是()42A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－543C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－544解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ， 45 ∴－8≤b <－5. 46 答案 C477．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，则关于x 的方48程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是49 ( )50 A ．7，－4 B ．8，－8 51 C ．4，－7D ．6，－652 解析 两根之和z ＝3m ＋2n ，画出可行域，当m ＝1，n ＝2时，53 z max ＝7；当m ＝0，n ＝－2时，z min ＝－4.54 答案 A55 8．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 成56 等差数列，则a x ＋cy 的值等于( )57A.14B.12 58 C ．2D ．159 解析 用特殊值法，令a ＝b ＝c . 60 答案 C61 9．制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列62 四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )63 A ．4.6m B ．4.8m 64 C ．5mD ．5.2m 65 解析 设三角形两直角边长为a m ，b m ，则ab ＝2，周长C ＝a ＋66b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828(m)．67 答案 C68 10．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 2n69 ＋1＝b 2n ＋1, 则( ) 70 A ．a n ＋1>b n ＋1 B ．a n ＋1≥b n ＋1 71 C ．a n ＋1<b n ＋1D ．a n ＋1＝b n ＋172 解析 a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12≥a 1a 2n ＋1＝b 1b 2n ＋1＝b n ＋1.73 答案 B74 11．下表给出一个“直角三角形数阵”： 75 14 7612，14 7734，38，316 78 ……79 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，80 且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则81 a 83等于( )82 A.18 B.14 83C.12D ．184解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又85每一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.86 答案 C8712．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y88的最大值为( )89 A ．4 B ．2 90 C ．1D ．－491 解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．9293 由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时94 z ＝2×1＋0＝2.95 答案 B96 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填97 在题中横线上)98 13.在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于99 ________．100 解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°. 101∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63.102答案 6310314．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是__________． 104 解析 ∵△ABC 为锐角三角形， 105∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B ＝2A <π2，0<π－A －B <π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π4，π6<A <π3.106∴A ∈(π6，π4)．107∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .108∴ba ∈(2，3)． 109 答案 (2，3)110 15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足111 关系式a n ·b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________.112 解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ， 113 ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2. 114 ∴a n ＝3·2n －1. 115 又a n ·b n ＝(－1)n . 116 ∴b n ＝(－1)n·1a n ＝(－1)n3·2n －1. 117答案 (－1)n3·2n －1118 16．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2119 ＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为________．120解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1＋2＝－b a ，－1×2＝c a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a ，a <0.121所求不等式可化为x 2＋1－(x －1)＋(－2)<2x ，122 解得0<x <3. 123 答案 {x |0＜x ＜3}124 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文125 字说明、证明过程或演算步骤)126 17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2127 －4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．128 解 A ＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2， 129B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >1. 130A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <13，或1<x <2， 131∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13≤x ≤1，或x ≥2}．132 18．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且133 8sin 2B ＋C2－2cos2A ＝7.134 (1)求角A 的大小；135 (2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值． 136 解 (1)在△ABC 中，有B ＋C ＝π－A ， 137 由条件可得4[1－cos(B ＋C )]－4cos 2A ＋2＝7， 138 即(2cos A －1)2＝0，139∴cos A ＝12.140又0<A <π，∴A ＝π3.141(2)由cos A ＝12，得b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即(b ＋c )2－a 2＝3bc ，则32－(3)2142 ＝3bc ，即bc ＝2.143由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.14419．(12分)递增等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2145 和a 4的等差中项．146 (1)求数列{a n }的通项公式；147 (2)若b n ＝a n ·log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和．148解 (1)设等比数列的公比为q (q >1)，149则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)，150解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，(舍去)．151所以a n ＝2·2n －1＝2n . 152 (2)b n ＝a n ·log 12a n ＝－n ·2n ，153S n ＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )， 154 2S n ＝－(1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1)． 155 两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1156 ＝－(n －1)·2n ＋1－2.15720．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药158 需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫159 克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，160 问A 、B 两种药最多能各配几剂？161 解 设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则162⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，163(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．164165 所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多166 配4剂，B 种药最多配3剂．16721．(12分)在△ABC 中，已知a ＋ba ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )168 ＋cos C ＝1－cos2C .169 (1)试确定△ABC 的形状； 170 (2)求a ＋cb 的范围．171解 (1)由a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，172得a ＋b a ＝b b －a ，即b 2－a 2＝ab ， ①173 又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ， 174 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C . 175 sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2. ②176 由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形． 177 (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋c b >1. 178又a ＋c b ＝a 2＋c 2＋2acb 2≤ 2(a 2＋c 2)b 2＝2b 2b 2＝2，故a ＋c b 的179 取值范围为(1，2]．180 22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，181 满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.182 (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；183 (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．184 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，185 (d ≠0)．186 由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.①187 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 188 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.189 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－6n .190(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中191的项，故8a m＋2为整数，又由(1)知a m＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，192即m＝1,2. 193当m＝1时，a m a m＋1a m＋2＝(－5)×(－3)－1＝－15.194显然它不是数列{a n}中的项．195当m＝2时，a m·a m＋1a m＋3＝(－3)×(－1)3＝1.196它是数列{a n}中的项．197因此，符合题意的正整数只有m＝2. 19819920020111。