专升本高等数学【函数极限和连续】知识点及例题

第一章函数、极限和连续

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一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．

2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．

3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．

4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．

二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．

6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．

7．熟练掌握分段函数求极限的方法．

三、连续

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．

2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．

3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．

4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．

5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．

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一、函数

（一）函数的概念

1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简

记为

()y f x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．

说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的

f

外，还可以用其他的英文字母或

希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，

()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一

点应特别注意．

2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：()y

f x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，

而右端是含有自变量的式子，如2cos x

y xe x =-，13sin ln x

x e y x e x

-=++等．

（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果

方程(,)

0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程

(,)0F x y =所确定的隐函数形式．

说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +

-=

解出

y =有时是非常困难的，甚至是不可能的．

（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如

1,0()1,0

x x f x x x +≥⎧=⎨

-<⎩是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．

（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起

来()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩（t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数

方程2cos 2sin x t y t

=⎧⎨=⎩表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．

（二）函数的几种特性

1．有界性

设函数

()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M

，使得

()f x M

≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M

不存在，就称函数

()f x 在X 上无界．

说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M

大的数都是函数

()f x 的界．

2．单调性

设函数

()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当

12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对

于区间I 上任意两点1x 及2x ，当1

2x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在

区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．3．奇偶性

设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒

成立，则称

()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()

f x 为奇函数．例如：

()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()sin f x x =、

()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．

偶函数的图形关于

y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．

说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．4．周期性

设函数

()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有