北师大版九年级数学下册《利用三角函数测高》精品教案

向前进 50m 至 C 处.测得
借助练习，检测
仰角为 60°，小明的身高
学生自主完课 学生的知识掌握
为 1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精 堂练习中的练 程度，同时便于
确到 1 m)
习，然后在做 学生巩固知识。
随堂练习 解 ： 如 图 ， 由 题 意 可 知 ， ∠ AD′B′=30° ， ∠ 完之后根据老
1.（2016•济南）济南大明湖畔的“超然楼”被 称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然
楼的高度进行了测量，如图，
他们在 A 处仰望塔顶，测得仰 角为 30°，再往楼的方向前进 60m 至 B 处，测得仰角为 60°，
若学生的身高忽略不计， 3≈1.7，结果精确到 1m，
则该楼的高度 CD 为（B ）
tanβ
=
30° = 3 ；
45° =
；
∴CD=EF= EG-FG = ( 3 − 1) .
∴AG=
CD 3−1
=
60 3−1
=
30(
3 + 1)（
），
∵CD=60m，BG=EC=1m
∴AB=AG+BG= 30( 3 + 1)+1= 30 3 + 31
答：大楼高度为 30 3 + 31 m.
【小结】用三角函数知识测高：
ME= btanαtanβ
tanβ−tanα
, ∴MN= btanαtanβ+a.
tanβ−tanα
【例题讲解】【例 2】下表是小亮所填实习报告的
部分内容，请根据数据求大楼的高.
解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° ,
课堂小结
在 Rt△AEG 中，EG=taAnGα =
在
Rt△AFG
中，FG= AG
AC′B′=60°， D′C′=50m.
师的讲解进一
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 步巩固知识。
AB′=x (m) ∵tan∠D′AB′=DX'B' , tan∠C′AB′=CX'B' , ∴D'B'=x·tan60°，C'B'= x·tan30°
∴ x·tan60° - x·tan30° =50 ∴AB’=x=tan60°5−0tan60° = 25 3 ≈ 43.3 m ∴AB=x+1.5==43.3+1.5=44.8≈45（m）
和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门
的高度是５m，大门距主
楼的距离是 30m，在大门
处测得主楼顶部的仰角
结合导入的思 讲授知识，让学
讲授新课 是 30°，而当时侧倾器离
考和老师的讲 生熟练利用探究
地面 1.4m，求学校主楼的高度(精确到 0.01m).
解，利用探究 会用锐角三角函
解：如图，作 EM 垂直 CD 于 M 点。根据题意，可 学会用锐角三 数测高、解决实
借助练习，检测 学生的知识掌握 程度，同时便于 学生巩固知识。
在 Rt△AED 中，DE=2 米，∠A=22°，
∴tan22°= 2 ,即 AD= 2 =5 米
tan22°
在 Rt△BDC 中，tan∠BDC= ，tan38.5°= =0.8①，
∵tan22°= = =0.4②，
+ 5+
联立①②得：BC=4 米．
他能想出一个可行的办法吗？ 活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的
学生思考并回 答问题。并跟 着教师的讲解 思路思考问 题，并探究知 识。
导入新课，利用 导入的例子引起 学生的注意力。
高度．
活动方式：分组活动、全班交流研讨．
活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺
等测量工具．
【活动一】测量倾斜角
学生跟着老师
一起进行本节
课的小结，学 巩固加深对知识
习一些新的方 的理解与应用，
法。
也让学生知道本
节课的学习内容
和重点。
1.如图，在高 20 米的建筑物 CD 的顶 A
部 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，测得 塔底 B 的俯角为 30°，则塔高 AB = 80 米；
C
D
B
图1-16
2. 如 图 ， 小 明 想 测 量 电 线 杆
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin
A==
a c
cos
A==
b c
tan
A==
a b
2.仰角、俯角： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
导入新课
【思考问题】某探险者某天到达如图所示的点 A 处 时，他准备估算出离他的目 的地——海拔为 3 500 m 的 山峰顶点 B 处的水平距离.
低建筑物 CD 的高度为（ D ）.
借助练习，检测
A. a 米
学生的知识掌握
B. α
tan α
C. α
tan β
D. a(tanβ-tanα)
A
D
B
C
图1-19
4. 如图所示，在离上海东方明珠塔 1000m 的 A
处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为 25°(在视线与
水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰
知 ： EB=1.4m ∠ DEM=30°,BC=EM=30 m, 角函数测高、 际问题。
CM=BE=1.4m
解决实际问
在 Rt△DEM 中，DM=EM·tan30°≈30×0.577 题。
=17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m). 【活动二】测量底部不可以到达的物体的高度
《利用三角函数测高》精品教案
课题 1.6 利用三角函数测高 1. 知识与技能：
单元
第一单元 学科
数学 年级 九年级
①能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由；
②能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题
2. 过程与方法：
①经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的
学习
知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
2.（2018•丹东）如图，小明利用长为 2m 的标
尺 ED 测量某建筑物 BC 的高度，观测点 A、标尺
底端 D 与建筑物底端 C 在同一条水平直线上，标尺
ED⊥AC．从点 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角为
22°，此时点 E
恰 好 在 AB
上；从点 D 处
中考链接
测得建筑物顶
端 B 的仰角为 38.5°，求建筑物 BC 的高度．（参考
目标
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
3. 情感态度与价值观：
①通过积极参与数学活动过程，培养吃苦精神，发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数
学的欲望.
重点 灵活运用锐角三角函数、测倾器来解决实际问题。 难点 灵活运用锐角三角函数、测倾器解决实际问题。
接测得），测得此时 M 的仰角∠ MDE = β.
3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 老师在例题讲
之间的距离 AB = b．
解的时候，自 巩固加深对知识
根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说 己先思考，然 的理解与应用，
说你的理由.
后再听老师讲 也让学生知道本
测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能 直接测得测点与被测物体的底部之间的距离． 如图,要测量物体 MN 的高度,需测量哪些数据？
步骤如下:
1.在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠
MCE = α .
例题讲解 2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器（A，B
与 N 在一条直线上，且 A，B 之间的距离可以直
1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE=α.
2.量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN=L.
3.量出测 倾器的高
度 AC=a
根据测量数据，你能
求
出 物 体 MN 的 高
度吗？说说你的理由.
在 RT△MCE 中，
ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanα
MN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+ a
【活动二】测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障
碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
学生思考并回 答问题。并跟 着教师的讲解 思路思考问
导入新课，利用 导入的例子引起 学生的注意力。
如图,要测量物体 MN 的高度,需测量哪些数据？ 题，并探究知
步骤如下:
识。
因此
tan25°=BC
AC
=
BC 1000
随堂练习 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度：BD=466.3+1.7=468
（m）
答：上海东方明珠塔的高度 BD 为 468 m.
5.如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰
望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方
学生自主完课 堂练习中的练 习，然后在做 完之后根据老 师的讲解进一 步巩固知识。
程度，同时便于 学生巩固知识。
角，在水平线下方
的叫作俯角)，仪器
距 地 面 高 为 1.7m.
求上海东方明珠塔的高 BD. （结果精确到 1m.）
解：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC =25°，AC =1000m，
AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面 BC
和斜坡的坡面 CD 上，测得 BC = 10 米，CD = 4 米，
随堂练习 CD 与地面成 30°角，且此时测得 1 米杆的影长为 2
米，则电线杆的高度为
7+ 3 米.
3. 如图，两建筑物的水平距离为 a 米，从 A
点测得 D 点的俯角为α，测得 C 点的俯角为β. 则较
数 据 sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 ， tan22°≈0.40 ，
sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ED
BC
=
AD ，
AD+DC
学生自主完课 堂练习中的练 习，然后在做 完之后根据老 师的讲解进一 步巩固知识。
答：建筑物 BC 的高度为 4 米．
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课
所学的知识点：
跟着老师回忆 帮助学生加强记
课堂小结
知识，并记忆 忆知识。 本节课的知
识。
利用三角函数测高
板书
借助板书，让学 生知识本节课的 重点。
问题 1：如何测量倾斜角？
wk.baidu.com
测量倾斜角可以用测倾器.
简单的侧倾器组成：度盘、铅锤
和
支杆.
问题 2：如何使用测倾器？
步骤 1：把支架竖直插入地
面，使
支架的中心线、铅垂线和度盘
的 0°刻度线重合，这时度盘的
活动探究
顶线 PQ 在水平位置.
步骤 2：转动转盘，使度盘的直径对准目标 M，记
下此时铅垂线所指的度数.
从刚刚的或者探究中中，我们可以发现：
测量底部可以到达的物体的高度
测量物体 MN 的高度的步骤：
（1）在测点 A 安置测倾器，测得 M
的仰角∠MCE=α；
（2）量出测点 A 到物体
底部 N 的水平距离 AN=l；
（3）量出测倾器的高度 AC=a.
（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；
【例题讲解】【例 1】如图，某中学在主楼的顶部
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以
及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课
要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际
问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下
前面学习的知识。
1.直角三角形的边角关系：
回顾知识
（1）直角三角形的三边关： a2+b2=c2(勾股定理)
解。
节课的学习内容
测量物体 MN 的高度的计算过程： 在 Rt△MDE 中，ED= ME ；
tanβ
和重点。
在 Rt△MCE 中，EC =tManEα ；EC-ED=tManEα－tManEβ=b
MEtanβ−MEtanα = b，即 ME(tanβ−tanα) = b
tanαtanβ
tanαtanβ