微积分的发展历史

微积分的产生——划时代的成就.1 微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式k b a nn =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k BA =.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.1.3 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.《庄子》和《墨经》中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.极限思想的运用——割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.2.1积分学概念和方法的产生在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：2.1.1 开普勒的同维无穷小方法开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周长乘半径之半. []n S S S A ∆++∆+∆=2121 221r rs π== 图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=3142R R V π.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积分学很富有启发性. rS i O2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可分元法”.这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)和《六个几何问题》中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里 立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1,实际上已相当于今天的积分式⎰++=an n a n dx x 0111 （n 为自然数） 使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有不注意代数和算术的纯几何缺点.对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表《关于无限抛物线》中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近代积分靠近了一步.2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x 轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.英国数学家沃里斯1656年发表《无穷的算术》，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：22dy dx ds +=，但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.2.2微分学概念和法则的发展以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.2.2.1费马借助微小增量作切线费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：设PT 是曲线在P 点的切线（如图5-5），TQ 叫次切线，只要知其长，就可确定T 点，再连接PT 就可以了.为了确定TQ ，设QQ 1为TQ 的微小增量，其长为E （即今之△x ）， ∵△TQP ∽△PRT 1 ∴1RT PR QP TQ = 费马认为，当E(=PR)很小时，RT 1同RP 1几乎相等，因此有QPP Q E RP E QP TQ -==111 图 5-5 用现在的符号，把QP 写成)(x f ，于是有)()()(x f E x f E x f TQ -+= 即 )()()(x f E x f x f E TQ -+⋅=这时，费马先用E 除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ 的数值（即今之)()(x f x f TQ '=）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.2.2.2笛卡儿“圆法”求曲线)(x f y =过点))(,(x f x P 的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P 处的法P T 1P 1RT Q Q 1线与x 轴的焦点C 的位置，然后作该法线的过点P 的垂线，便可得到所求的切线.如图5-6，过C 点作半径r=CP 的圆，因CP 是曲线)(x f y =在P 点处的法线，那么点P 应是该曲线与圆222)(r v x y =-+的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P 点附近的另一点）.如果[]2)(x f 是多项式，有垂交点就相当于方程 222)()]([r x v x f =-+将以P 点的横坐标x 为重根.但具有重根e x =的多项式的形式必须是∑⋅-i i x c e x 2)(，笛卡儿把上述方程有重根的条件写成： ∑-=--+i i x c e x r x v x f 2222)()()]([， 图 5-6然后用比较系数法求得v 与e 的关系.带入x e =，就得到用x 表示的v ，这样过点P 的切线的斜率就是)(x f x v -. 以抛物线kx y =2为例，kx x f y ==)(，方程22)(r x v kx =-+有重根的条件为： 222)()(e x r x v kx -=--+令x 的系数相等，得e v k 22-=-，即k e v 21+=.代入x e =，于是次法距k x v 21=-，求出抛物线过点()kx x ,的切线斜率是x k kxk x f x v 212/)(==-. 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.2.2.3费马求极值的方法用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：设)(x f 是x （x 就是费马的A ）的某个多项式，现在讨论)(x f y =的极大值.如果)(x f 在x 点达到极大值，则对充分小的E>0必有：)(E x f +<)(x f 和)(E x f -<)(x f将此二不等式之左边展开则有：+++=+2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f-+-=-2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f消去这两个不等式两边的共同项，再用E 除则分别给出下面两个不等式：++E x Q x P )()(<0-+-E x Q x P )()(<0当E 充分小时，此二式左边的符号完全由)(x P 确定.可见，当)(x P 0≠时，此二式不可能有同一的符号，因此必须)(x P =0，从此式解出x 就是所求的极大值.同理可以求出极小值.费马的方法实际上就是，当计算有理整函数)(x f 的极值时，先计算它的导数x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0，再令0)(='x f ，解之就是极值点. 不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E 时设为“充分小”，是为了同今天的思想相一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令0)(=x P ，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.2.3微积分系统理论探索的前夜这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.2.3.1帕斯卡等的无穷小方法布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡 一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这B D KEE个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线nx y =为一边的曲边梯形的面积.他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分之一圆的正弦论》(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明可以用直线代替，并进一步作出切线.把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响. 2.3.2沃里斯的算术化英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一位牧师的儿子，受过良好的古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649年起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号∞表示无穷大，用∞1表示无穷小或零量，并把它们和有限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作《无穷算术》(1655)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为该指数+11.”用今天的符号表示就是⎰+=1011n dx x n （n 是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系⎰++=a n n a n dx x 0111 （n 为正整数），当n 为分数时仍然成立. 2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把“卢卡斯教授”职位让给牛顿，成了数学史上的佳话.他的主要著作是《光学和几何讲义》.巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗 即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：。