版北师大九年级上数学教案讲义重要

版北师大九年级上数学

教案讲义重要

Revised as of 23 November 2020

第一章特殊的平行四边形

§1,1 菱形的性质与判定

一、教学目标：．1、菱形的性质定理的运用．2．菱形的判定定理的运用．

二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱

形的相关题型。

三、概念：

菱形性质：

1．两条对角线互相垂直平分；

2．四条边都相等；

3．每条对角线平分一组对角；

4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

菱形的判定定理：

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）

3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边）

4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系）

四、讲课过程：

1、例题、

例1.（2006?大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．

（1）连接AF；

（2）猜想：AF=AE；

（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：观察图形应该是连接AF，可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．

解答：解：（1）如图，连接AF；

（2）AF=AE；

（3）证明：四边形ABCD是菱形．

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABF=∠ADE，

在△ABF和△ADE中

∴△ABF≌△ADE，

∴AF=AE．

点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．

例2、（2009?贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．

（1）证明：∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题；动点型。

分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据

AB∥DC即可得到结论．

（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD，证明

S△ADP=×AB?DP=S菱形ABCD即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）

∵CE=CE

∴△BCE≌△DCE（4分）

∴∠EBC=∠EDC

又∵AB∥DC

∴∠APD=∠CDP（5分）

∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．（8分）

理由：连接DB

∵∠DAB=60°，AD=AB

∴△ABD等边三角形（9分）

∵P是AB边的中点

∴DP⊥AB（10分）

∴S△ADP=AP?DP，S菱形ABCD=AB?DP（11分）

∵AP=AB

∴S△ADP=×AB?DP=S菱形ABCD

即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．（12分）

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，

S△ADP=S菱形ABCD是难点．

例3、（2010?宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、

BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CB，∠A=∠C，

∵BE⊥AD、BF⊥CD，

∴∠AEB=∠CFB=90°，

在△ABE和△CBF中，

∴△ABE≌△CBF（AAS），

∴BE=BF．

（2）解：如图，

∵对角线AC=8，BD=6，

∴对角线的一半分别为4、3，

∴菱形的边长为=5，

菱形的面积=5BE=×8×6，

解得BE=．

点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．

例3、（2011?广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：DE=BE．

考点：菱形的性质。

专题：证明题。

分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE．

解答：证明：

法一：如右图，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴BD⊥AC，∠DBC=30°，

∵DE∥AC，

∴DE⊥BD，

即∠BDE=90°，

∴DE=BE．

法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴AD∥BC，AC=AD，

∵AC∥DE，

∴四边形ACED是菱形，

∴DE=CE=AC=AD，

又四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD，

∴BC=EC=DE，即C为BE中点，

∴DE=BC=BE．

点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

例4.（2010?益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

考点：菱形的性质。

分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．

解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD=60°；（4分）

（2）由（1）可知BD=AB=4，

又∵O为BD的中点，

∴OB=2（6分），

又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，

∴∠BOE=30°，

∴BE=1．（8分）

点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边

等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．