多变量系统的可控性、可观测性和稳定性分析
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《现代控制理论》实验报告
学校：西安邮电大学
班级：自动1101
姓名：（31）
学号：06111031
实验二 多变量系统的可控性、可观测性
和稳定性分析
一、实验目的
1． 学习多变量系统状态可控性及稳定性分析的定义及判别方法；
2． 学习多变量系统状态可观测性及稳定性分析的定义及判别方法；
3． 通过用MATLAB 编程、上机调试，掌握多变量系统可控性及稳定性判别方法。
二、实验要求
1．掌握系统的可控性分析方法。
2．掌握可观测性分析方法。
3．掌握稳定性分析方法。
三、实验设备
1．计算机1台
2．软件1套。
四、实验原理说明
1． 设系统的状态空间表达式
q p n R y R u R x D Cx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= （2－1）
系统的可控性分析是多变量系统设计的基础，包括可控性的定义和可控性的判别。
系统状态可控性的定义的核心是：对于线性连续定常系统（2－1）,若存在一个分段连续的输入函数U （t ），在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x （t 0）转移至预期的终端x （t 1），则称此状态是可控的。若系统所有的状态都是可控的，则称该系统是状态完全可控的。
2． 系统输出可控性是指输入函数U （t ）加入到系统，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给
定的初态x （t0）转移至预期的终态输出y （t1）。
可控性判别分为状态可控性判别和输出可控性判别。
状态可控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态可控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态可控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出可控性判别式为：
[]
q D B CA CAB CB Rank RankS n o ==-1 （2－2）
状态可控性判别式为： []
n B A AB B Rank RankS n ==-1 （2－3） 系统的可观测性分析是多变量系统设计的基础，包括可观测性的定义和可观测性的判别。
系统状态可观测性的定义：对于线性连续定常系统（2－1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0 状态可观测性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态可观测性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态可观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。 状态可观测性判别式为： n CA CA C Rank RankV n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1 （2－4） 3． 只要系统的A 的所有特征根的实部为负，系统就是状态稳定的。式(1－2)又可写成： D B A sI C s D s N s G +-==-1)() ()()( 当状态方程是系统的最小实现时，A sI s D -=)(，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO （有界输入有界输出）稳定等价； 当A sI s D -≠)(时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO 稳定的。 五、实验步骤 1． 先调试[例]、[例]系统可控性、可观测性程序，然后根据所给系统的系数阵A 和输入阵B ，依 据可控性、可观测性判别式，对所给系统采用MATLA 的编程；在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 2． 调试[例]系统稳定性分析程序，验证稳定性判据的正确性。 3． 按实验要求，判断所给的具有两个输入的四阶系统的可控性。 [例]：已知系数阵A 和输入阵B 分别如下，判断系统的状态可控性 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B 程序： A =[ 0 1 0 2]; B=[0; 1; 1]; q1=B; q2=A*B; %将AB 的结果放在q2中 q3=A^2*B; %将A 2B 的结果放在q3中， S=[q1 q2 q3] %将可控性矩阵S 显示在MATLAB 的窗口 Q=rank(S) %可控性矩阵S 的秩放在Q 程序运行结果: S = Q = 3 从程序运行结果可知，可控性矩阵S 的秩为3=n ，所以系统是状态可控的。 [例]：已知系数阵A 和输入阵C 分别如下，判断系统的状态可观测性。 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ， []201=C 程序： A =[ 0 1 0 2]; C=[1 0 2]; q1=C; q2=C*A; %将CA 的结果放在q2中 q3=C*A^2; %将CA 2的结果放在q3中， V=[q1; q2; q3] %将能观矩阵V 显示在MATLAB 的窗口 Q=rank(V) %能观矩阵V 的秩放在Q 程序运行结果: V = Q =3 从程序运行结果可知，能观矩阵V 的秩为3=n ，由式（2－4）可知，系统是状态完全可观测的。 [例]：已知系数阵A 、B 、和C 阵分别如下,分析系统的状态稳定性。 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=234100010A ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=631B []001=C (2－6) ④ 根据题义编程: