矩阵,行列式, 秩, 相关计算

矩阵，行列式, 秩, 相关计算： 例
：
已知矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，且A 与矩阵X 满足112AXA XA I
--=+，求X 。

例：已知3阶方阵
123023003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，计算行列式 6A I *+。

例：已知32212232,26223A B ⎛⎫
-⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，求行列式 10
2A B
-
例： 证明：若n 阶方阵A ,B ,C 满足：AB =AC ,B ≠C ，则A 不满秩。

例： 举例说明：由AB =AC ,A ≠0不能导出B =C 。

例 对于n 阶方阵A, 求证: r(A n )=r(A n+1)
例 A 和伴随阵的秩的关系。

方程组及其求解：
例： 对下列线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
321
3213211a ax x x a x ax x x x ax
试讨论：当a 取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

（用导出组的基础解系表示通解）
例：已知线性方程组
123123123123121(1)2(1)3
ax x x x x ax x x x a x x a x -++=-⎧⎪
++=-⎪⎨
++=-⎪⎪-+++=-⎩ 问参数a 取何值时，上述方程组无解？有唯一解？有无穷多解
例： 已知A 是n m ⨯矩阵，m n >，m A =)(r ，B 是)(m n n -⨯矩阵，
m n B -=)(r ，且
0=AB 。

证明：B 的列向量组为线性方程组0=AX 的一
个基础解系。

例：设有齐次线性方程组
（I ）
12312300
ax x x x ax x ++=⎧⎨
++=⎩ （II ） 1230x x ax ++= （III ）
1231231
23000
ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 已知方程组（I ）的解都是方程组（II ）的解，
（1）证明：方程组（I ）与方程组（III ）的同解； （2）证明：方程组（III ）有非零解； （3）求参数a 的值。

例：已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4元列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=。

(1) 求线性方程组0=AX 的一个解;
(2) 如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=X A 的通解。

例 矩阵秩 为r 的充要条件是： 存在r 阶非0子式，但包含此非0子式的r+1阶子式都为0.
向量及其运算
例：已知
1234(1,1,1,1),(1,2,4,8),(1,3,9,27),(1,4,12,34)T T T T
αααα====
求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组。

例: 已知向量组
123(1,1,3,1),(5,2,8,9),(1,1,1,3),ααα==--=--
4(1,3,5,7)α=--，
（1）求生成子空间 1234(,,,)L αααα 的维数和一个基； （2）求生成向量组1234,,,αααα中的各向量关于取定基的坐标。

例： 设1234,,,αααα与1234,,,ββββ是4维向量空间V 的两个基，从1234
,,,αααα到1234,,,ββββ的过渡矩阵为3
100210000210
01
2A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。

已知向量γ 关于基1234,,,ββββ的坐标为(1,1,2,2)--，求γ 关于基1234,,,αααα的坐标。

例
：
已
知
3
21ααα,,是向量空间
3
R 的一个
基,33212211232αβααβααβ=+=+=,,. (1) 证明321βββ,,为3R 的一个基;
(2) 求基321ααα,,到基321βββ,,的过渡矩阵; (3) 求向量321αααγ++=关于基321βββ,,的坐标。

例： 已知向量空间3R 的两个基
123(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)ααα===和123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)βββ===
（1）求从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；
（2）对312,R γγ∈，证明：若1γ关于基123,,ααα的坐标与2γ关于基123,,βββ的坐标完全相同， 则1γ关于基123,,βββ的坐标与2γ关于基123,,ααα的坐标也完全相同。

线性空间和线性变换：
例：在2
2R
⨯中，令
, , , ,⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=10000100001000014321αααα ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11110111001100014321ββββ , , , (1) 证明4321ββββ,,,为22R ⨯的一个基；
(2) 求自然基4321αααα,,,到基4321ββββ,,,的过渡矩阵；
求⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=1111γ在基4321ββββ,,,下的坐标
例： 在4][x F 中，求自然基321x x x ,,,到基3221111x x x x x x ++++++,,,的过渡矩阵，以及321x x x x h -+-=)(在后一个基下的坐标。

例 在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：
233
012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++
1．证明：σ是4[]R x 上的线性变换；
2．求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

矩阵特征值与特征向量，矩阵的相似对角化，ＪＯＲＤＡＮ 标准型．
例：已知3阶矩阵A 有特征值1，2，且0=A 。

(1) 求I A +2
的所有特征值;
(2) 证明I A +2
为可逆矩阵。

例：已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,, 21，且B B A ij
ij C R −→−−→−1。

(1) 求A ; (2) 求B 的特征值。

例：设A 是n 阶矩阵，n ααα,,, 21是n 元列向量，其中0≠n α，并且
013221====-n n n A A A A ααααααα , , , ,
(1) 证明向量组n ααα,,, 21线性无关； (2) 求A 的特征值和特征向量； (3) 判断A 是否可以相似对角化。

例： 已知n
R 中两个非零向量：()()T
n T n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα，
其中021≠≥b n ,，矩阵T A αβ=。

(4) 求2A ；
(5) 求A 的特征值和特征向量； (6) 判断A 是否可以相似对角化：若可以，请写出相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ；
若不可以，请说明理由。

例： 已知矩阵342010120A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵。

例： (A+xI)(A+yI)=0, x 和y 不相等, 求证: A 可以相似对角化.
例： 设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得
1
1111
22P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪=- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

例： 设5阶方阵A 的初等因子为
λλλλ ,1 ,1 ,22)(++-
试写出A 的Jordan 标准形。

实对称矩阵和二次型
例：设A 为3阶实对称矩阵，其特征值为201-,,，矩阵A 的属于特征值1和2-的特征向量分别是T ),,(121和T a ),,(11-。

(1) 求a 的值;
(2) 求方程组0=AX 的通解。

例： 举例说明，若A 是可相似对角化的矩阵，则不一定存在正交矩阵Q ，使得1Q AQ -是对角矩阵。

例： 设A 是n 阶方阵，证明：若存在n 阶正交矩阵Q ，使得1Q AQ -是对角矩阵，则A 是对称矩阵。

例： 已知实二次型AX X x x x f T =),,(321，其中A 相似于对角矩阵),,(diag 321。

(1) 求二次型),,(321x x x f 的一个标准形; (2) 判断二次型),,(321x x x f 是否正定。

例：已知实二次型222123123121323(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++
1．问参数a 取何值时，123(,,)f x x x 正定？ 2．写出123(,,)f x x x 被正交替换化成的标准形。

例： 设Ａ是正定矩阵，Ｂ是任意对称阵，证明： 存在可逆阵Ｃ，使得： ＣＴＡＣ，ＣＴＢＣ 同时为对角形．。