宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一第一学期期中考试试题 数学(含解析)

宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一第一学期期中考试
试题 数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为R ，集合A {}|33x x =-<<，{}|15B x x =-<≤，则()R A C B ⋂=（ ） A. (]
3,1-- B. (3,1)-- C. (3,0)- D. (3,3)-
【答案】A 【解析】
试题分析：由{}|15B x x =-<≤的{}
51U C B x x x =≤-或，所以()R A C B ⋂={}|31x x -<≤-，选A ． 考点：集合的运算
2.设函数f (x )＝21,1,
2,1,x x x x
⎧+≤⎪
⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )
A.
15
B. 3
C.
23
D.
139
【答案】D 【解析】 【详解】
()231,33
f >∴=
, 22213
((3))()()1339
f f f ==+=,故选D.
【此处有视频，请去附件查看】
3.函数()()2ln 1f x x x =+-的定义域为（ ）
A. [
)2,1- B. (]2,1-
C. []2,1-
D. ()1,+∞
【答案】A 【解析】
依题意有20
10x x +≥⎧⎨->⎩
，解得[)2,1x ∈-.
4.下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（ ）
A. 2
y x =- B. 1
y x
=
C. 12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D. 2log y x =
【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：2
y x =-在(0,)+∞上是减函数，故A 不对；1
y x
=
在(0,)+∞上是减函数，故B 不对；12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在(0,)+∞上是减函数，故C 不对.；2log y x =在(0,)+∞上是增函数，故D 对
考点:函数的单调性.
5.已知幂函数()y f x =的图象过点122⎛ ⎝⎭
，则()4f 的值为( )
A.
1
4
B. 2
C. 4
D.
116
【答案】B 【解析】 【分析】
根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值． 【详解】设幂函数为()f x x α
=，
()y f x =的图象过点12,22⎛ ⎝⎭
，1212()222αα--∴===
1
2
α∴=．()12f x x ∴=，()124442f ∴===，
故选B ．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题. 6.满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数（ ） A. 5个 B. 6个
C. 7个
D. 8个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意得，B 是{1，2，3，4}的一个包含元素1子集，一共有8个．
【详解】满足关系式{1}⊆B ⊆{1，2，3，4}的集合B 有{1}，{1，3}，{1，2}，{1，4}，{1，2，3}，{1，
{1，3，4}，{1，2，3，4}一共有8个． 故选D ．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题． 7.若2x =3，则x 等于（ ） A. 3log 2 B. lg2lg3-
C.
lg2
lg3
D.
lg3
lg2
【答案】D 【解析】 【分析】
化指数式为对数式，再由换底公式得答案． 【详解】由2x
＝3，得x 23
32
lg log lg ==
． 故选D ．
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题．
8.已知2
(1)5f x x x +=+，那么()f x =（ ）
A. 234x x ++
B. 234x x +-
C. 23x x +
D. 25x x +
【答案】B 【解析】 【分析】
先令1t x =+，则22
()(1)5(1)34f t t t t t =-+-=+-，即可求得函数解析式. 【详解】解：设1t x =+，则1x t =-， 则2
2
()(1)5(1)34f t t t t t =-+-=+-， 即函数解析式为()f x =234x x +-， 故选：B.
【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属基础题.
9.已知3
2
12
1=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）
A. a b c >>
B. a c b >>
C. c b a >>
D. b a c >>
【解析】 【分析】
利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a 与b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到0c <，得到最终的结果.
【详解】由指数函数和对数函数图像可知：3
2
12
1(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭，
则a b c ，，的大小关系是：b a c >>. 故选D ．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.当01a <<时，在同一坐标系中x
y a =与log a y x =的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【详解】解析过程略
11.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是( ) A. 增函数且最小值为5- B. 增函数且最大值为5- C. 减函数且最小值为5- D. 减函数且最大值为5-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇偶性和函数在[]3,7上的单调性可知()f x 在[]7,3--上为增函数，由()35f =可知()35f -=-，由单调性确定()3f -为最大值. 【详解】
()f x 为奇函数 ()f x ∴图象关于原点对称
()f x 在[]3,7上为增函数 ()f x ∴在[]7,3--上为增函数
()f x ∴在[]7,3--上的最小值为()7f -；最大值为()3f -
又()f x 在[]3,7上最小值为()35f = ()()335f f ∴-=-=- 即()f x 在[]7,3--上为增函数且最大值为5- 本题正确选项：B
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数值的问题，关键是能够通过奇偶性得到对称区间内的单调性，从而确定最值点.
12.若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有()()
2121
0-f x f x x x -<，则下列关系式中成
立的是（ ）
A. 123()()()234f f f >->
B. 132
()()()2
43
f f f >->
C. 312()()()423
f f f >->
D. 321
()()()432
f f f ->>
【答案】A 【解析】 分析】
由于对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有
()()
2121
0-f x f x x x -<，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，即可得出．
【详解】∵对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有
()()
2121
0-f x f x x x -<， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 又∵
123234<<， ∴123f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪＞＞，
又∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣23）＝f （23
）． ∴123234f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＞＞． 故选A ．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知函数()f x 是定义在R 上的
奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32
()2f x x x =+,则(2)f =__________.
【答案】12 【解析】 【分析】
由函数的奇偶性可知()()22f f =--，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数()f x 是定义在
上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，
()()()()32
2222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦
.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 14.若指数函数()()1x
f x a a =>在区间[]0,2上的最大值和最小值之和为10，则a 的值为__
【答案】3 【解析】 【分析】
先由当1a >时，指数函数()x
f x a =为增函数，则在区间[]0,2上，()2
max f x a =，()0
min 1f x a ==，
再结合已知条件运算即可得解.
【详解】解：因为当1a >时，指数函数()x f x a =为增函数， 则在区间[]0,2上，()2
max f x a =，()0
min 1f x a ==，
又指数函数()()1x
f x a
a =>在区间[]0,2上的最大值和最小值之和为10，
则2110a +=，即29a =， 又1a >，即3a =， 故答案为：3.
15.二次函数2
2y x ax b =++在[1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范是____.
【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】
二次函数的开口向上，在[1,)-+∞上单调递增，所以对称轴要在区间的左边. 【详解】二次函数2
2y x ax b =++的对称轴为x a =-， ∵()f x 在[1,)-+∞上单调递增， ∴1a --，即1a ≥.
【点睛】研究二次函数的单调性时，要注意开口方向及对称轴与区间的位置关系.
16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，且(1)0f -=，则不等式
()0f x <的解集为___________
【答案】{}|11x x -<< 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【详解】∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上增函数，f （﹣1）=0，
∴f（﹣1）=f （1）=0， 则函数f （x ）对应的图象如图：
则f （x ）＜0的解为﹣1＜x ＜1， 即不等式的解集为（﹣1，1）， 故答案为{}|11x x -<<．
查函数性质的应用．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算：（1）1
12
3
2012720.148π-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）2lg 25lg 44log ++ 【答案】(1)101 (2)4 【解析】 【分析】
（1）由分数指数幂的运算性质()m n
mn
a a
=运算即可得解；
（2）由对数的运算性质log log log a a a m n mn +=运算即可得解.
【详解】解：（1）1
123
2012720.148π-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
132(1)(2)323333()10()110011012222⨯⨯-⨯-=+-+=+-+=； （2）2lg 25lg 4log 4++2lg100log 4224=+=+=. 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题. 18.已知集合A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，C ＝{x |x a ≤}． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；
(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
【答案】(1) {x |2≤x <10}, {x |7≤x <10};(2) 2a ≥ 【解析】 【分析】
（1）根据交、并、补集的运算分别求出A∪B，（∁R A ）∩B；（2）根据题意和A∩C≠∅，即可得到a 的取值范围．
【详解】解：(1)因为A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2≤x <10}． 因为A ＝{x |2≤x <7}， 所以∁R A ＝{x |x <2，或x ≥7}， 则(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．
(2)因为A ＝{x |2≤x <7}，C ＝{x |x a ≤}，且A ∩C ≠∅，所以2a ≥
【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算． 19.已知函数f (x )＝
21
1
x x ++， (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 【答案】(1)增函数,证明见解析 (2)min 3()2
f x =，max 9()5f x =
【解析】 【分析】
(1)设121x x ≤<，再利用作差法判断12(),()f x f x 的大小关系即可得证； (2)利用函数在区间[]1,4上为增函数即可求得函数的最值. 【详解】解：(1)函数f (x )＝21
1
x x ++在区间[1，＋∞)上为增函数， 证明如下：设121x x ≤<， 则1212
1212122121()()011(1)(1)
x x x x f x f x x x x x ++--=
-=<++++， 即12()()f x f x <，
故函数f (x )＝21
1
x x ++在区间[1，＋∞)上为增函数； (2)由(1)可得：函数f (x )＝21
1
x x ++在区间[]1,4上为增函数，
则min 2113
()(1)112
f x f ⨯+==
=+，max 2419()(4)415f x f ⨯+==
=+， 故函数f (x )在区间[]1,4上的最小值为
32，最大值为9
5
. 【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性及利用函数单调性求函数的最值，属基础题.
20.已知函数()()()22f x log 3x log 3x =+--，
()1求()f 1．
()2判断并证明函数()f x 的奇偶性；
()3已知()2f lga log 5=，求a 的值．
【答案】（1）1； （2）()3,3-； （3）100 【解析】 【分析】
()1将x=1代入计算即可；
()2先求定义域并判断是否关于原点对称，然后用奇偶性定义判断；
()3先计算f （lga ）
，再解方程可得． 【详解】()()()()221f 1log 31log 31211=+--=-=；
()2要使函数()()()22f x log 3x log 3x =+--有意义，则
{
3x 0
3x 0+>->，
解得3x 3-<<，
∴函数()f x 的定义域为()3,3-；
()()()()22f x log 3x log 3x f x -=--+=-，∴函数()
f x 奇函数．
()
()()()2223f lga log 3lga log 3lga log 5=+--=，
3lga
53lga
+∴
=-，且3lga 3-<<，
解得a 100=．
a 100=．
【点睛】本题考查了函数奇偶性定义证明及对数的运算性质，属基础题．
21.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2
(1)2f x x x =++.
（1）求函数()f x 的表达式； （2）请画出函数()f x 的图象；
【答案】（1）2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪
==⎨⎪++<⎩
【解析】
【分析】
（1）先设0x >，则0x -<，再结合函数的奇偶性求函数解析式即可；
（2）结合函数解析式作图像即可得解.
【详解】解：（1）设0x >，则0x -<，
又函数()f x 为奇函数,
则22()()[()2()1]21f x f x x x x x =--=--+-+=-+-，
又函数()f x 为R 上的奇函数,
则(0)0f =，
故2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩
；
（2）由（1）可得：函数()f x 的图象如图所示：
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了函数图像的作法，属基础题.
22.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）＝1，及f （x +1）﹣f （x ）＝2x ．
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
【答案】（1）()2
1f x x x =-+（2）m ＜﹣1 【解析】
【分析】
（1）根据二次函数f （x ）满足条件f （0）＝1，及f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，可求f （1）＝1，f （﹣1）＝3，从而可求函数f （x ）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方，等价于x 2﹣x +1＞2x +m 在[﹣1，1]上恒成立，等价于x 2﹣3x +1＞m 在[﹣1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m 的取值范围．
【详解】解：（1）令x ＝0，则∵f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，
∴f （1）﹣f （0）＝0，
∴f （1）＝f （0）
∵f （0）＝1
∴f （1）＝1， ∴二次函数图象的对称轴为12
x =． ∴可令二次函数的解析式为f （x ）21
()2y a x h ==-+．
令x ＝﹣1，则∵f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，
∴f （0）﹣f （﹣1）＝﹣2
∵f （0）＝1
∴f （﹣1）＝3， ∴114934
a h a h ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴a ＝1，34
h = ∴二次函数的解析式为()221
3()124
y f x x x x ==-+=-+ （2）∵在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方
∴x 2﹣x +1＞2x +m 在[﹣1，1]上恒成立
∴x 2﹣3x +1＞m 在[﹣1，1]上恒成立
令g （x ）＝x 2﹣3x +1，则g （x ）＝（x 32-）254
- ∴g （x ）＝x 2﹣3x +1在[﹣1，1]上单调递减，
∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，
∴m ＜﹣1.
【点睛】本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+m的图象上方，转化为x2﹣3x+1＞m在[﹣1，1]上恒成立．。