多变量系统的可控性、可观测性和稳定性分析

《现代控制理论》实验报告
学校：西安邮电大学
班级：自动1101
姓名：（31）
学号：06111031
实验二 多变量系统的可控性、可观测性
和稳定性分析
一、实验目的
1． 学习多变量系统状态可控性及稳定性分析的定义及判别方法；
2． 学习多变量系统状态可观测性及稳定性分析的定义及判别方法；
3． 通过用MATLAB 编程、上机调试，掌握多变量系统可控性及稳定性判别方法。

二、实验要求
1．掌握系统的可控性分析方法。

2．掌握可观测性分析方法。

3．掌握稳定性分析方法。

三、实验设备
1．计算机1台
2．软件1套。

四、实验原理说明
1． 设系统的状态空间表达式
q p n R y R u R x D Cx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= （2－1）
系统的可控性分析是多变量系统设计的基础，包括可控性的定义和可控性的判别。

系统状态可控性的定义的核心是：对于线性连续定常系统（2－1）,若存在一个分段连续的输入函数U （t ），在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x （t 0）转移至预期的终端x （t 1），则称此状态是可控的。

若系统所有的状态都是可控的，则称该系统是状态完全可控的。

2． 系统输出可控性是指输入函数U （t ）加入到系统，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给
定的初态x （t0）转移至预期的终态输出y （t1）。

可控性判别分为状态可控性判别和输出可控性判别。

状态可控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态可控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态可控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出可控性判别式为：
[]
q D B CA CAB CB Rank RankS n o ==-1 （2－2）
状态可控性判别式为： []
n B A AB B Rank RankS n ==-1 （2－3） 系统的可观测性分析是多变量系统设计的基础，包括可观测性的定义和可观测性的判别。

系统状态可观测性的定义：对于线性连续定常系统（2－1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0，t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定S 系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统S 在t 0时刻是状态完全可观测的，或简称系统在[t 0，t a ]区间上可观测。

状态可观测性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态可观测性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态可观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态可观测性判别式为：
n CA CA C Rank RankV n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1 （2－4）
3． 只要系统的A 的所有特征根的实部为负，系统就是状态稳定的。

式(1－2)又可写成：
D B A sI C s D s N s G +-==-1)()
()()( 当状态方程是系统的最小实现时，A sI s D -=)(，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO （有界输入有界输出）稳定等价； 当A sI s D -≠)(时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO 稳定的。

五、实验步骤
1． 先调试[例]、[例]系统可控性、可观测性程序，然后根据所给系统的系数阵A 和输入阵B ，依
据可控性、可观测性判别式，对所给系统采用MATLA 的编程；在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

2． 调试[例]系统稳定性分析程序，验证稳定性判据的正确性。

3． 按实验要求，判断所给的具有两个输入的四阶系统的可控性。

[例]：已知系数阵A 和输入阵B 分别如下，判断系统的状态可控性
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B 程序：
A =[
0 1
0 2];
B=[0; 1; 1];
q1=B;
q2=A*B; %将AB 的结果放在q2中
q3=A^2*B; %将A 2B 的结果放在q3中，
S=[q1 q2 q3] %将可控性矩阵S 显示在MATLAB 的窗口
Q=rank(S) %可控性矩阵S 的秩放在Q
程序运行结果:
S =
Q = 3
从程序运行结果可知，可控性矩阵S 的秩为3=n ，所以系统是状态可控的。

[例]：已知系数阵A 和输入阵C 分别如下，判断系统的状态可观测性。

⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ， []201=C 程序：
A =[
0 1
0 2];
C=[1 0 2];
q1=C;
q2=C*A; %将CA 的结果放在q2中
q3=C*A^2; %将CA 2的结果放在q3中，
V=[q1; q2; q3] %将能观矩阵V 显示在MATLAB 的窗口
Q=rank(V) %能观矩阵V 的秩放在Q
程序运行结果:
V =
Q =3
从程序运行结果可知，能观矩阵V 的秩为3=n ，由式（2－4）可知，系统是状态完全可观测的。

[例]：已知系数阵A 、B 、和C 阵分别如下,分析系统的状态稳定性。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=234100010A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=631B []001=C (2－6) ④ 根据题义编程:
A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
B=[1;3;-6];
C=[1 0 0];
D=0;
[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)
程序运行结果:
z =
p =
+
-
k = 1
由于系统的零、极点均具有负的实部，则系统是BIBO 稳定的；又因为状态方程是系统的最小实现，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO 稳定等价，所以系统是状态渐近稳定的。

六、实验要求
①在运行以上[例]程序的基础上，编程判别下面系统的可控性。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010121101100203A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01
100010B []0101=C 提示：从B 阵看，输入维数 p=2，S 的维数为n ×(p ×n)=4×8,而Q=rank(S)语句要求S 是方阵，所以先令T S S R *=，然后Q=rank(R)。

② 要求调试自编程序，并写出实验报告。

七、实验结果
程序：
>> A=[3 0 2 0; 0 1 1 0;1 1 2 1;0 1 0 1];
>> B=[0 1;0 0;0 1;1 0];
>> q1=B;
>> q2=A*B;
>> q3=A^2*B;
>> S=[q1 q2 q3]
>> R=S*S.'
>> Q=rank(S)
从程序运行结果可知，可控性矩阵S的秩为4，等于n，所以系统是状态可控的。

八、实验结果
相对于上一次的实验，我明显感觉到这次实验的难度有些提高，要求分析系统的可控性、稳定性。

这要求我们结合平时课堂上所学的知识，根据实验要求，完成实验目的。

在认真做完实验指导书中给的例子后，我学会了判断系统的状态可控性和状态可观测性，以及学会了分析系统的状态稳定性。

但实验只是要求判断系统的可控性，虽然没有全用到例子里的方法，但是例子里的方法我也认真掌握了，受益匪浅。

这也是以后认真做实验的目的，可以学到很多课堂上学不到的东西。