函数一致连续的若干方法

函数一致连续的若干方法学生姓名：钱建英 学号:20115031297数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师：段光爽 职称：讲师摘 要 函数在区间上的一致连续性是学习数学分析课程中的重要理论之一，本文主要讲述了函数在有限区间与无线区间上一直连续的若干方法并举例说明关键词 函数；一致连续；极限；Several methods of uniformly continuous functionAbstract The function uniform in interval is one of the most of important theories in the mathematics analysis course .this paper describes several methods function on a finite interval with a wireless range has been continuous and illustrated. Key words : function consistent-continuity limit.0 前言一致连续是在数学分析中频繁用到的概念，是数学分析中经常涉及的问题，并且一致连续性问题是数学分析中的主要理论，函数一致连续与处处连续有着本质的区别：处处连续是局部概念而一致连续是函数和区间共同决定的，是整体的概念.目前数学分析课本上的判别法大多是利用函数一致连续的定义，没有提出一些直观的判别法.对于初等函数一致连续的问题并没有系统的总结，函数非一致连续也是利用定义，没有直观判别.函数一致连续性的判定是学习数学分析的重点和难点，因此寻找函数一致连续性的较为直观的判定方法非常重要，对于今后的学习以及数学分析教学有帮助，学习函数一致连续性时有更加直观的感觉，建立感性认识，将一致连续与其他知识联系起来，开阔分析问题的思路，为其他问题的解决奠定基础，本文给出了一些判定方法.1有限区间上函数一致连续1.1 一致连续性定义设f 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0>ε，存在()0>=εδδ，使的对任何的I x x ∈''',,只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f .则称函数f 在区间I 上一致连续.f 在I 上一致连续意味着：任意的两点x x ''',,不论这两点在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可得到()()ε<''-'x f x f .1.2 有限区间上一致连续性定理定理1 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，那么可以得到函数f 在[]b a ,一致连续.证 若不然，则00>∃ε，以及点列[]b a y x n n ,,⊂ 虽然()0lim =-∞→n n n y x ，但是()() ,2,1,0=≥-n y f x f n n ε因为{}n χ有界，所以由致密性定理，{}n χ有一个收敛的点列{}k n χ， 设0lim x x k n k =∞→，从而()[]0lim lim x x x y y k k k k n n n k n k =+-=∞→∞→.又因为b x a k n ≤≤，由极限的不等式性质我们可以推得b x a ≤≤0，可知()χf 在点0χ连续.()()()()0lim 000=-=-≤∞→x f x f y f x f kkn n k ε.矛盾.定理2 若函数f 在开区间()b a ,上连续，那么f 在()b a ,上一致连续的充要条件是()()0,0-+b f a f 均存在.证明 做函数f 的连续延拓函数*f ， 令()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-∈=+=*b x b f b a x x f ax a f f ,0,,,0.易知函数()x f *在[]b a ,上连续，由函数一致连续定理可知()x f *在[]b a ,上一致连续，必在开区间()b a ,上一致连续，即在开区间()b a ,上一致连续. 由函数f 在开区间上()b a ,一致连续的定义可知，()b a x x ,,,0,0∈'''∀>∍>∀δε，当δ<''-'x x 时，有()()ε<''-'x f x f ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈'''∀2,,δa a x x ，可得δ<''-+-'≤''-'x a a x x x ，因此()()ε<''-'x f x f .由柯西收敛准则知()0+a f 存在，同理可证()0-b f 存在. 定理3 函数f 在区间I 上一致连续的充要条件任意的{}{},,I y x n n ⊂()∞→→n y x n N ，就有()()()∞→→n y f x f n n由于数列{}{}n n y x ,是任意性，所以该定理常可用于证明函数不是一致连续. 1.3 有限区间上一致连续性条件推论1 设()x f 在有限区间[)b a ,上连续，那么由上面定理可知()x f 在[)b a ,上一致连续充要条件是极限()()0,0-+b f a f 均存在.推论2 设()x f 在有限区间(]b a ,上连续，那么有上面定理可知()x f 在(]b a ,上一致连续充要条件是极限()()0,0-+b f a f 均存在.2 无限区间上一致连续2.1无限区间上一致连续判定定理定理4 若函数f 在[)+∞,a 上连续，且()x f 极限存在，则f 在[)+∞,a 一致连续. 定理5 设f 在[)+∞,a 连续，g 在[)+∞,a 上一致连续，且()()0lim =-∞→x g x f x ，则f在[)+∞,a 一致连续.证明 由与()()0lim =-∞→x g x f χ，所以A x x a A ≥'''∀>∍>∀,,,0ε，可得()()3ε<''-'x g x f .以及()()3ε<''-'x g x f .由于函数g 在[)+∞,a 上一致连续，因此A x x ≥'''∀>∍>∀,,0,0δε，且δ<''-'x x ，因此()()3ε<''-'x g x g .因此，A x x ≥'''∀,，δ<''-'x x ，可得()()()()()()()()ε<''-'+'-'+'-'≤''-'x g x f x g x g x g x f x f x f .f 在[)+∞,a 上一致连续，又因为f 在[]A a ,上一致连续，所以f 在[)+∞,a 上一致连续.直观表述：若连续函数在无穷远出可以充分贴近一个一致连续函数，那么这个函数必定一致连续.定理6 若函数f 在[)+∞,a 可导，并且()λ='+∞→x f x lim ，则f 在[)+∞,a 上一致连续的充要条件是λ为常数.证明 如果λ为常数，由局部有界性可知，a A <∃，使得()x f '在区间[)+∞,A 上有界，又由于f 在区间[)+∞,A 上一致连续，所以f 在区间[]A a ,上一致连.反证法：设()∞='+∞→x f χlim 则,0,210>∀=∃δε取δ1=G ，因此,,A x a A >∀>∃可得()G x f >'，取δδ<=->2,212,1x x A x x ,那么我们跟据拉格朗日定理可得()()()2122121=>-'=-δξG x x f x f x f . 因此可得f 在区间()+∞,A 上不是一致连续，这和f 在区间[)+∞,a 上一致连续相矛盾.这个结论使得许多初等函数在无限区间上一致连续与不一致连续的判别方法变得简单.2.2 无限区间上一致连续性条件推论3 如果函数f 在区间(]b ,∞-上连续，并且()A x f =-∞→χlim ，那么f 在(]b ,∞-上一致连续.推论 4 函数f 在区间()+∞,a 上一致连续的充分条件是f 在区间()+∞,a 上连续并且()0+a f 和()∞+f 都存在.推论 5 函数f 在区间()b ,∞-上一致连续的充分条件是f 在()b ,∞-上连续且()0-b f 和()∞-f 都存在.结论1 若函数g f ,在[)+∞=,a I 上连续，并且函数g f ,满足：()()()∞==+∞→+∞→x g x f χχlim lim 1； ()g f ,2在I 上可导，并且()0≠'x g ；()()()x g x f ''+∞→χlim 3存在； 如果()()A x g x f =''+∞→χlim，那么g f ,有相同的一致连续性. 结论2 如果函数g f ,在[)b I ,∞-=上连续，并且函数g f ,满足：()()()∞==-∞→-∞→x g x f χχlim lim 1； ()g f ,2在I 上可导，并且()0≠'x g ；()()()x g x f ''-∞→χlim 3存在； 如果()()A xg x f =''+∞→χlim，那么g f ,有相同的一致连续性. 结论3 如果函数g f ,在[)+∞∞-=,I 上连续，并且函数g f ,满足：()()()∞==∞→∞→x g x f χχlim lim 1()g f ,2在I 上可导，并且()0≠'x g 存在如果()()A x g x f =''∞→χlim，那么g f ,有相同的一致连续性.2.3 一致连续的四则运算()1如果()()x g x f ,两个函数在区间I 上存在有界的导数，可以得出()()x g x f ±在区间上一致连续.()2如果()()x g x f ,两个函数在区间I 上一致连续，那么存在任意的常数βα,使得()()x g x f βα+在区间上一致连续.()3如果()()x g x f ,两个函数在区间上I 存在有界的导数，可以得出()()x g x f 在区间上一致连续.()4如果()()x g x f ,两个函数在区间I 上一致连续且有界，可知()()x g x f 在区间上一致连续.性质1 如果函数f 在有限区间I 上一致连续，那么函数f 在有限区间I 上有界. 证明若设函数f 在()b a I ,=内一致连续，那么由一致连续的定义可知，令10=ε，0>∃δ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<30a b δ，当()b a x x ,,21∈并且δ<-21x x ， 恒有()()121=<-εx f x f .我们将()b a ,分为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,δa a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2,2δδb a 和⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ,2δ，那么()1当∈x ⎪⎭⎫⎝⎛+2,δa a 时，可以得到()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤2122δδδa f a f a f x f x f .()2当∈x ⎪⎭⎫⎝⎛-b b ,2δ时恒有：()()⎪⎭⎫⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤212δδb f b f x f x f .()3当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2,2δδb a 时，由闭区间连续函数的有界性的定理知，0>∃M 使得当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2,2δδb a 时，有()M x f ≤若⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++='M a f a f M ,21,21max δδ，那么对于任意的()b a x ,=都有()M x f '≤.性质2 设函数f 在21,I I 两个区间上一致连续，并且21,I I 两个区间交集不等于空集，那么函数f 在21I I ⋃上也一致连续. 证明 若21I I ⊃或21I I ⊂，结论显然成立.假设21,I I 两个区间之间不相互包含，因为f 在21,I I 上面一致连续，所以对于任意的0>ε.01>∃ε，对于任意的121,I x x ∈， 并且有121δ<-x x ，那么()()ε<-21x f x f .而且02>∃ε，对于任意的221,I x x ∈， 并且221δ<-x x ，有()()ε<-21x f x f .因为21,I I 两个区间的交集不等于空集，所以取0x 属于21,I I 的交集，又因为函数f 在21,I I 两个区间上一致连续，所以f 在0x 连续. 对于上面的正数ε，03>∃ε，当∈x 21I I ⋃，有30δ<-x x 那么()()2/0ε<-x f x f .取{}321,,m in δδδδ=，∈21,x x 21I I ⋃，当δ<-21x x 时，就有()1若121,I x x ∈，或者221δ<-x x ，有()()ε<-21x f x f .()2若11I x ∈，22I x ∈那么3121001δδ<<-≤-<-x x x x x x ，()()2/21ε<-x f x f ，同理可得()()2/02ε<-x f x f所以有f 在()()εεε<+<-2/2/21x f x f因此f 在21I I ⋃上一致连续.3 函数一致连续实例3.1有限区间上一致连续实例例1 证明函数xy 1=在()1,0上不一致连续.证 由一致连续性的定义知，证明函数在某区间上不一致连续，只需证明：00>∃ε，尽管对于任意的正数δ(无论δ多么小)，总是存在两点I x x ∈''',， 虽然δ<''-'x x ，但存在()()0ε≥''-'x f x f .对于函数x y 1=，我们可取10=ε，无论对于多么小的正数⎪⎭⎫⎝⎛<21δ，只要取δ='x 和2δ=''x 可知，虽然δ<''-'x x但是1111>=''-'δx x . 所以函数xy 1=在()1,0上不一致连续. 例2 求证()⎪⎭⎫⎝⎛=x f 1sin χ在区间()1,0上不一致连续.证 证明函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin 在区间()1,0上不一致连续，只需证明存在两个数列{}{},,I y x n n ⊂存在()0lim =''-'∞→x x n ，但是()()()0lim ≠''-'∞→x f x f n .我们取 2,1,221,21=+==n n x n x n n πππ虽然有()0lim =-∞→n n n y x .但是011sin 1sin=-nn y x . 由此可知()⎪⎭⎫⎝⎛=x f 1sin χ在区间()1,0上不一致连续.例3 如果有一个函数()χf 在闭区间[]b a ,上一致连续，求证：存在一个函数()y g 在[)+∞,0具备下面的性质：()1()y g 在上单调递增，且当a b y -≥时，()y g 等于常数. ()2对任意的[]b a x x ,,∈'''，有()()x x g x f x f ''-'≤''-'.()3()0lim 0=+→y g y . 证明 令()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧->--≤≤''-'=≤''-'∈'''a b h a b g a b h x f x f y g yx x b a x x ,0,sup ,, 那么()y g 在上单调递增，对任意的[]b a x x ,,∈'''，有()()x x g x f x f ''-'≤''-'.并且当a b y -≥时，()()a b g y g -=.又因为()x f 在闭区间[]b a ,上一致连续，由一致连续性定理，0,0>∃>∀δε，使得[]b a x x ,,21∈时，δ<-21x x ，得到()()ε<-21x f x f .对于任意的y ，满足δ<≤y 0，如果[]b a x x ,,21∈并且δ<≤-y x x 21，()[]()()ε≤''-'=∈'''x f x f y g b a x x ,sup .所以()0lim 0=+→y g y .3.2 无限区间上函数的一致连续例1 如果()f x arctgx =在区间(],1-∞和[)0,+∞上一致连续，求证()f x 在(),-∞+∞上一致连续.证：因为()f x arctgx =在区间(],1-∞和[)0,+∞上是一致连续的，所以对于任意的()10,0εδε>∃>，当(]()12121,,1,x x x x δε∈-∞-<，可以得出()()12f x f x ε-< 并且存在()20δε>,当()12,0,x x ∈+∞时，可以求的()()12f x f x ε-<所以取()()(){}12min 1,,δεδεδε=，那么当()12,,x x ∈-∞+∞并且当()12x x δε-<时，12,x x 同时属于(],1-∞或者同时属于[)0,+∞，所以()()12f x f x ε-<.成立.综上可知()f x 在(),-∞+∞上一致连续.例2 证明函数()2cos sin 1x x f x x x =++在[),a +∞上的一致连续性. 证 取一个函数()sin g x x =，由于初等函数在其区间上是一致连续的，所以()sin g x x =一致连续.又因为()()()lim 0x f x g x →+∞-=.所以()f x 在区间上一致连续. 参考文献[1]田立平，陈昌.论连续函数的一致连续性[J].河南教育学院学报自然科学版，2011年9期[2]汪义瑞，李本庆.一致连续函数的判定[J].安康师专学报，2003年12期[3]杨峻，何朝兵.函数一致连续性的判定[J].安阳师范学院学报，2006年5期[4]洪敏.关于一致连续函数的判别[J].惠州学院学报自然科学版，2005年6期[5]成波，李延兴.函数一致连续性的一种新证法[J].安康师专学报，2006年8期[6]钱伟懿.函数一致连续证明方法研究[J].渤海大学学报，2011年12期[7]鞠正云.用导数判别函数的一致连续性[J].镇江高专学报，1998年3期[8]王少英.任意区间上一致连续函数的判定[J].雁州师范学院学报，2007年4期[9]姜雄.关于函数在任意区间上一致连续与非一致连续的条件讨论[J].辽宁科技学院学报，2005年2期[10]杨小远，马建华，张立文，汪玮彬，刘梦.关于函数一致连续性的判别方法研究[J].河南科学，2010年6期友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。